北京市廣渠門中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期期中試題

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科

時(shí)間：120分鐘2025.4

本試卷共頁，段分.考試時(shí)長皿分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答

無效.

一選擇題（共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）

1.在（"+”）的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則〃=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，展開式中第一+1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，展開式中第二和一-

222

項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.

【詳解】因?yàn)橹挥幸豁?xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以〃為偶數(shù)，故一+1=4,得〃=6.

2

故選：B

2.已知函數(shù)/（x）=f+工，則lim+__￡111=（）

XArfOA%

A.1B.gC.2D.4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】由題意知，+"1）二/⑴,

又由/'（x）=2x—士，則=所以lim+

%-foAx

故選：A.

3.五聲音階（漢族古代音律）是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮，商，角，徵，羽.若將

這五個(gè)音階排成一列，形成一個(gè)音序，且要求宮、羽兩音節(jié)不相鄰，可排成不同的音序的種數(shù)為（）

A.12種B.48種C.72種D.120種

【答案】C

【解析】

【分析】先排其它三個(gè)，然后在空檔插入宮、羽兩音節(jié)即可得.

【詳解】先排其它三個(gè)，然后在空檔插入宮、羽兩音節(jié)，方法數(shù)為A；A；=72.

故選：C.

4.已知〃力=吧,則/停=（）

S1ILX<47

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】求導(dǎo)得r（x）=-」『，計(jì)算/但]即可.

sinx<4J

.221

■、4ri\COSX*曰\-sinx-cosXI

【詳解】由/（x）=i—，可得/'（x）=------口------=——^，

sinxsinxsinx

故選：D.

5.已知一組數(shù)據(jù)%,9,毛,%,毛的平均數(shù)為2,方差為則另一組數(shù)據(jù)3再一2,3X[-2,3X3-2,

3X4-2,3%一2的平均數(shù)、方差分別為（）

39

A.2,J1B.2，1C.4,-D.4,-

222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的線性運(yùn)算性質(zhì)直接求得.

【詳解】因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)西,々,%,%4，%的平均數(shù)為2,方差為3，

所以另一組數(shù)據(jù)3%—2,3尤2-2,3%-2,3X4-2,3/-2的平均數(shù)為3x2—2=4，

工219

方差為3'x—=—.

22

故選：D

6.（2017.唐山市二模）已知甲在上班途中要經(jīng)過兩個(gè)路口，在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.5,兩個(gè)

路口連續(xù)遇到紅燈的概率為0.4,則甲在第一個(gè)路口遇到紅燈的條件下，第二個(gè)路口遇到紅燈的概率是

A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可知P(A)=0.5,P(AB)=0.4,利用條件概率公式可求得P(B|A)的值.

【詳解】設(shè)第一個(gè)路口遇到紅燈的事件為A,第二個(gè)路口遇到紅燈的事件為B,

則P(A)=0.5,P(AB)=0.4,

P(AB}

則P(B|A)=；八=。8

尸網(wǎng)

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是條件概率.條件概率一般有兩種求解方法：(1)定義法：先求尸(/)和尸(加，再由

P(AB)

P(B\A)=，求?(84).(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件/包含的基本事件數(shù)

〃(/),再求事件46所包含的基本事件數(shù)〃(/面，得P(以力)=

“網(wǎng)

7.已知函數(shù)=一91nx+3%,則”是在其定義域內(nèi)的子區(qū)間(m—1,加+1)上

不單調(diào)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由已知假設(shè)函數(shù)/(x)=Y—91HX+3%在區(qū)間(m—1,加+1)上不單調(diào)，對(duì)函數(shù)〃尤)求導(dǎo)，則令

3

0<m-1<—

32

rW=o,得》=—或％=—3(舍去)，則＜,解得實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍即可得結(jié)論.

2鼠加+1

[2

【詳解】假設(shè)/(X)=*—91HY+3%在其定義域(0,+“)內(nèi)的子區(qū)間(加—1,m+1)上不單調(diào),

Q7r2+3r-Q3

由=----1-3=-----------------=0，得%=不或%=—3(舍去),

xx乙

3

0<m-l<—

2，解得＜根＜工，所以優(yōu)的取值范圍為

所以1

。+12

[2

所以“加”是“/(%)在其定義域內(nèi)的子區(qū)間(m-1,加+1)上不單調(diào)”的充分不必要條件.

故選：A.

8.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)y=/'(%)的圖象如圖所示，則對(duì)于任意

A./(%)<0B.“X)是增函數(shù)

C./'(玉)+/(%)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象的特征判斷原函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，可得/(%)的大致圖象，即可逐一判斷各選

項(xiàng).

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，導(dǎo)函數(shù);"(x)的圖象在x軸下方，即恒有;''(x)＜0,且其絕對(duì)值越來越

小，

因此過了(九)函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的切線的斜率為負(fù)，并且從左到右切線的傾斜角是越來越大的鈍角,

即其圖象下凸，且函數(shù)〃力是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；但無法判斷“力的函數(shù)值符號(hào)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于C,D,如圖，設(shè)直線x=Xi，x=%分別與"司的圖象交于點(diǎn)MN,連接肱V,

設(shè)直線x=七上交線段于點(diǎn)A,交函數(shù)/(%)的圖象于點(diǎn)B,則

%J叫皿,為=心子),

X］/石^2

R2

由圖可知>A>yB，即爪）產(chǎn)）>,故D正確，C錯(cuò)誤.

故選：D.

9.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)〃尤）在閉區(qū)間可上的圖象

連續(xù)不間斷，在開區(qū)間（。力）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為了'（%）,那么在區(qū)間（。力）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得

/0）—〃a）=/'（c）0—a）成立,其中c叫做“可在［a,句上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.根據(jù)這個(gè)定理，

可得函數(shù)/（x）=%2—3&在［1,4］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】

3

【分析】根據(jù)“拉格朗日中值點(diǎn)”得定義，轉(zhuǎn)化為尸（。）=2。-3忑=4解的情況，整理為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問

題，再分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得.

3

【詳解】/'（%）=2%-廠,xG［1,4］,

x

設(shè)。是函數(shù)“力在［1,4］上的“拉格朗日中值點(diǎn)"

則/（4）一〃l）=/（c）（4—3）,

即i-Un4cH-3=0,

2y/c3

令/=［1,2］，則求g⑺=4r—8f—3=0在［1,2］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

/目1,2］時(shí)，g'⑺=12產(chǎn)—8>0,所以g⑺在［1,2］上單調(diào)遞增，

又g⑴=-7<0,g（2）=13>0,所以g⑺在［1,2］上只有一個(gè)零點(diǎn),

即函數(shù)/（兀）=二一36在［1,4］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1,

故選：c.

1Y

10.已知函數(shù)/(x)=e'T,g(x)=-+/?-,若/(m)=g(")成立，則7〃一〃的最大值為()

A.l—ln2B.In2C.2ln2D.In2-1

【答案】A

【解析】

【分析】不妨設(shè)/(〃z)=g(")=。得到加，〃的關(guān)系，利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論.

【詳解】解：不妨設(shè)/("2)=g(")=t,

3

.?.^-=l+/n-=^?>0),

22

.'.m—3=lnt,即？n=3+歷，，n~2-e~^J

—n=3+Int-2-ef

令h(t)=3+lnt-2-e萬Q>0)，

1「1」

h\t)=--2e2Q>0),h,,(t)=---2e2<0,

tt

故〃⑺在(0,+co)上是減函數(shù)，且〃(g)=0,

當(dāng)/〉工時(shí)，W)<o,當(dāng)o<t<，時(shí)，w)>o,

22

即當(dāng)/=工時(shí)，丸?)取得極大值同時(shí)也是最大值，

2

此時(shí)/(-)=3+/77--2=1-/?2,即加一"的最大值為1—加2,

122

故選：A.

二填空題(共25分)

11.(r+2y的展開式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).

X

【答案】240

【解析】

【分析】寫出［X2+2］二項(xiàng)式展開通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).

【詳解】卜+4

其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：

=&/2，(2),.婷

=墨(2)"2-3,

當(dāng)12—3r=0,解得r=4

的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：C^-24=^-16=15x16=240.

故答案為：240.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握的展開

通項(xiàng)公式4+i=C：a"TZ/,考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法

的種數(shù)為.

【答案】49

【解析】

【分析】丙沒有入選，相當(dāng)于從9個(gè)人中選3人，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入

選，分別求出每種情況的選法數(shù)，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】丙沒有入選，把丙去掉，相當(dāng)于從9個(gè)人中選3人，

甲、乙至少有1人入選，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選.

甲乙兩人只有一人入選，選法有C；C：=42種；

甲乙兩人都入選，選法有種.

所以，滿足題意的選法共有42+7=49種.

故答案為：49.

【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，其中涉及到分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.一些常見類型的排列組合問題

的解法：

(1)特殊元素、特殊位置優(yōu)先法

元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；

位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；

(2)分類分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計(jì)算，一定要做到分類明確，層

次清楚，不重不漏；

(3)間接法(排除法)，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法；

(4)捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列,

然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列；

(5)插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空；

(6)去序法或倍縮法；

(7)插板法：〃個(gè)相同元素，分成加(加<")組，每組至少一個(gè)的分組問題.把〃個(gè)元素排成一排，從

"―1個(gè)空中選加―1個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有

(8)分組、分配法：有等分、不等分、部分等分之別.

13.某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2,0.4,0.4,乘火車遲到的概率為

0.5,乘輪船遲到的概率為0.2,乘飛機(jī)不會(huì)遲到，則這個(gè)人遲到的概率為.

9

【答案】0.18##—

50

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用全概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)事件A=“乘火車"，B=“乘輪船”，C=“乘飛機(jī)”，D=“遲到”，

則P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,P(D|A)=0.5,P(D|B)=0.2,P(D|C)=0,

因Du/MuDBuDC,且。兩兩互斥，

故P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)

=0.2x0.5+0.4x0.2+0.4x0=0.18.

故答案為：0.18.

14.已知函數(shù)了(九)的定義域?yàn)槌撸?(-1)=2,對(duì)任意xeR,/'(x)>2,則/(x)>2x+4的解集為

【答案】(-1,+<?).

【解析】

【分析】構(gòu)造g(x)=/(x)—2x—4,根據(jù)題意得到g(x)在R為單調(diào)遞增函數(shù)，又由/(-1)=2,得到

g(—1)=0,進(jìn)而得到x>—1時(shí)，g(%)>0,即可求解.

【詳解】設(shè)g(x)=/(x)—2x—4,可得=2,

因?yàn)閷?duì)任意xe￡/'(x)>2,所以g'(x)>0,所以g(x)在R為單調(diào)遞增函數(shù)，

又由/(—1)=2,可得g(—1)=2+2—4=。，

所以當(dāng)尤>—1時(shí)，g(x)>0,即不等式〃％)>2%+4的解集為(-l,4w).

故答案為：(-1,+℃).

15.已知/(%)=◎—e"1,aeR,則下列說法正確的有.

①"％)的值域?yàn)镽；②awO時(shí)，恒有極值點(diǎn)；

③g(x)=/(x)-"(左，0)恒有零點(diǎn)；④對(duì)于xeR,—恒成立.

X

【答案】②③④

【解析】

【分析】設(shè)/=依，通過函數(shù)求導(dǎo)可推得/(%)=改--1,即可判斷①；由函數(shù)的單調(diào)性分析易得光=0

為函數(shù)/(%)的極值點(diǎn)，判斷②；利用函數(shù)與方程思想，判斷以-y=8有實(shí)根即可，可根據(jù)參數(shù)。和左

分類討論，結(jié)合函數(shù)的圖象判斷/(X)與y=人有交點(diǎn)得到③；由〃x)—(l_e)av=eor_e",換元，=◎

x

后構(gòu)造丸?)=et-e'，利用其單調(diào)性即可判斷④.

【詳解】設(shè)/'=則/(%)=◎-e?即g(r)=/-e'，則g'(t)=l-e',?GR,

當(dāng)/<0時(shí)，g'(t)>0,當(dāng)/>0時(shí)，gr(t)<0,

故g⑺在(-8,0)上單調(diào)遞增,在(0,+8)上單調(diào)遞減，即得g(/)Vg(O)=-1,

即f(x)的值域不是R,故①錯(cuò)誤；

由①可知，ON0時(shí)，尤=0是“X)的極值點(diǎn)，故②正確；

Gk

若g(x)=〃x)——傳#0)有零點(diǎn)，則以-e-=—有實(shí)根.

XX

當(dāng)。=0時(shí)，/(幻=一1與丫=!恒有交點(diǎn)；

X

當(dāng)時(shí)，由①知，/(X)max=/(0)=T，

且/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+CO)上單調(diào)遞減.

當(dāng)左>0時(shí)，函數(shù)y與/(X)在第三象限有交點(diǎn)；

X

當(dāng)左<0時(shí)，函數(shù)y=七與/(X)第四象限有交點(diǎn)，

X

故人>)與丫=與上片0恒有交點(diǎn)，故③正確；

X

因/(x)—(l—e)ox=eax—e?，設(shè)/=k⑴=et—e'，則〃⑺=e-e'，

當(dāng)/<1時(shí)，h'(t)>0,當(dāng)/>1時(shí)，/?(/)<0,

故介⑺在(T?,l)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，故/I。)<〃⑴=0,

即/(x)w(l—e)at恒成立，故④正確.

綜上可得，說法正確的有②③④.

故答案為：②③④.

三解答題(共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程)

16.已知函數(shù)/(X)=(工3-必+1.

(1)求了(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)在區(qū)間上的取值范圍是-,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴”力在(—8,0)和(2,+“)單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減

(2)[0,3]

【解析】

【分析】⑴求導(dǎo)可得/'(%)=12—2%,令7?'(力>0,可求單增區(qū)間，令/''(無)<0,可求單減區(qū)間;

⑵利用⑴的單調(diào)性，結(jié)合/(—1),/(0),/(2),〃3)的值，可求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【小問1詳解】

由/(x)=；%3一Y+1,可得/■'(%)=*—2%,

令廣(%)>0,可得％2_2%>0，解得x<0或1>2,

令/''(x)<0,可得尤2一2%<0,解得0<x<2,

所以在(―，°)和(2,也)單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減；

【小問2詳解】

因/(_l)=g(_l)3_(T)2+l=_g'

X/（0）=1x03-02+l=l,又由（1）可知“X）在（TO）上單調(diào)遞增，

由“X）在區(qū)間（—1,向上的取值范圍是一，所以加20,

又了（%）在（0,2）上單調(diào)遞減，且/（2）=gx23—2?+l=—g,

又/'（%）在（2,收）上單調(diào)遞增，且/（3）=gx33—32+l=l,所以

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為[0,3].

17.袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球.

（1）若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；

（2）若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為y,求y的分布列、期望和方差.

【答案】（1）分布列見解析

398

（2）分布列見解析，E（r）=-,D（y）=—

【解析】

【分析】（1）有放回抽樣時(shí)，取到黑球的次數(shù)X:可能的取值為0,1,2,3,分別求出對(duì)應(yīng)

的概率，即可得X的分布列.

（2）由題意可得y的所有取值為o,I,2,分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得y的分布列，期望，方差.

【小問1詳解】

若每次抽取后都放回，則每次抽到黑球的概率均為二一=-

8+25

而3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因此X:B

p（X=3）=C；

因此X的分布列為:

X0123

6448121

P

125125125125

【小問2詳解】由題意，Y的所有取值為0,1,2,

Z^l0z^l3Z-^lZ-^2I—Iz-^2z^ll

1

則尸（y=o）=k=p（y=i）=-^A=-,F（y=2）=-^=

joI。JoI。jo15

因此，丫的分布列為:

E|口A

01

77i3

所以E（V）=0x—+lx—+2x—=—

V71515155

128

x—=——

1575

18.周末李夢(mèng)提出和父親、母親、弟弟進(jìn)行羽毛球比賽，李夢(mèng)與他們?nèi)烁鬟M(jìn)行一場(chǎng)比賽，共進(jìn)行三場(chǎng)比

賽，而且三場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.根據(jù)李夢(mèng)最近分別與父親、母親、弟弟比賽的情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

父親母親弟弟

比賽的次數(shù)506040

李夢(mèng)獲勝的次數(shù)103032

以上表中的頻率作為概率，求解下列問題.

(1)如果按照第一場(chǎng)與父親比賽、第二場(chǎng)與母親比賽、第三場(chǎng)與弟弟比賽的順序進(jìn)行比賽.

(i)求李夢(mèng)連勝三場(chǎng)的概率；

(ii)如果李夢(mèng)勝一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得。分，設(shè)李夢(mèng)的得分為X,求X的分布列與期望；

(2)記“與父親、母親、弟弟三場(chǎng)比賽中李夢(mèng)連勝二場(chǎng)”的概率為p,此概率p與父親，母親，弟弟出場(chǎng)的順

序是否有關(guān)？如果有關(guān)，什么樣的出場(chǎng)順序使概率P最大(不必計(jì)算)？如果無關(guān)，請(qǐng)給出簡(jiǎn)要說明.

2

【答案】(1)(i)—；(ii)答案見解析

25

(2)有關(guān)，出場(chǎng)順序?yàn)閶寢尩艿馨职只虬职值艿軏寢?/p>

【解析】

114

【分析】(1)李夢(mèng)獲勝的概率分別為巧=三，P2=~,。3=工，計(jì)算。4=Pl。2P3即可，X的可能取值

JNJ

為0,1,2,3,計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

(2)出場(chǎng)順序共有6種，分別計(jì)算概率，比較大小即可.

【小問1詳解】

李夢(mèng)與爸爸比賽獲勝概率為Pi=2=1；與媽媽比賽獲勝概率為2=|^=；；與弟弟比賽獲勝概率為

324

P33--4--0-——5

一1142

則李夢(mèng)連勝二場(chǎng)的概率為04=P1P2P3=-X-X-=—

X的可能取值為L2,3,

則P(X=0)=(l-(2

425

1111411421

P(X=1)=-W+/

52552552550

1411421

p(X=2)=1-44.1-1V

5)2552552550

c/v八1142

P(X=3)=一又一x—=——

'752525

故分布列為

X0123

221212

P

25505025

2212123

石(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=

255050252

【小問2詳解】

1111417

若出場(chǎng)順序?yàn)榘职謰寢尩艿?X——=——

52I5[52550

」占1—11412

若出場(chǎng)順序?yàn)榘职值艿軏寢?X—二——

55I2{5525

41141

若出場(chǎng)順序?yàn)閶寢尠职值艿?14+1」3=

25I5{25510

1412

若出場(chǎng)順序?yàn)閶寢尩艿馨职?p=—x—x+1」x3L

252555

41f1]（411117

若出場(chǎng)順序?yàn)榈艿軏寢尠职郑篜=-X—X1--+1-—X—x-=—；

J乙\DJ\DJ乙JJ

若出場(chǎng)順序?yàn)榈艿馨职謰寢專?/p>

JJ、乙J\DJD乙JLV_z

故與出場(chǎng)的順序有關(guān)，出場(chǎng)順序?yàn)閶寢尩艿馨职只虬职值艿軏寢尭怕蔖最大.

19.已知橢圓C：'+二=l（a>J5）的離心率為正，左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)M是橢圓C上異于

a22>2

A,B的一點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)P.

（I）若點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部，求直線AM的斜率的取值范圍；

（II）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Q在y軸上，且AQ〃BM,求證：/PFQ為定值.

【答案】（I）kAMe（一旦,0）?（0,1）；（II）見解析

22

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得得c?=a2-2,由e=YZ,解得即可出橢圓的方程，再根據(jù)點(diǎn)在其內(nèi)部，即可

2

求得直線AM的斜率的取值范圍，（II）題意F（72-0）,M（x。，y?）,可得直線AM的方程，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)，再根據(jù)直線平行，求出直線AQ的方程，求出Q的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出FP?FQ=0,即可

證明.

【詳解】I）由題意可得c2=a?-2,?.%=9=在，；.a=2,。=夜，.?.橢圓的方程為上+二=1,

a242

設(shè)P（0,m）,由點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部，得—又：A（-2,0）,

直線AM的斜率凰=巴衛(wèi)=%d（一叵,Y2）,又M為橢圓C上異于A,B的一點(diǎn)，

0+2222

/.kAMe（—變，0）?（0,叵）,

22

（II）由題意F（夜，0）,M（x?,y?）,其中x°W±2,則」+%=1,

42

直線AM的方程為丫=,°c（x+2）,令x=0,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,—*），

xn+2xn+2

VkM=-----=kAQ=-----,二直線AQ的方程為y=------(x+2),

Bx2

o-x0-2x0-2

令x=0,得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,—與)，由FP=(-J5，—"、)，F(xiàn)Q=(一—"7)，

x0-2、x°+2"、Xo-2

4y：2x：+4y”8

Fp?FQ=2+^^=-°,‘°—=0,.??FpLFQ,即NPFQ=90°,

xd-4x^-4

故/PFQ為定值

【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線的斜率，點(diǎn)在橢圓上的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)

算能力，屬于中檔題

20.已知函數(shù)/(x)=x-alnx-l(aeR).

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線為x軸，求。的值；

(2)討論/(%)在區(qū)間(L+8)內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)若/(%)在區(qū)間(l,+oo)內(nèi)有零點(diǎn)求證：/<4.

【答案】(1)a=l

(2)答案見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先求函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=l—2,若/(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線為無軸，只需/⑴=0,

X

求解即可；

Y—n

(2)針對(duì)導(dǎo)函數(shù)/'(%)=——，分”<1和a>1兩種情況討論求解即可；

x

(3)當(dāng)“<1時(shí)顯然在區(qū)間(L+8)內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)Q>1時(shí)，構(gòu)造函數(shù)g(%)=%2一2%111%-1(%>1)并研究其單

調(diào)性即可.

【小問1詳解】

由/Cx)=%-alnx-l(a￡R)得：,

%

依題意，f(1)=1—a=0,得a=l.

經(jīng)驗(yàn)證，/(x)=x—Inx—1在點(diǎn)(1,0)處的切線為y=O,所以a=l.

【小問2詳解】

由題得ra)=i_g==.

XX

(i)若aWl,當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/'(x)>。恒成立，

所以f(x)在區(qū)間(1,+s)上單調(diào)遞增，所以/(%)無極值點(diǎn).

(ii)若a〉l,

當(dāng)xe(l,a)時(shí)，/,(%)<0,故/(X)在區(qū)間(l,a)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(a,+co)時(shí)，f\x)>0,故/(%)在區(qū)間(a,+<?)上單調(diào)遞增.

所以x=a為/(x)的極小值點(diǎn)，且/(幻無極大值點(diǎn).

綜上，當(dāng)aWl時(shí)，/(x)在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)。>1時(shí)，/(%)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

【小問3詳解】

由(2)知當(dāng)aWl時(shí)，/(%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以f(x)>f(l)=0,/(x)在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)無零點(diǎn).

當(dāng)a>l時(shí)，/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,。)，單調(diào)遞增區(qū)間為

所以/(a)<"1)=0.

若/(X)在區(qū)間(1,+00)內(nèi)有零點(diǎn)"則/e(a,+8).

而/(a2)=a2-2aIno—1,設(shè)g(x)=x2—2xlnx-l(%>1),

則g'(x)=2x—2(1+Inx)=2(x—1—Inx).

設(shè)/z(x)=2(x-l—In?(無>1),貝U〃(x)=2(l—工—―>0,

xx

所以〃(%)在區(qū)間(L+8)上單調(diào)遞增.

所以〃(%)>"⑴=0,gpgr(x)>0.

所以g(x)在區(qū)間(L+8)上單調(diào)遞增.

所以g(a)>g(D=O,BP/(?2)>0.

又于3=0,a1>a,

所以

21.在個(gè)實(shí)數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表中，&表示第，行第/列的數(shù).記

r1=an+ai2++ain(l<z'<?),cj=alj+a2j++anj(l<j<n).若4.,且

q,q,L,rn,c-C2，L,c“兩兩不等，則稱此表為“〃階”表”.記

H"={4,弓,q,。2，…，％}?

(1)請(qǐng)寫出一個(gè)“2階，表”；

⑵對(duì)任意一個(gè)“〃階“表"，若整數(shù)可，且