2024—2025學年度第一學期九年級學情調(diào)研（一）

數(shù)學R7（試題卷）

注意事項：

1.數(shù)學試卷滿分150分，考試時間為120分鐘.

2.本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁，請

務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題無效.

3.考試范圍：第21?22.1章.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）

1.下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是（）

A.y-ax2+bx+cB.y--x-4

22

C.y=2x--D.V=3S+S-2

x

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查二次函數(shù)的定義.根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個判斷即可，一般地，形如丁=。必+/?+。的

函數(shù)（a,b,c是常數(shù)，awO）,叫做二次函數(shù).

【詳解】解：A、當a=0時，y=ax?+6x+c不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；

B、y=-x-4是一次函數(shù)，故本選項不符合題意；

C、分母含有字母，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；

D、y=3d+s-2二次函數(shù)，故本選項符合題意；

故選：D.

2.方程4必—2x=-1的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（）

A.4、—2、-1B.4、2、-1C.4、—2、1D.4、2、1

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，即依2+版+。=0缶H0）.其中。是二次項系數(shù)，。是一次項

系數(shù)，c是常數(shù)項.據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：4/一2x=—1

???4X2-2X+1=0

a=4,b=—2,c=l.

故選C.

3.若二次函數(shù)>=。必的圖象經(jīng)過點4(3,—6),則該圖象必經(jīng)過點()

A.(―3,6)B.(―3,—6)C.(6,—3)D,(6,3)

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，熟練求得二次函數(shù)的對稱軸是解題的關鍵.求得二次函數(shù)

y=ax2的對稱軸為V軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可解答.

b

【詳解】解：--=0,

2a

二次函數(shù)y=ax2的對稱軸為y軸，

???4(3,—6)關于V軸對稱的點為(-3,-6),

,該圖象必過點(-3,-6),

故選：B.

4.關于龍的一元二次方程2/+法一1=0的根的情況是()

A.實數(shù)根的個數(shù)由6的值確定B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當△>€),方程有兩個不相等的實數(shù)根；當A=0,方

程有兩個相等的實數(shù)根；當△<(),方程沒有實數(shù)根.先計算出A,根據(jù)△的意義得到方程有兩個不相等

的實數(shù)根即可.

【詳解】解：因為△=/+4*2=/+8〉0，

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選B.

5.下列關于二次函數(shù)丁=3必—1的圖象說法中，錯誤的是()

A.它的對稱軸是直線x=0

B.它的圖象有最低點

C.它頂點坐標是(0,-1)

D.在對稱軸的左側，y隨著x的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，根據(jù)二次函數(shù)的性質逐項判斷即可得出答案，熟練掌握二次函數(shù)的

性質是解此題的關鍵.

【詳解】解：A、它的對稱軸是直線x=0,故原說法正確，不符合題意；

B、它的圖象開口向上，有最低點，故原說法正確，不符合題意；

C、它的頂點坐標是(0,-1),故原說法正確，不符合題意；

D、在對稱軸的左側，y隨著x的增大而減小，故原說法錯誤，符合題意；

故選：D.

6.若相、”是關于x的方程2/一4%+1=0的兩個根，則工+工的值為()

mn

11

A.4B.-4C.-D.——

44

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟知4起是一元二次方程依2+以+。=0缶*0)的

bc

兩根時，%-一，%?%=一是解答此題的關鍵.先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系求出

aa

m+n=2,mn=~,再代入化簡后的代數(shù)式進行計算即可.

2

【詳解】解：???，"，”是關于尤的方程2/—4%+1=0的兩個實數(shù)根，

...m上+n=20,mn=—1,

2

11m+n2.

,—+-=--------=T=4

mnmn工，

2

故選：A.

7.一拋物線的形狀、開口方向與拋物線y=-+3相同，頂點為(-3,2),則此拋物線的解析式為

()

A.y=-^(x-3)2+2B.y=--^-(x+3)2+2

11

Cy=(x-3)9-2D.y=(x+3)9-2

【答案】B

【解析】

1

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，根據(jù)拋物線的形狀、開口方向與拋物線y=-a%9+4%-3

相同得出。=-工，再結合頂點為(-3,2)即可得解.

【詳解】解：???一拋物線的形狀、開口方向與拋物線丁=一'—+4%—3相同，頂點為(_3,2),

19

此拋物線的解析式為y=-5(X+3)-+2,

故選：B.

8.《九章算術》中有這樣一道題：“今有二人同所立.甲行率六，乙行率四.乙東行，甲南行十步而邪東

北與乙會.問：甲、乙行各幾何？”大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為6,乙

的速度為4.乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時，

甲走了多少步()

A.24B.30C.32D.36

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理的應用，AC表示正東方向，A3表示正南方向，則NA=90°,設甲、乙

的時間都是羽則AC=4x,AB+BC=6x,再由勾股定理計算即可得出答案.

【詳解】解：如圖，AC表示正東方向，A3表示正南方向，

B

ZA=90°

設甲、乙的時間都是無，則AC=4x,AB+BC=6x,

又：AB=10.

BC=6x—10

由勾股定理得：(4X)2+102=(6X-10)\

???16尤2+100=36%2-120%+100

；?20f—120%=0,

占=0（舍去），々=6

，甲走的路程為43+笈。=6%=36（步），

故選：D.

9.某校從本學期開始實施勞動教育，在學?？繅Γ▔﹂L22米）的一塊空地上，開辟出一塊矩形菜地，如

圖所示，矩形菜地的另外三邊用一根長49米的繩子圍成，并留1米寬的門，若想開辟成面積為300平方米

的菜地，則菜地垂直于墻的一邊的長為（）

A.10米B.12米C.15米D.不存在

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是一元二次方程的應用，根據(jù)題意設菜地垂直于墻的一邊的長為為尤米，則根據(jù)圖并

利用長乂寬=面積，建立方程并求解即可.

【詳解】解：設菜地垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊的長為（49+1-2%）米,

由題意列方程可得：%（49+1-2%）=300,解得石=10,%=15

當菜地垂直于墻的一邊的長為10米時，平行于墻的一邊的長為30米，大于墻長的22米,

所以菜地垂直于墻的一邊的長為15米.

故選：B.

10.函數(shù)、=以2-工+2和y=在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷。的符號，再判斷二次函數(shù)

圖象與實際是否相符，即可得出答案，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質是解此題的關鍵.

【詳解】解：,.,y=ax2-x+2,

，拋物線與y軸交于點(0,2),

A、由y=—ox—a(awO)可得一。<0,則。>0,故拋物線開口向上，即對稱軸工=----=----->0,

2a2a

符合題意；

b_]

B、由y=—ox—a(awO)可得一。<0,則a>0,故拋物線開口向上，即對稱軸x=—^-=—^->0,

不符合題意；

b_]

C、由y=-翻一。(。wo)可得一。>0,則。<0,故拋物線開口向下，即對稱軸1=-----=------<0,不

2a2a

符合題意；

b—1

D、由y二-雙一〃(〃力。)可得一〃v0,則〃>0,故拋物線開口向上，即對稱軸尤=----=---->0,

2a2a

不符合題意；

故選：A.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)

11.二次函數(shù)y=%2+4%+6的頂點坐標是.

【答案】(-2,2)

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，關鍵是掌握二次函數(shù)頂點坐標式.把二次函數(shù)一般式化為頂點式，即

可得到頂點坐標.

【詳解】解：把二次函數(shù)化為頂點式為：y=x2+4x+6=(x+2)2+2；

???頂點坐標為:(-2,2).

故答案為：(-2,2).

12.由于制藥技術的提高，某種疫苗的成本下降了很多，因此醫(yī)院對該疫苗進行了兩次降價，設平均降價

率為無，已知該疫苗的原價為462元，降價后的價格為y元，則y與x之間的函數(shù)關系式為.

【答案】y=462(I『

【解析】

【分析】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式，本題需注意第二次降價是在第一次降價后的價

格的基礎上降價的.原價為462元，第一次降價后的價格是462(1-%)元，第二次降價后的價格為

462(1-%『元，則函數(shù)解析式即可求得.

【詳解】解：設平均每次降價的百分率為尤，根據(jù)題意可得：

y與x之間的函數(shù)關系為：y=462(1-%)".

故答案為y=462(1—域.

13.已知關于x的一元二次方程41一必)-2云=4(1+￡),其中°、b、c分別為VA3C三邊的長，如果

方程有兩個相等的實數(shù)根，則VAfiC的形狀為.

【答案】直角三角形

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理逆定理，一元二次方程㈤：?+樂+c=o(aw。)

的根與A=b2—4ac有如下關系：①A>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根，②△=€),方程有兩個相等的

實數(shù)根，③△<(),方程沒有實數(shù)根.原方程可以化為(a+c)X2+2"+a—c=0,由題意得出

A=(2Z?)--4(fl+c)(a-c)=0,a2=Z?2+c2，即可得解.

【詳解】解：原方程可以化為：(。+。)V+蘇+?！猚=0,

?.?方程有兩個相等的實數(shù)根，

A=(2Z?)2-4(a+c)(a-c)=0,

+/,

...VA3C為直角三角形，

故答案為：直角三角形.

14.拋物線y=的圖象交>軸于點A,點A關于％軸的對稱點為點艮

m

(1)點、B坐標為；

(2)點1),0(4,0),且線段CD與拋物線恰有一個公共點，則根的取值范是.

【答案】0.0，--②.--<m<0##-0.25<m<0

mJ4

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，能對比進行分類討論，并能

數(shù)形結合解決函數(shù)與線段的交點問題是解題的關鍵.

(1)求出A點坐標，再由點8關于無軸對稱，根據(jù)點的對稱性可求B點坐標；

(2)根據(jù)題意，分兩種情況分別求：當加>0和m<0時，根據(jù)“線段與拋物線恰有一個公共點”列

出不等式，再結合圖象可確定根的范圍.

【詳解】解：(1)拋物線y=+—?與y軸交于點A,

m

，點A關于X軸的對稱點為點8,

故答案：|0,----

(2)當加>0時，

通過觀察可得：。在直線/上，若要。與拋物線有一個交點,

22

則——l>m-22+—,

mm

解得加<一,(舍)，

4

當機<0時,

解得用2—工，即一工<m<0.

44

三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

15.解方程:爐-3x=0

【答案】3或0

【解析】

【分析】利用因式分解法求出解即可；

【詳解】解：x(x-3)=0,

可得x=0或x-3=0,

解得：xi=0,X2=3；

【點睛】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，注意使用因式分解法時方程右邊必須為0.

16.直線y=—X+3與拋物線y=ax-交于點(2,n).

(1)求a和"的值；

(2)對于二次函數(shù)>=。必，當y隨x的增大而增大時，求自變量尤的取值范圍.

【答案】(1)n=l,a=-

4

⑵%>0

【解析】

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質，熟

練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

(1)把(2,〃)代入y=-x+3可以求出〃的值，再把(2,1)代入>=爾即可求出。的值；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得出答案.

【小問1詳解】

解：把（2,小代入y=—x+3,得〃=—2+3=1,

把（2,1）代入y=ox?,得4〃=1,

解得：a——,

4

??〃=1,a—；

4

【小問2詳解】

解：由（1）知：a=一，

4

12

y二一九，

4

???當y隨x的增大而增大時，x>0.

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.已知關于尤的一元二次方程/+2狽=3—/.

（1）判斷方程根的情況；

（2）設不，馬是方程的兩個根，求［五］三］的值.

【答案】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根

（2）3

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程依2+樂+。=0（。。0）的根與

A=Z?2—4ac有如下關系：①A>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根，②A=0,方程有兩個相等的實數(shù)

根，③A<0,方程沒有實數(shù)根，關于龍的一元二次方程依2+法+。=。（。。0）的兩個實數(shù)根五,馬和

bc

系數(shù)Q,b>C,有如下關系：%］+%2=----，玉—.

一aa

（1）將方程化為一般式，再根據(jù)根的判別式計算即可得出答案；

（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得石+馬=-2a,石%2=/-3,代入計算即可得出答案.

【小問1詳解】

解：原方程化為好+2依+々2一3=0，

AA=（2a）2-4（tz2-3）=12>0,

?.?方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【小問2詳解】

解：由題意得：再+%2=-2〃，項％2=。-3

.府代九；—2%]%2+君x；+2%犬2+犬；—4再％2(項+%2)2—4%馬(―2。)？一4(〃？一3)

??—————J

4444

18.如圖，將一些小圓按規(guī)律擺放：

oo

oOOOO

ooOOOOOOO

ooooO

oooOOOOOO

oooOOOOOOO

OOO

ooooOOOO

OOO

第1個圖形第2個圖形第3個圖形第4個圖形

(1)第5個圖形有個小圓，第〃個圖形有個小圓(用含〃的代數(shù)式表)；

(2)能用114個小圓擺成這樣的圖形嗎？如果能，請求出擺成的是第幾個圖形；如果不能，請說明理

由.

【答案】(1)34,(H2+H+4)；

(2)能用114個小圓擺成這樣的圖形，擺成的是第10個圖形.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)所給圖形找出變化規(guī)律即可求解；

(2)把H4代入(1)中所得規(guī)律，解方程即可判斷求解；

本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)所給圖形找出變化規(guī)律是解題的關鍵.

【小問1詳解】

解：由圖可得，第1個圖形小圓的個數(shù)為6=lx2+4,

第2個圖形小圓的個數(shù)為10=2x3+4,

第3個圖形小圓的個數(shù)為16=3x4+4,

第4個圖形小圓的個數(shù)為24=4x5+4,

...第5個圖形小圓的個數(shù)為5x6+4=34,

第〃個圖形小圓的個數(shù)為〃(〃+1)+4=A?+〃+4,

故答案為：34,("~+"+4)；

小問2詳解】

解：若能，則“2+”+4=114，

即"+"—110=0,

解得％=-11（不合，舍去），%=10,

，能用H4個小圓擺成這樣的圖形，擺成的是第10個圖形.

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）

19.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC=20cm,點M從點A開始沿AC以3cm/s的速度向

點C運動（到點C時停止），過點M作跖V〃AB,交BC與點N,并設點M的運動時間為/S.

（1）當f為何值時，的面積為98cm2?

21、

（2）右S四邊形ABNM=石S^ABC，求f的值.

【答案】（1）t為2（2）r=4

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，三角形面積計算，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的解

題方法.

19

（1）根據(jù)題意得出9/=附=3化111,根據(jù)三角形面積公式得出入MCA=］（20-3。一=98,求出r即可；

2

（2）??S^ABC=1x20x20=200cm,SmABNM=||S^ABC,得出;（20-翅=32,求出f的值即

可.

【小問1詳解】

解：由題可知，AM=BN=3tcm,

1

=-（20-309=98,

34

解得。=2,t=一（舍），

3

???當/為2時，AMCN的面積為98cm2

【小問2詳解】

1

解：,**Smc=—x20x20=200cm92,

又??s~—S

人?D四邊形ABNM_25△ABC，

44

**?S^MCN=—^AABC=—x200=32,

19

又.??以“CN=Q(20-3療，

1

.?.-(20-3Z9)=32

28

可得。=4,J=(舍)，

t=4?

i?

20.如圖，拋物線y=-3/+m與y軸交于點A,過點A作與x軸平行的直線，交拋物線y=5（x+l）相

交于點8、。（點3在點。的左面），若5c=4,求機的值.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，一元二次方程根與系數(shù)的關系；根據(jù)解析式求得點4（0,機），令

1、,

-（x+1）=m,設5（不加），C（x2,m）,進而根據(jù)根與系數(shù)的關系得出國+%2=一2，^x2=l-2m,根

據(jù)BC=々-演，即可求解.

【詳解】解：???拋物線y=—3/+加，

A（0,m）,g（x+l）2—m,

*,?x2+2x+l—2m=0

設HQ,加)，C(x2,m),

則x1+x2=-2,玉％2=1_2m

BC=%一再=d(X]+%)2-4%%2=J(-2)2_4(1_2=)=4,

:.m=2

六、（本題滿分12分）

12

21.已知二次函數(shù)y=+4-2〃.

（1）求證：不論〃取何值時，拋物線的頂點始終在一條直線上.

（2）若點A（/?+2,a）,5（6〃+/?—4,。）都在二次函數(shù)圖象上，求證：tz>—.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質并靈活運用是解此題的關

鍵.

（1）由二次函數(shù)解析式得出頂點坐標為（3”,4—2”），設尤=3〃，y=4-2n,則y=—§x+4,即可得

解；

（2）由二次函數(shù)的性質得出6=1,從而得出A（3,。），再將A（3,。）代入二次函數(shù)解析式即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：由二次函數(shù)y=g（x—3〃『+4—2〃知，拋物線頂點坐標為（3”,4—2力

22

設JV=3〃，y=4—2〃=-3><3〃+4,貝|丁=一1九+4,

???拋物線的頂點始終在直線y=-gx+4上；

【小問2詳解】

證明：由題可得0+2）+（6〃+人4）=6〃，則》=1

A（3,a）,

把4（3,。）代入=1（％—3"）2+4—2〃得4=1（3—3〃）2+4—2〃=3（〃一4）2+9之上，

a2一.

3

七、（本題滿分12分）

22.某商店銷售一款成本價為40元的洗發(fā)水，如果每瓶按60元銷售，每天可賣20瓶.該商店通過調(diào)查發(fā)

現(xiàn)，每瓶洗發(fā)水售價每降低1元，日銷售量增加2瓶.

（1）如果該商店想保持日利潤不變，且盡快銷售完這批洗發(fā)水，每瓶售價應定為多少元？

（2）同城另一家商店也銷售同款洗發(fā)水，標價為每瓶62.5元.為促進銷售，提高利潤，這家商品決定實

行打折促銷，且其銷售價格不低于（1）中的售價且不高于60元，則洗發(fā)水至少需打幾折？

【答案】（1）每瓶售價定為50元

（2）洗發(fā)水至少需打八折

【解析】

【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應用以及一元一次不等式組的應用，找準等量關系列出方程是

解決問題的關鍵.

（1）設每件的售價定為尤元，根據(jù)利潤不變，列出關于X的一元二次方程，求解即可；

（2）設該商品打機折，根據(jù)銷售價格不超過（1）中的售價列出一元一次不等式組，解不等式組即可.

【小問1詳解】

設每瓶售價定為a元，貝"。一40）［20+2（60-a）］=（60—40）x20

解得％=50,a2=60（舍），

每瓶售價定為50元

【小問2詳解】

設洗發(fā)水打。折，則50W62.5a<60,

解得：0.8WaW0.96

答：洗發(fā)水至少需打八折.

八、（本題滿分14分）

23.如圖，拋物線y=—；/+租％+〃與x軸相交于8,C兩點（點B在點C的左邊），與y軸相交于點A,

直線AC的函數(shù)解析式為y=+2.

（1）求點A,C的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在直線AC上方的拋物線上有一點求四邊形面積的最大值及此時點〃的坐標.

【答案】（1）A（0,2）,C（4,0）

11

（2）y——x9H—x+2

42

（3）四邊形A5CM的面