第3節(jié)和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式

考試要求L會推導兩角差的余弦公式.2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與

差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在

聯(lián)系，并會簡單應(yīng)用.

■知識診斷自測

【知識梳理】

1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

⑴公式C(a加

cos(a一份=cosacos￡+sinasirt￡；

(2)公式C(a+0：

cos(a+份=cosacos夕一sinasin8;

(3)公式S(f：

sin(a一份=sinacos￡—cosasin￡；

(4)公式S(a+0：

sin(a+份=sinacos8+cosasin8;

八一tana—tart8

⑸公式T(Q)：tan(a一份=江瓦瓦￡；

tana+tan，

(6)公式Tg+仇:tan(gB)-tanatan』'

2.輔助角公式

a

asina+bcosa=、/a1+Z^sing+0),其中sin夕弋—+廬

3.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S2?：sin2a=2sinacosa

(2)公式C2a：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a.

(3)公式T2a：tan2?=,

i1dli2a

［常用結(jié)論與微點提醒］

1.兩角和與差的公式的常用變形：

(l)sinasm(+cos(a+￡)=cosacos(；

(2)cosasm￡+sin(a—￡)=sinacos/；

(3)tana±tan￡=tan(a切)(1干tanottan￡),

tana+tan0tana—tan夕

tanottan￡=11.

tan(a+P)tan(a—Q

位―八a1+cosla1—cosla

2.降倦公式：co9sa=2，sin9Q=

l—cos2a

tana=

1+cosla

3.升嘉公式:1+cos2?=2COS2?,

l-cos2?=2sin2?,

Hsin2a=(sin?±cosa)2.

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

⑴兩角和與差的正弦、余弦公式中的角Q,￡是任意的.()

(2)存在實數(shù)a,0,使等式sin(a+.)=sina+sin￡成立.()

八一,tana+tan￡一…一?、『,,

(3)公式tan(a+￡)=1;^可以變形為tana+tan^=tan((z+^)(l—

tanatan￡),且對任意角a,￡都成立.()

(4)存在實數(shù)a,使tan2a=2tana.()

⑸半角的正弦、余弦公式實質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來的.()

答案⑴J(2)V(3)X(4)V(5)V

7T

解析(3)變形可以，但不是對任意的a,￡都成立，a,0,(左￡Z).

3

2.(必修一P223T2)已知sin(a—兀)=亍貝Ucos2a=.

答案25

解析sin(a—7i)=-sin。=予故sina=一弓,

所以cos2a=l—2sin2Q=1—2X(—1~25,

3.計算：sin108°cos42°—cos72°sin42°=.

答案2

解析原式=sin(180°—72°)cos42°-cos72°sin42°

=sin72°cos42°—cos72°sin42°=sin(72°—42°)

=sin30。=；.

4.若tana=g,tan(。+￡)=g,貝!Jtan￡=.

1

答案7-

解析tan￡=tan[(a+￡)—a]

11

tan(a+￡)—tana231

1+tan(a+￡)tana7,

■考點聚焦突破

考點一公式的基本應(yīng)用

例1⑴若cosa=-a是第三象限的角，則sin(a+()=()

A述R—述「也

A.I。D.wJwD.10

答案B

解析??卜是第三象限角，

sina<0,

3

5J

則cos2a的值為()

44

A-B5C-5D5

答案A

1

+-

3

1

-

-3

cos2a—sm?2a1-tan2a3

所以cos2a=cos2ot—sin2a=

cos2a+sin2a1+tan2a5-

(3)已知點P(x,2也)是角a終邊上一點，且cosa=—I，則cos(看+a)=.

_小+2小

答案

6

解析因為點P(x,26)是角a終邊上一點,

1

-

則有cosa="j,廠；3

■\1金+(2碑)2^+8

解得X=-1,

,-2-26

則mi—罰―3'

因此，cos(^+aj=cos^cosa—sin為sina

=立乂(-1V1v2V2__小+2及

-2I3)23~6-

感悟提升三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略

⑴使用兩角和、差及倍角公式時，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律.

例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”.

(2)使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導公式的綜合應(yīng)用.

cos55°+sin25°cos60°

訓練⑴計算:

1cos25°)

C.-\1

A.邛B坐D，2

答案B

cos550+sin25°cos60°

解析------羨擊-------

（2）（多選）（2024??？谀M）已知a￡（兀，2兀），sina=曳羅=tan則（

A.tanB.cosa=]

C.tan^=4^/3D.cos

答案BD

角星析因為sin（z=tanotcos°,

所以cosa=；,又（兀，2TI）,

小

所以sina=-2，tana=—<§,故A錯誤，B正確.

八2tan2

tan手,所以tan4=---------?=-4V3

-1—tan2

世.世、，韭

cos2—sin21一tan2.

cos~n~,故C錯誤，D正確.

cos21+tan

考點二公式的逆用及變形

三+cosa=；，貝Usin（2a+5兀、

例2⑴（2024?吉林五校聯(lián)考）已知sin?=（）

1313

A-3B4C，2D-4

答案C

71兀71

解析由題得sina+cosa=sinacosg―cosasin%+cosa=/sinaa

兀1

工=彳

sina+62,

JII，Sinr=1,

令t=a+~^9則a=

所以（；.J兀）5兀

sin2a+^=sm2r+?37

6

sin(2，+方=cos2t=1—2sin2Z=2-

2\[3

(2)在△ABC中，C=120°,tanA+tanB=^-,貝UtanAtan5的值為(

BqC，2

答案B

解析在5c中，VC=120°,AtanC=-V3.

VA+B=7i—C,tan(A+B)=—tanC=\[3.

tanA+tan—tanAtanB).

2\[3

XVtanA+tanB=3,

tanAtanB=g.

⑶——上=

PJsin10°sin80°-------------

答案4

2生os10。一日sin10。)

sin10°cos10°

4(sin30°cos10。一cos30°sin10°)

2sin10°cos10°

4sin(30°-10°)

=sin20°=4

感悟提升三角函數(shù)公式的活用技巧

(1)逆用公式應(yīng)準確找出所給式子與公式的異同，角之間的關(guān)系，創(chuàng)造條件逆用公

式.

⑵注意特殊角的應(yīng)用，當式子中出現(xiàn)表1,￡,小等這些數(shù)值時，一定要考慮

引入特殊角，把“值變角”以便構(gòu)造適合公式的形式.

(3)tanatan"tana+tan伙或tana—tan￡),tan(a+4)(或tan(a一份)三者可以知二

求一，注意公式的正用、逆用和變形使用.

訓練2(1)(2022.新高考II卷)若sin(a十份+cos(a+￡)=2啦cos,+予sinyOJ()

A.tan(?—p)=lB.tan(a+y5)=1

C.tan(a_一1D.tan(?+yS)=—1

答案c

解析由題意得

sinotcos￡+sin￡cosa+cosacos)S—sinotsin￡=2啦X坐(cosa—sin?)-sin

整理，得sinacossin夕cosa+cosacos￡+sinasm￡=0,

即sin(a—/?)+cos((x—p)=0,

所以tan(a—^)=—1,故選C.

(2)sin2^ot-+sin2^?—sin2a等于()

A.一；B.-C.;

D坐

答案C

解析原式=

(兀)(兀、

1—cosl2a—1—coslJ

2+2-sin2a

=1—cos(2a一\+cos(2a+圳一sir?。

兀

=1—cos2acosg—sin7a

cosla1—cos2a1

=1—2―2=2'

(3)計算：cos20°cos40°cos80°=.

1

答案8-

2sm20°cos20°cos40°cos80°

解析原式=

2sin20°

2sin40°cos40°cos80°2sin80°cos80°

:4sin20°=_8sin20°

sin160°sin2001

=8sin20o=8sin20°=8-

考點三角的變換問題

例3(1)(2020?全國HI卷)已知sine+sin,+7*1=l,則sin,+*=(

3)

1C.|

A-2B坐D坐

答案B

解析因為sin0+sin^+^j=

sin/+W,I(八I兀I兀、

+siV+6+6j=

sin0+^jcoscosle+部in1+

sin,+flcos^+cos

0+6jsin6

Isinf0+Tjcos1=V3sin^+^=l,

所以sin,+襲)=乎.

(2)已知a,4為銳角,sina=3cos(a+^)=—5',則sin(2a+￡)的值為.

答案

10

解析因為0<a<?,sina=￥p,

-9_A/10

所以cos—sin2a=A/1-To-10-

兀兀

因為0<a<],0<萬</,所以0<a+￡v兀,

,V5

因為cos(a+￡)=—5

所以sin(?+p)—A/1—cos2(?+yS)

所以sin(2a+S)=sin(a+a+S)

=sinacos(a+W)+cosasin(a+P)

3V10vr_^,710^2^5—也

—10L5廠105—10-

感悟提升角的變換：明確各個角之間的關(guān)系(包括非特殊角與特殊角、已知角與

未知角)，熟悉角的變換技巧，及半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化，如：2a=(a+份+(a—份,

a+Ba—§n兀/兀、(it

a=2'2f)+a=]一監(jiān)一町a(chǎn)=(a+5)—B=(a—,I4+?l+l4―aj=

訓練3(1)(2024?重慶質(zhì)檢)已知角a,用滿足tana=g,2sin6=sin(2a+A),貝Utan4

=()

A.1B.|C.lD.2

答案B

解析2sin￡=sin(2a+S)

=sin2acos￡+cos2asin}

所以sin仇2—cos2a)=sin2?cosB，

n.sinla____2sinacosa____2tana1

大tan"2—cosla3sin2a+cos2a3tan2a+12'

(2)(2024?河北部分名校聯(lián)考)若銳角a,J3滿足sin(a—份=；,cos^+^j=|,則

cos(^+6)=-

答案4爽.小

解析因為0<a與0<.專

則一卷〈4一夕4，聿<a+3季

由sin(o(一份>0,cos(a+,>0可得

八C兀兀I兀兀

0<a~p<^,十%<5,

=cosl?+T|COS(?一.)+sin"+?sin(a一夕)

萬能公式拓展視野

>a

2tan21—tan

(l)sina=,(2)cosa=

1+tan2^1+ta吟

a

2tan2

(3)tana=.

1—tan2

上述三個公式統(tǒng)稱為萬能公式.

a]5

例已知a,夕?(0,兀),tany,sin(a—￡)=百,則cos6=

答案It

OJ

解析tan2~29

a1

2tan2X-4

??sina-=~2=￡?

"若1+1

a

17

I—tan2

cosa=

I+tan2

■:a,￡￡(0,兀)，cosot>0,

.?.0一萬氣一兀，2j,

Vsin(a—^)=^>0,

二?a一夕￡

???COS(Q一.)=!|,

:.cosP=cos(—p)=cos(a—/3—a)

=cos(?—^)cosa+sin(a-p)sina

I2x3?5、/456

135十13565,

訓練(2024?濟寧質(zhì)檢)已知Gsi/a+sinacosa—2cos2a=0,兀J.則tana=

(7lA

,sinl.

25v§T2

答案

326

角星析\*6sin2a+sinacosa—2cos2a

6sin2a+sinacosa—2cos2a

sin2a+cos2a

6tan2a+tan儀-2

tan2a+1"

即6tan2a+tana—2=0,

解得tana=一1或tan

??仁他)?，—2

?0￡(2，兀＞??tana=11

...2tana12

?sm2a=R^=—F

1—tan2。__5

cos2a=

1+tan2?13'

/.sin^2a+^J=sin2otcos§+cos2asing

_J21,5V35^3-12

—13X2+13X2-26'

■課時分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.(2024?惠州調(diào)研)cos50°cos1600-cos40°sin160°=()

D.—喙

答案D

解析原式=cos50°cos160°—sin50°sin160°

=cos（50°+160°）=cos210°=-cos30。=一百

2.（2024.宜賓診斷）在平面直角坐標系xOy中，已知角a的終邊上一點P的坐標為（一

1,2）,角4的終邊與角a的終邊關(guān)于x軸對稱，則tan3+V=（）

11

A.IB.§C.—3D.3

答案c

解析因為角a的終邊上一點P的坐標為（一1,2）,角夕的終邊與角a的終邊關(guān)

于x軸對稱，

所以點（一1,一2）是角1的終邊上的點,

所以tan/?=2,

兀

tan￡+tan1

2+1

所以3.

兀1-2

1—tan仇an

—畫型一絲干,

'31—4tan10。寸土（)

11D雪

A.lBqC，2

答案B

鏟析sin10°_______sin10°cos10°

牛1一小tan10°cos10°—小sin10°

2sin10°cos10°__________sin20°1

~71忑V4sin(30°-10°)=4'

4kcos10°-^-sin10°l

3兀

4.若0(+P=一1，則(l+tana)(l+tan份=()

A.1B.lC.2D?|

答案C

(3兀)tana+tan￡

解析ta“-H尸an(a+所】嬴嬴濟1，

所以1—tanottan￡=tan?+tan0,

則l+tana+tan￡+tanatan￡=2,

即(1+tana)-(l+tan￡)=2.

多選.海南調(diào)研)已知

5.()(2023a?(1,兀J,且cos2a—cos2a=亍則(

14

A.tana=-1B.sin2a=5

33

C.cos2a=mD.tan2a=一

答案AC

角窣析cos2a—cosla=cos2a—(cos2?—sir?。)

?21

=sixra=~^9

因為aG(j,兀)，

所以sin乎,cosa=—^1—sin2c

5，

sina1

所以

tanacosaT

4

sin2a=2sinotcosa=一,

,3

cos2a=1-2sin9

八sin2a4

tan2a=---丁=—T.

cos2a3

6.（2024?南通模擬）4sin40。一tan40。的值為（

A.A/3B.6^2+^3

cD.2V2-1

答案A

sin40°

角翠析4sin40°—tan40°=4sin40。=。$40。

2sin80。一sin40。sin80。+（sin80。一sin40。）

cos40°—cos40°

sin80。+[sin（60。+20。）一sin（60。一20。）]

cos40°

sin80。+2cos600sin20°sin80。+sin20。

cos40°cos40°

sin（500+30。）+sin（50°—30°）小sin50。廠

=cos40°=sin50°=^3-

,（兀71、/a1兀、9E（I兀、

7.已知aG1一W，gj,cos〈1+^J=而則sin"+&J=（

3小一43s+4「3—4小

A-10B-10J10

答案A

解析由已知可得cosQ+廳

Ja.TI\94

=2cos2g+^|—l=2X正—1=予

.?.sinUf）=|

??sin=sin（a+U

兀I兀71

sina+SCOSg—cos|a+不3,sin6

o4兀?A_兀

8.cos五—sinj2=

答案坐

解析原式=

|-兀.0兀0兀

（cos12—sin司（cos口

o兀.兀兀

=cos12-sm12=cos%=2?

9.（2024?鄭州調(diào)研）log2sin15°-loglcos345°

2

答案-2

解析因為cos345°=cos（360°—15°）=cos15°,

所以log2sin15°—loglcos345°

2

=log2sin15°+log2cos15°

=log2（sin15°cos15°）

=log2（jsin30°）=log2（=—2.

10.（2024.秦皇島模擬）已知a為銳角，且tana+tan（j—=則sin2°^1

\^rJJCOSLOK

答案一3

解析由tana+tan^—（/）=■!，

.1—tana5

付tana+不氤=5，

即3tan2a—5tana—2=0,

解得tana=2或tana=一；，

因為a為銳角，所以tana=2,

,,sin2a+12sinotcosa+sin2a+cos2a

=

故%2?~2

cos2acosa—sina

tan2a+2tana+14+4+1

1—tan2a1—4

31

H.已知a,￡均為銳角，且sina=『tan(Q—?)=—§.

求：⑴sin(a-.)的值；

(2)cos￡的值.

解(1)因為a,2J'所以一/〈a—

又因為tan(a—A)=—g<0,

71

所以一]<a一6<0,

且sin(a-§)=一1cos(a一份，

又sin2(a-P)+cos2(a-P)—1,

解得cos(a—￡)=今限，sin(a—￡)=—^^.

(2)由(1)可得cos(a—份=殳護.

34

因為a為銳角，且since、,所以cosa=g.

所以cosJ3=cos[?—(a—￡)]

=cosacos(a—p)+sinasin(a—￡)

9V10

—50-

12.已知函數(shù)火X)=2COS(L9%ER.

⑴求的)的值；

(2)若，a+與)=*方，0),求人2a)的值.

解(iy(7i)=2cos^7i—

=—2cos7=-2X^-=—\[3.

o2V

(2)因為/Q+2]=2COS(Q+野=—2sina='|,所以sina

又0J,