數(shù)列黃金60題

1.已知S為數(shù)列｛斯｝的前W項(xiàng)和，Sn=2an-4?+2.

（1）證明：數(shù)列｛斯+4｝為等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列｛〃￡｝的前〃項(xiàng)和為〃,證明：7k<1

2.己知數(shù)列｛m｝的前w項(xiàng)和為S”ai=3,數(shù)歹!J｛曾｝是以2為公差的等差數(shù)歹U.

（1）求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)g=（-？3+2）,求數(shù)列｛加｝的前2n項(xiàng)和T2n.

anan+l

第1頁(yè)共70頁(yè)

+

3.已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和S”滿足%+2=2an(neN).

(1)證明：數(shù)列6+2｝是等比數(shù)列;

2n2

(2)設(shè)數(shù)列｛21、；——R的前〃項(xiàng)和為求證：-<Tn<l.

\an-iRan+1-iy3

4.在數(shù)列｛斯｝中，ai=5,當(dāng)論2時(shí)，廝=2%i_i+271-1.

(1)求證：數(shù)列｛娛｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)匕=(―i)n，og2(奈數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為S,求品.

第2頁(yè)共70頁(yè)

5.已知數(shù)列｛劭｝滿足ai=l,an=3an-l+2(n>2,w€N").

(1)求證：數(shù)列｛斯+1｝是等比數(shù)列;

(2)若加=(2?+1)5+1-a=),S,為數(shù)列｛為｝的前w項(xiàng)和，求的.

6.已知數(shù)列｛麗｝(z1GN*)滿足券+|^+—F-2+2

(I)求數(shù)列｛而｝的通項(xiàng)公式；

(II)若bn—antcosmi,求數(shù)列｛瓦｝前2n項(xiàng)和Tin.

n

7.已知數(shù)列｛“"｝的前”項(xiàng)和為品，m=l,Sn=an+i-2.

s

(1)證明：數(shù)列｛端｝為等差數(shù)列；

(2)VMGN*,(n-6)an>X2n,求入的最大值.

第3頁(yè)共70頁(yè)

8.已知數(shù)列｛斯｝滿足〃1=1,a?1+1=1+—.

3a九九

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛外｝的前"項(xiàng)和S.

n-1an+2

9.已知數(shù)列｛珈｝,｛加｝,ai=l,an+i=—an+4X3,bn=log3an+2(neN*).

⑴求證：數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列,并求數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和金；

Q1

(2)求數(shù)列｛(2+?/｝的前n項(xiàng)和T.

TL〃九n

10.記S"為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.已知41=4,4sLi=(2/7+3)an(M>2).

(1)求｛?｝的通項(xiàng)公式；

(2)記乙為數(shù)列｛2"-5｝的前"項(xiàng)積，求T”的最大值.

第4頁(yè)共70頁(yè)

11.已知正項(xiàng)數(shù)列｛板｝滿足ai=l,an+1(an+2)=2a^+5an+2(neN*).

(1)證明：數(shù)列｛板+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勾=(一I)“。%(%+1)，數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為由,求6.

12.已知數(shù)列｛劭｝的首項(xiàng)的=當(dāng)且滿足限1=靜土.

(1)求證：數(shù)列｛工-1｝為等比數(shù)列；

an

3,邕為偶數(shù)時(shí),

(2)設(shè)數(shù)列｛加｝滿足“=1丁求最小的實(shí)數(shù)m,使得

(喑+得，n為奇數(shù)時(shí),

b\+bi+...+b2k<m對(duì)一切正整數(shù)k均成立.

13.已知數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均不為0,其前二項(xiàng)和甑滿足即斯+1=4品-1,nGN*,且m=l.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛具±二｝的前〃項(xiàng)和Tn.

3九)九+1

14.已知數(shù)列｛即｝滿足m=3,an+1=a^-2an+2.

第5頁(yè)共70頁(yè)

(1)證明數(shù)列｛加(劭-1)｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式;

(2)若加=；1+；7三1，數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和品，求證：Sn<2.

。幾一乙

15已知數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sa為｛斯｝的前"項(xiàng)和，且2S"=碌+(ta.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)記Cn=(-1)nanan+l,求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和Tn.

16.己知數(shù)列｛*｝的前"項(xiàng)和為品，2Sn^an+i-3,且m=3.

(1)求｛.｝的通項(xiàng)公式；

logian,n為奇數(shù)

(2)已知bn=■3,求數(shù)列｛阮｝的前〃項(xiàng)和3.

an,n為偶數(shù)

17.已知數(shù)列｛斯｝滿足m=l,。2=3,數(shù)列｛加｝為等比數(shù)列，且滿足6”(麗+1-即)=bn+i.

第6頁(yè)共70頁(yè)

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式;

1

(2)數(shù)列｛岳｝的前八項(xiàng)和為S,且252=53-2,記數(shù)列｛Cn｝滿足Cn=1%，”為奇數(shù)求

lbn,n為偶數(shù)

數(shù)列｛Cn｝的前2"項(xiàng)和Tin

2a,n為奇數(shù)

18.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足41=1，an+\=n

0rl+1,n為偶藪

(1)若數(shù)列｛加｝滿足加=。2〃,求加，切及｛加｝的通項(xiàng)公式;

(2)數(shù)列｛珈｝的前2〃項(xiàng)和S2".

19.已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為且4S〃=⑵+1)礪+2.

(1)求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式;

(2)記以=券，求數(shù)列｛尻｝的前n項(xiàng)和Tn.

20.已知數(shù)列｛珈｝的首項(xiàng)的=卷，且滿足。九+1=(九eN+).

3odfli.L

第7頁(yè)共70頁(yè)

(1)求證：數(shù)列｛金一1｝為等比數(shù)列；

an

(2)若%=(7^77-)(371-1),數(shù)列｛加｝前n項(xiàng)的和為Sn,求Sn.

an

21.設(shè)數(shù)列｛麗｝的前〃項(xiàng)之積為且滿足26=1-牝(wGN*).

(1)證明：數(shù)列｛Jr｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式;

la九

C1

(2)記Sn—T]+7*2+…+,證明：SnV.

22.已知｛斯｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，S”為｛歷｝的前W項(xiàng)和，且后，Sn,斯-2成等差數(shù)

歹U.

(1)求｛.｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)已知%=(-l)an,求數(shù)列｛阮｝的前n項(xiàng)和Tn.

23.己知曲為數(shù)列｛斯｝的前w項(xiàng)和，且滿足品+〃=2劭，"CN*.

(1)求證：數(shù)列｛劭+1｝是等比數(shù)列;

第8頁(yè)共70頁(yè)

（2）若為=-4一,記6為數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和，求滿足不等式"V言的n的最大值.

-

ClnUn_|_|J-T'

24.如圖，已知AABC的面積為1,點(diǎn)。，E,尸分別為線段AB,AC,BC的中點(diǎn)，記ADEF

的面積為m；點(diǎn)G,X,/分別為線段A。，AE,的中點(diǎn)，記AGH/的面積為。2；

以此類推，第見(jiàn)次取中點(diǎn)后，得到的三角形面積記為斯.

（1）求G,02,并求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）若垢=10g2而，求數(shù)列｛（-1）%｝的前〃項(xiàng)和S”.

25.已知正項(xiàng)數(shù)列｛金｝滿足m=l,磷+i-W=8”.

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

第9頁(yè)共70頁(yè)

CL-yi

(2)記Z?〃=a〃?sin(—*71),求數(shù)列｛加｝的前2024項(xiàng)的和.

26.記品為數(shù)列｛劭｝的前幾項(xiàng)和，已知%=等+層+1,〃EN*.

(1)求41+〃2,并證明｛。九+〃九+1｝是等差數(shù)列；

(2)求的.

27.已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為品，且的=2,+(an+1-2)Sn+1=0(neTV*).

(1)求證：數(shù)列｛Jy｝為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列~~1｝的前"項(xiàng)和Tn.

■Jn-J-

28.已知已為正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)的乘積,且m=3,容=若+1.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式;

第10頁(yè)共70頁(yè)

(2)設(shè)心=暮=，數(shù)列｛加｝的前"項(xiàng)和為S”證明：Sn>n-1.

61九十L

29.已知數(shù)列｛劭｝滿足〃1+。3=2〃2,。九+1=[3"九’”為可數(shù)數(shù)列｛cn｝滿足Cn=〃2展1.

1azi+2,n為偶數(shù)

(1)求數(shù)列｛Cn｝和｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和

30.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S,且滿足41=1,424344=64,數(shù)列｛加｝滿足加

11I

=LM+2^2+4壇)---..匕="九+1—1(九GN*)?

(1)求數(shù)列｛斯卜｛加｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)Cn=a〃+(-1)〃(2加+1),求數(shù)列｛Cn｝的前2〃項(xiàng)和A小

31.已知數(shù)列｛即｝中，ai=l,%為數(shù)列｛而｝的前w項(xiàng)和，且立+i二第2花兀.

(1)求數(shù)列｛珈｝的通項(xiàng)公式;

第11頁(yè)共70頁(yè)

222

(2)若數(shù)列｛加｝滿足瓦+2-b2+3-b3+-+n-bn=an(nEN*),Tn為數(shù)列｛為｝的

前"項(xiàng)和，求證：Tn<2.

32.已知數(shù)列｛斯｝滿足m=3,斯=2斯-i-1(論2),等差數(shù)列｛加｝滿足。2=人3,2a2+。3=加0.

(1)求數(shù)列｛久｝和｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列仁八與2一八｝的前〃項(xiàng)和8.

33.從(X)W—2a〃=x+2?！?1(〃N2),〃幾＞0；刖n項(xiàng)和Sn［兩足4S〃=(?！?1)?；(？)ncin+l

=("+1)Z+1中任選一個(gè)，并將序號(hào)填在下面的橫線上，再解答.

已知數(shù)列｛?！ǎ校琭li=l,且_____.

第12頁(yè)共70頁(yè)

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式;

2n+3

(2)設(shè)bn=，數(shù)列｛員｝的前〃項(xiàng)和〃，證明：Tn>

/斯/1+1

(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分).

34.已知等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,且56=60,?+3公=48.當(dāng)〃eN*時(shí),2%1+2”

1歷+…+2歷=3"-1.

(1)求數(shù)列｛珈｝、｛加｝的通項(xiàng)公式;

⑵若cn=(2狐上(2即-2),求數(shù)列｛齒｝的前“項(xiàng)和〃.

35.已知數(shù)列｛而｝的前“項(xiàng)和為S”,當(dāng)論2時(shí)，SnCSn-an+1)=Sn-l.

(1)證明：數(shù)列｛々｝是等差數(shù)列；

(2)若臼=9,數(shù)列｛與的前八項(xiàng)和為乙，若小7；W(層+16)?21+1恒成立，求正整數(shù)

乙J九

第13頁(yè)共70頁(yè)

m的最大值.

36.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛〃〃｝滿足。1=1,（即+i-（?！?1+即）=2孔+1.

（1）求數(shù)列｛礪｝的通項(xiàng)公式；

（2）記心=:，求數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和Sn.

37.設(shè)數(shù)列｛斯｝前n項(xiàng)和Sn滿足%+an=缶］wCN*.

（1）證明：數(shù)列｛5?-擊｝為等比數(shù)列；

（2）記h=--------Sn,求數(shù)列｛在—----R的前n項(xiàng)和Tn.

bnn+1（如-1）1Al

第14頁(yè)共70頁(yè)

38.已知數(shù)列｛而｝的前〃項(xiàng)和為品(〃6N*),al=l,2nSn=(2n-1)(S〃+i-8).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若6n=不上［葭加,求數(shù)列｛阮｝的前n項(xiàng)和Tn.

九十幾+1十，)

39.在數(shù)列｛礪｝中，%2an=an-i-In-2(n>2).

(1)證明：數(shù)列｛加+2〃｝是等比數(shù)列;

(2)記數(shù)列｛"(即+2")｝的前n項(xiàng)和為Tn,若關(guān)于〃的不等式“2-7；)<華苧恒成

立，求實(shí)數(shù)九的取值范圍.

第15頁(yè)共70頁(yè)

40.已知數(shù)列｛初｝的首項(xiàng)為1,且與+于+?,?+涉+蘆=號(hào)抖.

(1)求數(shù)列｛切｝的通項(xiàng)公式；

1

(2)若g=2(2m+1)(%九+i—久久)，S打?yàn)椋辏啊?xiàng)的和，求品.

1

41.設(shè)S〃是數(shù)列［坳｝的前〃項(xiàng)和,的=1,Si=an(Sn(n>2).

(1)求｛珈｝的通項(xiàng);

(2)設(shè)為=肅p求數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和

第16頁(yè)共70頁(yè)

42.已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足m=1,%i+i=1—/c，其中〃EN.

4a九

（1）設(shè)e=虧二，求證：數(shù)列｛加｝是等差數(shù)列.

乙Clfl-1

（2）在（1）的條件下，求數(shù)列｛弗1｝的前w項(xiàng)和8.

（3）在（1）的條件下，若4=6"+（—1產(chǎn)-1?，2%，是否存在實(shí)數(shù)九，使得對(duì)任意的

“6N*,都有或+l>Cn,若存在，求出入的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

43.已知S”為數(shù)列｛.｝的前〃項(xiàng)和，ai=2,Sn=an+i-3n-2.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式?！?；

2ni

（2）設(shè)力九二’^---,記｛尻｝的前〃項(xiàng)和為了九，證明：T<F.

dnan+ln3

第17頁(yè)共70頁(yè)

n+1

44.已知數(shù)列｛珈｝的前〃項(xiàng)和為S〃，a\=2/Sn=(2-2)an+1.

(1)求。2及數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式；

11

ac

(2)若6rl=""n),n~T--卜求數(shù)列｛Cn｝的刖〃項(xiàng)和Tn.

7anan

45.記數(shù)列｛斯｝的前九項(xiàng)和為相,對(duì)任意"CN*,有Can+n-1).

(1)證明：｛.｝是等差數(shù)列；

(2)若當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí)，S”取得最大值，求ai的取值范圍.

第18頁(yè)共70頁(yè)

n+1

46.已知數(shù)列｛而｝的前n項(xiàng)和為Sn,%=1,Sn+1=2Sn+2.

(1)證明數(shù)列｛弟｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛◎｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)篇=爭(zhēng)，若對(duì)任意正整數(shù)小不等式“V空要出恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍.

47.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛劭｝的前〃項(xiàng)和為品，S4=豆，且3〃3,〃2成等差數(shù)列.

(1)證明：數(shù)列｛SL2｝是等比數(shù)列；

(2)若尻=即(log2?n-1),求數(shù)列｛尻｝的前〃項(xiàng)和7k

第19頁(yè)共70頁(yè)

48.記S為數(shù)列｛〃〃｝的前幾項(xiàng)和，已知品，2幾的等差中項(xiàng)為劭.

(1)求證｛礪+2｝為等比數(shù)列；

(2)數(shù)歹！)｛：=｝的前〃項(xiàng)和為T”,是否存在整數(shù)太滿足。，A+1)?若存在求左,

。八十D

否則說(shuō)明理由.

49.已知數(shù)列｛m｝滿足m=2,an+1=2an—n+l(n6N*).

(1)證明：數(shù)列｛斯-〃｝是等比數(shù)列,并求出數(shù)列｛.｝的通項(xiàng)公式;

(2)數(shù)列｛為｝滿足：bn=”2),求數(shù)列｛m｝的前"項(xiàng)和

第20頁(yè)共70頁(yè)

50.設(shè)品是數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和，已知。3=0,即+1+(-1)nSn=2n.

(1)求〃1,6Z2；

(2)令bn=an+1+2即，求/?2+Z?4+/?6+...+bln.

,U-n，LT_LJ.

51.已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為S,41=4,且丁=(尤N).

(1)求｛劭｝的通項(xiàng)公式；

⑵若加=,數(shù)列｛阮｝的前〃項(xiàng)和為求證：Tn

(Til-sJa幾■/

第21頁(yè)共70頁(yè)

52.已知數(shù)列｛即｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)的和為64,數(shù)列｛加｝是公比大于0的等

比數(shù)列，bi=3,fe-to—18.

（1）求數(shù)列｛劭｝和｛員｝的通項(xiàng)公式；

（2）記Cn=普,nGN*,求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和品；

（3）記辦=即+2-；，〃eN*,證明數(shù)列｛4｝的前W項(xiàng)和TYJ.

53.已知數(shù)列｛斯｝滿足a九+i=碌，nEN*,%=5.

（1）求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)；

（2）設(shè)篇=裁1Sn為數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和，求證

第22頁(yè)共70頁(yè)

54.5〃為數(shù)列｛麗｝的前〃項(xiàng)和,已知65.=碌+3即一4,且—>0.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式珈；

8

(2)數(shù)列｛為｝依次為：的，3,a2,32,33,(13,3335,36,a4,3\3,3%31°…，

規(guī)律是在以和服+1中間插入k(任N*)項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的

等比數(shù)列，求數(shù)列｛阮｝的前100項(xiàng)的和.

55.已知數(shù)列｛外｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,。2=2,S9=45,數(shù)列｛加｝滿足

aibi+a2b2+...+anbn=(?-1)*2n+l

(1)求數(shù)列｛斯｝,｛加｝的通項(xiàng)公式;

(2)若對(duì)數(shù)列｛即｝,｛阮｝,在以與。斤+1之間插入4個(gè)2(%N*),組成一個(gè)新數(shù)列｛辦｝,

求數(shù)列｛4｝的前2024項(xiàng)的和T2024.

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1a-1

56.已經(jīng)數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)的積記為力”且滿足彳=上一.

Tnan

(1)證明：數(shù)列｛0｝為等差數(shù)列；

Tn，C為奇數(shù),

(2)若6n=]求數(shù)列｛加｝的前2n項(xiàng)和Tin.

C為偶數(shù),

^n-l^n+l

57.已知數(shù)列｛a〃｝的前w項(xiàng)和為S,ai=4且廝+1=S"+4(n€N*).

(1)求數(shù)列｛外｝的通項(xiàng)公式；

⑵若為=(T嚴(yán)”TI泮LOUyC：lfi，求數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和7k

第24頁(yè)共70頁(yè)

58.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃〃｝滿足時(shí)?冊(cè)+1=16%nEN\

(1)求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)加=1,g+iu1%1'”為奇數(shù)，求數(shù)列｛為｝的前2〃項(xiàng)和S2”

l-bn+n,n為偶數(shù)

59.已知等差數(shù)列｛所｝的公差存0,m=0,其前w項(xiàng)和為S”且。2+2,S3,S4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛麗｝的通項(xiàng)公式;

2

(2)若加=0等L數(shù)列｛岳｝的前九項(xiàng)和為。，求證：Tn~2n<^.

dn+l乙

第25頁(yè)共70頁(yè)

60.已知數(shù)列｛板｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,。6=6,56=21,數(shù)列｛加｝滿足

a\b\+aibi+...+anbn—(n-1)?2"+l.

(1)求數(shù)列｛斯｝，｛加｝的通項(xiàng)公式;

(2)數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為吠,若S+2〃=2而+4氏，求正整數(shù)”的值.

第26頁(yè)共70頁(yè)

數(shù)列黃金60題

—.解答題(共60小題)

1.已知S為數(shù)列｛外｝的前〃項(xiàng)和，S=2q”-4"+2.

(1)證明：數(shù)列｛?+4｝為等比數(shù)列；

2n1

(2)設(shè)數(shù)列—｝的前〃項(xiàng)和為〃，證明：Tn<i.

CLn'an+l。

【解答】證明：(1)QI=SI=2QI-4x1+2,m=2,“1+4=6,

由Sn=2a〃-4〃+2,彳導(dǎo)Sn-1~-1-4(〃-1)+2,,

???Cln=Sn-Sn-1=(2。〃-4幾+2)-[2an-1-4(〃-1)+2]

=--1-4,,

*'?ctn~~2ati-1+4,川之2，

a+42a九一i+4+4

n=2，n>2,

限1+4%i-i+4

數(shù)列｛斯+4｝是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列;

n-1n

(2)由(1)可得an+4=6x2=3x2,：.an=3x2"-4,

2n2n111

nn+1n+1)，

"an-an+1-(3x2-4)-(3x2-4)-3(3x2"-4.3x2-4-

：.Tn=+…+—^―

na2-a3an-a-n+l

_1,11,11,,11,111.1

X+++X<

=3(2-88-20-W^-3x2n+l_4)=6-33x2n+l_46-

第27頁(yè)共70頁(yè)

2.已知數(shù)列｛麗｝的前w項(xiàng)和為S”m=3,數(shù)歹唁｝是以2為公差的等差數(shù)歹U.

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)g=（一？3一+2）,求數(shù)列｛加｝的前2n項(xiàng)和T2n.

dnan+l

【解答】解：（1）-：ax=?）,.?.-=3,

1

又...數(shù)歹U｛稔｝為以2為公差的等差數(shù)列，

=2幾+1,即S九=2n2+n,

n

22

'-n>2時(shí)，an=Sn—S九_(tái)i=2n+n—2（n—l）—（n—1）=4n—1,

.?.n=l時(shí)，a\=3符合上式，

?,?數(shù)列｛礪｝的通項(xiàng)公式為劭=4〃-1.

(一1)九(為+2)=(_l)“4n+l)(-1)\1,1'

（2）由（1）可得匕=

anan+i(4n—l)(4n+3)2^4n—1十4n+3,

所以72n=2[-4+》+&+《)—(/+白)+…++=：[-4+

1]_-4n

8n+3]—24幾+9'

???數(shù)列｛加｝的前2n項(xiàng)和72n=宗%?

第28頁(yè)共70頁(yè)

3.已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和S”滿足為+2=2an(neN+).

（1）證明：數(shù)列｛5+2｝是等比數(shù)列；

2n2

（2）設(shè)數(shù)列1、；——百｝的前〃項(xiàng)和為方，求n證：-wr“Vl.

\an-lKan+1-iy3

【解答】證明：（1）當(dāng)"=1時(shí)，Si+2=2ai,.-.Si=ai=2,

當(dāng)佗2時(shí)，S”+2=2（Sn-Sn-i）,即8=2S"-i+2,

S九+2

.-.Sn+2=2（S展1+2）,gp———=2（w>2）,

Sn-i+2

數(shù)列｛S〃+2｝是以2為公比，以Si+2=4為首項(xiàng)的等比數(shù)列.

n1

（2）由（1）知，Sn+2=4x2-,即Sn=2"+】-2,

代入品+2=2金中，得廝=2",

2n2n11

nn+1nn+1，

"（Cln-l）（Gln+1-l）―（2-l）（2-l）-2-l.2-l

1111111

*=（"-=）+（-——）+…+（再I-產(chǎn)可）=i-產(chǎn)匚

由論1,知2"十七4,

---—>-I,

2n+1-l-3

.1__L_>2

"I2"+l-1*

綜上所述：|<Tn<l.

第29頁(yè)共70頁(yè)

71

4.在數(shù)列｛斯｝中，?1=5,當(dāng)論2時(shí)，。九=2的1T+2—1.

（1）求證：數(shù)列｛等與是等差數(shù)列;

（2）設(shè)匕=（―i）qog2（*^_]），數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為品,求S〃.

【解答】解：（1）證明：因?yàn)閮?cè)=2。九_(tái)]+2rl—1（n22）,

所以（即―1）—2（廝-1—1）=2%兩邊同除以2",得節(jié)工一

=1,

所以｛整｝是以用二=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列?

CLn—1

n

（2）由（1）知，=2+（ri—1）=n+1,整理得：an=2（n+l）+l,

））（

則%=（一1s。出（甯）=（一1刃。922n=_l）nn）

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，Sn=(-1+2)+(—3+4)+…+[—(n—1)+九]=今

1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=Sn_t+bn--n=

三工ri=2k-1,kEN*

所以S九=

2,=2k,k.GN*

第30頁(yè)共70頁(yè)

5.已知數(shù)列｛斯｝滿足。1=1,劭=3斯一1+2(n>2,?GN).

(1)求證：數(shù)列｛如+1｝是等比數(shù)列;

(2)若6=(2n+l)(即+L而)，S,為數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和，求的.

【解答】解：(1)證明：=3an_i+2(幾22,n€N*),

■■.an+l=3(fln-i+1),又m+l=2,

.??｛斯+1｝是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列；

n-1n

(2)由(1)知)+1=2-3,.-.an=2-3t-1,

4

1

12-+-n+n

3n--3n3-3,

4

23

-+7X3++Qn+1\

3J]3n

4

2+5X33++n++

3-3n3n

4

5-4n

3n

第31頁(yè)共70頁(yè)

6.已知數(shù)列｛〃〃｝（尤N*）滿足+菖+…+?=九-2+

（I）求數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式；

（II）若bn=an*cosri7lj求數(shù)列｛加｝前2n項(xiàng)和T2n.

【解答】解：（I）數(shù)列｛〃〃｝（〃EN*）滿足f+^1+—1"端=九一2+2n-17①，

當(dāng)〃=1時(shí)，^-=1-2+1=0,解得m=0；

當(dāng)論2時(shí),1+||+...+職…-2+會(huì),②,

①-②得:J=1+圭-/，

整理得%=2"-2,（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），

故斯=2"-2.

（II）由（I）得：bn—an,cosmi—（2W-2）?COS/OT=\?（n為奇數(shù)），

12n-25為偶數(shù)］

所以72n=(-21+22-23+...-22n-1+22n)+(2-23)+(2-2+2-…+2-2),

-2]+22-23+...-22n-1+22n,

-2x[l-(-2)2n]2x4n-2

-W=2)~~3~

第32頁(yè)共70頁(yè)

7.已知數(shù)列｛〃〃｝的刖〃項(xiàng)和為Si,41=1,Sn=Cln+l~2n.

s

(1)證明：數(shù)列｛/｝為等差數(shù)列；

(2)VnEN*,(〃-6)〃后九2",求X的最大值.

【解答】解：(1)???Sn=%+1—2%

n

???S九=S九+i—Sn—2,

''2n+1~2n~2

S1

又=???一r=一，

22

???數(shù)列朗是以稱為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列;

,S11n

(2)由(1)7an=-+-(n-1)=

rl

'.Sn=n-2t,

nn-1

?0?an+1=Sn+2=(n+2)2,

??an=(n+1)2九一2(九>2),

又〃1=1滿足上式，

n-2

-'-an=(九+l)2(nGN*),

n

vVneN*,(n—6)an>A2,

(w-6)(n+1)2'「2汶2",即VziCN*,>A,

令/(X)=也””+1)(久2D，

又/'(X)在(1,當(dāng)上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增，

又"CN*,則/(〃)min=f(2)=f(3)=-3,

*'-X<-3,

故入的最大值為-3.

第33頁(yè)共70頁(yè)

8.已知數(shù)列｛斯｝滿足〃1=1,an+1-2+—.

3a九九

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛外｝的前"項(xiàng)和S.

【解答】解：(1)由皿=1+2得皿=3x幺，

3annn+1n

又?=i,,｛*!｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

n-1

???—=3,an=nx3九—1,

n

即數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式為斯=nx3心1.

(2)由(1)知，an=nx3"-】，

則Sn=1x30+2x3】+?■?+nx3兀-1,①

n

①x3得3Sn=1X3】+2X32+■??+nx3,②

①-②得—2Sn=1+3】+32+.?.+3n-1-nx3n

1_DnQH—1

=-；一—nx3n=----nx3n,

1—3Z

故Sn=(27產(chǎn)1.

n-1an+2

9.已知數(shù)列｛斯"｛bn｝,〃i=l,an+1=-an+4x3,bn=log3an+2(〃CN*).

(1)求證:數(shù)列｛珈｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛劭｝的前〃項(xiàng)和品;

Q1

(2)求數(shù)列｛(2+力-白的前n項(xiàng)和Tn.

Tl〃九

【解答】解：(1)證明：因?yàn)轫?i=—a九+4X3九t,所以冊(cè)+i+a九=4X3九t,

當(dāng)n—\時(shí)，a2=—ar+4x3°=3,

n-2

當(dāng)n>2時(shí)，an+an_t=4x3,

所以即+1-廝-1=4x3rlt-4x3吁2=8x3n-2,

135

則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a4—a2=8x3/a6—a4=8x3/a8—a6=8x3/…，an—

n-3

an-2=8x3

方日8x31-8x3n-3x3224-8x3n-1?-

fiFrl71

累力口得：an—a2=--------^2------=----------=31一3,所以口幾=3；

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，”+1為偶數(shù)，則廝+1=3%

nnn_1n-1n-1n-1

則此時(shí)廝=-an+1+4x3t=-3+4x3=4X3-3X3=3,

綜上可得an=3'ZT；

第34頁(yè)共70頁(yè)

所以皿=總=3,則數(shù)列｛斯｝是以微=1為首項(xiàng)，4=3為公比的等比數(shù)列，

an3

其前n項(xiàng)和Sn=1-；；X3=1X3n-i；

an+2n+1n+1n+1

(2)bn=log3an+2=3*log33=(n+1)3,

iz,3.1_2n+31_,31.1_11

則mi(92+R.瓦=k.0+1)3"+1=q_中),尹=/-0+1)3.+1'

故其前〃項(xiàng)和加=(質(zhì)一冊(cè))+(冊(cè)一冊(cè))+(冊(cè)一力)+“,+(上—

-(--n--+--1-)--3--n-+〃1)

=_J.________]_1_1

1n+1n+r

1X3(n+l)3-3(n+i)3

10.記S為數(shù)列｛即｝的前"項(xiàng)和.已知ai=4,4sLi=(2/7+3)an(n>2).

(1)求｛珈｝的通項(xiàng)公式;

(2)記4為數(shù)列｛2"-5｝的前72項(xiàng)積，求〃的最大值.

【解答】解：(1)因?yàn)閞i>2時(shí)，4sLi=(2n+3)an(論2),所以4Sn+i-1=[2(n+1)

+3]斯+i,

兩式相減得至U4S〃+i-1-(4S?-1)=[2(〃+1)+3]礪+1-⑵+3)劭,化簡(jiǎn)整理得(2〃+1)

an+\=(2〃+3)Cln，

。九+1271+3

所以當(dāng)稔2時(shí),

an2n+l

又當(dāng)〃=2,4s2-1=4(〃i+〃2)-1=7〃2,又m=4,解得“2=5.

。八。2?1+12.71—1

所以當(dāng)昌時(shí)，即號(hào)—13x5=2n+1,

an_2@2"2—2n—12n—3

又當(dāng)〃=2時(shí)，“2=5,滿足劭=2九+1,

當(dāng)九=1時(shí)，=4,不滿足劭=2幾+1,

4,n=1

綜上所述，an=

2n+1,n>2

(2)由(1)知，當(dāng)論2時(shí)，4sLi=(2〃+3)(2〃+1),得到5n=(幾+1)2,

又當(dāng)〃=1時(shí)，51=01=4,滿足％=(九+1)2,所以S九二(九+1)2,

令b九=271-S九=2九一(九+I)2,所以bi=-2,b2=-5,加=-8,/?4=-9,加=-4,

Z?6=15,

n+1n2n

又％+i-bn=2-(n+2乃一[2-(n+l)]=2-2n-3,

n

當(dāng)n>6時(shí)，2—2n—3=(1+1產(chǎn)—2n—3>C°+4+鬣-2n—3=九一y4>Q

第35頁(yè)共70頁(yè)

所以當(dāng)近6時(shí)，加沙6＞0,又加=-2,bi--5,b3=-8,匕4=-9,加=-4,匕6=16,

所以方＞逅＞0＞為＞73＞八，當(dāng)〃26時(shí)，7^＜0,

所以〃=4時(shí)，。取得最大值720.

11.已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝滿足tzi=Lan+1(an+2)=2碌+5an+2(nGN*).

(1)證明：數(shù)列｛斯+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=(—l)-og4(an+l)，數(shù)列｛尻｝的前〃項(xiàng)和為乙，求心.

【解答】解：(1)將等式右邊分解得斯+1(即+2)—(2劭+1)(?！?2),

因?yàn)橐阎矗?,所以斯+1=2即+1,

所以〃〃+1+1=2

所以數(shù)列｛?！?1｝是首項(xiàng)為〃1+1=2,公比為2的等比數(shù)歹！J,

所以％i+1=(a1+1)?2nt=2n,

即a九—2n—1.

所以數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為%=2九一1,TIEN*

n

(2)結(jié)合(1)知6n=(―l)"og42=(―D"號(hào)，

所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，〃=(一號(hào)+各+(-楙+務(wù)+--/(——2~+?)=3?聶=*加

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，〃=(T+務(wù)+(_)+3+…+(_竽+吟)_尹會(huì)呼―＞

n+1

二fLn為奇數(shù)

所以數(shù)列｛為｝的前項(xiàng)和7；=4,

'n為偶數(shù)

12.已知數(shù)列｛期｝的首項(xiàng)的=白且滿足與+1=肅右.

D乙Clfi~r1

(1)求證：數(shù)列C-1｝為等比數(shù)列；

an