第17講解直角三角形（第1課時(shí)）（八大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1學(xué)分解,百角二角形.

2：掌握直角三語(yǔ)形中長(zhǎng)度、角度之間的轉(zhuǎn)化

3、會(huì)結(jié)合其他幾何知識(shí)解直角三角形；

02思維導(dǎo)圖

L

1.解直角三角形

知識(shí)點(diǎn)

2.解直角三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法

,題型1：解單個(gè)直角三角形一求長(zhǎng)度，圖形類(lèi)

（題型2:解單個(gè)直角三角形一綜合類(lèi)，圖形類(lèi)

廠題型3:解單個(gè)直角三角形一求長(zhǎng)度、綜合類(lèi),文字語(yǔ)言描述類(lèi)

_題型4:解一圖多三角形問(wèn)題一求長(zhǎng)度

題型

一題型5:解一圖多三角形問(wèn)題一綜合表示類(lèi)

:題型6:在特殊平行四邊形中解直角三角形

I題型7:利用其他三角形性質(zhì)解直角三角形

【題型8:其他問(wèn)題綜合

03知識(shí)清單

一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在R3ABC中，NC=90。，NA、NB、NC所對(duì)的邊分別為a、b、c,則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）.

②銳角之間的關(guān)系：NA+NB=90。.

③邊角之間的關(guān)系：

.AQ人b人aAb

sinA=—,cosA=—,tanA=—,cotA=—

ccba

.nbnanb八。

sinn=—,cosn=—,tann=—,cotB=—

ccab

④Su3c=1/，h為斜邊上的高.

【方法規(guī)律】

（1）直角三角形中有一個(gè)元素為定值（直角為90°）,是已知值.

（2）這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒(méi)有包括其他關(guān)系（如不等關(guān)系）.

（3）對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

二、解直角三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法

和解法

三角形類(lèi)鏟已知條件解法步驟

tan-4=—

由b求NA,

兩直角邊（a,b）

NB=90。一NA,

c-d#+i2

兩

邊a

smA=—

由C求NA,

斜邊,一直角邊（如c,a）

RtAABCNB=90。一NA,

Bb=

NB=90。一NA,

銳角、鄰邊a=bt3nA,

（如/A,b）b

月N-----r-----------一直角邊c=--------

bcosA

和一銳角

邊NB=90。一NA,

銳角、對(duì)邊

a,a

（如/A,a）c=------b=--------

角sin,tanA

ZB=90°-ZA,

斜邊、銳角（如c,ZA）a=c-sin<,

b=ccosA

【方法規(guī)律】

1.在遇到解直角三角形的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，最好是先畫(huà)出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是

已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算；

2.若題中無(wú)特殊說(shuō)明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.

3

【即學(xué)即練1】在用“15。中，ZC=90°,如果AC=2,cosA=-,那么AB的長(zhǎng)是（）

【即學(xué)即練2】如圖，在RtZXABC中，NC=90。，cosA=1,貝Ijtan5的值為（）

A

BC

【即學(xué)即練3】如圖，在"BC中，?B90?,ZC=30°,AD是"BC的角平分線，若AB=幣,則AD

長(zhǎng)度是（）

BD

B.-V3

題型精講

題型1：解單個(gè)直角三角形一求長(zhǎng)度，圖形類(lèi)

【典例1].如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，AC=2,BC=1,則sinB的值為（）

B

【答案】C

【分析】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確掌握邊角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.直接利用勾股定理求

出的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.

【解析】解：：在Rt^ABC中，ZC=90°,AC^IBC,

.,.設(shè)8c=1,則AC=2,故AB=6,

貝IJsinB=￡2

AB5

故選：C

【典例2].在Rt2\ABC中，ZACB=9Q°,BC=12,tanB=—,則AB的長(zhǎng)為（

AB

A.8B.12C.13D.18

【答案】C

【分析】在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=12,tanB=—,求出AC=5,由勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可.

【解析】解：在中，VZACB=90°,BC=12,tanB=—,

/.AC=2?C-tanB=12x—=5,

12

AB=yjAC2+BC2=V52+122=13，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理，熟練掌握銳角三角形函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

題型2：解單個(gè)直角三角形—綜合類(lèi)，圖形類(lèi)

【典例3].如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=\,AB=3,則下列結(jié)論正確的是（）

nA=^

A.S1B.tanA=—C.cosB=3D.tan8=20

33

【答案】D

【分析】本題考查了解直角三角形，先根據(jù)勾股定理求出AC,然后根據(jù)正弦、正切、余弦的定義逐項(xiàng)判斷

即可.

【解析】解：VZACB=90°,BC=1,AB=3,

AC=7AB2-BC2=272，

...BC_1*BC阻j3_BC_1TACF,

??sinA==—,tanA==—,cosB-----——,ttanB）-_-2,2.

AB3AC4AB3BC

故選：D.

【典例4].如圖，在中，2B90?,ZA=a,AB=4,則AC的長(zhǎng)是（）

4

A.4sinaB.—C.D.4tana

sinacosa

【答案】C

【分析】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角形的定義.

根據(jù)余弦的定義解答即可.

【解析】解：在中，2B90?,

4A3

cosA=,

AC

*/ZA=a5As=4,

cosAcosa

故選：C

【典例5].如圖，在AABC中，ZACB=90°,下列結(jié)論正確的是（）

B.AB=ACcosAC.BC=AB-sinB

D.AC=BC-tanB

【答案】D

【分析】此題主要考查了銳角三角三角函數(shù)關(guān)系.根據(jù)銳角三角三角函數(shù)關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【解析】解：A、AC=-^-,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

tanA

B、AB=^~,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

cosA

C、BC=ABsinA,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、AC=BCtanB,故本選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

題型3：解單個(gè)直角三角形一求長(zhǎng)度、綜合類(lèi)，文字語(yǔ)言描述類(lèi)

【典例6].在RfzVLBC中，已知/C=90。，AC=3,BC=4,那么/A的余切值等于（）

3434

A.—B.-C.—D.一

5543

【答案】C

AT

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，直接得出cotA=生即可得出答案.

【解析】解：如圖所示:

A

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練地應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本題

是道基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單.

【典例7].在RtAABC中，ZC=90°,AB=A,tanA=VL則BC的長(zhǎng)為（）

A.3B.2C.V3D.26

【答案】D

【分析】先利用直角三角形的邊角間關(guān)系，用含3c的代數(shù)式表示出AC,再利用勾股定理求出8c.

【解析】解：在Rt^ABC中，

?"筆=g

:.AC=—BC.

3

AC2+BC2=AB2,

BC)2+BC2=42.

BC2=12.

BC=273.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

12

【典例8].已知在中，ZC=90°,sinA=—,貝！han5的值為（）

A,正B.B

C.上D

223-H

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義，設(shè)BC=12x,則AB=13x,AC=5x,再根據(jù)正切三角函數(shù)的定義，即

可求解.

A

【解析】

CB

12

???在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=—,

13

?5c12

??南-Ti'

設(shè)3c=12x，貝1JAB=13X，AC7AB2—BC?=5x，

5x_5

tanB=-----

BC12^~12

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)三角函數(shù)的定義，用未知數(shù)表示出直角三角形的各邊長(zhǎng)，是

解題的關(guān)鍵.

【典例9].已知在及42。中，ZC=90°,ZB=50°,AB=10,那么BC的長(zhǎng)為（）

A.10cos50°B.10sin50°C.10tan50°D.10cot50°

【答案】A

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.

【解析】解：,??在AABC中，ZC=90°,

VZB=50°,AB=IO,

BC=AB*cosB=10*cos50°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【典例101已知AABC,AB=m,NACB=90。，則下列各式中，正確的是（）

A.BC=m-tanAB.BC=mcotAC.BC=m-cosAD.BC=m-sinA

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得BC,即可判定.

【解析】解：在中，NACB=90。，由三角函數(shù)的定義可得:

sin*,cosA=^,tanA=^,8tA金

ABABACBC

又丁AB=m

BC=msinA

故選D

【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

題型4：解一圖多直角三角形問(wèn)題一求長(zhǎng)度

【典例111.如圖，在AABC中,NA=450,/C=90。,點(diǎn)D在線段AC上,/BDC=6（T,AD=1,則BD等于（）

A.73B.73+1C.V3-1D.火

3

【答案】B

【分析】設(shè)BC=x,根據(jù)銳角三角函數(shù)分別用x表示出AC和CD,然后利用AC-CD=AD列方程即可求出

BC,再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出BD.

【解析】解：設(shè)BC=x

?.,在AABC中,/A=45O,/C=90。，

；.AC=BC=x

xy[3x

在RtABCD中,CD=———=/=-—

tanZBDCV33

VAC-CD=AD,AD=1

/.x-縣=1

3

解得“？

即BC=3+6

2

在Rt^BCD中，BD=-------------=V3+1

sinZBDC

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.

?

【典例12].如圖，在RtZXABC中，ZC=90°fAC=BC=6f。是AC上一點(diǎn)，若tanND3C=§,則AD

的長(zhǎng)為（）

2

B.4C.3D.

3

【答案】A

【分析】本題考查了解直角三角形，先解Rt^OBC,求出。C的長(zhǎng)，然后根據(jù)AD=AC-OC即可求解.

DC2

【解析】VZC=90°,AC=3C=6,tanZDBC=—=—,

BC3

??.DC=-BC=4,

3

AD=AC-DC=6-4=2.

故選：A.

3

【典例13].如圖，在Rt^ABC中，/ABC=90。，AB=10,cos/C=《，那么AD=

【答案】8

【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.證明=推

出cos/A8O=cos/C=W，可得竺=[，求出2。，再利用勾股定理求出AO.

5AB5

【解析】解：在Rt~4BC中，ABC=90°,

：.ZABD+ZA=/C+/A=90°,

:?NABD=NC,

3

/.cos^ABD=cos/C=—,

.BD_3

??—―，

AB5

AB=10,

：.BD=6,

???AD=YIAB2-BD2=A/102-62=8-

故答案為：8.

【典例14].在RtAABC中，ZABC=90°,BD,AC于點(diǎn)。，已知50=3,CD=4-近,則AC=.

A

k

DC

【答案】8

【分析】此題考查了解直角三角形，正切函數(shù)的定義，先在Rt^BCD中，求出tan?CBD=再

BD3

證出NA=N8C>.再根據(jù)tanA=tan?CBD求出A￡)=4+，\進(jìn)而求出結(jié)論.

【解析】解：

???NBDC=90。,

???在R33CD中，BD=3,CD=4-幣,

\tan?CBD空二上正，

BD3

V?A?ABD?CBD?ABD90°,

JZA=NCBD,

RDOAFl

.?.在中，tanA=tan?CBD—=—二一丫

ADAD3

/.AD=4+5,

.?.AC=AZ）+CD=（4+^）+（4-V7）=8,

故答案為：8.

題型5：解一圖多直角三角形問(wèn)題一綜合表示類(lèi)

【典例15].如圖，RtAABC中，ZACB=RtZ,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn).若NB=a,NADC=0,則不為

（）

sin"cosB

D.--

sinacosa

【答案】C

【分析】解直角三角形分別用AC表示出AB,AD即可解決問(wèn)題.

AC

【解析】在R3ABC中，???AB=^一,

sina

AC

在RtAADC中，I.AD=——,

sin[3

AC

.ABsin。_sin力

ADACsina，

sin0

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

【典例16].如圖，電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC互相垂直（A,D,B在同一條直線上）,

設(shè)NC4B=a,那么拉線BC的長(zhǎng)度為（）

sinacosatana

【答案】B

）

【分析】根據(jù)同角的余角相等得NCAD=NBCD,由cosN5CO==rC1,即可求出BC的長(zhǎng)度.

nC

【解析】?.?NGW+ZACD=90。，ZACD+ZBCD=90°,

:.ZCAD=ZBCD.

在RtA^CD中，

DC

?.?cos/BCD------,

BC

BC=———=-^―.

cos/BCDcosa

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握同角的余角相等和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【典例17].如圖，在"CB中，ZACB^O°,。是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD,若NB=a,AADC=/3,AB=a,

〃sinaasina

C.——-，

tanpDcos/3

【答案】C

【分析】利用銳角三角函數(shù)關(guān)系分別表示出。。的長(zhǎng)進(jìn)而得出答案.

【解析】解：*/ZACB=90°,NB=a,ZADC=/3,AB=a,

??.cos於COS”生BC

ABa

則BC=acosa,

.ACAC

sin3=sina=----

ABa

i^AC=a-sina,

則tan/3=石己,

ACa-sina

故。0=

tan§tan夕

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確掌握三角函數(shù)是解題關(guān)鍵.

題型6：在特殊平行線四邊形中解直角三角形

【典例18].如圖，在矩形A3CD中，AB=\,8C=2,對(duì)角線AC的垂直平分線分別交QAC于點(diǎn)E、O,

則0E的長(zhǎng)為（）

A.；B.BC.BD.好

2244

【答案】D

【分析】根據(jù)題意以及矩形的性質(zhì)，勾股定理求得A0力,進(jìn)而根據(jù)tanADAC=tan/E4O得出空=要

2ADAO

即可求解.

【解析】解：：四邊形ABC。是矩形，AB=1,BC=2,

/D=90°,AB=DC=1,BC=AD=2,

???對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O,

：.AO=OC=-AC=-S]AD2+CD2,ZAOE=90°,

222

VZDAC=ZOAEf則tanZZMC=tanNE4O,

.DCEO

??布一茄’

1EO

??.5—行,

~2

解得：EO正,

4

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，得出資是解題的關(guān)

ADAO

鍵.

3

【典例19].如圖，在菱形ABCD中，DEJ.AB于點(diǎn)、E,cosA=-,AD=5,貝iJtan/3DE的值為（）

A.立B.更C.2D.!

252

【答案】D

【分析】本題主要考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，勾股定理，先解RtAW石得到=再由勾

股定理求出。石=4,由菱形的性質(zhì)得到AB=AD=5,則5￡=2,據(jù)此根據(jù)正切的定義可得答案.

【解析】解：

???ZDEA=ZDEB=90°,

AE3

在RtAADE中，cosA=-----二一，AD=5,

AD5

3

.?.AE=-AD=3,

5

DE=yjAD2-AE2=4

???四邊形ABCD是菱形，

AB^AD=5,

：.BE=2,

在R.t/\DEB中，tan/BDE=-----=—=—,

DE42

故選：D.

【典例20].如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC與3D相交于點(diǎn)。，NABC=12O。，BD=4,則對(duì)角線AC

的長(zhǎng)為（）

D.C

/^O\/

A^~----------

A.4A/3B.2A/3C.4D.8

【答案】A

【分析】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合等邊三角形的判

定與性質(zhì)得出是等邊三角形，可求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值進(jìn)而求出AC的長(zhǎng).

【解析】解：在菱形A3CD中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,ZABC=120°,BD=4,

:.ZBAD=60°,AD=AB,

則△ABD是等邊三角形，

..AB=AD=CD=BC=4,ZDAC=-ZBAD=30°,

2

故AO=4COS3（F=26,

AC=2AO=4A/3.

故選：A.

3

【典例21].如圖，矩形A3CD中，DEJ.AC于E,設(shè)=且cosa=《，AB=6,則4。長(zhǎng)（）

【答案】C

【分析】由已知條件可知：AB=CD=4,ZADE=ZBAC=a,可以求出AC,然后根據(jù)勾股定理求出3C,

即可求出AD.

【解析】解：?.?DELAC,

:.ZAED^90°,

:.ZADE+ZDAE=90°,

?.?矩形ABC。中，

ABAC+ACAD=ABAD=ZB=90°,AD=BC,

/./BAC=XADE=CL,

3

/.cosZBAC=cosa=—,

AB=6,

AC=10,

由勾股定理，得：SC=V102-62=8?

/.AD=BC=8,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

3

【典例22].如圖，在菱形ABCD中，DEJ.AB,cosA=-,BE=2,貝Utan/DBE的值是（）

D.1■或2

C.7或2

7

【答案】A

AE3r)E

【分析】由cosA設(shè)AE=3左，AD=AB=5k,推出OE=4左，BE=2k,根據(jù)=——

AD5EB

即可求解,

本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是：學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題.

【解析】-.DE±AB,

:.ZAED=90°,

AE3

cosAA=-----

AD5

?.?設(shè)AE=3左，AD=AB=5k,

…DE=VAD2+AE2-4k，BE-2k,

，tan〃BE=警1=2,

故選：A.

【典例23】.如圖，在矩形ABC。中，AC與3。相交于點(diǎn)0,OELBC于點(diǎn)E.若AC=4,ZDBC=30°,

則。石的長(zhǎng)為.

【答案】1

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到OB=OC,

根據(jù)三線合一結(jié)合30度角的直角三角形的性質(zhì)，求解即可.

【解析】解：???矩形ABC。，

：.OB=OC,ZBCD=90°,BD=AC=4,

ZDBC=30°,

/.CD=-BD=2,

2

???BC="CD=2B

；OB=OC,OE±BC,

：.BE=-BC=y/3,

2

/.OE=BE-tan30°=6x走=1；

3

故答案為：1.

【典例24].如圖，在矩形A3co中，NABC=90。，點(diǎn)E是A3上一點(diǎn)，連接AC,CE,若NBCE=30°,

3

-3,f="則筋的長(zhǎng)為（）

A.4^/3B.3A/3C.273D.372

【答案】A

BFr~

【分析】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)，先解RGEBC得到5C=———=373,再解

tanZBCE

RtAABC可得AB=|BC=4V3.

【解析】解；；四邊形A3CD是矩形,

C.1B90?,

在Rt^EBC中，ZBCE=30°,BE=3,

3G

在Rt&WC中，tanZBAC=—=-,

AB4

/.AB=-BC=4j3,

3

故選A.

題型7：利用其他三角形的幾何性質(zhì)解直角三角形

【典例25].如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=4,AB的垂直平分線斷交AC于點(diǎn)。，連接80,若

4

sinZBDC=~,則AC的長(zhǎng)是（）

A.4A/3B.276C.10D.8

【答案】D

【分析】設(shè)BC=4x,BD=5x,則CD=3x,由BC=4即可求x,進(jìn)而求出BC.

4

【解析】VZC=90°,sinZBDC=-

設(shè)BC=4x,BD=5x,

CD=3x,

,:BC=4

Ax=l,故BD=5,CD=3

AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)D,

.\AD=BD=5,

；.AC=AD+CD=8,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握直角三角形函數(shù)的三角函數(shù)值，線段垂直平分線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【典例26].如圖，兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到四邊形O4BC.若AB=BC=1,ZAOB=a,

則OC?的值為（）

A

A.—l-lB.sin%+lC.-\—FlD.cos26r+1

sinacosa

【答案】A

4D1

【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解RtZkABO得到06=再在RtZXOBC

sinasma

中，由勾股定理得OC?=302+032=[□]+12=^_+1.

(sina)sina

An1

【解析】解：在Rt^ABO中，。2=二一=--,

sinasina

在RtZXOBC中，

由勾股定理得"2=叱+0笈]+F=--+i,

VsinaJsin~a

故選：A.

【典例27].如圖，在AABC中，DE=y/3,ZB=45°,NACB=60。，ADJ.BC^D,/ACD的平分線交

A￡）于E,則AB的長(zhǎng)為（）

C.3A/6D.4布

【答案】C

ADL

【分析】本題主要考查了解直角三角形的知識(shí)，利用三角函數(shù)可得：AB=—^AD,

AD=CD-tanZACB=^CD,CD=—ED=y/3ED,代入計(jì)算即可.

tan/ECD

【解析】ADIBC,

：.ZADB=ZADC=90°,

"ADB、AADC.△即。是直角三角形,

,/4=45。,

Anf—

???在RtaADi?中，AB=------=\2AD,

sinZB

ZACB=60°,

...在Rt^ACD中，AD=CD-tanZACB=^CD,

：CE平分/ACD,ZACB=60°,

：.NECD=LZACB=30。,

2

FDr-

...在Rt^ACD中,CD=-------------=y/3ED,

tan/ECD

"：DE=B

：.CD=&ED=3,

/.AD=mCD=373,

/.AB=y/2AD=3A/6,

故選：C.

題型8：其他綜合問(wèn)題

【典例281已知：如圖在"BC中，AD是邊BC上的高,E為邊AC的中點(diǎn)，BC=14,AO=12,sinB=（.求:

⑴線段DC的長(zhǎng);

(2)tanZ￡DC的值.

【答案】（1）5；

(2)y.

4

【分析】（1）根據(jù)sin3=1，求出AS,再求出8。即可解答;

（2）在MAADC中，E是AC的中點(diǎn)，推出NEDC=NC,則tan/EDC=tan/C,即可求解.

【解析】（1）解：在AABC中，?.ND是邊2c上的高,

：.AD±BC.

.八AO4

??sinB=-----=一

AB5

VAD=12,

??.AB=-AD=15.

4

在RfAABD中,*.?BD=ylAB2-AD2=7152-122=9，

：.CD=BC-BD=14-9=5,

(2)解：在放入4。。中，石是AC的中點(diǎn)，

：.DE=EC,

：.ZEDC=ZC.

AD12

tanNEDC=tanZC==——.

CD5

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義以及直角=角形斜邊上的中線的性

質(zhì).

【典例29].如圖，矩形ABCD中，CD=3,E為BC上一點(diǎn),連接AE和DE,將△DCE沿DE折疊，點(diǎn)

C恰好落在AE上的C處，若BE=2CE,則8E的長(zhǎng)為()

A6yB4小C3亞口26

'"I-'可'■甘

【答案】A

【分析】此題考查了矩形與折疊問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，首先根據(jù)題意得到

AD=BC,AD〃BC,設(shè)CE=x(x>0),然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到C'E=CE=x,ZAC'D^ZC=90°,然

后利用三角函數(shù)得到AC=2x,然后在直角AABE中，利用勾股定理列方程求解即可.解題的關(guān)鍵是熟練掌

握以上知識(shí)點(diǎn).

【解析】解：如圖，在矩形ABCD中，AD=BC,AD〃BC,

：.ZDAC'=ZAEB,

由折疊的性質(zhì)知，C'E=CE=x,NAC'D=NC=90。.

即空"

tanADAC—tanNBEA,

ACBE

33

則AC=2x

AC-Zr

AE=AC'+CE=3x,

在直角“BE中，AB1+BE1=AEr，即3+（2x）°=（3x）2,

解得x=A叵.

5

.Ri_66

??BE—2x—-----?

5

故選：A.

【典例30].如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,BD=^BC,若動(dòng)點(diǎn)E以：Icm/s的速度

從A點(diǎn)出發(fā)，沿著Af3的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒（0<t<5）,連接DE,當(dāng)△3DE是直角三角

形時(shí)，f的值為.

【答案】￡10或彳22

【分析】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形，先利用勾股定理得到=5,進(jìn)而得到cos8=qg=：,

AB5

再求出3￡>=1；分當(dāng)NBDE=90。時(shí)，當(dāng)/血）=90。時(shí)，兩種情況解直角三角形求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AE

的長(zhǎng)即可得到答案.

【解析】解：?.,在Rt^A3c中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

?*-AB=ylAC2+BC2=5>

cosB="

AB5

VBD^-BC,BC=3,

3

BD=1,

當(dāng)ZBDE=90°時(shí)，

BD5

在RtABDE,BE=----二—

cosB3

??.AE=AB-BE=—,

3

10

.\_T_io；

13

當(dāng)N3ED=90。時(shí)，

3

在Rtz\5DE,BE=BDCOSB=M，

22

：.AE=AB-BE=—,

22

?乙：_22；

i————

15

綜上所述，/的值為g10或告22.

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

3

1.在直角△ABC中，NC=90。，BC=3,sinA=-,求tanB為（）

43「3一4n4

A.—B.—C.—D.一

4553

【答案】D

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念和勾股定理求解，根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題，根據(jù)角

的正弦值與三角形邊的關(guān)系及勾股定理，然后再代入三角函數(shù)進(jìn)行求解，最后求出面積及tanB的值.

【解析】解：由sinA=g==,BC=3,

AB5

得出：AB=5,

由勾股定理得出：AC=4AB2-BC-=4>

?AC4

tanB-——.

BC3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的能力，還考查解直角三角形的定義，由直角三角形己知元素求未知元

素的過(guò)程，還考查了直角三角形的性質(zhì).

2.在比AABC中，ZC=90°,cosA=-,則tanA的值為（）

A.2及B.走C.—D.8

23

【答案】A

Ar11

【分析】本題考查了解直角三角形，涉及余弦和正切的概念，根據(jù)畫(huà)出圖形，將三角函數(shù)的值COSA=2