2026年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圖形的變化講義

解題技巧

考向一尺規(guī)作圖

1.解角的平分線作法的問題

作ZA03的平分線，方法如下：

如圖所示，①以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交。4于點(diǎn)。，

交08于點(diǎn)E；

②分別以點(diǎn)E為圓心，大于工DE的長為半徑畫弧，兩弧在ZAOB

2

的內(nèi)部相交于點(diǎn)C;

③畫射線OC,射線OC即為所求的角平分線.

【注意】分別以點(diǎn)。,E為圓心畫弧時(shí)，特別強(qiáng)調(diào)半徑長應(yīng)大于3。石的長，否則兩弧無交點(diǎn).

1.如圖，在△ABC中，NC=90。，ZB=30°,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交A3,

AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,

2

若△ACD的面積為8,則的面積是（）

A.8B.16C.12D.24

答案：B

解析：過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

由作圖過程可知，AZ）平分NBAC,

CD=ED.

'：AD=AD,

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?RtAACD^RtAAED（AAS）,

??S^AED=S^ACD=8.

VZC=90°,ZB=30°,

/.ZC4B=60°,

??,AD平分N5AC,

ZCAD=ZEAD=30°,

：.ZEAD=ZB,

AD=BD,

即△”￡＞為等腰三角形，

?,S/XADE~S八BDE=8,

???Z\ABD的面積為5AAD￡+S^BDE=16

故選：B.

2.解與線段垂直平分線作法有關(guān)的問題

點(diǎn)戶.

④作直線CF.

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直線。下就是所求的垂線.

2.如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，以A5的長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)、D,取的中點(diǎn)

E,連接A石；任取一點(diǎn)P,使點(diǎn)P和點(diǎn)。位于邊AC的兩側(cè)，以點(diǎn)。為圓心，以。P的長為

半徑作弧，與邊AC相交于點(diǎn)G和再分別以點(diǎn)G和8為圓心，以大于‘GH的長為半徑

2

作弧，兩弧分別交于N兩點(diǎn)，作直線交AC于點(diǎn)E若AB=CD且則下

C.Z1=Z2D.ZB=2/C

答案：C

解析：由作圖可知AB=40,

ZB=ZADB,

E是50的中點(diǎn)，

AE±BC,故選項(xiàng)A正確；

AB=CD,AB=AD,

AD=CD,

由作圖知，MN垂直平分HG,DH=DG,

DF1AC,

AF=CF,故B選項(xiàng)正確；

AD=CD,

N2=NC,

ZADB=N2+NC=2NC,

ZB=ZADB,

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ZB=2ZC,故D選項(xiàng)正確；

現(xiàn)有條件不能證明/I=/2,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選C.

考向二投影與視圖

1.解中心投影的問題

由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.生活中能形成中心投影的點(diǎn)光源主

要有路燈、臺(tái)燈、投影儀的燈光、放映機(jī)的燈光等.在中心投影中，點(diǎn)光源、物體上任意一點(diǎn)及

其影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)三點(diǎn)共線.

【敲黑板】

（1）等高的物體垂直于地面放置時(shí)，在燈光的照射下，如圖（1）所示，離點(diǎn)光源近的物體的

影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體的影子長.

（2）等長的物體平行于地面放置時(shí)，在燈光的照射下，如圖（2）所示，離點(diǎn)光源越近，物體

的影子越長，離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，物體的影子越短.

（3）形成中心投影的過程中，點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直

線上，根據(jù)同一燈光下兩個(gè)不同物體及它們的影子，可以確定點(diǎn)光源所在位置.

【方法總結(jié)】

中心投影的相關(guān)計(jì)算常與相似三角形結(jié)合，利用相似三角形的性質(zhì)列方程（組）是解決中心投

影計(jì)算問題常用的方法.

3.小文在做小孔成像實(shí)驗(yàn)時(shí)，固定蠟燭與光屏的距離為90cm,然后將小孔。置于距離光屏

60cm的位置，測(cè)得燭焰的像CD高2.5cm,AB//CD,則此時(shí)燭焰AB的高為（）（小孔

大小和厚度忽略不計(jì)）

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A.1.25cmB.1.5cmC.2.5cmD.5cm

答案：A

解析：??AB//CD,

：.NOCD=/OBA,AODC^AOAB,

ZXODC^ZXOAB,

.CD60Hn2.560

AB90-60AB30

AB=1.25cm,

故選：A.

2.解平行投影問題

太陽光線可以看成平行光線，由平行光線所形成的投影為平行投影，因此物體在陽光的照射下

形成的影子是平行投影.常運(yùn)用平行投影下的不同物體，在同一時(shí)刻，物高與影長成正比進(jìn)行

相關(guān)的計(jì)算.一般情況下，經(jīng)過平行投影，直線的平行或相交關(guān)系保持不變.

【敲黑板】

（1）平行投影中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是互相平行的；反之，物體與其投影的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是互相平

行的就說明是平行投影.

（2）在不用時(shí)刻的太陽光照射下，物體的影子的大小和方向都在改變.

（3）平行投影的特征：①等高的物體垂直（或平行）于地面放置時(shí)，如圖所示，同一時(shí)刻，

在太陽光下，它們的影子長相等.

②在太陽光下，不同時(shí)刻，同一地點(diǎn)、同一物體的影子不僅方向在改變，影子的長度一般也不

同.從早晨到傍晚，物體影子的指向是：正西-西北f正北-東北-正東（北半球北回歸線以

北地區(qū)）.一天之中，同一物體的影子的長短的變化規(guī)律是：長“短"最短-短一長.

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③在太陽光下，同一時(shí)刻，不同物體本身的高度與它們的影子長度成正比，即

甲物體的身度_乙物體的圖度

甲物體的影長一乙物體的影長

【方法總結(jié)】

太陽光下的平行投影作圖，應(yīng)首先確定太陽光線，然后平移太陽光線即可.由于平行投影的投

影線是平行的，因此與平行投影有關(guān)的計(jì)算問題（如測(cè)量物體高度等）往往利用相似三角形來

解決.

4.如圖，在某一時(shí)刻測(cè)得1米長的竹竿豎直放置時(shí)影長L25米，在同一時(shí)刻旗桿的影長不

全落在水平地面上，有一部分落在樓房的墻上，他測(cè)得落在地面上影長為血=9米，留在墻上

的影長CD=2米，則旗桿的高度（）

00

00

00

00

00

8

A.7.2米B.8.2米C.9.2米D.10.2米

答案：C

解析：作CELAB于E點(diǎn)，如圖,

00

00

00

00

EI00

B1'

則四邊形班)CE為矩形，BD=CE=9,BE=CD=2,

AE_1

根據(jù)題意得

EC-L25

即空

91.25

解得AE=7.2,

所以AB=AE+5E=7.2+2=9.2(m).

故選：A.

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3.解物體三視圖的識(shí)別問題

從幾何體的正面看到的圖形是主視圖，從左面看到的是左視圖，從上面看到的是俯視圖.識(shí)別

三種視圖時(shí)，要知道主視圖表示物體的左右、上下一反映物體的長與高；俯視圖表示物體的

左右、前后一反映物體的長與寬；左視圖表示物體的上下、前后一反映物體的高與寬.由于

每一個(gè)視圖反映物體兩個(gè)方向的長度，故三視圖之間應(yīng)保持下面的對(duì)應(yīng)關(guān)系：主視圖與俯視圖

長對(duì)正，主視圖與左視圖高平齊，俯視圖與左視圖寬相等，簡稱為“長對(duì)正、高平齊，寬相等”.

5.古代中國建筑之魂——傳統(tǒng)的梯卯結(jié)構(gòu)，梯卯是中國古代建筑、家具及其它木制器械的主

要結(jié)構(gòu)方式，是在兩個(gè)木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式.如圖所示是柳卯結(jié)構(gòu)中的

一個(gè)部件，它的主視圖是（）

C.I___________________D.

答案：C

解析：從正面看整體是一個(gè)長方形，但是長方形上方有一部分沒有封閉，故A、B不符合題

意，而從正面看立體圖形中的小長方形的棱是能看見的，故不能是虛線，故D不符合題意，

故選：C.

4.解畫物體三視圖的問題

如圖所示，畫基本幾何體的三視圖時(shí)，要注意從三個(gè)方面觀察它們.具體方法：

⑴確定主視圖的位置，畫出主視圖；||仁高一殖

（2）在主視圖正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對(duì)正”；圖出卜…'?圖

（3）在主視圖正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬；上/

用金，匚二膜”/

畫物體的三視圖時(shí)要遵循“長對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則.畫圖時(shí)規(guī)定：看得見的部分的輪廓

線畫成實(shí)線，因被其他部分遮擋看不見的部分的輪廓線畫成虛線.

【注意】

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畫出三視圖，位置一定要放對(duì)，主視圖的正右方放左視圖，主視圖的正下方放俯視圖，要把握

好三者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

6.如圖1是由9個(gè)大小相同的小正方體組成的幾何體.

IIIIIIIIIIIIII

L_J__L_JL_J__L_J

r_n_-r_T_n-_r-i

???i??????????

圖1圖2圖3

（1）在圖2和圖3中分別畫出圖1所示幾何體的主視圖和俯視圖；

⑵若從圖1所示幾何體中拿走n塊小正方體后，左視圖沒有發(fā)生變化,則n的最大值是..

答案：（1）見解析

（2）5

解析：（1）如圖所示：

圖2圖3

⑵如圖所示，

IIIIII1

LIIII?I

?-7?「一7i?

II?????

I??????

-1-2-1

幾=1+1+2+1=5,

故答案為：5.

5.根據(jù)三視圖確定小正方體的個(gè)數(shù)問題

先根據(jù)幾何體（由小正方體搭成）的三視圖分析出幾何體的行數(shù)、列數(shù)及層數(shù)，再確定小正方

體的個(gè)數(shù).

由主視圖和俯視圖確定小正方體的最多和最少個(gè)數(shù)的一般步驟如下：

第一步：根據(jù)主視圖數(shù)出每列中的小正方形個(gè)數(shù)，在俯視圖對(duì)應(yīng)的列（從左到右的順序）的第

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一行（從上到下的順序）的每一個(gè)小正方形內(nèi)填入相應(yīng)的數(shù)字.

第二步：在俯視圖對(duì)應(yīng)的列的其他行的小正方形內(nèi)填入不超過第一行且不低于1的數(shù)字.

第三步：若要求的是最多需要小正方體的個(gè)數(shù)，則應(yīng)取俯視圖中每一個(gè)小正方形上最大的數(shù)字

（若相同，則任取一個(gè)），再把它們相加，即可得小正方體的最多個(gè)數(shù)；若要求的是最少需要

小正方體的個(gè)數(shù)，則應(yīng)取俯視圖每列中一個(gè)小正方形上最大的數(shù)字，其余小正方形上最小的數(shù)

字（若相同，則任取一個(gè)），再把它們相加，即可得小正方體的最少個(gè)數(shù).

【方法總結(jié)】

由俯視圖我們能夠確定幾何體從下到上的第一層小正方體的個(gè)數(shù)及分布形狀；由主視圖可以確

定幾何體每層的小正方體的可能的個(gè)數(shù).

7.某幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體組成，其主視圖、左視圖和俯視圖都如圖所示.則組

成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為（）

A.4個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

答案：B

解析：如圖所示：

2112

1221

-----或I-----------,

故組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為：2+2+1+1=6（個(gè)）.

故選：B.

考向三圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)

L解軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別問題

如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合,這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,

這條直線就是它的對(duì)稱軸.也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱.

把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形

叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心.

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在判斷一個(gè)圖形是否為軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形時(shí)，要明確以下兩點(diǎn)：①如果能找到一條直

線（對(duì)稱軸）把一個(gè)圖形分成兩部分，且直線兩旁的部分完全重合，那么這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱

圖形；②把一個(gè)平面圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形重合，那么這個(gè)

圖形就是中心對(duì)稱圖形.

【規(guī)律總結(jié)】

圖中有三角形、五邊形等奇數(shù)條邊的圖形時(shí)，一般不是中心對(duì)稱圖形；圖中含有圓、正方形等

圖形時(shí)，它可能既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形.

8.窗板是我國傳統(tǒng)房屋建筑的重要組成部分，具有較高的藝術(shù)與觀賞價(jià)值，下列窗根紋樣

中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

答案：A

解析：A.是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

B.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.既不是軸對(duì)稱圖形，又不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意;

故選：A.

2.解有關(guān)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)的計(jì)算問題

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這種圖形變換就是平移.圖形平移具有以

下性質(zhì)：經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)線段平行（或

在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等.把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這

種圖形變換稱為圖形的旋轉(zhuǎn).

圖形旋轉(zhuǎn)具有以下性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾

角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.圖形的平移和旋轉(zhuǎn)都不改變圖形的形狀和大小.

解圖形的平移問題時(shí)，一要弄清楚平移的方向，二要注意平移的距離；解圖形的旋轉(zhuǎn)問題時(shí),

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要注意圖形旋轉(zhuǎn)的三要素（旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度）和性質(zhì).

9.如圖，ZAOB的頂點(diǎn)。在直線肱V上，把ZAOB沿著線平移到ZA'O'B'處.若ZAQW=40。,

ZAOB=90°,則ZB'ON的度數(shù)是（）

MOO'N

A.45°B.50°C.55°D.60°

答案：B

解析：VZAOM=4Q°,ZAOB=90。，

...ZBON=180—ZAOM-ZAOB=50°,

NA03沿著線MN平移得到ZAO'B',

：.ZB'ON=ZBON=50°.

故選：B.

10.如圖，正方形ABC。的邊長為6,E是BC上一點(diǎn)，且BE=2.連接AE,將AE繞點(diǎn)E順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段EF,連接AF.

（1）線段AE的長為；

（2）若是A歹的中點(diǎn)，則線段PC的長為.

答案：475；275

解析：（1）：ABCD是正方形，

ZB=90°,

*.*AB=6,BE=2,

AE=>JAB2+BE2=J36+4=2710,

???將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段EF,

AE=EF,ZAEF=90°,

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AF=?AE=4出；

故答案為：4百;

?.?四邊形ABCD是正方形，

JZACB=45°=ZAFE,

?.?點(diǎn)A,點(diǎn)E,點(diǎn)C,點(diǎn)尸四點(diǎn)共圓,

??.ZAEF=ZACF^90°,

???點(diǎn)是Ab的中點(diǎn)，

EP=PF=-AF=CP,

2

PC=-AF=-x4y/5.

22

故答案為：2遍.

3.解圖形的平移與旋轉(zhuǎn)的畫圖問題

平移與旋轉(zhuǎn)作圖都應(yīng)抓住兩個(gè)要點(diǎn)：一是平移、旋轉(zhuǎn)的方向；二是平移的距離及旋轉(zhuǎn)的角度.基

本的作圖方法是先選取已知圖形的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再根據(jù)平移或旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

然后以“局部帶動(dòng)整體”的思想方法作出變化后的圖形.無論是平移還是旋轉(zhuǎn)，都不改變圖形的

大小和形狀.

11.如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，線段AC的位置如圖.

⑴以C為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段C4,然后向右平移1個(gè)單位長

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度，再向下平移2個(gè)單位長度，得到線段畫出4。2；

(2)連接AA],過點(diǎn)C作△AC41的高。；

⑶過AC的中點(diǎn)E作EF//C.A,.

答案：(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

解析：如圖所示AC2即為所求

(3)如圖所示：即為所求.

4.利用軸對(duì)稱解決最短距離問題

幾何體中的最短路徑問題，實(shí)質(zhì)就是構(gòu)建和轉(zhuǎn)化“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“三角形兩邊之和大

于第三邊”的問題，關(guān)鍵是找相關(guān)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

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【方法總結(jié)】

線段和最短的問題，往往把幾條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決.通常將

涉及的幾點(diǎn)中的任一點(diǎn)作出其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)解決.

12.材料：在古羅馬時(shí)代，傳說在亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，

一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題.將軍每天從營地甲出發(fā)，先

到河邊飲馬，再去河岸同側(cè)的營地乙開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此、這個(gè)被稱為

“將軍飲馬”的問題廣泛流傳.

⑴在解決日常生活中遇到的問題時(shí)，我們常常把問題數(shù)學(xué)化，將問題抽象歸納為一個(gè)數(shù)學(xué)模

型，將軍飲馬問題也不例外.在這個(gè)問題中，我們把營地甲、營地乙分別抽象為點(diǎn)A、點(diǎn)5,

把河岸抽象為直線L把距離抽象為線段的長度，這樣，一個(gè)生活問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問

題.現(xiàn)有如下四種設(shè)計(jì)方案，則所走路程最短的是.

⑵如圖所示，牧童在A處放牛，其家在3處，AC=10米，5。=20米，CD=40米，牧童從

A處把牛牽到河邊L飲水再回家，求牧童需要走的最短路程為多少米.

B

A

(3)已知a+b=8(a>0,b>0),求+16+，加+4的最小值.(可結(jié)合圖形)

答案：⑴D

(2)50米

⑶10

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解析：選：D,

理由：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4,連接43交直線L于點(diǎn)C,則點(diǎn)。就是所要求

作點(diǎn).在直線L在任取另一點(diǎn)D,連接，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：AC^A'C,AD^A'D,

AC+BC^AC+BC=AB,AD+DB=AD+DB,

在△A3。中，AB<AD+BD,

AC+BC<AD+DB,

故選：D.

(2)如圖，延長AC至點(diǎn)4,使得AC=AC,連接A2,則AB的長度為牧童需要走的最短路

程.

B

A//

/?

/?

?/

c\~yiiD\~L

I?I

過點(diǎn)A作A'P//CD,與BD的延長線交于點(diǎn)P,

則AP±BD,AC=PD,A'P=CD.

在中，BP=AC+BD=30^z,AP=CD=40米.

A5=JA