第

七

章

量

間向

與空

幾何

立體

體積

面積與

體的表

單幾何

形、簡(jiǎn)

體圖

本立

1基

§7.

生活

述現(xiàn)實(shí)

特征描

用這些

，能運(yùn)

特征

結(jié)構(gòu)

體的

組合

簡(jiǎn)單

、球及

、臺(tái)

、錐

識(shí)柱

1.認(rèn)

要求】

【課標(biāo)

并

式，

計(jì)算公

體積的

積和

表面

）臺(tái)的

棱（圓

）錐、

棱（圓

）柱、

棱（圓

球、

知道

結(jié)構(gòu)2

物體的

中簡(jiǎn)單

圖.

的直觀

間圖形

簡(jiǎn)單空

法畫出

二測(cè)畫

能用斜

題.3.

實(shí)際問(wèn)

簡(jiǎn)單的

能解決

知識(shí)

主干

實(shí)

■落

梳理】

【知識(shí)

構(gòu)特征

體的結(jié)

間幾何

1.空

征

結(jié)構(gòu)特

面體的

（1）多

棱臺(tái)

棱錐

名稱

圖形

形

多邊

底面

______

相交于

交

延長(zhǎng)線

側(cè)棱

定相等

但不一

_____

于___

側(cè)面

形狀

征

結(jié)構(gòu)特

轉(zhuǎn)體的

（2）旋

互相平行且相

延長(zhǎng)線交

母線等，________于相交于______

于______

底面

軸截面

側(cè)面展

開(kāi)圖

2.直觀圖

(1)畫法：常用.

⑵規(guī)則：

①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x'軸、y'軸的夾角為45?；?35。，z'軸

與x'軸和y'軸所在平面________.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍,平行于x軸和z軸的線段

在直觀圖中保持原長(zhǎng)度,平行于y軸的線段，長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的.

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

X-X八

側(cè)面展《'56?：

開(kāi)圖包眇一綠」掇/

側(cè)面積

S圓柱側(cè)=S圓錐側(cè)=S圓臺(tái)側(cè)=

公式

4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積

名稱

表面積體積

柱體S表=S側(cè)+2s底v=______

錐體S表=S側(cè)+S底v=______

臺(tái)體S表=s側(cè)+s上+s卜_________

球S表=_______________v=_________

【常用結(jié)論】

1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論

(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等(祖胞原理).

2.直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：SMS8H=SBa?,S原圖形=2限5直觀圖.

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）菱形的直觀圖仍是菱形.（）

（2）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（）

（3）用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.（）

（4）錐體的體積等于底面積與高之積.（）

2.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是（）

C.----------

A.四棱臺(tái)B.四棱錐

C.四棱柱D.三棱柱

3.（必修第二冊(cè)PH1T1改編）下列說(shuō)法正確的是（）

A.相等的角在直觀圖中仍然相等

B.相等的線段在直觀圖中仍然相等

C.正方形的直觀圖是正方形

D.若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行

4.若一個(gè)圓錐的底面半徑和高都是1,則它的母線長(zhǎng)等于，它的體積等于

■探究核心題型

題型一基本立體圖形

命題點(diǎn)1結(jié)構(gòu)特征

例1（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.底面是菱形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直的棱柱是正四棱柱

B.有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐

D.如果一個(gè)棱柱的所有面都是長(zhǎng)方形，那么這個(gè)棱柱是長(zhǎng)方體

命題點(diǎn)2直觀圖

例2如圖，O'B'是水平放置的△A08的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知。'

為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A',夕均在坐標(biāo)軸上，且△AO8的面積為12,則B'的長(zhǎng)度為（

A.1B.2C.3D.4

'y'

A'

-6-^-2/b'7

命題點(diǎn)3展開(kāi)圖

例3如圖，已知正三棱柱ABC—A出G的底面邊長(zhǎng)為1cm,高為5cm,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā),

沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)4點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為（）

A.12cmB.13cmC.^/61cmD.15cm

跟蹤訓(xùn)練1（1）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測(cè)畫法得到的直觀圖A'B'CD'是

邊長(zhǎng)為2的菱形，且。'D'=2,則原平面圖形的周長(zhǎng)為（）

X

A.4^2+4B.4^6+4

C.8^2D.8

（2）（多選）下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是（）

A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

C.長(zhǎng)方體是直平行六面體

D.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體

（3）有一根高為3兀，底面半徑為1的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的

兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長(zhǎng)度為.

題型二表面積與體積

命題點(diǎn)1表面積

例4（1）（2023?深圳模擬）以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周

所得圓柱的側(cè)面積等于（）

A.8兀B.4兀C.8D.4

（2）如圖所示，已知三棱臺(tái)ABC—46G的上、下底面都是等腰直角三角形，平面ABC,

AC=2,4G=1,CG=1,則這個(gè)三棱臺(tái)的側(cè)面積為（）

c11+373D3+24

命題點(diǎn)2體積

例5(1)如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，且△ADE,/\BCF

均為正三角形，EF//CD,EF=4,則該木楔子的體積為()

A.-^^B.4y[2D.2y[2

(2)(2023?新高考全國(guó)I)在正四棱臺(tái)ABCO—AiBCQi中，AB=2,4向=1,必=小,則該

棱臺(tái)的體積為.

思維升華求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成

割補(bǔ)法

規(guī)則的幾何體

等體通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體

積法積

跟蹤訓(xùn)練2(1)定義：通過(guò)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度(mm)來(lái)判斷降雨程度；其中小

雨(0mm—10mm),中雨(10mm—25mm),大雨(25mm—50mm),暴雨(50mm—100mm)；

小明用一個(gè)圓錐形容器(如圖)接了24小時(shí)的雨水，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)()

2U(Tmm

V7

300mm\_Vr-

\\//150mm

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

(2)(多選)已知在正四棱臺(tái)ABC。一AiSCid中，42=4,小修=2,AAi=2,則關(guān)于該正四棱

臺(tái)，下列說(shuō)法正確的是()

71

A.ZAiAB=-^B.高為吸

c.體積為呼

D.表面積為12小

§7.2球的切、接問(wèn)題

【重點(diǎn)解讀】與球的切、接問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間

想象能力、計(jì)算能力.其關(guān)鍵點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題或特殊

幾何體來(lái)解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的切、接問(wèn)題來(lái)解決.

■落實(shí)主干知識(shí)

一、正方體與球

1.內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R=正方體棱長(zhǎng)以

2.棱切球：棱切球直徑2R=正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)陋&

3.外接球：外接球直徑2R=正方體體對(duì)角線長(zhǎng)小a

二、長(zhǎng)方體與球

外接球：外接球直徑2R=體對(duì)角線長(zhǎng)后兩不『（a,b,c分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高）.

三、正棱錐與球

1.內(nèi)切球：V正棱怫=gs表了=15底場(chǎng)（等體積法），r是內(nèi)切球半徑，〃為正棱錐的高.

2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E,半徑為r,R2=（h—R）2

+3（正棱錐外接球半徑為R,高為h）.

四、正四面體的外接球、內(nèi)切球

若正四面體的棱長(zhǎng)為a,高為/7,正四面體的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為廣，則仁凈,

R=^a,r=罵,R：r=3：1.

五、正三棱柱的外接球

球心到正三棱柱兩底面的距離相等，正三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn)為其外接球球心.N=

Oh

1

六、圓柱的外接球

R=N腎+AR是圓柱外接球的半徑，/z是圓柱的高，廠是圓柱底面圓的半徑).

C)(5)

七、圓錐的外接球

%=(h—R)2+戶(R是圓錐外接球的半徑,/?是圓錐的高，7■是圓錐底面圓的半徑).

P

￡

核心題型一|

題型一外接球

命題點(diǎn)1定義法

例1(1)(2023?茂名模擬)已知菱形A8CD的各邊長(zhǎng)為2,NB=60。.將△A8C沿AC折起，折起

后記點(diǎn)B為P,連接PD,得到三棱錐尸一AC。，如圖所示，當(dāng)三棱錐P—AC。的表面積最

大時(shí)，三棱錐P—ACD的外接球體積為()

p*

BC

A5也兀1小兀

A.3a.3

C.2小兀D.8平兀

（2）（2023?韶關(guān)模擬）已知三棱柱ABC—ASG的側(cè)棱垂直于底面，且所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面

上，若A4i=AC=2,ABLBC,則此球的體積為.

思維升華到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找

其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

跟蹤訓(xùn)練1某建筑的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛(ài)好者制作了一個(gè)實(shí)心模型，己知模

型內(nèi)層底面直徑為12cm,外層底面直徑為16cm,且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為

20cm的球面上，則此模型的體積為cm3.

命題點(diǎn)2補(bǔ)形法

例2數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該

禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的

等腰三角形.將長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi的上底面AiBiCiD,繞著其中心旋轉(zhuǎn)45。得到如圖2

所示的十面體ABC。一EEGH.已知4B=AD=2,AE=巾，則十面體ABC。一EFGH外接球的

表面積是.

圖1

跟蹤訓(xùn)練2在四面體S—ABC中，SA_L平面ABC,在△ABC中，內(nèi)角2,A,C成等差數(shù)列,

SA=AC=2,AB=\,則該四面體的外接球的表面積為.

命題點(diǎn)3截面法

例3（1）（2022?新高考全國(guó)H）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為36和4小，其

頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.128兀C.144兀D.192兀

（2）在平面四邊形ABC。中，AB=AD=Cr>=l,BD=&BO_LCD將其沿對(duì)角線折成四

面體A'BCD,使平面A'2。，平面BCD.若四面體A'BCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球

的體積為（）

B.3兀D.2兀

跟蹤訓(xùn)練3（1）已知正四棱臺(tái)的上、下底面的頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，上、下底面正

方形的外接圓半徑分別為1和2,圓臺(tái)的兩底面在球心的同側(cè)，則此正四棱臺(tái)的體積為

（2）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為寸，兩個(gè)圓錐的

高之比為1：3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.3兀B.4兀C.9兀D.12兀

題型二內(nèi)切球

例4如圖所示，直三棱柱ABC—A1BG是一塊石材，測(cè)量得NABC=90。，42=6,BC=8,

A4i=13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身

手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為（）

32%

C.6兀，4D-亍，3

跟蹤訓(xùn)練4⑴（2023?淮北模擬泮球內(nèi)放三個(gè)半徑為小的小球，三小球兩兩相切，并且與球面

及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是（）

A.1+^3B.V3+V5

C.布+于D.小+木

⑵（2024.海東模擬）在正四棱錐尸一48C。中，PA=5,AB=6,則該四棱錐內(nèi)切球的表面積是

()

A4兀c24兀-36兀-72兀

A-B.-D.~^~

§7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

【課標(biāo)要求】1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空

間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義2了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)

題.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.基本事實(shí)1：過(guò)的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)2：如果一條直線上的_______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有過(guò)該點(diǎn)的公

共直線.

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線.

2.“三個(gè)”推論

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2：經(jīng)過(guò)兩條_______直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3：經(jīng)過(guò)兩條_______直線，有且只有一個(gè)平面.

3.空間中直線與直線的位置關(guān)系

直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);

共面直線

j直線：在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

異面直線:不同在一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).

4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

5.等角定理

如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角.

6.異面直線所成的角

（1）定義：已知兩條異面直線。，b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。分別作直線///a,b'//b,我們把

直線/與沙所成的角叫做異面直線。與b所成的角（或夾角）.

（2）范圍：.

【常用結(jié)論】

1.過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.

2.分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面.

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.（）

（2）直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種.（）

（3）如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.（）

（4）兩兩相交的三條直線共面.（）

2.（必修第二冊(cè)P147例1改編）已知正方體42cAiBiCiP,直線BP與直線AAi所成角

的余弦值是（）

3.（多選）給出以下四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤的是（）

A.不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線

B.若點(diǎn)A,B,C,。共面，點(diǎn)A,B,C,E共面，則點(diǎn)A,B,C,D,E共面

C.若直線a,b共面，直線a,c共面，則直線6,c共面

D.依次首尾相接的四條線段必共面

4.如圖，在三棱錐A—28中，E,F,G,X分別是棱AB,BC,CD,的中點(diǎn)，則:

（1）當(dāng)AC,8。滿足條件時(shí)，四邊形EFGH為菱形;

(2)當(dāng)AC,8。滿足條件時(shí)，四邊形EFGX為正方形.

■探究核心題型

題型一基本事實(shí)的應(yīng)用

例1已知在正方體ABC。一AiSG。中，E,尸分別為。Ci，C/i的中點(diǎn)，ACHBD^P,

4CinEF=Q.求證：

(1)。，B,F,E四點(diǎn)共面；

⑵若A1C交平面O8FE于點(diǎn)R,則P,Q,R三點(diǎn)共線；

(3)OE,BF,CG三線交于一點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練1在如圖所示的空間幾何體中，四邊形與A8CZ)都是梯形，BC//AD1.BC

=%。，BE//AFS.BE^^F,G,X分別為A尸，的中點(diǎn).

(1)證明：四邊形8CHG是平行四邊形；

(2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面？為什么？

題型二空間位置關(guān)系的判斷

例2(1)(多選)下列推斷中，正確的是()

A.M^a,MG0,aCB=-MGl

B.Ada,A",BGa,8G￡=an片AB

C.Ka,

D.A,B,CRa,A,B,C",且A,B,C不共線\a,萬(wàn)重合

（2）（2023?龍巖模擬）若。和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（）

A.異面或平行B.異面或相交

C.異面D.相交、平行或異面

思維升華判斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法：一是構(gòu)造幾何體（如長(zhǎng)方體、空間四邊

形等）模型來(lái)判斷.二是排除法.特別地，對(duì)于異面直線的判定常用到結(jié)論：“平面外一點(diǎn)A

與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線.”

跟蹤訓(xùn)練2（1）空間中有三條線段AB,BC,CD,且那么直線A8與CO

的位置關(guān)系是（）

A.平行

B.異面

C.相交或平行

D.平行或異面或相交均有可能

（2）（多選）如圖所示，在正方體ABC。一481GO1中，M,N分別為棱Gd，CC的中點(diǎn)，以

下四個(gè)選項(xiàng)正確的是（）

A.直線AM與CG是相交直線

B.直線4M與是平行直線

C.直線8N與MBi是異面直線

D.直線AM與?？谑钱惷嬷本€

題型三異面直線所成的角

例3（1）如圖，圓柱的軸截面ABC。為正方形，E為弧3c的中點(diǎn)，則異面直線AE與8C所成

角的余弦值為（）

（2）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面ABCD,異面直線AC

與尸。所成角的余弦值為邛，則四棱錐外接球的表面積為（）

A.48兀B.127tC.36兀D.9兀

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2023?莆田模擬）若正六棱柱ABCDEF-AiBGAEiB的底面邊長(zhǎng)為1,高為

則直線AEi和匹所成角的大小為（）

，兀c兀一兀