專(zhuān)題02二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

目錄

01理?思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤(pán)?基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。

【知能解讀01】等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

【知能解讀02］三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

【知能解讀03】基本不等式

03破?重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。屈屈

【重難點(diǎn)突破。1】利用基本不等式求最值

【重難點(diǎn)突破02】不等式恒成立與能成立問(wèn)題

【重難點(diǎn)突破03】含參一元二次不等式的解法

04辨?易混易錯(cuò)：辨析易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。

【易混易錯(cuò)01】忽視不等式性質(zhì)成立的條件致錯(cuò)

【易混易錯(cuò)02】忽視基本不等式應(yīng)用的條件致錯(cuò)

【易混易錯(cuò)03］連續(xù)使用基本不等式忽略等號(hào)同時(shí)成立致錯(cuò)

【易混易錯(cuò)04】解分式不等式忽略分母不為零致錯(cuò)

05點(diǎn)?方法技巧：點(diǎn)撥解題方法，練一題通一類(lèi)

【方法技巧01］比較兩數(shù)（式）的大小

【方法技巧02］利用不等式的性質(zhì)求數(shù)（式）的范圍

【方法技巧03】解一元二次不等式的步驟

【方法技巧04】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

【方法技巧05】證明不等式

◎Q思維3松

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

重要不等式T+萬(wàn)2^cib（abwR\

知識(shí)點(diǎn)3基本不等式Ei

,基本不等式2

\_________________利用基本不等式求最值積定和最小，和定積最大

U注意基本不等式成立的前提條件

.......越外愈I基瑞如說(shuō)

笈怩解犢：01等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1、等式的性質(zhì)

性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意

1對(duì)稱性a-bob-a可逆

2傳遞性a=b,b=c=^>a=c同向

3可加、減性a=b<^>a±c=b±c可逆

4可乘性a-b^ac-bc同向

7丁ab

5可除性a=〃,cwU=>—=—同向

cc

2、不等式的性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對(duì)稱性a>b=b<a可逆

2傳遞性a>b,b>c=>a>c同向

3可加性a>b^a~\-c>b+c可逆

a>b,c>0=>ac>bc

4可乘性C的符號(hào)

a>b,c<0=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+d同向

6正數(shù)同向可乘性a>b>0fc>d>0=>ac>bd同向

7正數(shù)乘方性a>b>0=>an>bn(n￡N,n>2)同正

【真題實(shí)戰(zhàn)】（2025?北京豐臺(tái)?一模）己知。<6,c<d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a—c<b—dB.ac<bdC.2"+2c<2〃+2"D.a2+c2<b2+d2

【答案】C

【解析】選項(xiàng)A：a-c<b-d

舉反例：取a=l,b-2,c=3,d=4,則a-c=-2,b-d=-2,

顯然-2<-2不成立，因此A不恒成立；

選項(xiàng)B：ac<bd

舉反例：取<7=—2,b=—l,c=—3,d=-2,貝（|ac=6,bd=2,

顯然6<2不成立，故B不恒成立；

選項(xiàng)C：2"+2。<2“+2”

由于指數(shù)函數(shù)2,是嚴(yán)格遞增函數(shù)，和c<〃分別推出2。<2〃和2。<2",

因此2"+2。<2"+2"恒成立，因此C恒成立；

選項(xiàng)D：a1+c2<b2+d2

舉反例：取。=—3,6=2,c=T,d=l,則/+°2=25,b2+d2=5,

顯然25<5不成立，因此D不恒成立.故選：C.

笈怩解犢三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

判別式/=〃一/>0J=0/<0

y

Ab

二次函數(shù)y=ax1+bx+c

3>0）的圖象O\X=xx

X1Ky2}2y

0X

1

方程ax-}~bx-\-c=0.b

有兩相異實(shí)根Xl，X2（X[<X2）有兩相等頭根XX=X2=一五沒(méi)有實(shí)數(shù)根

3>0)的根

a^+bx+oO

{x\x<Xl或X>X1}{x|x￡R}

3>0)的解集

a^+bx+c<0

{x\xi<X<X2)00

(。>0)的解集

【真題實(shí)戰(zhàn)】（2025?湖北黃岡?三模）已知集合4=卜去41,8=上--3x+220},則AB=（）

A.(-<?,l)U(2,+<?)B.(1,2)

C.(-co,l)[2,+00)D.(-oo,l]u[2,+oo)

【答案】C

【解析】對(duì)于集合A=工-140,進(jìn)一步化簡(jiǎn)為二40,

Ix-1Jx-1x-l

所以A={%|X<1或％N2}.

對(duì)于集合3={dXL2-3X+2>0],因式分解得(X-D(X-2”0,

所以8={x|xVl或尤22}.

所以AcB={x|尤<1或X22}=(-W,1)U[2,+8).故選：C

笈怩解接403基本不等式

1、重要不等式：cr+b2>2ab(a,beR),(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"="號(hào)).

變形公式：2(a2+Z?2)>(a+Z?)2(a,b&R)

2、基本不等式：yfab<a+^

2

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

(3)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a>0,b>Q,則a,。的算術(shù)平均數(shù)為巴也，幾何平均數(shù)為J法，

2

基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

3、利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0,則

(1)如果積孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，x+y有最小值23.(簡(jiǎn)記：積定和最小)

(2)如果和x+y是定值"，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，孫有最大值勺.(簡(jiǎn)記：和定積最大).

【真題實(shí)戰(zhàn)】(2025?北京?高考真題)已知，>0力>0,則()

、77^111

A.a2+b2>2abB.—+—>--

abab

l112

C.a+b>4abD.—+-<—；=

ab7ab

【答案】C

【解析】對(duì)于A,當(dāng)a時(shí)，a2+b2=2ab9故A錯(cuò)誤；

171—=2+4=6<]=8=——

對(duì)于BD,=—,b=—,此時(shí)〃b11ab，

24-x-

24

—+—=2+4=6〉

ab

對(duì)于C,由基本不等式可得a+bN2/萬(wàn)〉故C正確.故選：C.

童難立突破01利用基本不等式求最值

法一、直接法：條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系.

法二、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式.

法三、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況.

類(lèi)型1:分母為單項(xiàng)式，利用“1”的代換運(yùn)算，也稱乘“1”法；

類(lèi)型2：分母為多項(xiàng)式時(shí)

方法1：觀察法適合與簡(jiǎn)單型，可以讓兩個(gè)分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系;

方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，

如分母為3a+4Z;與。+3匕，分子為a+2b,

設(shè)a+2〃=X（3a+4Z?）+〃（a+3Z?）=（32+〃）a+（44+3〃）〃

法四、消元法：當(dāng)題目中的變?cè)容^多的時(shí)候，可以考慮削減變?cè)?，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問(wèn)題.

法五、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問(wèn)題之間的關(guān)系，通過(guò)重新分配，使用基本不等式得到含有問(wèn)題代數(shù)式的

不等式，通過(guò)解不等式得出范圍，從而求得最值.

292

【典例1】（2025?河北保定?二模）已知尤，y是非零實(shí)數(shù)，則4v+咚%的最小值為（）

xy

A.6B.12C.2D.4

【答案】A

【解析】

當(dāng)且僅當(dāng)去=手，即田=6禺＞。，等號(hào)成立,

V29元2

所以『了的最小值為6,故選：A

【典例2】（2025?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)。，6滿足？--3卜6,則必的最大值為（）

A.—B.—C.—D.一

2524124

【答案】B

【解析】因?yàn)椋郏?2?-3］=6,所以2a+36=1,

因?yàn)?」包］=—,

661.2J24

當(dāng)且僅當(dāng)2a=36=（,即。=1,6=］時(shí)等號(hào)成立，故乃的最大值為，y.故選：B

24624

12

【典例3】（2025?安徽合肥?三模）已知正數(shù)。、人滿足一+不=1,則。+2辦的最小值為（）

ab

A.4B.6C.8D.9

【答案】D

【解析】由題意得。+26=5+2為(1+2]=1+網(wǎng)+生+425+2、^^=9,

\ab)ba\ab

2b_2a

ab

當(dāng)且僅當(dāng)口+1=1時(shí),

即〃=3,b=3時(shí),〃+2》取得最小值9.故選：D.

ab

a>0,b>0

【典例4】（2025?山東濟(jì)寧?模擬預(yù)測(cè)）已知尤>0,>>0,且孫+2y2_36=0,則肛2的最大值（）

A.12B.6-76C.36D.24底

【答案】D

36

【解析】由孫+2/一36=0,得y（x+2y）=36,則工=7一2y,

因?yàn)閤>0,y>0,所以孫2=_2y）=y（36-2力=J?06_2力（36-2力

［⑷住一2月（36一2力!「2+（36二）+（36-2口"4#

當(dāng)且僅當(dāng)y=#,x=4"時(shí)等號(hào)成立，

所以外2的最大值為24#,故選：D.

【典例5】（2025?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）已知尤>0,y>0,且x+y-孫+8=0,則移的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【解析】由題意可知孫=x+y+822j^+8,當(dāng)x=y=4時(shí)等號(hào)成立，即孫一一820,

令而=/（/>0）,貝卜2-21-820.解得724或，<-2（舍）.

即xy>16.

當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=4時(shí)，等號(hào)成立.故選：c.

潼率克突破02不等式恒成立與能成立問(wèn)題

一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解:

1、\/XED,

2、VXGD,

、3xeD,

31mx

4、3xeD,

【典例1】（2025?甘肅威武?一模）若關(guān)于'的不等式f—辦+2>0在區(qū)間［L5］上有解，貝匹的取值范圍是

()

27

A.B.C.(一8,3)D.-co,y

【答案】D

2

【解析】當(dāng)無(wú)目1,5］時(shí),由％2一?+2>0可得〃<無(wú)+―,

X

又關(guān)于X的不等式/一火+2>0在區(qū)間［1,5］上有解，貝IJ。<x+2

Xmax

令、=尤+：,易知y=x+：在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［應(yīng),5］上單調(diào)遞增,

22727

又x=l時(shí)，y=3,X=5時(shí)，y=5+—=—,所以〃<彳，故選：D.

11

【典例2］（24-25高三上?四川德陽(yáng)?月考）已知正數(shù)％V滿足X+》=2,若一+—〉療?-加恒成立，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍為.

【答案】（T,2）

【解析】因?yàn)?＞。,丁〉0且％+y=2,所以

：+(=3'+>)[+]=]2+!+:1》[2+28)=2,當(dāng)且僅當(dāng)尸“=1時(shí)取等號(hào)。

11

因?yàn)椴坏仁揭?—＞機(jī)7-加恒成立,

%y

所以根2一根＜2,角軍得—1＜m＜2.

故答案為：（-1,2）.

《難點(diǎn)突破03含參一元二次不等式的解法

對(duì)求含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，常見(jiàn)的分類(lèi)有:

（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類(lèi)；

（2）根據(jù)判別式與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)；

（3）有兩個(gè)根式，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.

【典例1】若0＜根＜1,則不等式（X-

A.<x<m

C.｛?。緳C(jī)或

【答案】D

［解析】當(dāng)?！礄C(jī)＜1時(shí)，m＜—,

m

1

所以不等式的解集為工m<x<—.故選：D.

m

【典例2】（2025?陜西渭南?二模）若關(guān)于x的不等式2依2一4彳＜辦-2有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是（）

A.（1,2]B.[1,2）C.（0,2）D.（0,2]

【答案】B

【解析】當(dāng)。=0時(shí)，解得：x>|,不滿足條件；

2

故〃。0,關(guān)于犬的不等式2依2_4%<依-2可得2辦之一（4+〃）％+2<0,

所以（2彳_1）（辦_2）<0,即a（2x_l）[x_/]<0,

方程（2x-1）（尤二]=o的兩根為玉=2毛=工，

ka）2a

當(dāng)。<0時(shí)，不等式可化為(2X-1)(X_2]>0,%1=-,%2=-<0,

\aJ2a

屋,巾，+8

解集為:不滿足條件;

當(dāng)〃>0時(shí)，不等式可化為（2x-l）[x-J<0,

1?<21

當(dāng)再時(shí)，則彳>—,即。>4,不等式的解集為：一，彳

2a2

2

要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則-IV—<0,又因?yàn)椤?gt;0,不滿足條件;

a

1?

當(dāng)石=%時(shí)，則==一，即。=4,不等式的解集為空集,

2a

1?

當(dāng)石<%時(shí)，則>—，即。<〃<4,不等式的解集為

2a

2

要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，貝也<—<2,解得：1?〃<2,

a

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍是：口,2）.故選：B.

易混易錯(cuò)401忽視不等式性質(zhì)成立的條件致錯(cuò)

辨析：在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要注意前提條件，如不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以

一個(gè)數(shù)、式，兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)〃次方時(shí)，一定要注意使其能夠這樣做的條件.

【典例1]（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?開(kāi)學(xué)考試）若。,瓦。為實(shí)數(shù)，且則下列結(jié)論正確的是

()

A7C11

A.ac2<be92B.—>—

ab

ba_\a\\b\

C.->-D.LL

abcc

【答案】B

【解析】對(duì)于A,當(dāng)c=0時(shí)，tzc2=bc2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)镼VZ?VO,所以必>0,所以—>0,所以--xa<——xb,即一>不，故B正確;

abababab

對(duì)于C,當(dāng)。=-2/=-1,符合a<6<0,但2=J.<2=@,故C錯(cuò)誤；

a2b

對(duì)于D,因?yàn)椤?lt;6<0,所以問(wèn)>可，當(dāng)c>0時(shí)，,

cc

當(dāng)c<0時(shí)，回〈回，故D錯(cuò)誤.故選：B.

CC

【典例2】（2025?北京房山?一模）已知Q,b￡R,且?</?,則（）

AA.—1>1—B.a27V/7

ab

C.03Vb3D.ln（Z?-tz）>0

【答案】C

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：舉反例。=-1力=1可知不成立；

對(duì)于B選項(xiàng)：舉反例。1可知不成立；

213

對(duì)于C選項(xiàng)：/一人3=（^a-^a+"+/）=5_人）［（。+—人）2,

24

13

因?yàn)閍vb,所以a-Z?vO,而（a+-b）220,-〃且不同時(shí)為0,

24

故〃3—人3<0，即〃3〈凡正確；

對(duì)于D選項(xiàng)：舉反例。=1,。=1.5可知不成立；故選：C.

易混易錯(cuò)（[02忽視基本不等式應(yīng)用的條件致錯(cuò)

2

a+b

辨析:（1）利用基本不等式a+b22，法以及變式a）<等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a,6為正

2

數(shù)（或a,6非負(fù)），特別要注意等號(hào)成立的條件.

hh

(2)對(duì)形如y=ar+—(〃,/?>())的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意〃不，一同號(hào).

XX

【典例1](24-25高三下?廣東深圳?月考)若x>3,貝IJ2-x-一二的最大值為_(kāi)________.

x-3

【答案】-3

【解析】因?yàn)?-x^=一(龍一3)----^--1=-(^-3)+^—-1,x>3,

由基本不等式得"-3)+，22仁3)^^=2,當(dāng)且僅當(dāng)》-3=白，即》=4時(shí)，等號(hào)成立.

x3Vx3%3

故2-x———=-(x-3)+-------1<-2-1=-3.

x-317x-3

【典例2](24-25高三上?北京石景山?期末)已知eZ?eR,且avbvO,則下列不等關(guān)系中正確的是

()

11一ba八-a+br~7—ba

A.一<—B.—I—>2C.-------->vabD.一〉一

abab2ab

【答案】B

【解析】對(duì)于A,因?yàn)椤?lt;方<0,所以!>：,錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于B,因?yàn)閍<6<。，所以2>0,告>0,所以2+@22、匹2=2,

abab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)？=f=1即a=b時(shí)，等號(hào)成立，又。<6,所以2+:>2,正確；

abab

對(duì)于C,因?yàn)閍vbv。，所以等<0,而〉0,所以彳〈點(diǎn),錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)閍v/?vO,所以不<—<0,所以一丁>—>0,

baba

又_a>-b>0,所以(一：[(-a)>[-，]?(一6)>0即：>2,錯(cuò)誤；故選：B.

VbJ\aJba

易混易播([03連續(xù)使用基本不等式忽略等號(hào)同時(shí)成立致錯(cuò)

辨析：連續(xù)使用均值不等式求最值或范圍，要注意判斷每個(gè)等號(hào)成立的條件，檢驗(yàn)等號(hào)能否同時(shí)成立.

【典例1](24-25高三下?北京?強(qiáng)基計(jì)劃)已知正數(shù)x，y，z滿足3f+y2+z2=i,則2—最小值為

xyz

【答案】8囪

y+12乖>y+1273y+1273y+12班、273

【解析】由題意孫z2-A/3X-Zy3x2+z2y1-y2yy（l-y）（y+l—y：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)y=L、/§x=z=逅，

24

所以法最小值為86

【典例2](24-25高三上?廣東深圳?期末)已知

(a+2)(c+l)c+14

z>0/〉0,c〉0,a+2Z?+2〃b=3,'"八八，+方―-+一^的最小值為.

3(〃+1)6/7+3c+2

【答案]逑心

3

【解析】由a+2b+2a6=3,得至iJ（a+l）（2/?+l）=4,所以26+1=,

則應(yīng)迎型+*+-=3隹+￡±1]+-=3.+，+"1]+」_

3（a+l）6b+3c+23{a+14）c+23（a+14）c+2

又a〉0,6>0,c>0,

所以S；渭；)+高?M[1+2足曰+±2（。+%4

3c+2

當(dāng)且僅當(dāng)即〃=%時(shí)取等號(hào),

又2（c+l）4_2（c+2）42,2（c+2）""4~2_476-2

3c+23c+23v3c+233

當(dāng)且僅當(dāng)2（c+2）=±,即°=#一2時(shí)取等號(hào)，

3c+2

（6Z+2）（C+1）C+14的最小值為拽二1

所以

3（Q+1）66+3c+2

易詭易錯(cuò)(解分?jǐn)?shù)不等式忽略分母不為零致錯(cuò)

辨析：解含有分?jǐn)?shù)的不等式，在去分母時(shí)要注意分母不為零的限制條件，防止出現(xiàn)增解，如

"力＞0qf"x）g（x）ZO

g（x）一1g（+0

【典例1】(2025?全國(guó)二卷.高考真題)不等式二22的解集是()

x-1

A.{x|-2<x<l}B.{x|x<-2]

C.[x\-2<x<l}D.{x\x>l}

【答案】C

【解析】士整2即為存<0即卜：)，T)W。，故一2?x1,

x-1x-11x—lwO

故解集為{x|-2Wx<l}.故選：C.

Y-L1

【典例2】(2025?上海楊浦?三模)不等式t=42的解集為_(kāi)___________.

x-2

【答案】3尤25,或x<2}.

x+1—Y+51%—2w0

【解析】土=42等價(jià)于上:40,即，<、，.、、八，解得x25或尤<2,

x-2x-2[(%-5)(%-2)>0

即原不等式的解集為：{x|xN5,或無(wú)<2}.

?

方法技巧01比較兩數(shù)(式)的大小

1、作差法：

(1)原理：設(shè),a,beR,則。一〃>0oa>〃；a—b=Ooa=b；a-b<O<^>a<b；

(2)步驟：作差并變形n判斷差與0的大小n得出結(jié)論。

(3)注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形.

2、作商法：

(1)原理：設(shè)a>03>0,則@>loa〉b；巴=loa=b；-<i<^a<b

bbb

(2)步驟：作商并變形n判斷商與1的大小n得出結(jié)論。

(3)注意：作商時(shí)各式的符號(hào)應(yīng)相同，如果6均小于0,所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相

反，變形方法有分母(分子)有理化，指、對(duì)數(shù)恒等變形.

【典例1](25-26高三上?河北衡水?月考)已知M=Y-X+3,N=X+2,則M與N大小關(guān)系是(

A.M>NB.M<NC.M>ND.M>N

【答案】C

【解析】因?yàn)镸—N=f一尤+3—（x+2）=*2—2x+l=（無(wú)一1）220,所以故選：C.

【典例2]（24-25高三下?海南?？?月考）已知人克糖水中含有?？颂牵?＞。＞0）,再添加加克糖

（%＞0,假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式（）

aa-a+ma

A.—>-------B.------->--------

bb+mbb+m

-aa+m「aa+m

C.-------<--------D.-<-------

b+mb+mbb+m

【答案】D

【解析】這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式為?〈盧絲

bb+m

證明：b>a>0,m>0

aa+ma[b+m)-b^a+m)—

bb+mb(b+m)b(b+m)

又二b>a>0,m>0,

m(a-b)

〃1(。一5)<0即--^-<0

b[b+m)'

aa+m八目〃a+m_一

---——<0BnP-<-——.故選：D

bb+mbb+m

方法技巧02利用不等式的性質(zhì)求數(shù)（式）的范圍

利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，解決的方法是先利用待定系數(shù)法建立所求范圍的整體與已

知范圍的整體的等量關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)求解，具體步驟如下：

己知/）＜乂，M2＜f2（a,b）＜N2,求g（a,b）的取值范圍

第一步：設(shè)g（a,b）=pfi（a,b）+%⑦⑼；

第二步：經(jīng)過(guò)恒等變形，求得待定系數(shù)p,q；

第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g（a,b）的取值范圍.

【典例1】（2025?山西臨汾?二模）若34。45,-24匕41,則2a—6的范圍是（）

A.[8,9]B.[4,8]C.[5,8]D.[5,12]

【答案】D

【解析】由34aV5,-24841可得642。410,-14—642,

故542?！?412,故選：D

【典例2]（24-25高一上?安徽蕪湖?期末）已知-2,l<a-b<4,則為+》的取值范圍是

（）

A.[—3,0]B.[-5,3]C.[—5,0]D.[-2,5]

【答案】C

【解析】因?yàn)?a+6=2（a+/?）+（a—b）,又一3W〃+bW—2,l<a-&<4,

所以3〃+匕的取值范圍是故選：C.

方法技巧03解一元二次不等式的步驟

第一步：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；

第二步：寫(xiě)出相應(yīng)的方程依2+法+。=。（〃>（））,計(jì)算判別式A：

①A>0時(shí)，求出兩根玉、％2，且玉<%2（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；

②A=0時(shí)，求根再=%=_■—；

2a

③A<0時(shí)，方程無(wú)解

第三步：根據(jù)不等式，寫(xiě)出解集.

【典例1]（24-25高三上?重慶?月考）不等式（2x+l）（x-1”0的解集為（）

A.{x|x4—1或B.或無(wú)>1}

C.|——<x<Ij-D.1x]—5<x<l}

【答案】A

【解析】（2X+1）（X-1）N。的解為xV-g或xzl,

故解集為：{x|xV-；或無(wú)21},故選：A.

卜<2,則

【典例2]（24-25高三上?內(nèi)蒙古包頭?月考）若不等式依2+?+c>o的解集是X

of+〃%+〃<0的解集是（）

{x\]<一或兀>：}

A.2B.或無(wú)〉2}

c.x——<x<2D.x-2<x<2

【答案】D

【解析】由不等式a^+bx+c>。的解集為一;<x<2,

得a<0,且-；,2是a/+法+0=0的兩個(gè)根,

一o3

則不等式ex2+ZZX+QVO可轉(zhuǎn)化為-辦——ax+a<0,

2

即2/+3彳-2<0,解得：-2<x<^,

2

則不等式cx+bx+a<Q的解集為L(zhǎng)-2<X<4.故選：D.

方法技巧04基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

解實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)：

1、設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；

2、根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象很出有關(guān)式關(guān)系式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；

3、在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域（使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍）內(nèi)求解.

【典例1】（2025?廣西?一模）現(xiàn)使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱中藥，操作方法如下：先將100g的祛碼放

在天平左盤(pán)中，取出一些中藥放在天平右盤(pán)中，使得天平平衡；再將100g的祛碼放在天平右盤(pán)中，再取

出一些中藥放在天平左盤(pán)中，使得天平平衡.則兩次實(shí)際稱得的藥品總重量（）

A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能

【答案】B

【解析】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為機(jī)，右臂長(zhǎng)為〃，孫">0且〃件〃，

左盤(pán)放的藥品為々克，右盤(pán)放的藥品為馬克,

100m=nx2々刀/曰100幾100m

則9角牛于兀1=，X]

mxx=100nmn

100〃100m、_llOOn100m“八

X=玉+%2------+------->2J----------------=200,

mn\mn

當(dāng)且僅當(dāng)巾="時(shí)，取到等號(hào)，而加/〃，所以x>200.故選：B

【典例2]（24-25高三上?湖北?一模）某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總

禾阿（單位：百萬(wàn)元）與新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間T單位：年，reN*）滿足s/<8,當(dāng)新設(shè)

[-?3+10/2-2?,r>8

備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間7=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

[98