第5章分式

3M

【類型覆蓋】

類型一、分式與分式方程的新定義運算

【解惑】設(shè)。，b都是不為0的實數(shù)，且a+b^O,定義一種新運算：0*6=4,則下面四個等式:

①a*b=b*a；②（a%）：/*/；③（―。）%=4*（_3；④=；成立的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】此題考查了分式的化簡，各式左右分別利用題中的新定義化簡，判斷即可.

【詳解】解：①根據(jù)新定義得，。%=上7，b*a=A，

a+ba+b

團(tuán)aW人，

a+ba+力

即a*b1b*a,

故①不成立；

2

aa2a2

，〃2%2=

a+ba2+Z?2

a2a2

回

(〃+Z?)2a2+b2'

團(tuán)(a*。)?￡Q2%2,

故②不成立;

③(-〃)%=-Qa

—a+ba—ba-b，

故③成立;

④(_Q)*Z?=-----=------一(Q*b)=---,

5)-a+bb—aa+b

aa

團(tuán)-------w-------,

b-aa+b

綜上，成立的有③.

故選：A.

【融會貫通】

1.定義：￡^>=,一’,已知九一丁=4,次丁=2,則孫2一兀2）=（）

xy

A.-8B.8C.—32D.32

【答案】B

【分析】此題考查了分式的減法、因式分解、代數(shù)式的求值.先利用新定義和分式減法得到孫=，再把

代數(shù)式因式分解并整體代入計算即可.

]1x—V4

【詳解】尚星：回]※y=----=------=----=2

xyxyxy

團(tuán)肛二—2,

1

回取2-xy=-xy^x-y^=2x4=8

故選：B

2.定義：若一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為''和諧分式〃.例

如：￡+l=￡zl+2=￡zl+2=1+^_；則=是“和諧分式,，若分式（2+』］千葉1的值為整數(shù)，則整

數(shù)X的值為.

【答案】-2

【分析】本題考查了分式的運算，涉及到分式有意義的條件的應(yīng)用，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)

鍵.先根據(jù)新定義，對原分式進(jìn)行化簡整理得到2-一二為整數(shù)，貝I可得至曝+1=土1,解得x=0或x=-2,

結(jié)合分式分式有意義條件，可得到X=-2.

【詳解】解：f2+-^—

VxJx

2x+lx

=-------?------

XX+1

_2x+l

x+l

_2（x+l）-l

x+1

x+1

團(tuán)分式（2+。］+三口的值為整數(shù),

IxJx

02-一二的值為整數(shù)，

X+1

回一、的值為整數(shù)，

X+1

團(tuán)工+1=±1,

回％=0或x=—2，

團(tuán)當(dāng)x=0時，分式無意義,

團(tuán)元=—2.

故答案為：-2.

3.對于實數(shù)。，b,定義一種新運算"?"為：a?b=-^,其中等式右邊是實數(shù)運算.例如:

a-b

183=」不=-，，則方程x額—2）=-1的解是________.

1—3o

【答案】x=3

【分析】此題考查了實數(shù)的新定義運算和解分式方程.根據(jù)新定義得到占一,解方程并檢驗即可.

【詳解】解：皿=上，

11

x?(—2)=

X—(―2)21^4

x0(-2)=-l,

------=-1

x-4

解得：尤=3,

經(jīng)檢驗，x=3是分式方程的解,

故答案為：x=3.

類型二、分式方程的解為參數(shù)

【解惑】若關(guān)于x的分式方程1^+2=上7的解為正數(shù)，則〃的取值范圍是()

x(x-4)xx-4

A.a>2B.a<2C.。>2且D.

【答案】C

Q

【分析】本題考查了解分式方程，由分式方程解的情況求參數(shù)，先解分式方程，得由分式方程的

(2—2

Q

解為正數(shù)，得。-2>0,即得a>2,再根據(jù)分式的分母不等于0,得\*4,即得據(jù)此即可求解，

a—2

正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊乘以x(x-4),得16+2(x-4)=ox,

國分式方程的解為正數(shù),

團(tuán)a—2>0,

團(tuán)?！?,

團(tuán)1一4。0,

團(tuán)aw4,

回。的取值范圍是。>2且a片4,

故選：c.

【融會貫通】

1.已知關(guān)于X的分式方程m」，+3「=1的解是非負(fù)數(shù)，則機(jī)的取值范圍是（）

x-l1—X

A.m>2B.m=2C.帆、2且"*3D.m>2且”*3

【答案】C

【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是非負(fù)數(shù)得〃2-220,由X-1H0,得m-2-1工0,計算可得答

案.此題考查了利用分式方程的解求參數(shù)的取值范圍，正確求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：々+4=1，

X—11—X

0m—3=x—1,

得了=根-2,

m3

國分式方程的解是非負(fù)數(shù)，

x-11-x

Sx>0,

即m-2>0,

得加22,

團(tuán)x—IwO,

團(tuán)加一2—1。0,得見3,

團(tuán)mN2且加#3,

故選：C.

2.若關(guān)于x的方程&二/=3的解為正數(shù)，則機(jī)的取值范圍是

【答案】〃z<3且小片2

【分析】本題考查根據(jù)分式方程的解情況求參數(shù)，根據(jù)"原分式方程的解"和"解是正數(shù)”建立關(guān)于優(yōu)的不等式

是解題的關(guān)鍵.先解關(guān)于X的分式方程，它的解X用含量機(jī)的代數(shù)式表示，再根據(jù)"原分式方程有解"和"方

程的解是正數(shù)"建立關(guān)于機(jī)的不等式，求解即可.

【詳解】解：工r=3,

x-1

解得：x=3-mf

團(tuán)原分式方程有解，

團(tuán)x—1W0,即3—znwl,

解得：m手2,

團(tuán)方程的解是正數(shù)，

團(tuán)3—加＞0,

解得：m＜3,

團(tuán)根＜3且mw2,

故答案為：加＜3且相。2.

3.若關(guān)于x的分式方程上等-1=4有正數(shù)解，求優(yōu)的取值范圍—.

x-3x

13

【答案】根＜一］且機(jī)工一萬

【分析】本題考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遺漏分式方程的增根情況是解題的關(guān)鍵.解

分式方程得到X結(jié)合已知可得八＞0,同時注意，分式方程中xwo,XW3,所以丁J-3,則

可求加的取值范圍.

【詳解】解：分式方程兩邊同時乘以尤@-3）,得

（27/I+X）X-X（X-3）=2（X-3）,

整理，得（2M+1）X=-6,

.方程有正數(shù)解，

---------＞0,

2m+1

2m+l＜0,

解得機(jī)＜-g,

%w3,

.一上.3,--r0,

2m+12m+1

3口1

團(tuán)加w—且機(jī)?！?

22

13

?二m的取值范圍是根＜一5且加w-萬，

13

故答案為：根＜一彳且根工一彳.

22

類型三、分式方程的解為整數(shù)

2m

【解惑】關(guān)于x的分式方程一（m>3,且加為整數(shù)）的解為整數(shù)，則加的可能取值的和為（）

x-3x

A.15B.17C.22D.28

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程得出x=*j=3+―

m—2m-2

結(jié)合機(jī)>3,且優(yōu)為整數(shù)，x為整數(shù)，得出加可取4,5,8,即可得解.

【詳解】解：32=巴m,

x-5x

去分母得：2x=m[x-3）,

去括號得：2x=mx—3m,

移項得：（2—=—3帆，

系數(shù)化為1得：人弋=3+:，

Elm>3,且加為整數(shù)，x為整數(shù)，

0m—2=2,3,6

團(tuán)加可取4,5,8,

回機(jī)的可能取值的和為4+5+8=17,

故選：B.

【融會貫通】

Xvn—9

1.已知關(guān)于X的方程」7——=3有整數(shù)解，且TVm<3,則所有滿足條件的整數(shù)用的和是（）

x-11-x

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，先求出分式方程的解，根據(jù)分式方程有整數(shù)解及

-4<m<3,可得整數(shù)%=-3,-1,1,又根據(jù)x-lHO可得〃沖1,進(jìn)而得到滿足條件的整數(shù)機(jī)的值為-3,

-1,據(jù)此即可求解，根據(jù)題意求出滿足條件的整數(shù)機(jī)的值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以x-l得，x+m-2=3（x-l）,

回方程有整數(shù)解，且

回整數(shù)機(jī)=-3,-1,1,

又EIX—IHO,

Elxwl,

團(tuán)〃zH1,

團(tuán)滿足條件的整數(shù)機(jī)的值為-3,-1,

團(tuán)所有滿足條件的整數(shù)機(jī)的和為-3+（-1）=7,

故選：D.

2.若關(guān)于x的分式方程處4=1的解為整數(shù)，則整數(shù)加的值有______個.

x-3

【答案】3

3

【分析】本題考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得x且XH3,因為分式方程有正整數(shù)

解，進(jìn)而可得整數(shù)機(jī)的值.

3

【詳解】解：解分式方程得x=U且XH3,

m-l

團(tuán)分式方程的解為整數(shù)，

團(tuán)加一1的值為-1或±3,

解得m的值為0,4,-2,共3個.

故答案為：3.

3.若分式方程/也=3-2的解為正整數(shù)，則整數(shù)機(jī)的值為.

【答案】-1

【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

先解關(guān)于X的方程，表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)機(jī)的值即可.

【詳解】解：產(chǎn)=3-9，

1-xx-1

去分母得：=3（x—1）—X,

移項合并得：（2+加卜=3,

3

解得：％=J，

2+m

由方程的解是正整數(shù)，得到尤為正整數(shù)，即2+利=1或2+機(jī)=3,

解得：加=—1或m=1

當(dāng)機(jī)=一1時，x=3.

當(dāng)機(jī)=1時，x=l,原方程分母為0,原方程無解.

0m=l.

故答案為：-1.

類型四、分式方程的解為無解

【解惑】若關(guān)于X的分式方程;?+娛之有增根，則機(jī)的值是()

4-xx-2

A.m=2或相=6B.；77=2C.m--6D.m=2或〃z=-6

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程的增根問題，根據(jù)解分式方程的方法去分母，把分式方程化為整式方程；接

下來把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值.

【詳解】解：去分母，得—(x+m)+Mx+2)=f-4,

國關(guān)于尤的分式方程上■+*=］有增根，

4-x2x-2

團(tuán)x=i2是分式方程產(chǎn)■+上；=：!的增根，

4-xx-2

當(dāng)x=2時，-(2+//t)+2x(2+2)=2?-4,

解得m=6；

當(dāng)％=—2時，-(-2+m)+(-2)x(-2+2)=(-2)2-4,

解得m=2；

團(tuán)m=2或加=6,

故選：A.

【融會貫通】

1.若分式方程;=2+三無解，則。的值為()

x-4x-4

A.4B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內(nèi)容.分式方程無解，既要考慮分式方程有增根

的情形，又要考慮整式方程無解的情形.

關(guān)于x的分式方程忘3士無解，即分式方程去掉分母化為整式方程，整式方程的解就是方程的增根,

即尤=4,據(jù)此即可求解.

【詳解】解：士=2+七,

去分母得：x-2（x-4）=a,

解得：x=8—a,

分式方程-7=2+3無解，

x-4x-4

/.X—4=0,

/.x=4,

8—a=4,

解得：a=4.

故選：A

2.若關(guān)于x的分式方程"=。無解，則。的值為.

【答案】o或一;

【分析】本題考查了分式方程的解，掌握分式方程無解的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等

于0,建立關(guān)于a的方程，求解即可.

【詳解】解：方程去分母得，3a+l=ax+a,

:.ax=2a-\-1.

如果原分式方程無解，那么分兩種情況：

①當(dāng)。=0時，方程《x=2?+l無解，所以分式方程無解；

②解方程依=加+1,得了=幺土1,

a

當(dāng)分母x+1=0即X=-1時原分式方程無解.

經(jīng)檢驗，符合題意,

故當(dāng)。=0或。=-《時，分式方程網(wǎng)2無解.

3x+l

故答案為：。或

3.當(dāng)機(jī)=—時，解關(guān)于X的方程三=4會產(chǎn)生增根.

x-3x-3

【答案】1

【分析】此題考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的計算方法是解題的關(guān)鍵；增根確定后可按如下步驟

進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

【詳解】解：去分母得：x—2=m

解得：x=m+2；

因為關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根，則增根為3,

故"7+2=3,

解得：m=l；

故答案為：1

類型五、分式方程的應(yīng)用一一利潤問題

【解惑】2025年3月14日是第六個"國際數(shù)學(xué)日"，某校數(shù)學(xué)組在今年"兀日”舉行了數(shù)學(xué)游園活動，購買了

一批鋼筆和自動鉛筆作為獎品.在前期詢價時，通過電話詢問文具店了解到，鋼筆的價格比自動鉛筆貴60%,

且花300元購買的自動鉛筆比花400元購買的鋼筆多10支.求前期電話詢問時鋼筆和自動鉛筆的單價分別

為多少元？

【答案】鋼筆的單價為8元，自動鉛筆的單價為5元

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出分式方程是解答的關(guān)鍵.設(shè)自動鉛筆的單價為尤

元，則鋼筆的單價為(l+60%)x元，根據(jù)"花300元購買的自動鉛筆比花400元購買的鋼筆多10支"列方程

求解即可.

【詳解】解：設(shè)自動鉛筆的單價為x元，則鋼筆的單價為(1+60%)尤元，

300400

根據(jù)題意,得丁一(1+60%)「1°，

解得x=5,

經(jīng)檢驗，1=5是所列方程的解，且符合實際，

0（l+6O%）x5=8（元），

答：前期電話詢問時，鋼筆的單價為8元，自動鉛筆的單價為5元.

【融會貫通】

1.孝敬父母是中華民族的傳統(tǒng)美德."母親節(jié)”來臨之際，花店紛紛搞促銷活動，小麗發(fā)現(xiàn)某花店有康乃馨、

玫瑰兩種花束正在參加活動.購買3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，購買5束康乃馨和6束玫瑰需要650

元.

⑴求康乃馨花束和玫瑰花束的單價分別為多少元？

（2）"母親節(jié)"當(dāng)天，花店進(jìn)行促銷活動，將康乃馨花束的單價降低了2加元，玫瑰花束單價降低了加元，節(jié)日

當(dāng)天康乃馨花束的銷量是玫瑰花束銷量的L5倍，且康乃馨花束的銷售額為1800元，玫瑰花束的銷售額為

900元，求相的值.

【答案】⑴康乃馨花束的單價為70元，玫瑰花束的單價為50元

（2）m的值為5

【分析】本題考查二元一次方程組和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程或方程組.

（1）設(shè)康乃馨花束的單價為尤元，玫瑰花束單價為y元，根據(jù)"購買3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，購

買5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程組，即可解得答案；

（2）根據(jù)"節(jié)日當(dāng)天康乃馨花束的銷量是玫瑰花束銷量的1.5倍"可列分式方程求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)康乃馨花束的單價為尤元，玫瑰花束單價為y元,

3x+4y=410

由題意，得:

5x+6y=650

x=70

解得:

y=50

答：康乃馨花束的單價為70元,玫瑰花束的單價為50元.

1800900

（2）解：依題意得:xl.5,

70—2m50—m

解得：m=5,

經(jīng)檢驗，根=5是方程的解且符合題意，

答：機(jī)的值為5.

2.某批發(fā)商購進(jìn)哪吒、敖丙兩種掛件.已知每個哪吒掛件的進(jìn)價比每個敖丙掛件的進(jìn)價貴1元，用400元

購進(jìn)哪吒掛件的個數(shù)恰好與用360元購進(jìn)敖丙掛件的個數(shù)相同.求該批發(fā)商購進(jìn)哪吒、敖丙兩種掛件的單

價各是多少元.

【答案】該批發(fā)商購進(jìn)哪吒掛件的單價是10元，數(shù)丙掛件的單價是9元.

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程.

設(shè)該批發(fā)商購進(jìn)哪吒掛件的單價是x元，則購進(jìn)敖丙掛件的單價是(x-1)元，根據(jù)用400元購買哪吒掛件的

個數(shù)恰好與用360元購買敖丙掛件的個數(shù)相同，列出分式方程，解方程即可

【詳解】解：設(shè)該批發(fā)商購進(jìn)哪吒掛件的單價是x元，則購進(jìn)數(shù)丙掛件的單價是(x-l)元，

,附*/曰400360

由題意，得一=—

XX-L

解得x=10,

經(jīng)檢驗，x=10是原方程的解，且符合題意，

1=9.

答：該批發(fā)商購進(jìn)哪吒掛件的單價是10元，數(shù)丙掛件的單價是9元.

3.某商場用3000元購進(jìn)一批商品，售完后，第二次購進(jìn)這種商品時，每件的進(jìn)價提高了20%,用3000元

購進(jìn)這種商品的數(shù)量比第一次少了10件.

⑴求該商場第二次購進(jìn)這種商品時每件商品的價格；

⑵若該商場兩次購進(jìn)的商品售價均為70元，且全部售完，求兩次售出這種商品的總利潤.

【答案】⑴該商場第二次購進(jìn)這種商品時每件商品的價格為60元

(2)兩次售出這種商品的總利潤為1700元

【分析】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，正確的列出分式方程是解題的關(guān)鍵：

(1)設(shè)第一次購進(jìn)這種商品時每件商品的價格為尤元，根據(jù)第二次購進(jìn)這種商品時，每件的進(jìn)價提高了20%,

用3000元購進(jìn)這種商品的數(shù)量比第一次少了10件，列出方程進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)總利潤等于總售價減去總成本，列出算式進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)解：設(shè)第一次購進(jìn)這種商品時每件商品的價格為x元，由題意，得：

30003000，八

----=----------+10

x(1+20%)尤,

解得：x=50；

經(jīng)檢驗x=50是原方程的解，

0（l+2O%）x=1.2x5O=6O；

答：該商場第二次購進(jìn)這種商品時每件商品的價格為60元；

（2）由（1）可知，第一次購進(jìn)商品3000+50=60件，第二次購進(jìn)商品60-10=50件,

070x（60+50）-3000x2=1700（:元）；

答：兩次售出這種商品的總利潤為1700元.

類型六、分式中的倒數(shù)法

【解惑】【閱讀理解】已知Y:=1求上9的值.

x-12x4+l

r2-1

解：由已知可得xwO,則匚」=2,

x

XXXX

-x4+l-6-

（1）第②步=（尤一口+2運用了______公式；（A.平方差B.完全平方）

XIXJ

【類比探究】

（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法"，請你利用"倒數(shù)法”解決下面的問題:

X

已知的值.

/一X+12

【答案】（1）B；（2）1

O

【分析】本題考查了完全平方公式在分式中的應(yīng)用，注意計算的準(zhǔn)確性即可.（1）根據(jù)解題步驟即可求解;

(2)由題意得/一苫+1=尤一1+工=2,推出龍+4=3,根據(jù)x4+f+l=x2+4+i=1尤+J1=8即可求解;

XXxxX\xj

【詳解】解:（1）第②步了2

故答案為：B

Y2—y+1

(2)由已知可得無。0,則x*=2,

x

口爐―x+l1p1c

團(tuán)--------=x-1H—=2,艮1n口％-1=3,

XXX

2

c無4+爐+11,

團(tuán)----；——=%2+—+1=

XXX

1

回

X4+X2+1-8

【融會貫通】

1.閱讀下面的解題過程:

丫2

已知，Y1求——的值.

x2+l3/+1

X1%2+1cnn?]o

解：由母=；知彳彳0,所以-------=3,即xH—=3

x+13XX

所以：士!=/+」=2

I—2=32—2=7

X

所以上/的值為1:.

x4+l7

該題的解法叫”倒數(shù)法〃，請你也利用“倒數(shù)法〃解決下列問題:

Y1丫2

⑴已知求±I的值;

X1

⑵若求—的值;

兀？+%+24X4+X2+4

xy_1yz1xz_1xyz

⑶拓展:已知一,一~9----=~,求一V—7一的值.

x+y2y+z3x+z9xy+yz+zx

【答案】嗚

(2)|

【分析】本題考查了分式的運算、運用完全平方公式分解因式，解決本題的關(guān)鍵是理解題目給出的解題思

路，仿照例題的解題思路解題.

2

（1）仿照例題先求倒數(shù)可得：工+92,根據(jù)。=/+'=I—2即可解答;

X

（2）仿照例題先求倒數(shù)可得：尤+1+二=4,根據(jù)，+：2+4=尤2+1+3=Jj—3可求/+：2+4的值,

%XXX'X

X21

可得

x4+x2+46

LL2-+L-3,—+—=9,可得，+—+-=4,所以可得

(3)仿照例題求倒數(shù)可得:

y%yzZXyxz

xy+yz+zx_111_xyz1

—II=4,利用倒數(shù)法可得

xyzzxyxy+yz+zx4

x1

【詳解】(1)解：0可知戶0,

X2+1-

回*+=2,

2

x4+12尤+工

回-L-I—2=22—2=2,

X+尤2-

X2X

回

犬+1-2,

X=二，可知尤wO,

(2)解：(9

x+%+24

12,

團(tuán)x+l+—=4,

x

2

團(tuán)％H——3,

X

X4+X2+4

團(tuán)=f+1+==x+——3=32—3=6,

x

1

團(tuán)

x4+%2+46

xyyz_IXZ=g,可知wO,zwO,

(3)解：團(tuán)

x+y2y+z3x+z

丁+y+z

團(tuán)----y=2o,￡±￡=9,

xyyzxz

ii「lI211c

0—+—=2,—+—=-3,—+—=9,

yxyzzx

111

團(tuán)—I----1—=4,

yxz

xy+yz+zx111,

回上上------=_+_+_=4,

xyzzxy

xyz1

團(tuán)

xy+yz+zx4

2.閱讀下面的解題過程:

x

⑴感知：已知的值.

24

x+rr求%+1

X1r24-1

解：由=上知XHO,所以￡±1=5,BP%+-=5

x2+15xX

所以："9=x2+二=(x+—)2—2=52—2=23

xxx

所以工的值為

x4+l

該題的解法叫“倒數(shù)法"，請你也利用"倒數(shù)法"解決下列問題:

丫

求F=Y=；1，求上2的值；

(2)應(yīng)用:

廠+13x4+l

⑶拓展:若-，二求——的值.

尢+%+25x4+X2+4

【答案】⑴*

嗎

⑶A

【分析】本題考查分式的運算，完全平方公式，解題的關(guān)鍵正確理解題目給出的解答思路.

(1)根據(jù)〃倒數(shù)求值法〃的解題思路即可求出答案;

(2)根據(jù)〃倒數(shù)求值法〃的解題思路即可求出答案;

(3)根據(jù)〃倒數(shù)求值法〃的解題思路即可求出答案.

x

=

【詳解】⑴解：團(tuán)2—>月*x力0,

x~+15

V24.11

團(tuán)三士=5,即無+上=5

XX

X4+1=x2+4=(x+—)2—2=52—2=23

回

X2XX

回

x4+l-23：

X

(2)解：0——9xw0,

x2+l3

國匚—3,

X

團(tuán)兀H—=3,

X

2

x4+1

回-2=7；

x2"3=X

1

回

x4+l-7-

x

(3)解：團(tuán)且xwO

+x+2

x2+x+22

團(tuán)--------=x+l+—=5

XX

2)

團(tuán)兀+—=4

x

x4+x2+4214/2丫…。

n團(tuán)--------=x2+l+—=x+—―3=16-3=13

xxVX)

Lf1

團(tuán)-A-------O-----------=——?

??+f+413

3.閱讀下列解題過程：

已知一三=(，求『的值.

x2+l3x4+l

Y1丫2_i_11

解：由f—=-,知xwO,所以上士=3,即x+—=3.

尤~+13xx

x4+l21x+]-2=32-2=7.

n回一-=x+—r-=

尤~x

Y21

回「的值為7的倒數(shù)，即三.

x4+l7

以上解法中先將已知等式的兩邊"取倒數(shù)"，然后求出待求式子倒數(shù)的值，我們把此題的這種解法叫做"倒數(shù)

法"，請你利用"倒數(shù)法"解決下面問題:

X

(1)已知貝！1元+'~=

x2-x+12x

mn

⑵解分式方程組：，3"+2〃

、2徵+3〃

yz_3zx々.孫z

⑶已知不=1,=3,求的值.

y+z8z+xxy+yz+zx

【答案】(1)3；

m--75

(2)25;

13

【分析】本題考查了分式的加減法，解二元一次方程組，解分式方程，倒數(shù)，理解例題的思路是解答本題

的關(guān)鍵.

(1)已知等式變形求出x+工的值即可;

mn23

=3—+—

3m+2nmn

(2)由<4①,解此方程組即可得解;

mn32

=5—+—

^2m+3nn=(②

(3)已知三等式變形后相加求出工+工+工的值，原式變形后代入計算即可求出值.

xyz

【詳解】⑴解：由―得至4丁=2,

XXX

團(tuán)％H—=3,

X

故答案為：3；

mn3m+2n1

------二3

3m+2nmn3

(2)解:由,得

mn2m+3n1

-5

^2m+3nmn5

2---3

----1—二

mnI?

32

----1—=

n:②

②x3-①><2得￡=,

m15

回〃z=-75，

23I

把機(jī)=-75代入①得方+—=

n39

25

=——,

3

經(jīng)檢驗，機(jī)=-75,〃=亍25是原方程的解,

m=-75

團(tuán)原方程組的解為25;

n=一

3

⑶解：回言=1，yz_3zx0

二3，

y+z8'z+x

111118111

回一+—=1,—I—二—I—=一

yz3'xz3

J111「

團(tuán)2-+—+-=4,

yzJ

111c

團(tuán)--1----F—=2

xyz

xyz_11

xy+yz+zx1112.

xyz

類型七、分?jǐn)?shù)的裂項

【解惑】①」=^—;(2)---=-^—;(3)—--=^—

261x2x36122x3x412203x4x5

⑴根據(jù)上面3個等式存在的規(guī)律寫出第4個等式；

(2)用含〃的代數(shù)式表示出第〃個等式，并證明.

112

【答案】⑴?一而二而彘；

112

⑵?(w+l)—(w+l)(w+2)一巾+1)(〃+2)'證明見解析,

【分析】(1)根據(jù)前3個等式特點寫出第4個等式；

(2)根據(jù)第(1)結(jié)論歸納出第鼠個等式的規(guī)律;

此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，分式的運算，找出數(shù)字之間的運算規(guī)律，得出規(guī)律，利用規(guī)律，解決問題是

解題的關(guān)鍵.

112

【詳解】(1)解:①-----------

261x2x3

2

②匕2x3x4

]_2

20-3x4x5

2

回第4個等式

4x5x6

12

(2)解：

261x22x31x2x3

___

6122x33x42x3x4

J___]___L_______________

12-20-3^4-4^5-3x4x5

L；

f尸_J__________]_2

弟〃I寸式+++“幾+1)(〃+2)，

11

證明：左邊=n^(n+41\)一，(幾4+1V)7(幾+、2)

n+2—n

++2)

2

w(w+l)("+2)'

【融會貫通】

1.讀讀做做:

教材中有這樣的問題：觀察下面的式子，探索它們的規(guī)律.

111111

lx2~-2'2^3-2-3（3^4-3-4"■

⑴用正整數(shù)〃表示這個規(guī)律，并加以證明；

⑵問題解決

一容器裝有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出;升水，第二次倒出的水量是:升水的二，第三次

倒出的水量是（升水的;，第四次倒出的水量是J升水的!…，第”次倒出的水量是‘升水的一、，…，按

3445nn+1

照這種倒水方式，這1升水能否倒完？請通過計算說明理由.

111

【答案】⑴加用二一,‘理由見解析

（2）不能倒完，理由見解析

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律、分式混合運算的應(yīng)用，熟練掌握裂項相消是解答本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出一般規(guī)律并驗證即可;

Y1

⑵根據(jù)題意，先求出倒出水總量的代數(shù)式，進(jìn)行化簡得到說明不論倒水次數(shù)有多大，倒出的總水

量總小于1.

1j___1_

【詳解】（1）解：規(guī)律:

nn+1

1n+1n1

證明:右側(cè)=一=左側(cè),

nn+1n(ji+1)〃(〃+1)n(ji+1)

1_1__1_

等式成立.

n{n+1)nn+1

（2）解：不能倒完，理由:

根據(jù)題意，得到?次水倒出的總和為:

—I----------1-------------1-----------HH------------------1---------------,

22x33x44x5(n-l)-n〃(〃+1)

1_1__1

n(n+l)nn+1

111111

—?----------1------------1----------p..-|--------------------1---------------

22x33x44x5(〃一〃(〃+1)

11111111111

2233445n—1nnn+1

n+1

n

n+1

不論倒水次數(shù)有多大，倒出的總水量總小于1,

,這1升水倒不完,

2.觀察下面的變形規(guī)律：-~~-=~-=———~7=彳一:；…，解答下面的問題:

1x2122x3233x434

⑴若幾為正整數(shù)，且寫成上面式子的形式，請你猜想下二=.

n(n+l)一

，“31111

⑵計算：----1-----------1-----------1-------1-----------------------=.

1x22x33x42018x2019-

⑶解關(guān)于n的分式方程—3+/萬+…+-7^?不=?

1x22x33x4〃(〃+1)n+9

【答案】(1)-------r

n〃+1

2018

(2)

2019

⑶〃=7

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律類問題，探尋數(shù)列規(guī)律認(rèn)真計算觀察聯(lián)想是解決這類問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知的算式拆項計算得出即可；

(2)先根據(jù)得出的規(guī)律拆項展開，再合并，最后求出即可；

(3)先根據(jù)得出的規(guī)律拆項展開，再合并，最后解方程即可.

1_1__1

【詳解】(1)解:

〃x(〃+l)nn+1

j___1_

故答案為:

nn+1

(2)原式=l-g+；111112018

+——I-H---------------------=---------

334201820192019

2018

故答案為:

2019

1111〃+7

---------1-----------1-----------F???H--------------------------

1x22x33x4n(n+1)n+9

+++j__1n+1

22334nn+1n+9

11n+7

1-----=-----

n+1n+9

n+11_n+7

n+1n+1n+9

n_n+7

n+1n+9

n(n+9)=(〃+1)(〃+7)

〃=7

經(jīng)檢驗〃=7是原方程的解.

團(tuán)〃=7.

3.先觀察下列等式，然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：

11111111

172_一萬，2^3-2-3J3^4-3-4?

(l)vf-M—+-3-+-^-=；

1x22x33x4------

1111

⑵探究說+百+雙7+…+而包"——；(用含有〃的式子表示)

1111100

⑶靈活利用規(guī)律解方程：@+i)+(x+l)(x+2)+(x+2)(x+3)+…+(1+99)(1+166)-1+100,

3

【答案】⑴:

4

⑵號

H+1

(3)x=l

【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，解分式方程：

(1)根據(jù)題意得到原式=1-據(jù)此求解即可；

111

(2)根據(jù)題意可得規(guī)律不二=二一F，據(jù)此裂項求解即可；

n\n+i\nn+1

(3)根據(jù)(2)的規(guī)律可得原方程為』——1=一叱，據(jù)此解分式方程即可.

X九+100X+100

［詳解］(1)解：工+工+工

1x22x33x4

_3

3

故答案為：—；

4

—

(2)解:

1x22

111

2^3~2~3

111

3^4~3~4

111

以此類推,可得而用二%一一1，

1111

P1------1-------1------F...H7------r

1x22x33x4九（九+1）

1111111

=