第4講幾何證明選講、不等式選講專題八

附加題板塊三專題突破核心考點[考情考向分析]1.考查三角形及相似三角形的判定與性質；圓的相交弦定理，切割線定理；

圓內接四邊形的性質與判定，屬B級要求.2.考查含絕對值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質求最值以及幾個重要不等式的應用，屬B級要求.熱點分類突破真題押題精練內容索引熱點分類突破熱點一三角形相似的判定及應用證明例1

(2018·徐州模擬)如圖，AB是圓O的直徑，弦BD,CA的延長線相交于點E,EF垂直BA的延長線于點F.求證：AB2＝BE·BD－AE·AC.所以BD·BE＝BA·BF.證明連結AD，BC，因為AB為圓O的直徑，所以AD⊥BD，又EF⊥AB，則A，D，E，F(xiàn)四點共圓，所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB2.思維升華在證明線段的乘積相等時，通常用三角形相似或圓的切割線定理.同時，要注意等量的代換.證明跟蹤演練1如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經過圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD.證明連結OD.因為AB和BC分別與圓O相切于點D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因為∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.熱點二圓有關定理、性質的應用證明例2

(2018·江蘇南京師大附中模擬)在△ABC中，已知AC＝

AB，CM是∠ACB的角平分線，△AMC的外接圓交BC邊于點N，求證：BN＝2AM.證明如圖，在△ABC中，因為CM是∠ACB的角平分線，因為BA與BC是圓O過同一點B的弦，所以BN＝2AM.本題使用三角形內角平分線定理和圓的切割線定理，靈活進行等量代換，較好體現(xiàn)了化歸和轉化的數(shù)學思想.思維升華證明跟蹤演練2

(1)(2018·南通、徐州、揚州等六市模擬)如圖，A，B，C是⊙O上的3個不同的點，半徑OA交弦BC于點D.求證：DB·DC＋OD2＝OA2.證明如圖，延長AO交⊙O于點E，則DB·DC＝DE·DA＝(OD＋OE)·(OA－OD).∵OE＝OA，∴DB·DC＝(OA＋OD)·(OA－OD)＝OA2－OD2.∴DB·DC＋OD2＝OA2.證明(2)(2018·江蘇鹽城中學模擬)如圖，過點A的圓與BC切于點D，且與AB，AC分別交于點E，F(xiàn).已知AD為∠BAC的平分線.求證：EF∥BC.證明如圖，連結ED.因為圓與BC切于D，所以∠BDE＝∠BAD.因為AD平分∠BAC.所以∠BAD＝∠DAC.又∠DAC＝∠DEF，所以∠BDE＝∠DEF.所以EF∥BC.熱點三不等式的證明證明證明∵a,b,c為正實數(shù)，(當且僅當a＝b＝c時取“＝”).故原式成立.證明(2)已知x＞0，y＞0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.證明因為x＞0，y＞0，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立.思維升華證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法等；依據(jù)不等式的結構特征，也可以直接使用柯西不等式進行證明.證明跟蹤演練3已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.證明2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).因為a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.熱點四柯西不等式證明＝(a＋b＋c＋d)2＝1，又(1＋a)＋(1＋b)＋(1＋c)＋(1＋d)＝5，解答因為a＋b＋c＝1，思維升華利用柯西不等式證明不等式或求最值時，要先根據(jù)柯西不等式的結構特征對式子變形，使之與柯西不等式有相似的結構.解答解由柯西不等式得，＝(x＋y＋z)2

＝16，真題押題精練證明1.(2018·江蘇)如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長線上一點，過P作圓O的切線，切點為C.若PC＝

，求BC的長.證明如圖，連結OC.因為PC與圓O相切，所以OC⊥PC.又因為OB＝2，從而B為Rt△OCP斜邊的中點，所以BC＝2.證明2.(2018·江蘇)若x，y，z為實數(shù)，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.證明由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.因為x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，所以x2＋y2＋z2的最小值為4.3.(2017·江蘇)如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點C，AP⊥PC，P為垂足.求證：(1)∠PAC＝∠CAB；證明因為PC切半圓O于點C，所以∠PCA＝∠CBA，因為AB為半圓O的直徑，所以∠ACB＝90°，因為AP⊥PC，所以∠APC＝90°.因此∠PAC＝∠CAB.證明證明(2)AC2＝AP·AB.即AC2＝AP·AB.證明4.(2017·江蘇)已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋