2026年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)：解直角三角形講義

解題技巧

L求網(wǎng)格中銳角的三角函數(shù)值的問(wèn)題

如圖所示，在中，ZC=90°,的對(duì)邊

分別為"c.

NA的對(duì)邊_a

NA的正弦:sinA=

斜邊-一7;

NA的鄰邊b

NA的余弦:cosA=

斜邊

NA的正切:

tanA，N"A的絮鄰邊*b

求銳角的三角函數(shù)值時(shí)，通常構(gòu)造以該銳角為內(nèi)角的直角三角形，以便在直角三角形中求銳角

的三角函數(shù)值.

【敲黑板】

（1）由于直角三角形的斜邊大于直角邊，且各邊的邊長(zhǎng)均為正數(shù)，所以銳角三角函數(shù)值都是

正實(shí)數(shù)，J=L0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.

（2）sinAcosA和tanA都是以銳角A為自變量的函數(shù)，一旦NA的度數(shù)確定，，它們的值就唯

一確定，即銳角三角函數(shù)值隨角度的變化而變化.

（3）當(dāng)銳角用一個(gè)大寫(xiě)字母或一個(gè)小寫(xiě)希臘字母表示時(shí)，習(xí)慣上省略角的符號(hào)“/"，如

sinA,cosA,tanAsin6Z,cos%tanc等；當(dāng)銳角用三個(gè)大寫(xiě)細(xì)目或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示時(shí)，角的

符號(hào)“N”不能省略，如sinNABC不能寫(xiě)成sinABC,cosNl不能寫(xiě)成cosl等.

【方法總結(jié)】

在網(wǎng)格圖中求銳角三角函數(shù)值的關(guān)鍵是構(gòu)造銳角所在的直角三角形.若直角頂點(diǎn)恰好在格點(diǎn)上,

則可先運(yùn)動(dòng)勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)的概念求解；若直角頂點(diǎn)不在格

點(diǎn)上，則可先利用等積法、勾股定理等方法先求出相關(guān)邊的長(zhǎng)度，然后利用銳角三角函數(shù)的概

念求解.

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【解法通法】等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值

當(dāng)不能直接利用定義法、參數(shù)法、構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)值時(shí)，可利用等角轉(zhuǎn)換法,

把要求的角轉(zhuǎn)化為與其相等的角.找相等角的方法有多種，可以借助平行線、等腰三角形、三角

形全等(相似)和圓等知識(shí)來(lái)解決，要根據(jù)題目的條件靈活選用方法.

1.如圖，AC為的直徑，貝i]sinA=()

c.-B--C-D.里

ABBC

解析：’.?AC為:。的直徑,

ZABC=90°,

sinA*

AC

故選：A

2.如圖，在RtZVlBC中，NC=90。，”是直角邊AC上一點(diǎn)，肱于點(diǎn)N,AN=3,AM=4,

求cosB的值.

答案：—

4

解析：VZC=90°,MNLAB,

：.NC=ZANM=9Q。，

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又?:ZA=ZA,

：.AAMNS^ABC,

.AC_AN_3

AB-AA/-4J

設(shè)AC=3x,AB=4%,

由勾股定理得：BC=VAB2-AC2=J（4x『—（3x）2=缶,

在RtWC中'cos八器=普=卓

3.如圖，在菱形A3CD中，點(diǎn)E在3c上，將△ABE沿AE折疊得到△AGE,點(diǎn)G在3c的延

長(zhǎng)線上，AG與CD相交于點(diǎn)E若——=3,貝han3的值為.

解析：根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得：BE=EG,ZAEB二ZAEG=90。,

?.?菱形ABC。，

/.AB//CD,AB=BC,

：.—=—=3,即：BG=4CG,

FGCG

：.BE=-BG=-x4CG=2CG,AB=BC=BG—CG=4CG—CG=3CG,

22

在RtAABE中，AE=dAB?—BE。=^（3CG）2-（2CG）2=辰G,

.?.tan腔絲=也=@,

BE2CG2

故答案為:當(dāng)

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2.特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算問(wèn)題

J?

在解含特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，要記住sin45o=注,COS45。：上,tan45o=l,

22

sin30°=—,cos30°=,tan30°=—,sin60°=,cos60°=—,tan60°=粗,本艮據(jù)題目要求選

22322

取相應(yīng)的特殊角的三角函數(shù)值，按照運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算.

4.計(jì)算：2cos45°——（?！?025）+[§]

答案：2

解析：2cos45o-V8+|-V2|-（7i-2025）°+[g]

歷

=2x---2V2+V2-1+3

2

=72-272+72-1+3

=2；

5.計(jì)算：（兀—2025）°+卜2|+V1I—2sin60°.

答案：3+V3

解析：原式=1+2+26

=3+-\/3

3.解直角三角形

①已知兩邊解直角三角形的方法

（1）已知斜邊和一直角邊：通常先根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊，然后利用已知直角邊與

斜邊的比得到一個(gè)銳角的正弦（或余弦）值，求出這個(gè)銳角，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互

余求出另一個(gè)銳角.

（2）已知兩直角邊：通常先根據(jù)勾股定理求出斜邊，然后利用兩條直角邊的比得到其中一個(gè)

銳角的正切值，求出該銳角，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出另一個(gè)銳角.

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【技巧點(diǎn)撥】

解直角三角形時(shí)，如果沒(méi)有給出圖形，一般先在草稿紙上畫(huà)出圖形，將已知條件標(biāo)注出來(lái)，再

根據(jù)已知條件分析要求的元素.

②已知一銳角和一邊解直角三角形的方法

（1）已知一銳角和一直角邊：通常先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出另一個(gè)銳角，再利

用已知角的正切求出另一條直角邊.當(dāng)已知直角邊是已知銳角的對(duì)邊時(shí)，利用這個(gè)角的正弦求

斜邊；當(dāng)已知直角邊是已知銳角的鄰邊時(shí)，利用這個(gè)角的余弦求斜邊（求出兩條邊后，也可利

用勾股定理求第三條邊）.

③構(gòu)造直角三角形解斜三角形問(wèn)題的方法

先通過(guò)作垂線（高），將斜三角形分割（或補(bǔ)）成兩個(gè)直角三角形，然后利用解直角三角形求

邊或角.在作垂線時(shí)，要充分利用已知條件，一般在等腰三角形中作底邊上的高，或過(guò)特殊角的

一邊上的點(diǎn)作這個(gè)角的另一邊的垂線，從而構(gòu)造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的

相關(guān)知識(shí)求解.

6.如圖，在△ABC中，cosC=1,AB=3,AC=2,則△ABC的面積為（）

V3+V2口V3+2V2廠3V2+V3「3V3+V2

AA.------------r>.--------------C.--------------U.--------------

2222

答案:C

解析：作AQJL5C于點(diǎn)。，如圖，

在直角三角形ACD中,

VcosC=-,AC=2,

2

:.CD—AC-cosC=1?

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AD=y/AC2-CD-=6

在直角三角形ADB中，根據(jù)勾股定理可得BD=VAB2-AD2=護(hù)_(呵=正,

：.BC=BD+CD=\+巫,

I.△ABC的面積為gx(n+l)x6=3等立

故選：C.

7.如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A,B,C,D都在格點(diǎn)處，A3與

CD相交于點(diǎn)P,貝UsinZAPC的值為.

答案:g

解析：如圖，作AE〃CD,連接助,

:.ZA=AAPC,

令正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1,

:.BE=J展式=逐,

AE=A/22+42=275,

AB=V32+42=5,

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:.AE2+BE2=25^AB2,

.■.AEB=90°,

BE_y[5

sinA=

AB-V

sin/APC=sinA=

5

故答案為：冬

8.如圖，在中，/。=90。.點(diǎn)。在線段8。上，NS4D=45。.若AC=4,CD=1,則

解析：過(guò)。作。于E,

ZC=90°,AC=4,CD=1,

AD=y/42+l2=V17

ZBAD=45°

.?.△ADE是等腰直角三角形

:.DE^AD=^

22

設(shè)。3=x,則CB=x+l

AB=,42+0+1)2

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DE

sinZB=—

AB~DB

后

4

y/42+(x+l)2x

1717

解得x=—/(舍去)或x=q

經(jīng)檢驗(yàn)x=—是原分式方程的解，

3

111740

??■^c=--CB-AC=-x(l+-)x4=y.

40

故答案為：—.

3

4.解坡度（坡比）問(wèn)題

名稱(chēng)定義表示方法關(guān)系舉例

坡度等于坡角的正切'i=h：l

坡面與水平面的一般用字母值，即，=7=tana；坡

坡角

夾角叫做坡角a，B，y表示度越大，則坡角越大，

當(dāng)丸=i」=百時(shí)，坡度

山坡就越陡

i=l：6,坡角為30。

【易錯(cuò)警示】有關(guān)坡角、坡度問(wèn)題的兩個(gè)注意點(diǎn)

（1）坡角是指坡面與水平面的夾角，而不是坡面與鉛垂線的夾角；

（2）不能把坡度比例式的分子和分母的位置顛倒.

9.冬季，滑雪項(xiàng)目成為許多人休閑娛樂(lè)的新選擇.圖（1）是某滑雪賽道，圖⑵是其側(cè)面簡(jiǎn)化示意

圖.8是滑雪賽道的高度，斜坡的坡比，=3:4,坡面長(zhǎng)7.5米.小華從A處測(cè)得C處的仰

角為22。，從3處測(cè)得C處的仰角為45。，已知ANLDN,求滑雪賽道的高度CZX（結(jié)果精

確到1米.參考數(shù)據(jù)：sin22°?0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40）

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答案：1L5米

解析：過(guò)點(diǎn)A作AULOC于點(diǎn)U,則由題意得AU=QN,AN=。。,CDLDN,ANLDN,

?.?斜坡AB的坡比i=3:4,坡面長(zhǎng)7.5米

.AN3

??—,

BN4

設(shè)AN=3x,BN=4x,

貝ijAB=y]AN2+BN2=5x=7.5,

解得：x=1.5

所以：ANDU=4.5m,BN=6m,

在中，NCBD=45。,

CD

：.tanNC3D=——=1

BD

BD=CD=y,

Cllv-44

在Rt^ACU中，tanNC4U=—,BPtan22°=^-~~-

AUy+6

則Ho.4,

y+6

解得：y=11.5

所以滑雪賽道的高度0。為11.5米.

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10.如圖，斜坡5C的坡度，=1：百，斜坡NC=200m,在坡頂C處建有一鉛直的電視轉(zhuǎn)播塔

C。，點(diǎn)A,3在同一水平線上，在點(diǎn)A處測(cè)得電視轉(zhuǎn)播塔的頂端。的仰角為40。，在斜坡6C

的底端B處測(cè)得電視轉(zhuǎn)播塔的頂端D的仰角為60。.

（1）求電視轉(zhuǎn)播塔CD的長(zhǎng)；

（2）求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：石“73,sin40°?0.64,cos40°?0.77,

tan40°?0.84）.

答案：（1）電視轉(zhuǎn)播塔的長(zhǎng)為200m

⑵A3的長(zhǎng)度約為184.1米

解析：（1）延長(zhǎng)。C交所在直線于點(diǎn)E,則

???斜坡的坡度，=1:6,

??.tanZCBE=-^=—,

百3

ZCBE=30°,

ZDBE=60°,

I.ZBDE=90°-60°=30°,ZCBD=60°-30°=30°,

ZCBD=ZBDC=30°,

/.BC=CD=200(m),

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答：電視轉(zhuǎn)播塔的長(zhǎng)為200m；

(2)在RtABCE中，*.*/CBE=30°,

/.CE=gBC=100(m),

BE=V2002-1002=100百?173(m),

在RtZkADE中，DE=CD+CE=200+100=300(m),ZZME=40°,

DE

Vtan40°=——，

AE

：.AE=DE357.14(m),

tan40°0.84

AB=357.14-173?184.1(m).

答：A5的長(zhǎng)度約為184.1米.

5.解方向角問(wèn)題

名稱(chēng)定義舉例

指北或指南的如右圖所示，目標(biāo)方向線OC；

方向線與目標(biāo)的方向角分別可以表示為北偏東30。、南偏\5°

方向角線所成的小于東45。、北偏西45。，其中南偏東45。習(xí)慣上西0

90°的角叫做又叫做東南方向，北偏西45。習(xí)慣上又叫做

T

方向角.西北方向.

【解法通法】解決暗礁影響類(lèi)問(wèn)題的方法

求解是否觸礁的問(wèn)題時(shí)，一般都會(huì)求出暗礁中心到航線的距離，將這個(gè)距離與暗礁半徑比較大

小，距離小于或等于半徑有危險(xiǎn)，距離大于半徑?jīng)]有危險(xiǎn).臺(tái)風(fēng)、噪音影響等其他類(lèi)似問(wèn)題也用

類(lèi)似方法解決.

11.如圖，燈塔C位于港口A的北偏東58。方向，且A,C之間的距離為30km,一艘輪船從港

口A出發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)3處，測(cè)得燈塔C位于北偏東37。方向上，求這時(shí)輪船到港

口A的距離（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°?1.60,

sin37°x0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）.

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東

7

答案：這時(shí)輪船到港口A的距離為18km.

解析：作CD，54交B4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

在RtZVLCD中，cos58°=—,sin58°=—

ACAC

貝!!任。0.53,—?0.85,

3030

解得AD=15.9,CD=25.5,

CD

在RtZ\5CD中，tan37o=——,

BD

755

則包工0.75,

BD

解得以）=34,

AB=B￡>-AZ）=34-15.9=18.1?18（km）,

答:這時(shí)輪船到港口A的距離為18km.

12.如圖，筆直的海岸線/上有A,3兩個(gè)觀測(cè)站，A在3的正東方向.有一艘漁船在點(diǎn)P處，從

A處測(cè)得漁船在北偏西60。的方向，從3處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得5,P兩點(diǎn)之間的

距離為20海里，漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)C,此時(shí)，從3測(cè)得

漁船在北偏西15。的方向.

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⑴填空：ZC4B=______度，ZACB=_____度；

(2)求觀測(cè)站A,3之間的距離；(結(jié)果保留根號(hào))

(3)求點(diǎn)C與點(diǎn)3