第09講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

k二內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

井：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框也思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

士關(guān)測(cè)穩(wěn)提升小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

3析教材學(xué)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)解析式的三種形式

廣(x)=+bx+c(aWO),圖象的對(duì)稱軸是X=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

一般式

b4ac-b2

(-2/4a)

頂點(diǎn)式廣(才)=a(x—%)2+〃(aW0),圖象的對(duì)稱軸是萬(wàn)=勿，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(勿，77)

_f(x)=z(x—%)(X—入2)(zWO)，其中％,房是方程3必+力匠+。=0的兩根，圖象

零點(diǎn)式

的對(duì)稱軸是x=五i&

2

知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=HA2+bx~\-c(E>0)p=HA2+6x+c(水0)

圖象

(拋物線)M7^

定義域R

Aac-b1、4ac-b2

值域[4,+s)(—00.J

4a4a

b

對(duì)稱軸x=———

2a

b4ac-b2

頂點(diǎn)坐標(biāo)4a)

奇偶性當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b手Q時(shí)是非奇非偶函數(shù)

b在（—00,—2］上是增函數(shù)；

在（-8,---］上是減函數(shù)；

2a2。

單調(diào)性

在［-■—,+co）上是增函數(shù)在［-■—,+8）上是減函數(shù)

2。2a

常用結(jié)論:

①.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

a>0，.a<0,

②.若/V)=a/+6x+c(aW0),則當(dāng)<八時(shí)恒有f（￡）>0,當(dāng)《八時(shí)，恒有F（￡）<0.

A<0A<0

知識(shí)點(diǎn)3三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式A=l^—^acA>Q/=0A<Q

上

二次函數(shù)y=a^+bx1/

+cg>o）的圖象a左k

有兩相等實(shí)根

一元二次方程a*+bx有兩相異實(shí)根

b沒(méi)有實(shí)數(shù)根

+c=0（司>0）的根X;匹（為〈均）X］志

2a

+bx~\-c>0{xX>X2卜叱一卻

R

Q>o)的解集或xVxJ

a^+bx+c<0

{x』VxV茲}00

Q>o)的解集

注意:

1.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

hb+mbb-m,,、八、

⑴若公力0,ni>3則—>--------(Z?—7Z7>0).

aa+maa-m

（2）若ab〉0,且a〉加

ab

2.對(duì)于不等式a^+bx+c>Q,求解時(shí)不要忘記a=0時(shí)的情形.

3.當(dāng)4<0時(shí)，不等式a/+6x+c>0（a=0）的解集為R還是0,要注意區(qū)別.

解題方法

(1)

x2—(2m+l)x+m2+加=(x—加)[x—(加+1)]<0,

解得m<x<m+l,

所以不等式的解集為{x[加<X</M+1}.

(2)由x(x+a—1)得％2+(4-1)、一〃20,

教材習(xí)題01

求下列關(guān)于X的不等式的解集，其中°,加是常數(shù)：即+—>0,

(l)x2—(2m+l)x+m2+m<0；當(dāng)〃=—1時(shí)，(x+a)(x—1)>0即

a

(2)x(x+Q—1)-.=NO恒成立，

不等式的解集為R.

當(dāng)q<-1時(shí)，-〃>1,所以不等式的解集為

{x|xVl或X2-Q}.

當(dāng)。>-1時(shí)，-所以不等式的解集為

{x\x<-a或xNl}.

【答案】(I){x|"7<x<%+1}

(2)答案詳見(jiàn)解析

解題方法

因?yàn)?/p>

mx2+(m-l)x-l=(mx-l)(x+l)<0,

1.當(dāng)加=0時(shí)，貝1)一工一1?0,所以不等

式的解集為卜1};

2.當(dāng)加W0時(shí)，令(mx_l)(x+l)=0,解

教材習(xí)題02

得'='或X=-1,

求關(guān)于x的不等式加/+(加-l)x-lW0的解集，其中

m

加是常數(shù).(1)當(dāng)加>0時(shí)，可知工所

m

以不等式的解集為卜一iWxwf，；

(2)當(dāng)加<0時(shí)，可知,<0,則有：

m

①當(dāng),>-1,即加<-1時(shí)，所以不等

m

式的解集為卜1x2：或XW-11；

②當(dāng)_L=T,即〃z=-l時(shí)，所以不等

m

式的解集為R;

③當(dāng)，<一1,即-1〈加<0時(shí)，所以不

m

等式的解集為或xw'l；

綜上所述：當(dāng)加=0時(shí)，不等式的解集

為｛x|x2-l｝；

當(dāng)加>0時(shí)，不等式的解集為

當(dāng)加<-1時(shí)，不等式的解集為

1%|x2-或xW—11；

當(dāng)機(jī)=—1時(shí)，不等式的解集為R；

當(dāng)-1<“<0時(shí)，不等式的解集為

【答案】答案見(jiàn)詳解

解題方法

教材習(xí)題03設(shè)每件售價(jià)x(%215)元，

某商店購(gòu)進(jìn)一批玩具魔方，若按每個(gè)15元的價(jià)格銷

fx>15

售，每天能售出3。個(gè)；若售價(jià)每提高1元，日銷售則彳「2八解得

[x[30—2(x-15)J>400

量則減少2個(gè).為了使這批魔方每天的銷售總收入不

15<x<20,

低于400元，銷售價(jià)格最高是多少？

所以銷售價(jià)格最高是20元.

【答案】銷售價(jià)格最高是20元

練考點(diǎn)強(qiáng)

考點(diǎn)——元二次不等式的概念及辨析

1.已知二次方程辦2+版+。=0(。>0)的兩根分別為-3,-2,則不等式_辦2一反-020的解集為()

A.(-3,-2)B.[-3,-2]

C.(2,3)D.[2,3]

【答案】B

【詳解】由題設(shè)ax2+bx+c=a(x+3)(x+2)<0_l.a>0,

所以(x+3)(x+2)W0,所以不等式的解集為[-3,-2].

故選：B

(多選題)2.下列不等式是一元二次不等式的是()

A.x2>0B.-x2-x<5

C.mx2-5y<0D.ax2+bx+c>Q

【答案】AB

【詳解】對(duì)于A：x2>0,符合一元二次不等式的定義，是一元二次不等式，故A正確;

對(duì)于B：-X2-X<5,符合一元二次不等式的定義，是一元二次不等式，故B正確；

對(duì)于C：mx2-5y<0,含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元二次不等式，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：ax2+bx+c>0,當(dāng)。=0時(shí)不是一元二次不等式，故D錯(cuò)誤.

故選：AB

3.已知關(guān)于x的不等式次2+區(qū)+00的解集為*口<_3或%>4}.

(1)。的取值范圍為；

(2)用。表示6,c為；

(3)不等式bx+c>0的解集為；

(4)a+b+c0；(填“"或“<”)

(5)不等式ex2-bx+a<0的解集為.

【答案】a>0，{xlx<-12}<jxx<---gS<x>—I

[c=-12a[|43J

【詳解】(1)關(guān)于x的不等式分2+樂(lè)+0>0的解集為{x|x<-3或x>4},因?yàn)榻饧趦筛?，所以a>0.

(2)由題可知-3,4是蘇+bx+c=0的兩根，

—3+4=——,

b=-a,

由根與系數(shù)的關(guān)系可得.所以

c=-\2a.

-3x4=-,

.a

(3)由(2)得bx+c>0,BP-ax-Xla>0,所以x<-12,即bx+c>0的解集為{刃x<-12}.

(4)由于關(guān)于x的不等式辦2+8+C>0的解集為{x|x<-3或x>4},故x=l時(shí)，a/+bx+c<0.即

〃+b+c<0.

(5)由以上分析可知不等式ex?-+Q<0即-12々工2+qx+Q<o.

因?yàn)閍>0,故12X2-X-1>0,所以或x>:.故不等式CX2-6X+O<0的解集為，或

43[|43J

故答案為：a>0;/>=-l,c=-12a;(-(?,-12);<;^-ao,-1^uQ,+(?^.

考點(diǎn)二解不含參數(shù)的一元二次不等式

1.下列不等式中，與卜-2|<3的解集相同的是()

A.x2-4x—5<0B.40

x-5

C.(5-x)(x+l)<0D.x2+4x-5<0

【答案】A

【詳解】由卜一2|<3,貝lJ-3<x-2<3,解得一l<x<5.

對(duì)于A,由X2-4X-5<0,則(x-5)(x+l)<0,解得-l<x<5；

對(duì)于B,由三三40,則0)，解得-14x<5；

x-51x-5/O

對(duì)于C,由(5-x)(x+l)<0,貝U(x-5)(x+l)>0,解得x<-l或x>5；

對(duì)于D,由/+4x-5<0,則(x+5)(x-l)<0,解得一5cx<1.

故選：A.

2.不等式(尤-2)(》+1)<0的解集是()

A.(-1,2)B.(2,-1)

C.0D.(-oo,-l)u(2,+a>)

【答案】A

【詳解】由(x-2)(x+l)<0,得-l<x<2,

所以不等式的解集為(-1,2).

故選：A.

3.不等式--3x+2|>--31x|+2的解集為.

【答案】{Mx<0或l<x<2}

【詳解】①當(dāng)xNO時(shí)，得I/一3%+2|>%2一31+2,貝!J有12一3%+2<0,解得1cx<2；②當(dāng)x<0時(shí)，得

卜2一3工+2卜J+31+2.因?yàn)橐?1>0,所以％2一31+2>0,且一3X〉0>3X,所以％2一3%+2>%2+3、+2恒成

立.綜上所述，原不等式的解集為Wx<0或

4.解下列不等式.

(1)4X2-4X+1>0;

(2)x2-(a+l)x+a<0.

【答案】(l){x|xwj

(2)答案見(jiàn)解析

【詳解】(1)不等式可化為(2x7>>0,

??.不等式的解集是{x|xwg}.

(2)原不等式可化為

若。>1時(shí)，解為{x[l<x<a},

若"1時(shí)，解為{x[a<x<l},

若。=1時(shí)，解為拆

考點(diǎn)三解含參數(shù)的一元二次不等式

1.若“1+1—〈0”是的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

2-x

A.{a\a<^}B.{?11<tz<4}C.{?11<?<4}D.{?11<?<4}

【答案】D

【詳解】由題意可得1+J-W0=(X-4<4,且><4分1+」-W0,

2-x2-x

又3-x

l+^-W0o<0

2—x2—x

(x-2)(x-3)<0,

02<xW3

x—2w0

(x-a)2<4-2<x-a<2a—2<x<a+2,

fci—2W2,

則。c解得

[3<Q+2,

故選：D.

2.已知函數(shù)〃x)的定義域{xM-4a<x<a2-8}是關(guān)于x的不等式(x+a+2)(x-2)>0的解集的子集，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是______.

【答案】[2+C,+s)

【詳解】函數(shù)〃尤)定義域非空集，則02一4°<°2一8,解得a>2.記g(x)=(x+a+2)(x-2),因?yàn)?/p>

-2-a<-2-2=-4,所以g(x)>0的解集為(-8,-"2)“2,+向，依題意有2-8V-Q-2a?—4。22,

所以a?+a<6或。2—4。-220.又a>2,a2+a>4+2=6,所以ae[2+&,+(?).

3.已知二次函數(shù)y=ad-(3a+l)x+3(awO).

(1)若二次函數(shù)的圖像與x軸相交于43兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且△NBC的面積為3,求實(shí)數(shù)a的值;

(2)求關(guān)于x的不等式y(tǒng)<0的解集.

［答案］（l）a=l或a=:

（2）答案見(jiàn)解析

【詳解】（1）令片0,則有（辦-1）（》-3）=0,得48兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為3,L

a

令x=0,得點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,3）,

故△45。的面積為彳x----3x3=3,角軍得〃=1或q=2.

2a5

（2）不等式y(tǒng)＜0可化為（"-1）（無(wú)-3）＜0,

①當(dāng)。＜0時(shí)，不等式＞＜°的解集為卜,＞3或

②當(dāng)時(shí)，不等式了＜。的解集為0，

③當(dāng)0＜°＜；時(shí)，不等式了＜0的解集為［《3＜工＜一1,

④當(dāng)時(shí)，不等式）＜0的解集為卜：＜x＜3，

4.已知使不等式/-2加x+機(jī)+2＞0對(duì)于一切實(shí)數(shù)無(wú)恒成立的實(shí)數(shù)加取值的集合為力,關(guān)于尤的不等式

x2-2mx+m2-1＜0的解集為B.

（1）求集合/與集合2；

（2）若且夕是4的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴N=（T,2）,B=［m-l,m+l］

（2）（04）

【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁?，?加x+S+2＞0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，

所以△=4775一4（機(jī)+2）＜0,解得一1〈加＜2,

即4=（-1,2）.

因?yàn)?-2加x+?？-1W0，所以［x—（比—機(jī)+1）］4。，

解得加一lWxVffJ+1,即8=［加-1,加+1］,

（2）因?yàn)?。?的必要不充分條件，故B$A,

即［加一1,刀+1k（一1,2）,

fm+1＜2

所以《,1，解得0＜加＜1,

所以實(shí)數(shù)次的取值范圍是（0,1）.

5.解關(guān)與x的不等式：(a-+(2Q—l)x+2>。

【答案】答案見(jiàn)解析

【詳解】當(dāng)。=1時(shí)，不等式為x+2〉0,解得%>-2,

當(dāng)時(shí)，由不等式(。一1)12+(2a-l)x+2>0,可得[(a-l)x+l](x+2)〉0,

1311

若——->-2,則〃>；,解不等式得x<—2或x>——-,

a—\2a—\1-a

ia

若一」7=-2,貝3不等式的解集為若"Ixw-2},

。一12

1311

若----7<—2,解得1<。<彳時(shí)，解不等式得-----=----或%>—2,

a—12a—11—a

當(dāng)a<1時(shí)，由不等式(Q-l)x2+(2a-l)x+2>0,可得[(。一l)x+1](x+2)>0,

所以[+2](*2)<0，

角畢得-2<x<-------=，

a-\l-a

綜上所述：當(dāng)。<1時(shí)，不等式的解集為1-2,占)

當(dāng)。=1時(shí)，不等式的解集為(一2,+00),

當(dāng)l<a<],不等式的解集為，8，U]U(-2,+S),

211-aj

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為{X|XH-2},

考點(diǎn)四一元二次不等式根的分布問(wèn)題

1.已知一元二次方程/+(/+1卜+。-2=0的一根比1大，另一根比1小，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.{4-3<°<1}B.^a|-2<a<OjC.{a[-l<a<0}D.{a[0<a<2}

【答案】C

【詳解】記了=x2+d+l)x+”2,則函數(shù)為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，

要使方程的根一個(gè)大于1一個(gè)小于1,則只需要x=l時(shí)，了<。即可，

即1+(/+1)+。一2<0,解得一1<a<0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{41<a<0}.

故選：C.

(多選題)2.若關(guān)于X的方程/_2ax+Q+2=0(a￡R)的兩個(gè)根西/2都在區(qū)間(1，4)上，則4的值可以為

A.上1519

B「.—D.——

777

【答案】BC

/(1)>0,

/(4)>0,

2

【詳解】設(shè)〃尤）=X'—lax+a+2,由題可知,若再戶2都在區(qū)間（1，4）內(nèi),則需滿足＜所以

A>0,

1<a<4,

3—Q>0,

18—7a〉0,18

一“小八解得2，故B，C符合.

4(7-4(<7+2)>0,7

1<6Z<4,

（多選題）3.若方程，辦2+ax+2=2+2恰有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)。的取值范圍可以是（）

A.a=—2B.Q=-8

C.a>\D.a>\

【答案】BD

【詳解】由Jax?+ax+2=十1+2可得ax?+ax+2=（辦+2）,+3ax+2=0.

由于方程N(yùn)ax、ax+2=ax+2恰有一個(gè)實(shí)根，分以下幾種情況討論：

（i）當(dāng)Q2_Q=0時(shí)，q=0或1.

若a=0,貝！J收=2，矛盾；

若。=1,則3x+2=0,解得％=-§,滿足方程J/+X+2=.+2；

（ii）當(dāng)。2一々00時(shí)，即當(dāng)aw0且awl時(shí)，

若△=9/一8（。2-Q）=Q?+8〃=0,解得。=-8,

91

止匕時(shí)方程為361—12X+1=0,BP（6x-l）=0,解得x=：,

6

滿足方程V-8X2-8X+2=-8x+2；

若A＞0,方程（〃2一。卜+3辦+2=0有兩個(gè)不等的實(shí)根不、々（演＜%2），

一2

所以，玉＜--＜乙'

a

<0,即4(1—Q)<0,解得Q>1.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是{4〃=-8或。21}.

故選：BD.

4.已知方程x?+(〃?+2)x+〃/-2〃?=0有一正根一負(fù)根，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】(。，2)

【詳解】設(shè)方程的兩根為國(guó),聲，由韋達(dá)定理得再馬=療-2加.

???方程有一正根一負(fù)根，

XjX,<0,即-2加<0,解得0<小<2,

實(shí)數(shù)加的取值范圍是(。，2).

故答案為：(0,2).

5.方程/+(左一2卜+5-左=0的兩根者B大于2,則實(shí)數(shù)上的取值范圍為—

【答案】-5<k<-^

【詳解】令〃x)=/+("2)x+5-左，由方程f+("2)x+5-左=0的兩根都大于2,

A=(^-2)2-4(5-^)>0k2>l6

得〃2)=左+5>0即“人+5>0,解得—5<左W—4.

k-2-2-左>4

-------->2

2

故答案為：-5<%4-4

考點(diǎn)五一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系

1.“太<3或后>5"是"存在實(shí)數(shù)x使得不等式公+("1b+4<0成立”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分非必條件

【答案】B

【詳解】???存在實(shí)數(shù)x使得不等式/+(>1b+4<0成立,

A=(/c-l)2-4x1x4=A:2-2^-15>0,即(左一5)(左+3)>0,

<-3或%>5.

A由“左<3或后>5"不能推出"左<-3或左>5”成立，

由“左<-3或后>5”能推出<3或后>5”成立，

「后<3或后>5”是“存在實(shí)數(shù)x使得不等式X2+(^-1)X+4<0成立”的必要不充分條件.

故選：B.

2.已知關(guān)于x的不等式辦2+26x+4W0的解集為卜加WxW、｝,其中加<0,則6的最小值為()

5

A.-2B.1C.2D.

2

【答案】C

4

【詳解】由題意得，。>0,方程辦2+2樂(lè)+4=0的兩根為加,一,

m

4442b.jm2

YYl,—二一,TYlH---=------,U=iyb=-------,

mama2m

m<0,m<一,m<-2,

m

."=一-一工=(_曰+]一斗2『叫一2]=2,當(dāng)且僅當(dāng)一g=-2,即％=-2時(shí)等號(hào)成立,

2my2JymJ2JymJ2m

:.b的最小值為2.

故選：C.

(多選題)3.已知二次函數(shù)歹二辦2+樂(lè)+。(a,b,。為常數(shù)，且〃。0)的部分圖象如圖所示，則()

C.a-b+c=OD.不等式Zu:?一QX-C>O的解集為{x卜2Vx<1}

【答案】BCD

【詳解】由題設(shè)及函數(shù)圖象知：y=a(x+l)(x-2)=a(x2一X一2)且。>0,

所以。c=-2a,貝！jQ+b=0,ctbc-2/>0,〃一b+c=0,A錯(cuò)，B、C對(duì)；

bx2-ax-c=-ax2-ax+2a>0,則公+、-2=(x+2)(x-l)<0=>—2Vx<1,D對(duì).

故選：BCD

(多選題)4.已知關(guān)于x的不等式(。+3加卜2_(2/>-掰卜+l-2掰>0的解集為(-叫-1)51,+8),則下列結(jié)

論正確的是()

A.Q+2b=-1

1

B.m<—

2

C.不等式(a+l)f-2加+2掰20的解集為

D.對(duì)滿足條件的任意加，不等式加-2詬21恒成立，貝『1"<0

【答案】ACD

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于X的不等式(a+3〃7)f-(2b-幽)x+l-2〃z>0的解集為⑹,

所以4+3加>0,且方程(Q+3機(jī))％2一(26—機(jī))x+l—2加=0的兩根為一1和1,

2b-m

-1+1=

Q+3加

所以,解得2b-加=0,a+3加=2加一1,

l-2m

-1x1=

a+3m

所以2b-加+〃+3加=2加一1,解得。+26=-1,故A正確;

由〃+3加=2加一1〉0,可得相>:,故B錯(cuò)誤;

（tz+ljx2—2bx+2m>0,即為一機(jī)--mx+2m>0（m>0）,

即d+x—2<0,BP(x+2)(x-lj<0,解得—24x41,故C正確；

由B選項(xiàng)可得加>5，設(shè)〃=〃？，則加=〃2U>--,

I2J

(亞\

則加-2A/^?="2一2〃=(》一1『一1在〃￡--,1上單調(diào)遞減，在M￡(1,+00)上單調(diào)遞增,

所以加—=w2-2w=(w-1)2-1>-1.

因?yàn)椴坏仁接?2詬2；恒成立,

所以-4-1,解得-故D正確.

t

故選:ACD.

5.函數(shù)y=加、2+4加x+3

(1)當(dāng)歹>0恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)當(dāng))=0時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根再戶2,且野+尤-32X2>。，求實(shí)數(shù)加的取值范圍

⑶若VmG{m|0<m<l),mx2+4mx+3<2x+6m恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍

【答案】(1)0,管；

15—

(2)m>一或加<0；

16

(3)X60.

【詳解】(1)當(dāng)機(jī)=0時(shí)，/(%)=3>0恒成立;

3

當(dāng)%>0時(shí)，/(力>0恒成立，貝必=16〃/-12〃?<0,解得0<%<“

當(dāng)加<0時(shí)，/(x)>0顯然不恒成立.

綜上，掰的取值范圍是0：1

3

（2）由〃x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以加NO,Jl.A=16m2-12m＞0,解得機(jī)或加＜0,所以

國(guó)

m

2

因?yàn)閤；+x；-3占工2>0，BP(X+X2)-5X,X2>0,貝IJ16-絲>0,解得加〉”或加<0,

m16

綜上，加＞望或加＜0.

16

(3)若VmG|m|0<m<l|,mx2+4mx+3<2x+6m恒成立,

+4%-6）加+3-2xV0對(duì)V加￡｛加|0K加K1卜恒成立,

0x(廠+4x—6)+3—2x40

則2,即x為。.

1x(x~+4x—6)+3—2,x40

-3<x<1

考點(diǎn)六恒成立問(wèn)題

1.若不等式機(jī)/+7內(nèi)-4＜2/+2苫對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.（—2,2）B.（—14,2）C.（—°°,—2）[2,+oo）D.（—14,2]

【答案】D

【詳解】mx~+mx-4＜2x2+2xO（小一2）x?+（/w-2）x-4＜。,

因?yàn)椴坏仁綄?duì)于任意x均成立，

所以當(dāng)切=2時(shí)，-4＜0,符合題意；

「加一2＜0\m＜2

當(dāng)〃7H2時(shí)，貝叫02，"0八，解得機(jī)e（-14,2）,

[A＜0[（加-2）+16（w-2）＜0

綜上所述，me（-14,2],

故選：D.

2.當(dāng)xeR時(shí)，一元二次不等式狂2—履+1＞（）恒成立，則左的取值范圍是（）

A.0〈人＜4B.左＜4C.0W左＜4D.左＜0或%＞4

【答案】A

【詳解】由一元二次不等式狂2—狂+1＞0,可得人*0,

依＞0

從而＜/,、2,,c，解得：°〈人＜4.

[（-左）一4左＜0

故選：A.

3.任意1』，使得不等式――工+；2”恒成立.則實(shí)數(shù)加取值范圍是（）

11,5

A.m>—B.m<—C.m<—D.m<—

2422

【答案】B

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意不等式/一%+；2%恒成立.

所以廿-苫+；)>m,其中xe[-1,1],

VZ)min

i^iy=x2—x+—,xe[—1,1])因?yàn)閥=x?—x+g=—+；,

所以當(dāng)x=1■時(shí)，函數(shù)y=—-x+；,xe[-1,1]取最小值，最小值為;,

所以機(jī)W

4

故選：B.

4.已知函數(shù)y=+(%-l)x+%-1的值恒為正數(shù)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

【答案】m>\

【詳解】?.?二次函數(shù)的值恒大于0,

所以不等式%一+(加-l)x+(a-1)>0的解集為R,故實(shí)數(shù)%滿足:

m>0

(加T)2_4皿加一1)<0'解得加>L

.??當(dāng)機(jī)>1時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)的值恒大0.

故答案為：m>\.

5.若Vxe[；,2],不等式/一"+1<0恒成立，則。的取值范圍為.

【答案】§,+8)

【詳解】由xe[g,2]時(shí)，f—ax+lvO恒成立，即a>x+、恒成立，

2x

對(duì)于g(x)=x+Lxe[[，2]),有x+b2、x，=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，

X2X\x

又g(x)在[；』)上單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增，且g(；)=：+2=\g(2)=2+l=(,

，g(x)max=|"，故。的取值范圍是(1",+00).

故答案為：(-,+°°)

考點(diǎn)七一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用

1.如圖，某海洋氣象部門(mén)在0：00預(yù)報(bào)，在距離某漁場(chǎng)南偏東45。方向600km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h

的速度向正北方向緩慢移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的海域都將受到影響.則漁民為了安全，進(jìn)港避風(fēng)最遲

應(yīng)在（）

A.13:40B.13:45C.13:50D.13:55

【答案】A

【詳解】如圖，設(shè)風(fēng)暴中心最初在/處，經(jīng)山后到達(dá)8處，自8向x軸作垂線，垂足為C.若在點(diǎn)8處受到

熱帶風(fēng)暴的影響，則03=450,所以，0中+802=450，BP^（600cos45°）2+（600sin45°-20/）2-450,兩邊

平方并化簡(jiǎn)，整理得4/_120"+1575=0,解得公”31二Da13.7或""0巫士D“28.7（舍去）.所以

22

進(jìn)港避風(fēng)的時(shí)間最遲應(yīng)在13點(diǎn)40分.

2.用一條長(zhǎng)為16cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm（長(zhǎng)大于寬），要使矩形的面積大于12cm2,

則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

A.{x\2<x<6}B.{x\4<x<8}C.{x\2<x<8}D.{x\4<x<6}

【答案】D

【詳解】由題知矩形的長(zhǎng)為xcm,則它的寬為竺萬(wàn)生=（8一x）cm,故x>8-x>0,即4Vx<8.要使矩形的

面積大于12cm,，則x（8-x）>12,解得2cx<6.綜上，4<x<6.

3.在一次體育課上，某同學(xué)以初速度%=12m/s豎直上拋一排球，該排球能夠在拋出點(diǎn)2m以上的位置最

多停留的時(shí)間約為（）

（注：若不計(jì)空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)的高度〃和時(shí)間/滿足關(guān)系A(chǔ)=其中

g=10m/s2）

A.IsB.2sC.3sD.4s

【答案】B

【詳解】規(guī)定向上為正方向，根據(jù)場(chǎng)=g〃，有2=12f」xl0尸，解得12+河,12-7104

22'1010

則排球在拋出點(diǎn)2m以上停留的時(shí)間Nt=t\"='粵x2（S）.

（多選題）4.在一個(gè)限速40km/h的彎道上，甲、乙兩車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)同時(shí)剎車(chē)，但還是相碰

了.事故后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)12m,乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)10m,又知甲、乙兩種車(chē)型的

剎車(chē)距離s（m）與車(chē)速x（km/h）之間分別有如下關(guān)系：s甲=0.卜+0.0卜2，壇=0.05x+0.005x2則可判斷甲、乙

兩車(chē)的超速現(xiàn)象是（）

A.甲車(chē)超速B.甲車(chē)不超速C.乙車(chē)超速D.乙車(chē)不超速

【答案】BC

【詳解】由題意，對(duì)于甲車(chē)，有O.lx+O.OlY>12,即/+10》-1200>0,解得x>30或x<-40（舍去），

這表明甲車(chē)的車(chē)速超過(guò)30km/h,但根據(jù)題意剎車(chē)距離略超過(guò)12m,由此估計(jì)甲車(chē)不會(huì)超過(guò)限速40km/h；

對(duì)于乙車(chē)，有0.05x+0.005x2>10,即X2+10X-2000>0,解得X>40或X<-50（舍去），這表明乙車(chē)的車(chē)

速超過(guò)40km/h,超過(guò)規(guī)定限速，即乙車(chē)超速.

5.已知某種酒每瓶售價(jià)為70元，不收附加稅時(shí)，每年大約銷售100萬(wàn)瓶；若每銷售100元國(guó)家要征附加

稅x元（叫作稅率x%）,則每年銷售量將減少10x萬(wàn)瓶.如果要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅額不少

于112萬(wàn)元，那么實(shí)數(shù)x的最小值為.

【答案】2

【詳解】依題意，征附加稅x元（叫作稅率x%）時(shí)，每年銷售量將減少I(mǎi)Qx萬(wàn)瓶，則銷量變?yōu)椋?。。-10x）

Y

萬(wàn)瓶.要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅額不少于112萬(wàn)元，貝?。萦校?00-10x）x70x^2112,解得

2<x<8.

串知識(shí)識(shí)框架

一知識(shí)導(dǎo)圖記憶

定義只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2唯整

一