復(fù)習(xí)專題六曲線運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題

精剖細(xì)解細(xì)復(fù)習(xí)講義

知識(shí)點(diǎn)1:臨界極值問題

(1)臨界狀態(tài)定義

由某種物理現(xiàn)象變化為另一種物理現(xiàn)象或由某種物理狀態(tài)變化為另一種物理狀態(tài)時(shí)，發(fā)

生轉(zhuǎn)折的狀態(tài)叫臨界狀態(tài)。

(2)臨界問題簡單理解

臨界狀態(tài)可以理解為“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)"某種現(xiàn)象時(shí)的狀態(tài)。在問題的描

述中常用“剛好”、“剛能”、“恰好”等語言敘述。

(3)臨界問題解題關(guān)鍵

解題的關(guān)鍵是確定“恰好不出界”或“速度方向恰好與斜面平行”等的條件。

(4)極值問題定義

指在運(yùn)動(dòng)變化過程中的最大值和最小值問題。極值是指研究曲線運(yùn)動(dòng)中某物理量變化情

況時(shí)出遭到的最大值或最小值。可分為簡單極值問題和條件極值問題。

二重唯點(diǎn)、精析)

臨界問題的特征

有些題目中有“剛好”，，恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界

點(diǎn)。

若題目中有“取值范圍”“多長時(shí)間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著

“起止點(diǎn)”，而這些起止點(diǎn)往往就是臨界點(diǎn)。

若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極

值，這個(gè)極值點(diǎn)往往是臨界點(diǎn)。

臨界問題求解常用的方法

解析法通過對問題的分析，依據(jù)物體的條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)

而畫出函數(shù)圖像，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解（如求二次函數(shù)極值、基本

不等式等）。

圖解法根據(jù)矢量圖進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定該情景下的最大值和最小值。

極限法一種處理臨界問題的有效方法，它是指通過恰當(dāng)選取某個(gè)變化的物理

量將問題推向極端（“極大”、“極小”、“極右”、“極左"等），

從而把比較隱蔽的臨界現(xiàn)象暴露出來，使問題清晰明朗，便于分析求

解。

解題思路:

找出情景中臨界條件如“恰好”、“最大”、“最小”等關(guān)鍵詞，明確其含義。

畫出運(yùn)動(dòng)過程的草圖確定物體的臨界位置，標(biāo)注位移、速度等臨界值。

明確臨界過程的軌跡運(yùn)用曲線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)行求解。

處理平拋運(yùn)動(dòng)臨界問題的關(guān)鍵

平拋運(yùn)動(dòng)臨界問題解決的重點(diǎn)是：對題意進(jìn)行分析，提取實(shí)際模型并提煉出關(guān)于臨界條

件的關(guān)鍵信息。此類問題的臨界條件：通常為位置關(guān)系的限制或速度關(guān)系的限制，列出豎直

方向與水平方向上的方程，將臨界條件代入即可求解。

在分析此類問題時(shí)一定要注意從實(shí)際出發(fā)尋找臨界點(diǎn)，畫出物體運(yùn)動(dòng)過程的草圖，明確

臨界條件。

現(xiàn)（.平拋運(yùn)動(dòng)臨界極值問題

一、單選題

1.如圖，在某闖關(guān)娛樂節(jié)目中，小紅從軌道就C上的不同位置由靜止自由滑下，從c處水平

飛出，都能落到直徑為/的圓形浮板上，軌道、直徑在同一豎直面內(nèi)。C點(diǎn)離水面的高度為

h,浮板左端離c點(diǎn)的水平距離為運(yùn)動(dòng)過程中，小紅視為質(zhì)點(diǎn)并忽略空氣阻力，重力加速

度為g,則小紅離開c時(shí)速度v的范圍為（）

2.如圖所示，小球B在A球的正下方兩球相距/I,將A球以速率叼沿水平向右拋出，同時(shí)

將小球B以速率V2沿豎直向上拋出，不考慮兩球的大小及空氣阻力，則兩球在落地前球A

與B之間的最短距離為（）

A.h/J2B.h為C.h/Vl2D.h-

2

J破一片V；W+V；v2

3.2022年北京冬奧會(huì)中國滑雪運(yùn)動(dòng)員谷愛凌在女子大跳臺(tái)滑雪比賽中獲得金牌。現(xiàn)假定某

運(yùn)動(dòng)員從滑雪跳臺(tái)以不同的速度/水平跳向?qū)γ鎯A角為45。的斜坡（如圖所示），已知跳臺(tái)

的高度為/?,不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g,則該運(yùn)動(dòng)員落到斜坡上的最小速度為（）

A.“夜_l）g/zB.C.^y/5-1）g/iD.N娓-l）gh

二、多選題

4.中國的面食文化博大精深，種類繁多，其中“山西刀削面”堪稱天下一絕，傳統(tǒng)的操作手

法是一手托面，一手拿刀，直接將面削到開水鍋里。如圖所示，小面圈（可視為質(zhì)點(diǎn)）剛被

削離時(shí)距開水鍋的高度為〃，與鍋沿的水平距離為L,鍋的半徑也為L,將削出的小面圈的

運(yùn)動(dòng)視為平拋運(yùn)動(dòng)，且小面圈都落入鍋中，重力加速度為g。則下列關(guān)于所有小面圈在空中

運(yùn)動(dòng)的描述，正確的是（）

A.運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相同

B.速度的變化量都相同

C.若小面圈的初速度為w,則43

\2h，2h

D.小面圈落入鍋中時(shí)，最大速度是最小速度的3倍

5.如圖所示，傾斜放置的擋板OQ與豎直方向的夾角為45。,從O點(diǎn)正下方的P點(diǎn)以％=2m/s

的水平初速度向右拋出一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），若小球的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與擋板上的〃點(diǎn)相

切點(diǎn)未畫出），重力加速度g取10m/s2,不考慮空氣阻力，則（）

0、

浜X

Pi

：%

Q

A.小球到達(dá)M點(diǎn)時(shí)的速度大小為2Gm/s

B.從尸到M過程中，小球的速度的變化量大小為2m/s

C.0、P兩點(diǎn)間的距離為0.2m

D.小球經(jīng)過M點(diǎn)之后將沿直線MQ運(yùn)動(dòng)

6.在山頂扔石塊，可以簡化如圖所示，傾角為6的斜面固定在水平面上，從斜面頂端以速

度%水平拋出一小球，經(jīng)過時(shí)間辦恰好落在斜面底端，速度是"，不計(jì)空氣阻力。下列說法

正確的是（）

A.若以速度2%水平拋出小球，則落地速度大小等于v

B.若以速度2%水平拋出小球，則落地速度方向與v同向

C.若以速度65%水平拋出小球，則撞擊斜面時(shí)速度方向與v同向

D.以速度/水平拋出時(shí)，距離斜面最遠(yuǎn)時(shí)所用時(shí)間一定等于今

**

熟?斜拋運(yùn)動(dòng)臨界極值問題

一、單選題

7.如圖所示，某同學(xué)在籃筐前某位置跳起投籃?；@球出手點(diǎn)離水平地面的高度/?=L8m。籃

球離開手的瞬間到籃筐的水平距離為5m,水平分速度大小尸10m/s,要使籃球到達(dá)籃筐時(shí),

豎直方向的分速度剛好為零。將籃球看成質(zhì)點(diǎn)，籃筐大小忽略不計(jì)，忽略空氣阻力，取重力

加速度大小g=10m/s2?；@筐離地面的高度為（

C.3.25mD.3.5m

8.某同學(xué)不小心將球踢出圍墻，他請墻外的路人幫他將球踢進(jìn)圍墻內(nèi)，圍墻AB有一定厚

度，路人從尸點(diǎn)（P點(diǎn)可左右移動(dòng)）將球踢過圍墻。設(shè)球踢出時(shí)的速度與水平向右的方向成

e角，不計(jì)空氣阻力，以下說法正確的是（）

ZB

A.若P點(diǎn)位置確定，無論，角多大，只要速度足夠大，一定能將球踢進(jìn)圍墻內(nèi)

B.路人將球踢過圍墻內(nèi)做的功最小時(shí)，4角應(yīng)滿足45。＜。＜90。

C.路人越靠近圍墻，將球踢過圍墻所做的功越小

D.路人將球踢過圍墻內(nèi)做的功越小，球從踢出到越過墻壁后落到地面所花的時(shí)間越短

9.如圖所示，某人手持一小球并將它拋向豎直墻的洞里，洞口較小，僅在小球的速度方向

垂直于墻面時(shí)小球才能進(jìn)入，洞離地面的高度H=3.3m,球拋出手時(shí)，球離地面的高度

4=1.5m,人和墻之間有一張豎直網(wǎng)，網(wǎng)的高度%=2.5m,網(wǎng)離墻的距離z=2m,忽略空氣

A.只要人調(diào)整好拋球速度的大小以及拋射角度，不管人站在離網(wǎng)多遠(yuǎn)的地方，都可以把球

扔進(jìn)洞

B.要使小球被扔進(jìn)洞，人與網(wǎng)之間的距離至少為1.5m

C.若小球能進(jìn)入洞中，人距離網(wǎng)越遠(yuǎn)，球拋出手時(shí)的速度與水平方向的夾角越大

D.若小球能進(jìn)入洞中，人距離網(wǎng)越遠(yuǎn)，球拋出手時(shí)的速度越大

二、多選題

10.如圖所示，某場比賽中籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線外離地面高度/?=2.3m,與籃筐中心的水平

距離L=6.8m的位置將籃球拋出?；@球離手時(shí)的速度與水平方向夾角為45。，并恰好無擦碰

地進(jìn)入籃筐。已知籃筐離地面高8=3.05m,重力加速度g=10m/s2,忽略空氣阻力的影響，

下列說法正確的是（）

A.從離手到剛進(jìn)入籃筐，籃球做的是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

B.離手1.1s后籃球進(jìn)入籃筐

C.離手時(shí)，籃球的速度大小約為6.2m/s

D.從離手到剛進(jìn)入籃筐，籃球速度的改變量的大小為10m/s

11.如圖所示，有一半圓形曲面固定于地面上。一質(zhì)量為根的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止于

曲面最高位置A點(diǎn)，由于受到輕微擾動(dòng)，小球由靜止沿曲面向右側(cè)滑動(dòng)，控制小球與曲面

之間的摩擦因數(shù)，使其運(yùn)動(dòng)至曲面上B點(diǎn)時(shí)恰好脫離曲面，最終落在水平地面上C點(diǎn)（未

2

畫出）。已知曲面半徑大小為5m,AO與08之間夾角為60°,g=10m/so貝U（）

B.小球運(yùn)動(dòng)至2點(diǎn)速度大小為5&m/s

C.小球運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)速度大小為5Grn/s

D.小球落地位置C點(diǎn)到圓心。點(diǎn)之間的水平距離為丑8受叵m

8

12.如圖所示，將一個(gè)小球以初速度%從傾角為30。的足夠長的斜面底端斜向上拋出，其初

速度方向與水平面夾角為60。，不考慮空氣阻力和浮力，且該地重力加速度為g,則下列說

A.小球運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度為々B.小球拋出圓時(shí)間后距離斜面最遠(yuǎn)

2g

C.小球拋出?時(shí)間后距離斜面最遠(yuǎn)D.小球落至斜面上時(shí)的速度方向與斜面夾角

3g

為30°

，*

會(huì)（.類平拋運(yùn)動(dòng)臨界極值問題

一、單選題

13.如圖所示，一光滑寬闊的斜面，傾角為凡高為〃，重力加速度為g?，F(xiàn)有一小球在A

處貼著斜面以水平速度％射出，最后從8處離開斜面。下列說法中正確的是（）

A.小球的運(yùn)動(dòng)軌跡不是拋物線

B.小球所受合力始終與速度垂直

C.小球到達(dá)6點(diǎn)的時(shí)間為

D.小球的加速度大小為gtan。

14.一足夠大且光滑的矩形斜面，傾角為仇高為〃，現(xiàn)有一小球在A處沿平行于底邊的初

速度vo滑上斜面,最后從B處離開斜面。已知重力加速度大小為g。下列說法正確的是（）

A.小球的加速度為g

B.小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線

C.小球從A處到達(dá)8處所用的時(shí)間為《

D.小球從A處到達(dá)8處的水平位移為‘片」殳

g

15.如圖所示，一光滑斜面體固定在水平面上，其斜面A8C。為矩形，與水平面的夾角為6,

邊水平且距水平面的高度為鼠現(xiàn)將質(zhì)量為機(jī)的小球從斜面上的A點(diǎn)沿方向以速度%

水平拋出，忽略空氣阻力，小球恰好運(yùn)動(dòng)到斜面的左下角C點(diǎn)，已知重力加速度為g,下列

說法正確的是（）

A.小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中做變加速曲線運(yùn)動(dòng)

B.小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間為

2h

C.AD邊的長度為%

sin。'g

D.小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為％=舊+gh

1.如圖所示，豎直面內(nèi)虛線與X軸之間寬度為H的區(qū)域內(nèi)存在大小恒定的水平風(fēng)力(其他

區(qū)域不存在風(fēng)力)。自該區(qū)域上方某一點(diǎn)A(圖中未畫出)將質(zhì)量為根的小球以一定初速度

水平拋出，恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)。進(jìn)入風(fēng)力區(qū)域。若風(fēng)力沿水平向左方向，小球從點(diǎn)。(Im,3m)

離開風(fēng)力區(qū)域時(shí)的速度方向恰好豎直向下；若風(fēng)力沿水平向右方向，小球恰好做直線運(yùn)動(dòng)，

并從尸點(diǎn)離開該區(qū)域。豎直方向只受重力作用，且重力加速度大小為g=10m/s2。求：

(1)尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)小球從Q點(diǎn)離開時(shí)的速度大小；

(3)小球拋出點(diǎn)A的坐標(biāo)。

2.風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室可以產(chǎn)生水平方向的、大小可以調(diào)節(jié)的風(fēng)力。如圖，兩水平面(虛線)間距為H,

虛線區(qū)域存在方向水平向右、大小恒定的風(fēng)力。在該區(qū)域上方0點(diǎn)將質(zhì)量均為，”的小球4

8以大小相等、方向相反的水平速度拋出，其中A球向右，8球向左。兩小球在重力作用下

進(jìn)入虛線區(qū)域，并從該區(qū)域的下邊界離開。已知8球離開虛線區(qū)域時(shí)速度豎直向下；A球在

虛線區(qū)域做直線運(yùn)動(dòng)，剛離開虛線區(qū)域時(shí)其速度為B球剛離開虛線區(qū)域時(shí)的折石倍。不計(jì)

虛線區(qū)域上方的空氣阻力，重力加速度為g。求:

BOA

?------.------?

_左_____〃1_右

(1)4與B在虛線區(qū)域中的水平位移之比；

(2)0點(diǎn)距虛線區(qū)域上邊界的距離；

(3)虛線區(qū)域中水平風(fēng)力的大小。

3.如圖所示，在足夠高的豎直墻面上A點(diǎn)，以水平速度vO=10m/s向左拋出