第9節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題

考試要求1.會(huì)從統(tǒng)計(jì)圖表中提取有效信息，用以解決概率問題.2.能夠解決概率

與回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問題.

■考點(diǎn)

考點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)圖表與概率

例1(12分)為了解決家長接送孩子放學(xué)的問題，教育部提出推行課后服務(wù)“5+2”

模式，即學(xué)校每周5天都要開展課后服務(wù)，每天至少開展2h,結(jié)束時(shí)間要與當(dāng)?shù)?/p>

正常下班時(shí)間相銜接，且不得利用課后服務(wù)時(shí)間講新課.為了課后服務(wù)的有序開展，

某教育局就課后服務(wù)的時(shí)長在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行意見征集，并從中隨機(jī)抽取了100份調(diào)

查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：

頻率

組距

0.0150-------------------

0.0125---------------

0.0075----------------------

().0050--------

O.(X)25--------------------------1

120140ia)1802(X)220240~~*

課后服務(wù)時(shí)長/min

(1)從樣本中隨機(jī)抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長超過

200min,求另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長也超過200min的概率；

⑵為了進(jìn)一步了解課后服務(wù)時(shí)長的需求情況，從樣本中建議課后服務(wù)時(shí)長超過

180min的人中分層抽取10人，再從這10人中任取3人，記建議課后服務(wù)時(shí)長

在［180,200)的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

［思路分析］(1)先根據(jù)頻率分布直方圖求出課后服務(wù)時(shí)長超過200min的調(diào)查表

份數(shù)，再設(shè)出相關(guān)事件并求概率，最后根據(jù)條件概率的概率計(jì)算公式求解即可；

(2)先根據(jù)題意及分層隨機(jī)抽樣的知識(shí)求出X的所有可能取值，然后求解相應(yīng)的概

率，列出分布列，求得數(shù)學(xué)期望.

［規(guī)范解答］解(1)依題意，課后服務(wù)時(shí)長超過200min的調(diào)查表共有

100X(0.0075+0.0025)X20=20(份嚴(yán)，(1分)

設(shè)事件A為其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長超過200min,事件3為另一

份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長也超過200min,

C3oC』o+C%p的急,

則分)

P(A)=C?oo(3

.PCAB)C20

LL=

故P(B|A)=p(A)CioC^o+C^o

19019

5(5分)

1600+190-179

(2)根據(jù)題意及分層隨機(jī)抽樣的知識(shí)可知，抽取的10人中，建議課后服務(wù)時(shí)長在

[180,200)內(nèi)的有6人,

則X的所有可能取值為0,1,2,3?,(7分)

且P(X—0)—C%—30，

p(x—1)—c^o-10，

P(X—2)―c?o-2，

e1

P(X—3)—6⑤，(10分)

所以X的分布列為

X0123

1311

P

301026

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X表+1X4+2><3+3xt=1@.(12分)

[滿分規(guī)則]

?得步驟分

①②⑤每列一個(gè)式子并計(jì)算正確可得1分;

?得關(guān)鍵分

③是條件概率公式得2分，④隨機(jī)變量取值不要多寫也不能漏寫;

?得計(jì)算分

⑥正確計(jì)算期望可得2分.

訓(xùn)練1某社區(qū)為了了解居民收看杭州亞運(yùn)會(huì)的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名居民，獲

得他們?nèi)站湛春贾輥嗊\(yùn)會(huì)的時(shí)長數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分成6組：[0,0.5],(0.5,1],

(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3],并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

0.6

0.4---------

00.511.522.53時(shí)長〃卜時(shí)

假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替.

(1)試估計(jì)該社區(qū)居民日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長的平均值；

⑵以頻率估計(jì)概率，從該社區(qū)居民中隨機(jī)抽取3人，以X表示其中日均收看杭州

亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長在(1.5,2.5］的居民人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)經(jīng)過進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這100名居民收看杭州亞運(yùn)會(huì)的方式有：①收看新聞或

收看比賽集錦，②收看比賽轉(zhuǎn)播或到現(xiàn)場觀看.他們通過這兩種方式收看的日均

時(shí)長與其日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長的比值如下表：

日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長/小時(shí)通過方式①收看通過方式②收看

[0,0.5]10

21

(0.5,1,5]

33

12

(1.5,3]

33

日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長在［0,0.5］,(0.5,1.5］,(1.5,3］的居民通過方式①收

看的平均時(shí)長分別記為〃1,〃2,〃3,寫出41,〃2,〃3的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證

明)

解(1)根據(jù)題意，估計(jì)該社區(qū)居民日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長的平均值為

(0.5X0.1+1X0.3+1.5X0.4+2X0.6+2.5X0.4+3X0.2)X0.5=1.875小時(shí).

(2)由條件可知，從該社區(qū)居民中隨機(jī)抽取1人，其日均收看杭州亞運(yùn)會(huì)的時(shí)長在

(1.5,2.5］的概率估計(jì)為(0.6+0.4)X0.5=0.5,

X的可能取值為0,1,2,3,且X?3(3,

則P(X=0)=W=|,

P(X=1)=C(|)=|,

P(X=2)=C(|)=|)

P(X=3)=C￡)=|,

所以X的分布列為

X0123

1331

P

8888

13

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3X2=].

(3)〃i=0.5Xl=0.5小時(shí)，

因?yàn)?0.5,1],(1,1.5]的人數(shù)之比為3：4,

所以〃2=[1乂'+1.5乂4*|=3小時(shí)，

因?yàn)?1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]的人數(shù)之比為3：2：1,

所以〃3=12乂5+2.5*不+3><&|*1=§小時(shí)，

所以

考點(diǎn)二回歸分析與概率

例2(2024.青島模擬)為了豐富農(nóng)村兒童的課余文化生活，某基金會(huì)在農(nóng)村兒童聚

居地區(qū)捐建“悅讀小屋”.自2019年以來，某村一直在組織開展“悅讀小屋讀書

活動(dòng)”.下表是對(duì)2019年以來近5年該村少年兒童的年借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：

年份20192020202120222023

年份代碼X12345

年借閱量M冊(cè))V3692142

5

(參考數(shù)據(jù)：￡%=290)

(1)在所統(tǒng)計(jì)的5個(gè)年借閱量中任選2個(gè)，記其中低于平均值的個(gè)數(shù)為X,求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

(2)通過分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃分別用①尸35L47和②尸5X2+機(jī)兩種模型

作為年借閱量y關(guān)于年份代碼x的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，求出模

型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并用殘差平方和比較哪個(gè)模型擬合效果更好.

解(1)由題知，5年的借閱量的平均數(shù)為

又yi+*=290—36—92—142=20,

則yi<58,丁2<58,

所以低于平均值的有3個(gè)，

所以X服從超幾何分布，

P(X=?=—^―(左=0,1,2),

C9C31Cid63C4C93

(=1)=-==,(=2)=-=,

所以P(X=°)=萬=15,PXCFTO5PXCFIO

所以X的分布列為

X012

133

P

10510

所以E(X)=0X^+lx|+2X^=1.

12+22+32+42+52

(2)因?yàn)?

511,

5

石y290

虧一丁一58,

所以58=5X11+機(jī)，即機(jī)=3.

所以模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為<=5爐+3,

根據(jù)模型①的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得

yi=-12,>2=23,”=58,>4=93,>5=128,

根據(jù)模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得

AAAAA

yi=8,>2=23,>3=48,>4=83,”=128,

因?yàn)椋?yi+12)2+(>2—23)2+(36—58)2+(92—93)2+(142—128月一［(yi—8)2+(p—

23)2+(36—48)2+(92—83y+(142—128)2］=(yi+12)2—(約一8)2+222—122+F—

92=40yi+340,且yi》0,

所以模型①的殘差平方和大于模型②的殘差平方和，所以模型②的擬合效果更好.

感悟提升高考常將回歸模型與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，求解時(shí)注意概率

模型的應(yīng)用，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵.

訓(xùn)練2擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國古代傳統(tǒng)民間酒宴上的助興游戲，屬于酒

令的一種，又稱“擊鼓催花”，在唐代時(shí)就已出現(xiàn).杜牧《羊欄浦夜陪宴會(huì)》詩

句中有“球來香袖依稀暖，酒凸觥心泛艷光”，可以得知唐代酒宴上擊鼓傳花助

興的情景.游戲規(guī)則為：鼓響時(shí)，開始傳花（或一小物件），鼓響時(shí)眾人開始依次

傳花，至鼓停為止，此時(shí)花在誰手中（或其序位前），誰就上臺(tái)表演節(jié)目（多是唱歌、

跳舞、說笑話或回答問題、猜謎、按紙條規(guī)定行事等）.某單位組織團(tuán)建活動(dòng)，9

人一組，共9組，玩擊鼓傳花，組號(hào)x（前五組）與組內(nèi)女性人數(shù)y統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

X12345

y22344

若女性人數(shù)y與組號(hào)式組號(hào)變量x依次為1,2,3,4,5,…）具有線性相關(guān)關(guān)系.

n

AY^xiyi—nxy人

（1）請(qǐng)求出女性人數(shù)y關(guān)于組號(hào)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（參考公式：人=:——?a

Y^Xi—nx2

=y-bx）

（2）從前5組中隨機(jī)抽取3組，若3組中女性人數(shù)不低于3人的有X組，求X的分

布列與期望.

一1

解⑴由題可得x=/（l+2+3+4+5）=3,

2+2+3+4+4

尸5:3.

55、^

22222

Y^Xiyi=519^X?=1+2+3+4+5=55,

5

Y^xiyi—5x-y

則，=

5一=0.6,

5x2

Q—y—6x=3—0.6X3=1.2,

所以y=0.6x+1.2.

（2）由題可知X的所有可能取值為1,2,3,

3

P(X=1)=3—10,

CiCj_3

P(X=2)=eg一亍

C蝎1

尸(X=3)=

eg-10,

則X的分布列為

X123

331

P

10510

9

所以E(X)=:

考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率

例3（2024.廣州模擬）某高校為調(diào)查學(xué)生性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，在全校

范圍內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，經(jīng)

統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的等高堆積條形圖.

口不喜歡口喜歡

⑴根據(jù)等高堆積條形圖，填寫下列2X2列聯(lián)表，并依據(jù)?=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),

是否可以認(rèn)為該校學(xué)生的性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián);

是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)

性別

是不

男生

女生

（2）將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，設(shè)其中喜歡

排球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的人數(shù)為X,求使得P（X=?取得最大值時(shí)的k值.

〃(ctd-be)2

附：/=(a+6)(c+d)(。+。)(b+d)'其中"=a+'+c+d，wooi=lO-828.

解（1）由等高堆積條形圖知，2X2列聯(lián)表為

是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)

性別

是否

男生3070

女生6040

零假設(shè)為Ho：性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)無關(guān),

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)

9200X(40X30—60X70)

元―100X100X110X90^18.182>1O.828=XO.OOI,

依據(jù)a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷Ho不成立，即性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)

有關(guān)聯(lián).

一909

(2)由(1)知，喜歡排球運(yùn)動(dòng)的頻率為而=布,

所以隨機(jī)變量X?3(50,4

9\50~k

則P(X=k)=C&o一利(0WQ50,MN),

解得方W左Wk?

因?yàn)樽?N,所以當(dāng)k=22時(shí)，尸(X=攵)取得最大值.

感悟提升高考常將獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，由2X2列聯(lián)表

解決相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是正確理解2X2列聯(lián)表，能利用2X2列聯(lián)表正確計(jì)

算出各組數(shù)據(jù).

訓(xùn)練3(2024.杭州模擬)在杭州亞運(yùn)會(huì)的志愿者選拔工作中，某高校承辦了亞運(yùn)會(huì)

志愿者選拔的面試工作，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試

成績分五組，第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),

第五組［85,95］,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右前三個(gè)組

的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a,6的值，并估計(jì)這80名候選者面試成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.1);

(2)已知抽取的80名候選人中，男生和女生各40人，男生希望參加寧波賽區(qū)志愿

服務(wù)的有10人，女生希望參加寧波賽區(qū)志愿服務(wù)的有20人，補(bǔ)全下面2X2列聯(lián)

表，依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為參加寧波賽區(qū)志愿者服務(wù)的

候選人與性別有關(guān)？

性別

參加志愿者服務(wù)合計(jì)

男生女生

希望去寧波賽區(qū)1020

不希望去寧波賽區(qū)

合計(jì)4040

(3)射擊項(xiàng)目的場地服務(wù)需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通過該項(xiàng)志愿服

務(wù)的選拔，需要通過抽簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將5張寫有“中簽”和2張

寫有“未中簽”字樣的字條隨機(jī)分配給每一位候選人，記男生中簽的人數(shù)為X,

求X的分布列及均值E(X).

參考數(shù)據(jù)及公式：

2___________n(ad—be)2___________

大(a+0)(c+d)(a+c)(。+d)'

7z=o+>+c+d.

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

解(1)由題意知

20^=10?+0.45,(2tz+/?+0.065)X10=l,

解得a=0.005,0=0.025,

所以平均值為50X0.05+60X0.25+70X0.45+80X0.2+90X0.05=69.5,

中位數(shù)為65+舒=*"694

(2)補(bǔ)全2X2列聯(lián)表：

性別

參加志愿者服務(wù)合計(jì)

男生女生

希望去寧波賽區(qū)102030

不希望去寧波賽區(qū)302050

合計(jì)404080

零假設(shè)為Ho：參加寧波賽區(qū)志愿者服務(wù)的候選人與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)

80X(10X20-20X30)2

據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到小----------------------------------333>3841X0.05,

40X40X30X50

所以依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立，即認(rèn)為參加寧波

賽區(qū)志愿者服務(wù)的候選人與性別有關(guān).

(3)X的所有可能取值為2,3,4,

以02-6C1C44

P(X=2)=eg3P(x—3)一◎一〒

M1

P(X=4)=◎3

所以X的分布列為

X234

241

P

777

24120

所以E(X)=2Xy+3Xy+4Xy=—

P■概率與函數(shù)、數(shù)列微點(diǎn)突破

在概率與統(tǒng)計(jì)的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率.決策方案的最

佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于

函數(shù)、不等式、數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實(shí)現(xiàn).

例1某盒子內(nèi)裝有60個(gè)小球(除顏色之外其他完全相同)，其中有若干個(gè)黑球，其

他均為白球.為了估計(jì)黑球的數(shù)目，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn):從盒子中有放回地抽取4個(gè)球，

記錄該次所抽取的黑球數(shù)目X,作為一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果.進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)共5次，記錄下

第i次實(shí)驗(yàn)中實(shí)際抽到黑球的數(shù)目a已知從該盒子中任意抽取一個(gè)球，抽到黑球

的概率為p(O<p<l).

(1)求X的分布列；

(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，已知第i次實(shí)驗(yàn)中抽到黑球的數(shù)目方如表所示.

i12345

Xi23233

5

設(shè)函數(shù)加>)=￡11nP(X=xi).

①求加0的極大值點(diǎn)po；

②據(jù)①估計(jì)該盒子中黑球的數(shù)目，并說明理由.

解(1)從盒子中有放回地抽取4個(gè)球，記錄該次所抽取的黑球數(shù)目X,

???從該盒子中任意抽取一個(gè)球，抽到黑球的概率為p(O<p<l).

??.X?5(4,p),

???X的分布列為

X01234

P(1—P)44P(1-p)3622(1—p)24P3(1-p)“4

5

(2)①由⑴可知,?=；JlnP(X=Xi)

2

=21n[6/7(l一2日+31n[胡(1-p)]

=81n2+21n3+Blnp+71n(l-p),

,.13_7_13-20p

p\-p~p(1—p)，

13

令f(P)=。，解得P=而，

??.當(dāng)荒|時(shí)，f(p)>0,加)單調(diào)遞增；

當(dāng)P?保，1)時(shí)，了。<°，加)單調(diào)遞減，

13

?'?加)存在唯一的極大值點(diǎn)PO=2Q-

②估計(jì)盒子中黑球的數(shù)目為60Po=39.理由如下：

13

由①可知，當(dāng)且僅當(dāng)p=4時(shí)，加)取得最大值；

5

即若lnP(X=x,)取得最大值，出現(xiàn)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概率最大，

13

???可以認(rèn)為從盒子中任意抽取一個(gè)球，抽到黑球的概率為方，從而估計(jì)該盒子中

黑球的數(shù)目為39是合理的.

例2(2023?新高考I卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命

中，則此人繼續(xù)投籃；若未命中，則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每

次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為08由抽簽確定第1次投籃的

人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為05

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

⑵求第，次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布，且P(X=1)=1—P(X=0)=g,，=1,2,…，

nn

n,則E(若Xi)=￡華記前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為匕求

E⑺.

解(1)第2次投籃的人是乙分為兩種情況：

第1次投籃的人是甲且投籃未命中，其概率為0.5X(l—0.6)=0.2；

第1次投籃的人是乙且投籃命中，其概率為0.5X0.8=0.4,

所以第2次投籃的人是乙的概率為0.2+0.4=06

(2)設(shè)第i次投籃的人是甲為事件

21

則P(Ai)=0.5,P(Ai+i)=P(A/)X0.6+[1-P(Ai)]X(1-0.8)=^P(A/)+^,

12「「

所以尸(4+i)—(4)一方，

所以卜(A)—3]是以t為首項(xiàng)，|為公比的等比數(shù)列，

所以P(A)—,

所以「(4)=1"+看*停),f￡N*.

(3)由(2)知，第，次投籃的人是甲的概率為

11/2十1

P(4)=W+R|JJ,i?N*,

第，次投籃的人是甲記為X=l,否則記為Xi=0,則X,?服從兩點(diǎn)分布，且

P(Xi=l)=W+卜圖,

nn

由題意知E(r)=E曰》=加i

1

nn11(2、

==1)=￡[3+5X[5J

6n+51徑丫1

二18F引-

訓(xùn)練(2024.揚(yáng)州兩校聯(lián)考)某校為了合理配置校本課程資源，教務(wù)部門對(duì)學(xué)生們進(jìn)

行了問卷調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中;1的學(xué)生計(jì)劃只選擇校本課程一，另外3:的學(xué)生計(jì)劃既

選擇校本課程一又選擇校本課程二.每位學(xué)生若只選擇校本課程一，則記1分；若

既選擇校本課程一又選擇校本課程二，則記2分.假設(shè)每位選擇校本課程一的學(xué)生

是否計(jì)劃選擇校本課程二相互獨(dú)立，視頻率為概率.

(1)從學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,記這3人的合計(jì)得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)從學(xué)生中隨機(jī)抽取n人(〃?N*),記這n人的合計(jì)得分恰為n+1的概率為Pn,

求Pl+P2H\-Pn.

解(1)由題意知，每位學(xué)生計(jì)劃不選擇校本課程二的概率為/選擇校本課程二

3

的概率為不

則X的可能取值為3,4,5,6,

尸(X=3)=

p(x=4)=ax[|)x^

2

P(X=5)=C?xQX出希

所以X的分布列為

X3456

192727

P

64646464

]Q272721

所以E(X)=3X—+4X—+5X—+6X—=—

(2)因?yàn)檫@“人的合計(jì)得分為n+\分，

所以其中只有1人計(jì)劃選擇校本課程二，

所以%=。生出=招，

設(shè)S〃=Pi+尸2+…+尸〃

369

十+①

一

不

-+-不

41

13693

--〃②

一

一+

4平

42434

①一②得/"=不+不+取+…+不一下五,

1<0

-1

34<-^313

nn3

-1+4中

X;+

平

平

41平

1-+1+1

-4

43n+4

所以Pi+P2H-----卜尸〃=§（1一個(gè)+］）?

■課時(shí)

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.（2024.西安調(diào)研）某市為了解本市初中生周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了3000名學(xué)生,

⑴按照分層隨機(jī)抽樣，從［40,50）和［80,90）中隨機(jī)抽取了9名學(xué)生.現(xiàn)從已抽取

的9名學(xué)生中隨機(jī)推薦3名學(xué)生參加體能測試?記推薦的3名學(xué)生來自［40,50）的

人數(shù)為X,求X的分布列；

（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為：周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間t服從正態(tài)分布/），其中，〃

為周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)。近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s,并已求得s-14.6.可以用

該樣本的頻率估計(jì)總體的概率，現(xiàn)從本市所有初中生中隨機(jī)抽取12名學(xué)生，記周

末運(yùn)動(dòng)時(shí)間在［43.9,87.7］之外的人數(shù)為匕求P（y=3）（精確到0.001）.

參考數(shù)據(jù)1：當(dāng)t-N（ju,。2）時(shí)，pw—qqW/z+a）^0.6827,P—ZMtW/

2（7）^0.9545,P（/z—3a<W〃+3。尸0.9973.

參考數(shù)據(jù)2：0.81869=0.1651,0.18143^0.0060.

解（1）運(yùn)動(dòng)時(shí)間在［40,50）的人數(shù)為3000X0.02X10=600.

運(yùn)動(dòng)時(shí)間在［80,90）的人數(shù)為3000X0.01X10=300.按照分層隨機(jī)抽樣共抽取9

人，則在區(qū)間［40,50）內(nèi)抽取的人數(shù)為6,在區(qū)間［80,90）內(nèi)抽取的人數(shù)為3.

.?.隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

p（X—RX_1）_咄」

P（X―0）—eg-84'P（X—D—eg—14，

P（X—2L里—至P（X—3L岑」

&X—2）—G一28'"X—9—eg~2V

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

13155

P

84142821

(2)//=r=35X0.1+45X0.2+55X0.3+65X0.15+75X0.15+85X0.1=58.5,

cr=s%4.6.

43.9=58.5—14.6=//—(7,

87.7=58.5+14.6X2=〃+2a

0.6827+0.9545

P(43.9WW87.7)=一°WW〃+2G?------j----------=0.8186,

P(t<]U—er或/>〃+2cr)q1—0.8186=0.1814,

0.1814).

.*.P(y=3)=ChX0,18143xo.81869

^220X0.0060X0.1651^0.218.

2.（2024.長沙調(diào)研）隨著生活水平的提高，人們對(duì)水果的需求量越來越大，為了滿

足消費(fèi)者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地開花.4月份的“湖南沃柑”因果

肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜軟，低酸爽口深受市民的喜愛.某“鬧鬧”水果店對(duì)某

（2）用（1）中所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程來擬合這組成對(duì)數(shù)據(jù)，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的殘差的絕對(duì)值

大于1.2時(shí)，稱該對(duì)數(shù)據(jù)為一個(gè)“次數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從這5個(gè)成對(duì)數(shù)據(jù)中任取3個(gè)做

殘差分析，求取到的數(shù)據(jù)中“次數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：線性回歸方程中「的最小二乘法估計(jì)分別為

n~~

A石（X/—X）（仙―y）A-A-

b—--9ci=y-bx.

￡（X/—x）2

.）,_3+4+5+6+7

角牛（1）由已知，不于％=§=5

20+16+15+12+6

y-=13.8,

55

玄W=313,苫第=135,

5----

5%y

5―

石君一5/

313-5X5X13.832

3.2,

135-5X52To

所以a=y—bx=13.8—（—32）X5=29.8,

所以,=—3.2x+29.8.

(2)當(dāng)龍=3時(shí),y=20.2；當(dāng)尤=4時(shí),(=17；

當(dāng)x=5時(shí)，y=13.8；當(dāng)x=6時(shí)，y=10.6；

當(dāng)尤=7時(shí)，y=7.4.

因此該樣本的殘差絕對(duì)值依次為0.2,1,1.2,L4,L4,

所以“次數(shù)據(jù)”有2個(gè).

“次數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)X可取0,1,2.

d1c3cl3

P（X=0f,P（X=1）=干=亍

p（X=2）、J

與eg10-

所以X的分布列為

X012

133

P105To

則數(shù)學(xué)期望E（X）=0X^+lx|+2X^=1.

3.為落實(shí)十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對(duì)市場上兩種設(shè)備的使用

壽命進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取A型和B型設(shè)備各100臺(tái)，得到如下頻率分布直方

圖：

頻率

驪

0.00()6

0.00()5

0.0004

0.0003

().()()()2

()1-------------------------------------------------

150020002500300035004(XX)使用壽命/小時(shí)

A型

(1)將使用壽命超過2500小時(shí)和不超過2500小時(shí)的臺(tái)數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過2500小時(shí)不超過2500小時(shí)合計(jì)

A型

3型

合計(jì)

根據(jù)上面的列聯(lián)表，依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為使用壽命是否超過2500

小時(shí)與型號(hào)有關(guān)？

(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從不超過2500小時(shí)A型和B型設(shè)備中抽取8臺(tái)，再從

這8臺(tái)設(shè)備中隨機(jī)抽取3臺(tái)，其中A型設(shè)備為X臺(tái)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(3)已知用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)有一項(xiàng)工作需要10臺(tái)同型號(hào)設(shè)備同時(shí)工作2500小時(shí)

才能完成，工作期間設(shè)備損壞立即更換同型號(hào)設(shè)備(更換設(shè)備時(shí)間忽略不計(jì))，A

型和B型設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設(shè)備每臺(tái)每小時(shí)

耗電分別為2度和6度，電價(jià)為0.75元/度.只考慮設(shè)備的成本和電費(fèi)，你認(rèn)為

應(yīng)選擇哪種型號(hào)的設(shè)備，請(qǐng)說明理由.

n(ad—be)2

附：戶?(。+。)(c+d)(a+c)e+d)'"=a+"+c+a

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

解(1)由頻率分布直方圖可知，A型超過2500小時(shí)的有100X(0.0006+0.0005

+0.0003)X500=70臺(tái)，則A型不超過2500小時(shí)的有30臺(tái)，同理，3型超過

2500小時(shí)的有100X(0.0006+0.0003+0.0001)X500=50臺(tái)，則3型不超過

2500小時(shí)的有50臺(tái).列聯(lián)表如下：

超過2500小時(shí)不超過2500小時(shí)合計(jì)

A型7030100

B型5050100

合計(jì)12080200

零假設(shè)為Ho：使用壽命是否超過2500小時(shí)與型號(hào)無關(guān),

200X(70X50—30X50)2

因?yàn)閆2=8.333>6.635=xo.oio,

100X100X120X80

所以依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立，

即認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時(shí)與型號(hào)有關(guān).

(2)由(1)和分層隨機(jī)抽樣的定義可知A型設(shè)備有3臺(tái)，3型設(shè)備有5臺(tái),

所以X的取值可能為0,1,2,3,

P(X=0)=^1=—P(X=l)=^y^=—

小