第4講不等式的性質(zhì)

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激活思維

1.（人A必一P43習(xí)題T8）下列命題為真命題的是（B）

A.若q>b>0,貝1」402>於2

B.若a>b>0,則a2>b2

C.若aV』VO,則層〈仍<扶

D.若a<6V0,貝

ab

【解析】對(duì)于A,〃=0時(shí)不成立；對(duì)于B,因?yàn)椤?gt;b>0,所以層—加二5+沖①一份

>0,所以小〉〃，所以B成立；對(duì)于C,因?yàn)椤?lt;6<0,所以層〉口〉〃，所以C不成立；

對(duì)于D,因?yàn)樗裕?gt;；,所以D不成立.

ab

2.（多選）若［<!<（）,則下列不等式正確的是（ACD）

ab

A.a-\-b<abB.同〉|目

C.a3>b3D.2a>2b

【解析】由1<』VO,得〃V0,6V0且Q>6,所以a+bVO,ab>09貝Ua+bVab,A

ab

正確；\a\<\b\,B錯(cuò)誤；a3>b3,C正確；因?yàn)楹瘮?shù)>=2x在R上單調(diào)遞增，所以2a>2\D

正確.

3.（人A必一P43習(xí)題T8改）已知非零實(shí)數(shù)eb滿足qVb,則下列不等式中一定成立

的是（D）

A.Ina<\nbB.->-

ab

C.a2<b2D.a3<b3

【解析】對(duì)于A,當(dāng)aVbVO時(shí)，不等式無(wú)意義，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,當(dāng)Q〈OVb時(shí)，

故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,當(dāng)a<6<0時(shí)，a2>b2,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,當(dāng)a<6時(shí)，a3<

ab

〃成立，故D正確.

4.（人A必一P42習(xí)題T5改）已知2<a<3,—貝！Ia+2b的取值范圍為q

2,1）.

【解析】因?yàn)橐?<6<—1,所以-4<26<-2.又2<。<3,所以-2<a+26Vl.

5.（人A必一P43習(xí)題T12）火車(chē)站有某公司待運(yùn)的甲種貨物1530t,乙種貨物1150t.現(xiàn)

計(jì)劃用A,B兩種型號(hào)的貨廂共50節(jié)運(yùn)送這批貨物.已知35t甲種貨物和15t乙種貨物可裝

滿一節(jié)/型貨廂，25t甲種貨物和35t乙種貨物可裝滿一節(jié)8型貨廂，據(jù)此安排/,2兩種

貨廂的節(jié)數(shù)，共有3種方案；若每節(jié)/型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0.5萬(wàn)元，每節(jié)8型貨廂的運(yùn)費(fèi)是

0.8萬(wàn)元，選用最節(jié)約成本的方案，運(yùn)費(fèi)為_(kāi)3L萬(wàn)元.

35x+25y2l530,

【解析】設(shè)安排/型貨廂x節(jié),3型貨廂y節(jié)，總運(yùn)費(fèi)為z,所以.i5x+35yNl150,

x+y—50,

7x+5y2306,

x=28x=29

所以?3x+7y2230,解得x228且xW30.又因?yàn)閤￡N*,所以?‘或?’或

y=22y=21

x+y=50,

?所以共有3種方案，方案一安排4型貨廂28節(jié)，5型貨廂22節(jié)；方案二安排力

卜=20.

型貨廂29節(jié)，5型貨廂21節(jié)；方案三安排/型貨廂30節(jié)，5型貨廂20節(jié).因?yàn)閦=0.5x

+O8y=40—03%,所以當(dāng)x=30時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少，此時(shí)z=40—0.3X30=31(萬(wàn)元).

聚焦知識(shí)

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a—b>0oa>b,

(1)作差法:a—b=G=a=b,

a—b<0=〃Vb.

tn

：>lQa>b(q￡R,6>0),

：=l=Q=b(a￡R,bWO),

(2)作商法：.

%

2.不等式性質(zhì)

(l)Q>bob〈a；a>b,6>C=Q>C；a>60a+c>b+c；a>b,c>d=>a~\-c>b~\-d；a

>b,c>0=>ac>bc；a>b,c<0=>ac<bc；a>b>0,c>d>O^ac>bd.

(2)\x-6z|+|x—b\^\b—a\.

(3)取倒法則：①a>b,ab>0=>-<-；②。<6<001>1；③a>6>0,0<c<d^->~；

ababcd

?0<a<x<b或a<x<Z?<0^<-<-<-.

bxa

(4)分式不等式：若。>6>0,m>0,則①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：,~>—(b->

aa+maa-mm

。)；②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：，工,［公….

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說(shuō)法

目幀u不等式的性質(zhì)

例1(1)(多選)已知a,b,。滿足c〈〃Vb,且QCVO,那么下列各式一定成立的是

(BCD)

A.QC(Q—c)〉0B.c(b-a)<0

C.cb2<ab2D.ab>ac

【解析】因?yàn)閎,。滿足c<aVb,且qc<0,所以。<0,6z>0,b>0,a-c>09b

—tz>0,所以QC(Q—C)V0,c(Z?—tz)<0,cb2<ab2,ab>ac.

(2)(2025-黃岡期初調(diào)研)(多選)已知。<0<6<4,貝l」(ABD)

A.ac+b<bc-\~aB.b3~\~c3<a3

C.*D.爺>專(zhuān)

b+cb7a

【解析】因?yàn)閏VOVbVq,所以qc〈bc=qc+bV6c+q,故A正確；因?yàn)閏VOVbVq,

所以03<O=63+C3<Q3,故B正確；因?yàn)閏VO<b〈Q,不妨令。=3,b=2,c=—l,

得士=2,7=|,此時(shí)士>一,故C錯(cuò)誤；因?yàn)閏<O<b<a,所以近>也>00:<3千

b+cb2b+cb\]aybyja

＞上，故D正確.

，總結(jié)提煉A

判斷不等式的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；

(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)；

(3)作差(商)法;

(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

變式1(多選)已知a,b,cWR,下列命題為真命題的是(BD)

A.若b<a<0,則bc2<ac2

B,若b>a>O>c,貝峪<￡

ab

C.若則">"

c-ac-b

D.若a>b>c>0,則2〉.十°

bb+c

【解析】對(duì)于A,—bc2=02(Q—6).因?yàn)閎<Q〈O,所以Q—6>0,又一20,所以02(〃

一6)三0,RPbc2^ac2,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,0一,=4^一①.因?yàn)?>Q>0>C,所以C(6—Q)

abab

<0,ab>0,所以￡,=遜二<o,即￡<￡,故B正確.對(duì)于C,‘一一一二c(T)

abababc-ac~b(。一。)(。一，)

因?yàn)镃>6>Q>0,所以C—Q>0,c-b>Ofa-b<0,所以-4_6=__c(a__b)_〈0,

c~ac~b(c—a)(c—b)

即q」,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,2—八=如土細(xì)土?=?*,因?yàn)閍>b>c>0,

c-ac-bbb+cb(b+c)b(b-\-c)

所以a—6>0,6+c>0,所以°—^">0,即故D正確.

b(6+c)bb+c

目幀日數(shù)(式)的大小比較

例2⑴若正實(shí)數(shù)a,b,c滿足c<a<c“<l,貝U(C)

A.aa<ab<baB.aa<ba<ab

C.ah<aa<baD.ab<ba<aa

【解析】因?yàn)閏是正實(shí)數(shù)，且c<l,所以0<cVl.由c<a<ca<l,得0<aV6<l.

因?yàn)镼=a"P>l,所以/<a".因?yàn)長(zhǎng)=0,0<-<1,a>0,所以(J<1,即綜上

abbab

可知，ab<aa<ba.

(2)設(shè)a>6>0,比較￡二上與心的大小.

a2~\~b2a~\-b

層一爐

【解答】因?yàn)椤?gt;6>0,所以￡二￡>0,—>0,所以貯土無(wú)="W=l+a%>

c^+b2a+ba~bc^+b2c^+b2

a~\~b

層一爐〉。一6

1,所以

cP+b2a+b

<總結(jié)提煉A

比較大小的常用方法：差值比較、商值比較和利用不等式性質(zhì)比較大小.熟記不等式性

質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.另外，介值

比較法也是比較大小的常用方法，其實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性：若a>b,b>c,則若

a<b,b<c,則QVC,其中6是介于Q與c之間的值，此種方法的關(guān)鍵是通過(guò)恰當(dāng)?shù)胤趴s，

找出一個(gè)比較合適的中介值.

變式2(1)(多選)已知實(shí)數(shù)Q,b滿足〃>爐+1,則下列不等關(guān)系一定正確的是

(ACD)

A.a>2bB.a>2b~\-1

C.a>b~1D.2a>Z?2—6+1

【解析】對(duì)于A,(Z>2+1)—2b=(b—1)220,所以1226,貝Ua>2b,故A正確.對(duì)

于B,(按+1)—(26+1)=抉-26,正負(fù)無(wú)法確定，取q=2.5,6=1,則滿足〃>加+1=2,

但a<2b+l=3,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,(加+1)—(6—1)=[-j2+：>o,則qA及+i〉?—卜

故C正確.對(duì)于D,由得2a>2r+2,又因?yàn)?2〃+2)—(尻―6+1)=〃+6+1

=G，-l-212+->0,所以2a>262+2>人2—6+1,故D正確.

4

(2)若a>6>l,0<c<l,貝！J(C)

A.ac<bcB.abc<bac

C.tzlogz,C<61ogaCD.logaC<logz)C

1111

【解析】(特殊值法)令a=3,b=2,c=：對(duì)于A,32>22,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,3X22

ab

111.

>2X32,故B錯(cuò)誤.對(duì)于D,Iog3->log2-,故D錯(cuò)誤.QlogbC—blogaC=lgullg6lga1j

lgc-1lglgaJ.因?yàn)椤?gt;b>l,所以1<〃</<相，所以衛(wèi)-----J>0,因?yàn)?<c<l,

lg6lga

所以lgc<0,所以alog/>c<61ogac,故C正確.

目liE求代數(shù)式的取值范圍

例3(1)已知一IWa+bWl,IWa—26W3,那么a+3b的取值范圍為

"+丸2=1,,

【解析】設(shè)。+36=%i(a+6)+N2(a—2b)=(2i+22)tz+(Ai—22*b,貝小解

]1—2丸2=3,

Ai=|.

得2又一5W'(a+b)W'，一2W——(a—2b)W—所以一口Wa+36W1.所以a

丸2=—.333333

3

-_11-

+36的取值范圍是_3

(2)(2024?石家莊二模)若實(shí)數(shù)x,y,zNO,且x+y+z=4,2%—y+z=5,則M=4x+3歹

+5z的取值范圍是」15,191.

【解析】因?yàn)閤+>=4—z,2x~y=5—z,所以x=3—■/，>=1—j.由x,z與0得

3—幺2z三0,

3

解得0WzW3,故M=4x+3y+5z=4+5z=—+15e[15,

33

z20,

19].

<總結(jié)提煉A

求代數(shù)式的取值范圍時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng)

(1)必須依照不等式的性質(zhì)；

(2)在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍，解決途徑是利用整體思想,

通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體的范圍.

變式3已知一6<a<8,2Vb<3,那么"的取值范圍是(-3,4).

b-

【解析】因?yàn)?cb<3,所以1<1<1.當(dāng)一6<°<0時(shí)，一3<“<0；當(dāng)0Wa<8時(shí),

362b

0〈F<4.綜上，f的取值范圍是(一3,4).

bb

新視角h最值問(wèn)題

例4(1)(2024?九省聯(lián)考)用maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0<a<6<c<1,已知

622a或a+6Wl,則max{6—a,c-b,1—c}的最小值為_(kāi)g_.

【解析】方法一：令b—a=m,c—b=n,1—c=p,其中冽，n,p>0,所以

b=l—n—p,

?令A(yù)f=max{6—a,c~b91_c}=max{m,n,p}.右6N2Q,貝U1—n~

q=1—m—n—p.

p22(l—m—孔一p),故2加+〃+p2l.因?yàn)椴匪?MN2加+〃+,三1,則AfN；.

\M^p,

若a+bWl,則1一〃一夕+1—m—幾一pWl,即加+2〃+22》1.因?yàn)?2M及2n,所以5M2m

2M^2p,

+2〃+2夕三1,則MN；,當(dāng)且僅當(dāng)冽+2〃+2/?=1且max{冽，〃，/?}=；時(shí)等號(hào)成立，如取加

=〃=P=；時(shí)等號(hào)成立.綜上可知，max{6—q,c—b,1一。}的最小值為；

t^b~a,

方法二：設(shè)，=max{6—〃，c~b9l-c}9若622Q,則6—因此」三°d

1—c,

t^a,

故412(b—a)+(c—b)+(l—c)+Q=l,即當(dāng)且僅當(dāng)6—0=o—6=1-0=。=：時(shí)取等

2b—1,

故率+2/N6+(c

號(hào).若Q+6W1,則6—。226—1,由立與?！?，得

t^c~b9

￡21—C,

—6)+(1—c)=l,即當(dāng)且僅當(dāng)26—l=c—6=1—c=；時(shí)取等號(hào).綜上可知，max{6

~a,c—b,1—c}的最小值為;.

(2)記min{a,b}為a,6中的最小值.當(dāng)正數(shù)x,y變化時(shí)，令f=min2苫十“x2+2y^,

則t的最大值為—也

【解析】因?yàn)閤>0,y>0,所以>W(2x+y)?號(hào)l=4寸2：2.2(，^^1產(chǎn))=2(：:2?)

N+2)2x2+2y2x2-l-2y2x2+2y2

=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y且2x+y=V4，即x=>=也時(shí)等號(hào)成立，所以/W也，所以/的最

爐+2)23

大值為也.

隨堂內(nèi)化

1.（2024?淮北二模）已知a,Z>eR,下列命題正確的是（D）

A.若a6=l,則a+b22

B,若1<1，則a>b

ab

C.若a>b,則In（〃-b）>0

D.若a>b>0,貝！Ja+~>b+~

ba

【解析】當(dāng)。=—1,b=—1時(shí)，a~\-b=-2,故A錯(cuò)誤.當(dāng)〃V0,6>0時(shí)，a〈b,

故B錯(cuò)誤.當(dāng)。=2,6=1時(shí)，In5-6）=0,故C錯(cuò)誤.若a>6>0,貝P>I>0,則a+l>

bab

故D正確.

a

2.已知c>l,且x=-c+1_yfc,y=\fc—\Jc—l,則x,y之間的大小關(guān)系是（C）

A.x>y

B.x=y

C.x<y

D.x,歹的關(guān)系隨c而定

【解析】由題設(shè)易知X,y>0,巖=9==*^「<1,所以X<y

yA/C—1\c+l+\c

3.（多選）若Q>6>0,c>d>0,則（BCD）

A.a—c>b—d

B.a（a+c）>6（b+J）

c.

a-\-db~\-c

Db+d<a+d

b-\-ca~\-c

【解析】對(duì)于A,取a=5,6=4,c=3,d=l,則a—c=2,b—d=3,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由a>b>0,c>d〉0,得a+c>6+d,則有a（a+c）>b（6+rf）,故B正確；對(duì)于C,

由a>b>0,c>d>09得ac>bd,且“V°等價(jià)于<7,等價(jià)于等價(jià)于

a+db+c?+idc

d

6+db+c+d—c]?d—cq+da+c+d-c]+d—c

ac>bd,故C正確;對(duì)于D,

b+cb-\-cb+ca+ca-\-ca+c

即士L等價(jià)于匕<匕,久d—c<o,

即等價(jià)于即等價(jià)于a+c>b+c,

b-\-ca~\-cb~\-cQ+Cb+ca-vc

即a>b,故D正確.

4.（2024?廈門(mén)四檢X多選）若Q<bV0,則（AD）

A.a2>b2B.ab<b2

C.2a>2bD.-+—^4

ba

【解析】對(duì)于A,由aVbVO,則同>也|>0=>層>62,故A正確；對(duì)于B,由

得必〉尻，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由》=2］在R上單調(diào)遞增，知2a<2%故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,

由〃VbV0,知2>0,—>0,故"+他力2%"他=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b<0時(shí)等號(hào)成立，故

baba\lba

D正確.

5.已知一lWx+yW2,—2Wx—yWl,貝!Jx—2”的取值范圍是」-4,2]_.

【解析】設(shè)％—2y=m(x+y)+n(x—y),則x—27=(加+n)x+(m—n)y,所以

_1

m=----,

1,1a,

■解得3所以x—2y=—7(工+0+式工一回.因?yàn)橐籰<x+y<2,一

m—n=-2,n=~,22

2

iiQi1a

2Wx—yWl,所以一]W—5(x+y)WQ,-3^~(x-3OW5,所以一4W——(x+^)+—(x—y)W2,

即一4Wx—2》W2.

品馨提示〕

'_____,，金30gM—_______）

練案?趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們及時(shí)完成《配套精練》.

練案?1.補(bǔ)不足、提能力，老師可增加訓(xùn)練《抓分題?高考夯基固本天天練》（提高版）

對(duì)應(yīng)內(nèi)容，成書(shū)可向當(dāng)?shù)匕l(fā)行咨詢(xún)購(gòu)買(mǎi).

2.為提高高考答卷速度及綜合應(yīng)考能力，老師可適時(shí)安排《一年好卷》或《抓分卷?高

考增分提速天天練》（提高版），成書(shū)可向當(dāng)?shù)匕l(fā)行咨詢(xún)購(gòu)買(mǎi).

配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)。，6均為非零實(shí)數(shù)且。<從則下列結(jié)論中正確的是(D)

A.1>1B.Q2Vb2

ab

C.D.a3<b3

a2b2

【解析】對(duì)于A,B,C,取〃=—1,b=l,貝a2=b2,A,B,C錯(cuò)誤;

ab出b'

R+|fl]2,32

對(duì)于D,由a<b,aWO,bWO,可得〃一cfi—Qj—a)(b2+aZ>+a2)—(b—a)4_>0,

所以〃<63,D正確.

2.已知實(shí)數(shù)。>6>0>c,則下列結(jié)論一定正確的是（A）

Aa、a

A.->-B.隊(duì)

bcQ

c.-<-D.a2>c2

ac

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閍>b>O>c,所以"O’，故A正確；對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)y

bc

=UhtR上單調(diào)遞減，且。>c,所以故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)椤?gt;0>c,則1>

a

o>-,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,若a=l,c=-2,滿足。>0>c,但故D錯(cuò)誤.

C

3.已知％,y滿足冽=]2+產(chǎn)+]9,n=4(2y—x)~1,貝!j加，〃滿足的大小關(guān)系是(D)

A.YYi>nB.m〈n

C.m^nD.m^n

【解析】m—n=x2-\-y2~\-19—4(2)-x)+1=(x+2)2+(y—4)2^0,當(dāng)且僅當(dāng)、=—2,y

=4時(shí)取等號(hào)，所以加三九

4.已知l<a<3,3cb<6,則立的取值范圍為(D)

2a

A.t0B.(2,6)

f1,3]

C.(1,6)D.UJ

【解析】因?yàn)樗?V2aV6,-<Z—<Z-,又3VbV6,所以，〈ev3.

62。222a

5.已知0<b<a,a+b=lf貝lj(D)

A.0<a<-B.~<b<\

22

C.ab>a2D.0<a~b<1

【解析】由OVBVQ,Q+6=1可得解得^VaVl,故A錯(cuò)誤；也可得0

2

<b<l-b,解得0<b〈l,故B錯(cuò)誤；由OVbVq可得即〃^〈層，故c錯(cuò)

2

誤；由A可知由B可知0<b〈l,即一，<一6<0,所以一l+，Va+(—b)Vl+0,

22222

即0<。一6<1,故D正確.

二、多項(xiàng)選擇題

6.(2024?蘇州期末)已知〃，6￡區(qū)，則是“。>6”的充分不必要條件的有(BD)

A.->-B.1ga>\gb

ab--

C.a3>b3D.a3>a2b

【解析】對(duì)于A,<-=l>7=1,此時(shí)有a=lV2=b,故A不符合題意；對(duì)于B,由

ab2

對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知lgq>lgb0a>b>0,故B符合題意；對(duì)于C,a3>/)3<=>tz3—b3=(a—b)(a2

卜+③++]*

-\~ab-\-b2)=(a~Z?)L4」>O=Q—b>OQQ>b,故C不符合題意；對(duì)于D,tz3>

2

ab=>a\a-b)>0=>a—b>0,QW0=Q>6且aWO,故D符合題意.

7.(2024?龍巖期中)已知a,b,c滿足cVbVa,且ac〈O,則下列選項(xiàng)中一定成立的是

(ABD)

A.ab>acB.——1>0

ac

22

C.cb<abD.QC(Q—c)V0

【解析】因?yàn)閏Vb<Q且acVO,所以Q>0,c<0且人的符號(hào)不確定.對(duì)于A,因?yàn)?/p>

b>c,a>Q,由不等式的基本性質(zhì)可得仍>ac,故A一定能成立；對(duì)于B,因?yàn)?一1=^―

acac

且ac<0,c-a<0,所以O(shè)>0,即1一1>0,故B一定能成立；對(duì)于C,取6=0,則

acac

—ab2,若6N0,則仍2<0b2,故c不一定成立；對(duì)于D,因?yàn)閍c<0,a—c>0,所以ac(a

-c)<0,故D一定能成立.

8,下列說(shuō)法正確的有(ACD)

A.若ac2Vbe2,則a<b

B.若a>b>0,c<d<0,\b\>\c\,則""

(〃一0)2(Jj—df

Q1Q

C.已知一lWa+bW4,2Wa—bW3,貝卜<3a—2b￡

22

D.若a,b,c為互不相等的正數(shù)，且〃2+按=26&則ac+b2>ab+bc

【解析】對(duì)于A,由4。2<命2,知02>0,故因此A正確.對(duì)于B,取a=4,b

則b+c=1=1a+d_3_3顯然忽2Vm'因此B

=3,c=—2,d=—\,

(q—c)26236’(b—d)24216’

錯(cuò)誤.對(duì)于C,由3Q—2b=3(a+b)+：(a—b),—1WQ+6W4,2Wa—bW3,得一

b)W2,—貝！j9wl(q+b)+'(a—b)W電，即—2b〈生，因此C正確.對(duì)

22222222

于D,由a,b,c為互不相等的正數(shù)，知次+尻〉？。/?.又。2+扶=2人0,所以26c>2〃b,即c

>a,所以c(a+b)>Q(a+b),即ac~\-bc>a2+ab,所以ac+2bc>a2~\-ab+bc.}La2+b2=2bc,

所以QC+Q2+62>Q2+Q6+6C,即QC+62>Q6+6C,因此D正確.

三、填空題

9.已知實(shí)數(shù)a,b滿足-3Wq+bW—2,1Wa—6W4,則3a~5b的取值范圍是」6,191.

【解析】因?yàn)?Q—5b=—(a+b)+4(a—b),由一+—2,得2W—(a+b)<3,

由1-W4,得4W4(a—b)<16,所以6W3a—56W19,即3。-56的取值范圍是[6,19].

10.已知2點(diǎn)<,則1的取值范圍為」2,271.

yy

冽+2〃=4,m=—2,

【解析】x4y7=(Ay2)m-lyJ=x"，+2"產(chǎn)所以解得

2m—n=—7,n=3.

由題得;W(x)2)-2W1,8w[jW27,兩式相乘得2W(肛2尸[；]<27,

即2W*27.

四、解答題

11.(1)已知q>b>0,c<d<0,e<0,求證：->~~.

a—cb—d

【解答】因?yàn)椤?gt;b>0,c〈d<0,所以一c>—d>0,a—c>b—d>0所以O(shè)V—-一<

9a-c

,又e<0,所以I-〉'一.

b-da—cb-d

rp-萬(wàn)2人2

(2)己知a>l,b>l,M=——+，一，N=——+——，試比較〃■與N的大小，并說(shuō)

a-lb~1a~1b~1

明理由.

【解答】由題意,/N1+E-E-上=--

a~\b~\a~Ib~\a~1b~l(?—1)(Z)—1)

ia-\~b)(a.因?yàn)閝>],b>i,所以〃-1>0,b—1>0,q+b>0,(a—/?)2^0,所以Af

(Q—1)(6—1)

—N=—世土幽二即MWN,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，M=N.

(q—l)(b—1)

12.已知。>0,b>0,且〃+b=2.

(1)求證：a2b+ab2^2；

【解答】a2b+ab2=ab(a+/>)=lab,因?yàn)?2>0,b>0,2=Q+bN2^b,所以0VMW1,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)等號(hào)成立，所以次按W2.

加+。

(2)求證:十72,

?+1b~\-1

a3-\-b+b3-\-a_a3+(2―a)+爐+(2—b)_(/一°)+2+(Z?3一6)+2

。+16+1。+16+1Q+16+1

2=,?+2上+3

Q(Q+1)((7—1)+2_1_/?(6+1)(6—1)+22

=a1-\-b1—a—b-\

a-\-1b+1。+16+1-

2(〃+b+2)8Q

-2=(a+by~2ab^2ab+2=^——2〃b+2,由(1)得0V

(。+1)3+1)qb+a+6+l。6+3

11Q1

abWl,則Q6+3W4,—ab2—1,因此2—,—2ab2—2,因此^2Q6+228X—

ab+34〃6+34

—I—A_|_zy

-2+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=l時(shí)等號(hào)成立，所以巴口+之口22.

a~\-1b~\-1

13.對(duì)在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)作如下定義：若ad〈bc,那么稱(chēng)點(diǎn)(a,

b)是點(diǎn)(c,的的“下位點(diǎn)”.

⑴點(diǎn)(3,11)是點(diǎn)(2,7)的“下位點(diǎn)”嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；

【解答】根據(jù)定義，易知3X7V11X2,所以點(diǎn)(3,11)是點(diǎn)(2,7)的“下位點(diǎn)

(2)若點(diǎn)(a,6)是點(diǎn)(c,力的“下位點(diǎn)”，試判斷且，月,士之間的大小關(guān)系；

bab+d

【解答】因?yàn)?Q,b)是(c,田的“下位點(diǎn)”，所以qdVbc