拔高點突破01立體幾何中的截面、交線問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：截面作圖...............................................................2

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題.........................................4

題型三：截面切割幾何體的體積問題...............................................5

題型四：球與截面問題...........................................................6

題型五：截面圖形的個數(shù)問題.....................................................6

題型六：平面截圓錐問題.........................................................7

題型七：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題.............................8

題型八：截面有關(guān)的空間角問題..................................................10

題型九：交線問題..............................................................10

03過關(guān)測試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

解決立體幾何截面問題的解題策略.

1、坐標法

所謂坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，為解決立體幾何問

題增添了一種代數(shù)計算方法.

2、基底法

所謂基底法是不需要建立空間直角坐標系，而是利用平面向量及空間向量基本定理作為依托，其

理論依據(jù)是：若四點E、F、G、”共面，P為空間任意點，則有：

結(jié)論1：若EG與EH不共線,那么EF=2EG+〃EH；

結(jié)論2：PE=APF+/jPG+r/PH（.A+^+r]=V）.

3、幾何法

從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)與判定定理以及平面

幾何相關(guān)定理、結(jié)論，通過論證，精準找到該截面與相關(guān)線、面的交點位置、依次連接這些點，從而

得到過三點的完整截面，再依據(jù)題意完成所求解答或證明.

題型一：截面作圖

【典例1-1】（2024?河南?三模）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCD為等腰梯形,

AD=PA=2,BC=4,E,F,G分別為PA,BC,8的中點.

在答題卡的圖中作出平面跳6截四棱錐P-MCD所得的截面，寫出作法（不需說明理由）;

【典例1-2］如圖所示，已知正方體A4G2-A8CD,過點A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截

面所成的角皆相等，試找出滿足條件的一個截面.

【變式1-1］如圖，已知正方體ABCD-AB'C'D'的棱長為1,分別是線段83',。。上靠近的三等

分點.過點作該正方體的截面，試求截面圖形的周長和面積.

【變式1-2］如圖，正四面體A2CD中，尸是上一點，AP=^AB,QeAD,AQ=^AB,R為CO中

點，截面PR。與CB交于點S.確定S的位置.

A

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題

【典例2-1]（2024?全國?模擬預測）已知正方體ABC。-A與G2中，點E是線段8片上靠近用的三等分

點，點尸是線段2G上靠近。的三等分點，則平面AM截正方體ABCD-AKGA形成的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D,六邊形

【典例2-2]（2024?高三?江西?開學考試）已知一正方體木塊ABCD-A蜴GR的棱長為4,點E在棱

AA上，且AE=3.現(xiàn)過三點作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（）

C.2426立平

【變式2-1]（2024?江西?模擬預測）已知在長方體ABCD-A5G2中，AB=BBl=2BC,點尸，Q,

T分別在棱8月，CG和上，且4尸=38尸，CQ=3C,Q,BT=3AT,則平面尸?！附亻L方體所得的截面

形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式2-2]（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，在棱長為2的正四面體ABCD中，M,N分別為棱AO,

3c的中點，O為線段的中點，球。的表面與線段AO相切于點則球。被正四面體ABCD表面截

得的截面周長為.

A

題型三：截面切割幾何體的體積問題

【典例3-1】（2024?河北?模擬預測）過圓錐PO高的中點。作平行于底面的截面，則截面分圓錐尸。上

部分圓錐與下部分圓臺體積比為（）

A.-B.—C.—D.—

2357

【典例3-2】（2024?湖南婁底?模擬預測）如圖，在三棱柱中，底面ABC,

AB=BC=CA=A\,點。是棱網(wǎng)上的點，若截面BDG分這個棱柱為兩部分，則這兩部分

4

的體積比為（）

C.4:9D.5:7

【變式3-1]（2024?貴州貴陽?一模）在三棱柱ABC-中，441底面ABC,

AB=BC=CA=；AA，點尸是棱AA上的點，AP=2PAi,若截面BPG分這個棱柱為兩部分，則這兩部分

的體積比為（）

A.1:1B.1:3C.4:9D.4:5

【變式3-2]（2024?河北衡水?一模）已知正三棱柱A8C-4瓦￡,過底邊BC的平面與上底面交于線段

,MN

MN,若截面將三棱柱分成了體積相等的兩部分，則工三=（）

nC

C3-gD.3.遞

AHB-T.22

題型四：球與截面問題

【典例4-1】（2024?福建漳州?一模）在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AAi=4,AC±AB,過

4c作該直三棱柱外接球的截面，所得截面的面積的最小值為

【典例4-2】（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓所在

平面的距離為1,則該球的體積為一.

9

【變式4-1】已知球。的體積為叁加，高為1的圓錐內(nèi)接于球。，經(jīng)過圓錐頂點的平面。截球。和圓錐所得

的截面面積分別為E，$2,若品=展27兀，則邑=

【變式4-2］（2024?陜西西安?三模）如圖，已知球。的半徑為R,A、3在球。的表面上，AB=2,連接

球心。與A、B,沿半徑。4旋轉(zhuǎn)△OAB使得點3旋轉(zhuǎn)到球面上的點C處，若此時NA4c=120。，且球心。

到VA3C所在截面圓的距離為四，則球。的表面積為一.

2

題型五：截面圖形的個數(shù)問題

【典例5-1】過正四面體P-ABC的頂點P作平面若a與直線24,PB,PC所成角都相等，則這樣的

平面的個數(shù)為（）個

A.3B.4C.5D.6

【典例5-2］（2024?陜西榆林?陜西省榆林中學校考三模）過正方體的頂點A作平面a,

使得正方體的各棱與平面1所成的角都相等，則滿足條件的平面a的個數(shù)為（）

A.1B.3C.4D.6

【變式5-1】設(shè)四棱錐尸-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面a去截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四

邊形,則這樣的平面a

A.有無數(shù)多個B.恰有4個C.只有1個D.不存在

【變式5-2］（2024?浙江?模擬預測）過正四面體ABC。的頂點A作一個形狀為等腰三角形的截面，且使

截面與底面BCD所成的角為75。，這樣的截面有（）

A.6個B.12個C.16個D.18個

題型六：平面截圓錐問題

【典例6-1】用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一個圓，用

一個不垂直于軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸的夾角。不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別

是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.記圓錐軸截面半頂

角為a,截口曲線形狀與仇&有如下關(guān)系：當。時，截口曲線為橢圓；當。=a時，截口曲線為拋物線:

當。＜a時，截口曲線為雙曲線.如圖1所示，其中仇現(xiàn)有一定線段A3,其與平面￡所成角

A.當夕時，r是拋物線B.當。=￡7=$時，r是雙曲線

6436

TT7TIT7T

c.當。=工,7=工時，r是圓D.當夕,時，「是橢圓

【典例6-2]（2024?福建泉州?模擬預測）已知圓錐SO的軸截面是邊長為2的正三角形，過其底面圓周

上一點A作平面a,若a截圓錐S。得到的截口曲線為橢圓，則該橢圓的長軸長的最小值為（）

A.3B.1C.D.2

2

【變式6-1]如圖1,用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度對這個問題進

行研究，其中比利時數(shù)學家Germinaldandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩

個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個球分別與截面切于E、F,在截口曲線上

任取一點A,過A作圓錐的母線，分別與兩個球切于C、B,由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC,

AF=AB,^-^AE+AF=AB+AC=BC,由8、C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢

圓定義可知，截口曲線是以E、尸為焦點的橢圓.如圖2,一個半徑為1的球放在桌面上，桌面上方有一點

光源尸，則球在桌面上的投影是橢圓，已知44是橢圓的長軸，尸4垂直于桌面且與球相切，PA=3,則

橢圓的離心率為（）

【變式6-2］（2024?上海虹口?模擬預測）在圓錐尸。中，已知高PO=2,底面圓的半徑為4,M為母線

網(wǎng)的中點，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面

四個命題，正確的個數(shù)為（）

①圓的面積為4兀；

②橢圓的長軸長為歷；

-3

③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為二;

4

④拋物線的焦點到準線的距離為逋

5

A.1個B.2個C.3個D.4個

題型七：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題

【典例7-1］（2024?四川宜賓?模擬預測）已知E尸分別是棱長為2的正四面體ABCD的對棱AD］。的

中點.過的平面a與正四面體A3CD相截，得到一個截面多邊形7，則正確的選項是（）

①截面多邊形「可能是三角形或四邊形.

③截面多邊形「面積的取值范圍是［1，3］.

④當截面多邊形「是一個面積為逅的四邊形時，四邊形的對角線互相垂直.

2

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【典例7-2］（2024?四川?一模）設(shè)正方體48CD-A瓦CR的棱長為1,與直線4c垂直的平面a截該正

方體所得的截面多邊形為則下列結(jié)論正確的是（）.

A.M必為三角形B.M可以是四邊形

C.M的周長沒有最大值D.M的面積存在最大值

【變式7-1］若圓錐的軸截面是一個頂角為三，腰長為2的等腰三角形，則過此圓錐頂點的所有截面中，

截面面積的最大值為（）

A.正B.1C.3D.2

2

【變式7-2］（多選題）（2024?福建廈門?模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A5G2中，點

E,尸分別是和8,的中點，貝|（）

A.C.F//AE

B.CXFLA.D

C.點尸到平面EAC的距離為也

3

D.過￡作平面a與平面ACE垂直，當。與正方體所成截面為三角形時，其截面面積的范圍為

【變式7-3】正方體A3C。-A462中作一截面與AG垂直，且和正方體所有面相交，如圖所示.記截面

多邊形面積為S,周長為C,則（）

A.S為定值，C不為定值B.S不為定值，C為定值

c.S和C均為定值D.S和C均不為定值

題型八：截面有關(guān)的空間角問題

【典例8-1］（2024?四川成都?高三校聯(lián)考期末）在正方體A3。-A4GA中，E為線段AD的中點，設(shè)

平面ABG與平面CQE的交線為加，則直線加與AC所成角的余弦值為（）

A.|B."C.叵D.巫

2255

【典例8-2］在正方體ABCQ-ABCA中，E為線段AD的中點，設(shè)平面4出弓與平面CC?的交線為/,

則直線/與BE所成角的余弦值為（）

A75RVlO「亞口國

5101010

【變式8-1］（2024?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預測）在正方體中，E為Bg中

點，過的截面。與平面的交線為/,則異面直線/與86所成角的余弦值為（）

A>/10R>/5「x/To口s/l5

10555

題型九：交線問題

【典例9-1】（2024?四川綿陽?模擬預測）如圖，在正方體ABC。-A與G2中，E是棱CQ的中點，記平

面AQE與平面ABC。的交線"平面與平面A3與A的交線心若直線A3與乙所成角為a,直線A3

與4所成角為夕，則sin（2a-尸）的值是

【典例9-2］（2024?全國?模擬預測）已知正四棱柱ABCO-A8C2中，AB=2,e=4,點E為AA1

的中點，點尸為￡2的中點，平面BE產(chǎn)與平面A。。4的交線為/,則異面直線/與AG所成角的余弦值

為一

【變式9-1］（2024?浙江寧波?一模）在棱長均相等的四面體ABCD中，P為棱AD（不含端點）上的動

點，過點A的平面a與平面P8C平行.若平面a與平面ABD,平面ACD的交線分別為"，〃，則犯〃所成

角的正弦值的最大值為一.

【變式9-2］（2024?山東?二模）三棱錐尸-ABC中，VABC和.PFC均為邊長為2的等邊三角形，D,E

分別在棱尸民AC上，且黑=g|,￡）Eu平面%AP〃平面a,若PA=坦,則平面a與三棱錐尸-ABC的

PBAC

交線圍成的面積最大值為一.

【變式9-3］（2024?廣東汕頭?一模）如圖，在正方體ABCD-A與G2中，E是棱CQ的中點，記平面

與平面A3CD的交線為"平面與平面瓦A的交線為3若直線分別與44所成的角為

1.已知球。是正三棱錐A-BC。（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=6,

AB=g點￡為線段3。的中點.過點E作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

A.9兀B.8兀C.4兀D.3兀

2.已知正三棱錐A-3CD的外接球是球O,正三棱錐底邊BC=3,側(cè)棱A8=2百，點E在線段8。上，且

BE=DE,過點E作球。的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）

11兀c1r-c1「11兀，］「9?！?/p>

A.,3乃B.［27t,3?tlC.-----,4兀D.—,4%

4JL」4JL4

3.（2024?四川資陽?二模）已知球。的體積為里產(chǎn)，點A到球心。的距離為3,則過點A的平面a被

球。所截的截面面積的最小值是（）

A.9兀B.12KC.16KD.20兀

4.（2024?寧夏吳忠?模擬預測）已知正三棱錐A-3CD的外接球是球O,正三棱錐底邊BC=3,側(cè)棱

AB=26點E在線段3。上，且BE=DE,過點E作球。的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）

9兀

A.2兀B.——C.3兀D.4兀

5.（2024?四川綿陽?模擬預測）在長方體ABCD-A瓦G2中，A3=2AD=244t，點河是線段G'上靠

近2的四等分點，點N是線段CG的中點，則平面截該長方體所得的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

6.（2024?四川成都?二模）在正方體ABC。-ASC2中，尸、。分別是棱CR靠近下底面的三等

分點，平面1平面45co=/,則下列結(jié)論正確的是（）

A./過點8

B.IHAC

C.過點2,尸,。的截面是三角形

D.過點2,尸,。的截面是四邊形

7.（2024?安徽安慶?三模）在正方體ABCO-ABIGA中，點及月分別為棱AB，A。的中點，過點及RG

三點作該正方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱BB,的交點是棱BBi的一個三等分點

C.AC,平面C]EF

D.平面ABQ//平面GEF

8.（多選題）（2024?河南信陽?二模）如圖，在四棱錐Q-EFG//中，底面是邊長為20的正方形，M

為QG的中點.QE=QF=QG=QH=4,過。作平面E/%汨的垂線，垂足為O,連EG,EM,設(shè)EM,

。。的交點為A,在△。印7中過A作直線2C交QH,于B,C兩點，QB=xQH,QC=yQF,過

㈤W作截面將此四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為匕%,下列說法正確的是（）

Q

C.匕=26孫D.J的最小值為。

V22

9.（多選題）（2024?福建福州?模擬預測）在棱長為2的正方體ABC。-A與G2中，M,N,P分別是

A4，CG，G2的中點，。是線段RA上的動點（不含端點），則（）

A.存在點Q,使尸Q〃平面

2

B.存在點。，點。到直線3P的距離等于：

C.過A,M,反N四點的球的體積為苗

D.過。,M,N三點的平面截正方體ABCD-A瓦GR所得截面為六邊形

10.（2024?山西呂梁?二模）已知圓臺的高為3,中截面（過高的中點且垂直于軸的截面）的半徑

為3,若中截面將該圓臺的側(cè)面分成了面積比為1:2的兩部分，則該圓臺的母線長為.

H.現(xiàn)要將一邊長為101的正方體A8C。-A瓦G2,分割成兩部分，要求如下：（1）分割截面交正方體各

棱AA，BB],CG，于點P,Q,R,S（可與頂點重合）；（2）線段AP,BQ,CR,DS的長度均為

非負整數(shù)，且線段AP,BQ,CR,DS的每一組取值對應(yīng)一種分割方式，則有種不同的分割方式.

（用數(shù)字作答）

12.（2024?河南?模擬預測）在三棱柱A3C-A由4中，底面ABC,43=8。=。4=：刈，點尸

是棱AA上的點，AP=2PAi,若截面BPG分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為.

13.（2024?浙江紹興?模擬預測）過正三棱錐尸-ABC的高P”的中點作平行于底面ABC的截面，

若三棱錐尸-AqC與三棱臺ABC-AqG的表面積之比為3則直線可與底面ABC所成角的正切值

16

為一

14.（2024?山東臨沂?一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截

面的直徑被截得的一段叫做球冠的高?球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面

的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.

如圖1,一個球面的半徑為R,球冠的高是/?,球冠的表面積公式是S=2成/?,與之對應(yīng)的球缺的體積公式

1JT

是V=]兀/「（3R-〃）.如圖2,已知c,D是以A3為直徑的圓上的兩點，ZAOC=ZBOD=-,S扇形=6n,

則扇形COD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為,體積為.

圖2

15.（2024?高三?浙江寧波?期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球。，球。的體積為36兀，設(shè)圓錐頂點為尸,

TT

平面a為經(jīng)過圓錐頂點的平面，且與直線尸。所成角為設(shè)平面a截球。和圓錐所得的截面面積分別為

0

跖，S],則”=.

16.（2024?河南?三模）在正四棱柱ABC。-A與J，中，AB=i,朋=3,點尸為側(cè)棱。。上一點，過

4C兩點作垂直于3尸的截面，以此截面為底面，以8為頂點作棱錐，則該棱錐的外接球的表面積的取值

范圍是_.

17.（2024?重慶?三模）在三棱錐A-3C。中，為正三角形，ABCD為等腰直角三角形，

3CLCD且BC=1,AC=5則三棱錐人-BCD的外接球。的體積為—；若點E滿足&L=3BE，過點

E作球。