第14講第25章引入勾股定理、30。角性質(zhì)（三大題型）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握勾股定理及其逆定理;

2、能運(yùn)用直角三角形30。角的性質(zhì)及推論；

3、初步學(xué)會Rt△中由確定角度，到確定長度（關(guān)系）。

02思維導(dǎo)圖

1.三角形的六要素

03知識清單

一、三角形的六要素（以直角三角形為例）

2、三條邊：a、b、c

二、勾股定理及其逆定理

A

勾股定理（數(shù)學(xué)符號語言）：在R3ABC中，：NC=90。，；.a2+b2=c2

勾股定理逆定理：：a2+b2=c2,.,.NC=90。（即AABC是R3ABC）

【即學(xué)即練1】如圖，在"BC中，CDLAB于點(diǎn)D,BD=9,3c=15,AC=20.

⑴求8的長；（2）求NACB的度數(shù).

三、直角三角形中30。角的性質(zhì)

a]

性質(zhì)：在Rt^ABC中，ZC=90°,若NA=30。，則一=一

c2

a]

推論：在R3ABC中，ZC=90°,若一=—,則/A=30。

c2

【即學(xué)即練1】如圖，在&43c中，⑦,超于點(diǎn)。，BD=9,BC=15,AC=20.

⑴求co的長；

（2）求—ACS的度數(shù).

【答案】（1）8的長為12；

（2）90°

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的知識，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.

（1）利用勾股定理即可求解；

（2）利用勾股定理的逆定理證明&4BC是直角三角形，即可求解.

【解析】（1）解：：CD±AB,

：.NBDC=90。=ZADC,

:.ABDC、△ADC是直角三角形，

VBD=9,BC=15,

CD=yjBC2-BD2=7152-92=12，

即8的長為12；

⑵解：VAC=20,CD=12,

.?.在Rt~4DC中，AD=4AC1-CUr=7202-122=16>

BD=9,

：.AB=AD+BD=16+9^25,

'：AB2=252=202+152=AC2+BC2,

，“LBC是直角三角形，且NACB=90°,

即—ACB的度數(shù)為90。.

【即學(xué)即練2］如圖，AABC中，AB^AC,NA=30。，CO是AB邊上的高.若AB=10,則C￡>=

【答案】5

【分析】根據(jù)在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出8長.本題考查等腰三角形的

性質(zhì)、含30度角的直角三角形，掌握這兩個(gè)知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

【解析】解：=AB=10,AB=AC,

一.AC=10,

???C￡＞是A5邊上的高，

.-.ZAZ)C=90°,

?.?NA=30。，

:.CD=-AC=5,

2

故答案為：5.

題型精講

題型1:勾股定理及其逆定理

【典例11如圖，在RtaABC中NC=90。，AC=2,BC=5,則AB=（）

A.V21B.V29C.V26D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理即可直接求出答案.

【解析】?.?在RtZkABC中NC=90。，AC=2,BC=5,

AB=VAC2+BC2=A/22+52=V29-

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理.掌握直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題關(guān)鍵.

【典例2】.下列三個(gè)數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（）

A."，花，710B.12,(72),32

￡]_

C.12,15,9D

-I4,5

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理的定義：滿足"+〃=/的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，據(jù)此求解即可.

【解析】解：A、三邊布,瓜，府,不是正整數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、三邊為1,2,9,且仔+22/92,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題

C、92+122=152,三邊是正整數(shù)，且符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意.

D、三邊g,g,不是正整數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)問題，滿足4+62=°?的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

【典例3].在RtZXABC中，斜邊3c=2,則AB?+AC?+8C?等于（）

A.8B.4C.6D.以上都不對

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理可知8C2=A82+AC2,進(jìn)

而可知AB2+AC2+BC2=BC2+BC2.

【解析】解：：在RtA4BC中，斜邊為8C,

/.BC2=AB'+AC2,

BC=2,

4=AB2+AC2,

/.AB2+AC2+BC2=BC2+BC2=4+4=8,

故選A.

【典例4].已知直角三角形的兩邊長分別為3、4.則第三邊長為

【答案】5或6

【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論.

【解析】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時(shí),

第三邊的長為：“2—32="

②長為3、4的邊都是直角邊時(shí),

第三邊的長為：“2+32=5；

.?.第三邊的長為：近或5,

故答案為：嶼或5.

【典例5].如圖，AABC的頂點(diǎn)A,B,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則邊長的高為（）

B.|A/5CD.姮

飆2

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

3x4--x2x3--x2xl-lx2x4=4,

【解析】解：???s=

222

?.?BC=V22+42=275,

2x44A/5

8C邊長的高=

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為c,那么

a2+b2=c2解答.

【典例6].如圖，已知1號、4號兩個(gè)正方形的面積之和為7,2號、3號兩個(gè)正方形的面積之和為4,則

。、b、。三個(gè)正方形的面積之和為（）

A.11B.15C.10D.22

【答案】B

【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面積公式不難發(fā)現(xiàn)：。的面積等于1號的面積加上2號的面

積，6的面積等于2號的面積加上3號的面積，c的面積等于3號的面積加上4號的面積，據(jù)此可以求出三

個(gè)的面積之和.

【解析】利用勾股定理可得：

S0=S[+$2,Sb=S2+S3,Sc=S3+S4

Sa+Sb+Sc=St+S2+S2+S3+S3+S4

=7+4+4=15

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

【典例7].如圖，在AABC中，ZACB=9O°,AC=9,AB=15,則AABC的面積=.

【答案】54

【分析】本題主要考查了勾股定理，求三角形的面積，先根據(jù)勾股定理求出3C,再求出面積即可.

【解析】在RtZXABC中，AC=9,AB=15,

BC=yjAB2-AC2=A/152-92=12，

/.5=-JC-=-x9x12=54.

I^ADC22

故答案為：54.

【典例8].如圖所示，是一塊地的平面圖，其中49=4米，C￡>=3米，AB=13米，3C=12米，ZADC=90°,

求這塊地的面積.

【答案】24平方米

【分析】連接AC,根據(jù)勾股定理求出米，根據(jù)+ZACB=90°,根

據(jù)直角三角形的面積公式求出結(jié)果即可.

【解析】解：如圖，連接AC,如圖所示:

?/ZADC=90°,AD=4米，CD=3米,

AC=^AEr+CEr=5米,

?.?AB=13米，BC=12米,

AC2+BC2=AB2,

:.ZACB=9Q°,

，這塊地的面積為：

S^C-S^ACD=^AC-BC-^AD-CD

=-x5xl2--x3x4

22

=24（平方米）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形

中，兩條直角邊分別為。、6,斜邊為C,那么/+62=c2.如果一個(gè)三角形的三條邊。、從。滿足標(biāo)+62=°2,

那么這個(gè)三角形為直角三角形.

【典例9].如圖，AABC為一張紙片，AB=3,AC=9,BC=35,現(xiàn)將dBC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)8重合，

折痕為DE.則。C長為

【答案】5

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得NA=90。，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得3￡>=CD,設(shè)CZ）=x,則2￡>=x,AD=9-x,

再由勾股定理，即可求解.

【解析】解：：4B=3,AC=9,BC=3回,

：.AB2+AC2=BC2,

：.ZA=90°,

?.,將△ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，

：.BD=CD,

設(shè)CD=x,則AD=9-x,

AB2+AD2=BD2,

3，+(9-x)2=/,

角畢得：x=5,

即CD=5.

故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理勾股定理及其逆定理，圖形的折疊，熟練掌握勾股定理勾股定理及其逆

定理是解題的關(guān)鍵.

【典例10].如圖，四邊形A8CD中，ZA=ZC=90°,ZABC=135°,CD=6,AB=2,則四邊形ABC。的面

積為______

【答案】16

【分析】延長和。C,兩線交于O,求出OD=42OA,OA=AD,BC=OC,設(shè)BC=OC=X,

貝U8O=0x,解直角三角形得出方程，求出x,再分別求出△A。。和ABOC的面積即可.

【解析】解：延長48和。C,兩線交于。，

?：ZC=90°,ZABC=135°,

ZOBC=45°,ZBCO=90°,

AZ0=45°,

ZA=90°,

ZD=45°,

貝1」。3=行2（7,OD=近OA,OA=AD,BC=OC,

BC=OC=X,則

,:CD=6,AB=2,

6+x=72（72x+2）,

解得：x=6-2y/2,

.?.02=654,BC=OC=6-2五,OA=AD=2+672-4=672-2,

S四邊形ABCD=S^OAD-SAOBC

^^OA-AD-^-BC-OC

22

=gx（6后一2卜（6忘一2）-：x（6-20）x（6-2五）

=16,

故答案為16.

A

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和三角形的面積，二次根式的混合運(yùn)算.正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形、

求出8c的長度是解此題的關(guān)鍵.

題型2：直角三角形30。角的性質(zhì)及其幾何應(yīng)用

【典例11].在RSABC中，NACB=90。,NA=30。,AB=2,貝”。為（）

A.4B.2C.1D.不能確定

【答案】C

【分析】含30。角的直角三角形中，30。角的對邊等于斜邊的一半.

【解析】解：如圖，

在RGABC中，/4。5=90。,乙4=30。,"=2,

BC=-AB=1

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查含30。角的直角三角形，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

【典例12].如圖，AABC的三個(gè)內(nèi)角比為1：1：2,且BD=2AD,則/。2。是（）

【答案】C

【分析】先依據(jù)三角形的內(nèi)角和是180。，可計(jì)算出NA=90。，ZABC=45°,再利用含30度角的直角三角形

的性質(zhì)求得/ABD=30。，即可求解.

【解析】：AA5c的三個(gè)內(nèi)角比為1：1：2,

2

ZA=180°x=90°,

1+1+2

ZABC=45°,

在RtaABD中，BD=2AD,

：.ZABD=30°,

ZCBD=ZABC-ZABD=15°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，利用按比例分配的方法

確定出三角形的類別是解題的關(guān)鍵.

【典例13].如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=3,NB=30。，點(diǎn)尸是8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長不可能

是（）

A

A.5B.4C.7D.6

【答案】C

【分析】利用垂線段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出"=6,可知AP

最大不能大于6.此題可解.

【解析】解：根據(jù)垂線段最短，可知AP的長不可小于3；

?.?AABC中，NC=90°,AC=3,ZB=30°,

AB=6,

.?.AP的長不能大于6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短和的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解題的關(guān)鍵是利用

含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AB=6.

【典例14].如圖，在AABC中，AB^AC,ZC=30°,AB±AD,AD=3cm,則BC為cm.

【答案】9

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/3=/C=3（T,/BAC=120。，再根據(jù)角的和差可得/C4D=NC,

然后根據(jù)等腰三角形的判定可得CD=AD=3cm,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BD=2AD=6cm,

最后根據(jù)線段和差即可得.

【解析】解：?.?AB=ACNC=30。，

/B=/C=30°,ABAC=120。，

\-AB±AD,

ZCAD=120?！?0°=30°=ZC,

CD=AD=3cm,

在RtZXAB。中，BD=2AD=6cm,

BC=BD+CD=9cm,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握等腰三角

形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【典例15].如圖，在AABC中，BA=BC=6,ZABC=120°,則點(diǎn)B到AC邊的距離為.

4、

【答案】3

【分析】過點(diǎn)2作BD_LAC于點(diǎn)然后根據(jù)30。所對的直角邊等于斜邊的一半即可得出答案.

【解析】解：過點(diǎn)8作3。_LAC于點(diǎn)。，

VBA^BC=6,ZABC=120°,

/.ZA=ZC=3O°,

在△A5D中，ZA=30°,ZA￡>B=90°,

2

即點(diǎn)3到AC邊的距離為3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及含30。的直角三角形的性質(zhì)，熟知30。所對的直角邊等于斜邊的

一半是解本題的關(guān)鍵.

【典例16].如圖，1BC中，A。為中線，AD±AC,ZBAD=3Q0,43=3,則AC長()

A.2.5B.2C.1D.1.5

【答案】D

【分析】延長AD到E,使AD=即，連接BE,證明△BEDg/XCAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=AC,

ZBED=ZCAD=90°,在Rt"EB中，ZBAE=30°,AB=3,根據(jù)30。角直角三角形的性質(zhì)即可求得AC的長.

【解析】延長AD到E,使AD=ED,連接BE,

為中線，

：.BD=CD,

在△BED和△CAD中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDA

ED=AD

:.ABED會/\CAD(SAS),

：.BE=AC,/BED=NCAD,

'：AD±AC,

：.ZCAD=90°,

ZBED=ZCAD=90°,

在RQAEB中，ZBAE=30°,AB=3,

J.AC=—AB=1.5.

2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、30。角直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角

形是解決問題的關(guān)鍵.

【典例17].如圖，在“BC中，ZC=90°,N3=30。，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,

若C￡>=3,求的長.

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，由線段垂直平分線

的性質(zhì)得AD=皮），進(jìn)而得ZBAD=N3=30。，得到ZD4C=30。，即可得到AD=2CD=6,進(jìn)而求解，掌

握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：是線段的垂直平分線，

,AD=BD,

ZB=30°,

：.ZBAD=ZB=30°,

又：ZC=90°,

：.ZCAB=90°—NB=90°-30°=60°,

：.ADAC=ZCAB-ABAD=60°-30°=30°,

...在Rt^ACD中，。。='人￡）,

2

AD=2CD=2x3=6,

BD=AD=6.

【典例18].如圖，在AABC中，AC^BC,ZACB=120。，CD是邊AB上的中線，BD的垂直平分線斷交

BC于點(diǎn)、E,交AB于點(diǎn)尸，點(diǎn)G是AC上一點(diǎn)，且NC￡>G=15。.

⑴求證：AG=BD；

（2）若￡F=1,求AC的長.

【答案】（1）詳見解析

⑵4

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得4=/B=30°,CD，AB,AD=M5,ZACD=ZBCD=60°,由此可得

ZADG=ZAGD=75°,進(jìn)而得AG=AD,據(jù)此可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得。￡=52石耳J_50,則/的=4=30。，進(jìn)而得NCED=60。，從而得

△CD七為等邊三角形，則=在尺以班尸中根據(jù)防=l,N5=30。得班=2,由此得5。=4,進(jìn)

而可得AC的長.

【解析】(1)證明：在“IBC中，AC=BC,ZACB=120°

ZA=ZB=1(180°-ZACB)=30°

?.?CD是邊A5上的中線

:.CD1AB,AD=BD,^ACD=ZBCD=-ZACB=60°

2

.\ZAZ)C=90°

???/CDG=15。

.\ZADG=ZADC-ZCDG=75°

ZAGD=180°-(ZA+ZADG)=180。-(30。+75°)=75°

.\ZADG=ZAGD=75°

:.AG=AD

:.AG=BD

(2)?.?￡F是線段BD的垂直平分線

:.DE=BE,EF±BD

：.ZEDB=ZB=30°

/.ZCED=ZEDB+NB=60°

?/ZBCD=60°

.?.△CDE為等邊三角形

:.CE=DE

:.CE=BE

在R^BEF中,EF=1,ZB=30°

,\BE=2EF=2

:.CE=BE=2

?.BC=CE+BE=4

,-.AC=BC=4

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形，

熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

題型3：勾股定理與直角三角形30。角的性質(zhì)綜合

【典例19].如圖，在△ABC中，AB=?6BC=6,AC=46,。石垂直平分AC,分別交邊5C、AC于

點(diǎn)、D、E,連結(jié)AD.

⑴求/C的度數(shù)；

⑵求AD的長.

【答案】⑴"=30。

(2)AD=4

【分析】(1)本題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明？390?；

(2)本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明/ZME=30。.

【解析】(1)解：:AB=2代，BC=6,AC=45/3,

AC2=48,AB2=12,BC2=36,

:.AB2+BC2=AC2,

:.ZB=90°,

又,:AB=-AC

2

.?."=30。；

(2)?.?DE垂直平分AC,AC=4一,

:.ZDEA=90°,AE=-AC=2>/3,DA=DC,

2

.-.ZDAE=ZC,

又「ZC=30°

:.ZDAE=30°,

■.■ZDEA=90°

:.DE=-AD,

2

■：AE1+DE1=AEr,

.,.(26丫+&呵=AD2

:.n+-AD2=AD2,

4

3,

：.-AD2=n,

4

:.AD2=16

,.AD=4,AD=-4（舍去），

.\AD=4.

【典例20].如圖，在△ABC中，ZB=45°,ZC=30°,邊AC的垂直平分線分別交邊BC、AC于點(diǎn)。、E,

DC=6.求A3的長.

【答案】AB=3娓.

【分析】連接5區(qū)證明NDAC=NC=30。，根據(jù)含30。角的直角三角形的邊角關(guān)系求出AC,AF,再利用勾

股定理即可解決問題.

【解析】解：過點(diǎn)A作Ab_L3C于凡

〈DE垂直平分AC,

：.EA=EC,AD=CD=69

VZC=30°,

???ZDAC=ZC=30°,

DE=—CD=—x6=3,

22

ACE=AE=y/cD2-ED2=^62-32=373，

：.AC=2EC=66，

/.AF=—AC=—x6y/3=3A/3,

22

VZB=45°,AF±BC,

：.ZBAF=180°-ZB-ZAFB=180°-45°-90°=45°,

???ZBAF=ZB,

:,BF=AF=36

:?AB=X{AF2+BF2=4(3國+(3國=3瓜

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含30。角的直角三角形的邊的關(guān)系，掌握垂直平

分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【典例21].如圖，在AABC中，48=60。，NC=22.5。，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D8=AELBC

于點(diǎn)E,求BE的長.

【答案】不

【分析】連接AD,根據(jù)中垂線的性質(zhì)得DA=8，進(jìn)而得/ADE=45。，設(shè)BE=x，則AB=2x,結(jié)合勾股定

理，即可求解.

【解析】連接AD,

VAC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,

/.DA=CD=372，

：.ZDAC=ZC=22.5°,

ZADE=45°,

VAEA.BC于點(diǎn)E,

.?.△ADE是等腰直角三角形，

AE=DA+0=3亞+3=3，

在直角AABE中，NB=60。，

Z.ZBAE=30°,

...設(shè)BE=x,則AB=2x,

/.AE=J(2尤y=A/3X,

：.6X=3,解得：x=邪,,

二.BE=G

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握直角三角形中，

30。角所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵-

【典例22].如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZA=15°,。是邊A3的中點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E.

⑴求NCDE的度數(shù);

(2)過點(diǎn)C作C/垂直于AB,垂足為點(diǎn)F,如果AB=6.求所的長.

【答案】(1)60。；

(2)BF=3-—.

2

【分析】(1)由Rt^ABC中，。是斜邊AB的中點(diǎn)，可得CD=AD,從而4>G4=NA=15。，由外角的

ZCDB=ZDCA+ZA=30°,再由ED_LM得到NED3=90。，仄而NCDE=NEDB-NCDB=60。；

(2)根據(jù)。是斜邊AB的中點(diǎn)可得40=20=8=342=3,在Rt^CD尸中，ZCDB=30°,根據(jù)“直角三

角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半”，得到討=；1CD=;3，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得到

DF=y/cD2-CF2因止匕BF=BD—DF=3—2叵.

22

【解析】(1)???在AABC中，ZACB=90°9。是邊A5的中點(diǎn)，

AAD=BD=-AB,CD=-AB,

22

：.CD=AD,

：.ZDCA=ZA=15°,

：.ZCDB=ZDCA+ZA=150+15°=30°,

?.*ED±AB,

：.NEDB=90。,

JZCDE=ZEDB-ZCDB=90°-30°=60°.

AB=6,

AD=BD=CD=—AB=—x6=3,

22

?；CF」AB,NCDB=3。。，

13

JCF=-CD=-

229

/.BF=BD-DF=3--—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，等腰

三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【典例23].已知，如圖，在中，AD為8C邊上的中線，且AD=gBC,AE±BC.

⑴求證：NCAE=NB；

⑵若/C4E=30。，CE=2,求AB的長.

【答案】⑴見解析

（2）A3的長為4班

【分析】（1）根據(jù)中線的定義推出AD=OC=3。，進(jìn)而得到=NC=NZMC,推出N3+NC=90。,

根據(jù)同角的余角相等，即可得證；

（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可.

【解析】（1）證明：?「AO為8C邊上的中線，

:.BD=DC=-BC,

2

■：AD^-BC,

2

AD=DC=BD,

:.ZB二/BAD,NC=ZDAC,

?「ZB+ZBAD+NDAC+NC=180°,

/.2（ZB+ZC）=180°,

.\ZB+ZC=90°,

VAEIBC,

:.ZAEC=90°,

/.ZC4E+ZC=90°,

:.NCAE=NB；

(2)解：-.■ZAEC=90°,NC4E=30。，CE=2,

:.AC=2CE=4,

vZB+ZC=90°,

ABAC=180。-(ZB+NC)=90°,

■.?ZB=ZCAE=30°,

BC=2AC=8,AB=6AC=473,

AB的長為4百.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊對等角，勾股定理，含30度角的直角三角形.解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并靈

活運(yùn)用.

【典例24].如圖，在四邊形ASCD中，AB=2括，BC=4,AC=2幣.

(1)求證：AB1BC：

(2)如果C4平分ZBCD,且ND=30。，求AACD的面積.

【答案】(1)見解析

⑵

【分析】(1)利用勾股定理的逆定理證明AABC是宜角三角形，從而可得NABC=9O。，即可解答；

(2)過點(diǎn)A作AELCD,垂足為E,先利用角平分線的性質(zhì)可得A8=AE=2G，然后在RSACE中，利

用勾股定理求出CE的長，再在R5ADE中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出DE的長，從而求出8

的長，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的

逐一條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

【解析】(1)證明：：48=2萬，3C=4,AC=2近,

：.AB-+BC2=(2A/3)2+42=28=(2幣j=AC2,

/.“BC是直角三角形，

ZABC=90°,

：.AB±BC.

(2)解：過點(diǎn)A作AELCD,垂足為E,,

B

rA

CE

：C4平分NBCD,AE1CD,ABLCB,

AB=AE=2幣>>

在RRACE中,AC=277,

；?CE=yjAC2-AE2=4>

在Rt^AT史中，"=30°,

/.AD=2AE=4右,

DE=VAC2-AE2=6，

CD=CE+DE=10,

...△ACD的面積為：-CD.AE=-x10x273=1073,

22

...AACD的面積為10JL

【典例25].如圖，IBC中，/3=60。，ZACB=90°,BC=6,點(diǎn)D、E分別是邊A3、BC上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且BD=BE,過點(diǎn)。作OGLAB交射線BC于點(diǎn)G,交線段AC于點(diǎn)尸，設(shè)BD=x

(2)如圖2,設(shè)當(dāng)點(diǎn)G在BC的延長線上時(shí)，F(xiàn)C=y,求V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出定義域;

(3)若ADER為直角三角形，求尤的值.

【答案】(1)竽;

(2)y=2fx-2百(3<x<6);

24

(3)y或4.

【分析】本題是三角形綜合題目，考查了勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、等

邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積以及分類討論等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握含30。角的直角三角形

的性質(zhì)和勾股定理，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

(1)由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得2。=3^=3,再由勾股定理得05=3后然后再證8E=CE,最后由

三角形面積關(guān)系即可得出答案；

(2)由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得3G=2a>=2x,/G=2CP=2y,再由勾股定理得CG=6”然后由

BG=BC+CG得6+^y=2x,則y=求出尤的范圍即可；

(3)分兩種情況：①當(dāng)"FE=90。時(shí)，②當(dāng)"￡F=90。時(shí)，由含30。角的直角三角形的性質(zhì)好勾股定理

分別得出方程，解方程即可.

【解析】(1)解：DG±AB,

：.ZBDC=90°,

ZB=60°,BC=6,

/.ZBC￡>=90°-ZB=30°,

：.BD=-BC=3,

2

:.CD=y]BC2-Blf=A/62-32=373

,:BE=BD=3,

：.CE=BC-BE=3,

：.BE=CE,

.?.ADCE的面積=的面積=LxLgDxCZ>=L乂3乂3石=噸.

22244

(2)解：DGLAB,

：.ZBDG^90°,

■.■ZB=60°,

/.ZG=90°=30°,

：.BG=2BD=2x,

'：ZACB=90°,

：.ZGCF=180°-ZACB=90°,

:.CG=2CF=2y,

22

CG=yjFG-CF=J(2y『-Q=垂1y,

：.BG=BC+CG=6+s/3y,

.*.6+6y=lx,

/.y=—X-2A/3,

?.?點(diǎn)G在BC的延長線上，

，點(diǎn)G不與點(diǎn)C重合，

/.%>3,

???點(diǎn)￡是邊5c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BE=BD=x,

?'?x<6,

.*.3<x<6,

即丁關(guān)于尤的解析式為丁二軍工―20（3<xW6）.

（3）解：分兩種情況：

①當(dāng)NQFE=90。時(shí)，如圖3所示：

圖3

則￡F_LQG

VDG1AB,

：.EF//AB,

：.ZFEC=ZB=60°,

VZACB=90°,

：.ZEFC=90°-ZFEC=30°,

：.EF=2CE,

???BE=BD=x,

CE-BC—BE—6—XJ

:.EF=2CE=2{6-x）=n-6x,

:.CF=JEF?-CE。=^（12-6X）2-（6-X）2=A/3（6-X）

由（2）得：CF=y=^x-2y/3,

2fx—2百=A/3（6-x）,

24

解得：X=y,

②當(dāng)4>所=90。時(shí)，如圖4所示:

圖4

u：BD=BE=x,ZB=60°,

:ABDE是等邊三角形，

：.ZBED=6Q°,

：.ZFEC=180°-/DEF-ABED=180°-90°-60°=30°,

VZACB=90°,

：.EF=2CF,

CE=^EF2-CF2=^（2CF）2-CF2=6CF,

nA

;.6-x=布-----x-2^/3,

I3J

解得：％=4,

24

綜上所述，若△?跖為直角三角形，1的值為三或4.

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.在44BC中，NA,NB,/C的對邊分別是a,b,c,且"一廿=°2,貝|］（）

A.ZA=90°B.?B90?C.ZC=90°D.不確定哪個(gè)角是直角

【答案】A

【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得出答案.

【解析】解：?..在AABC中，,A,ZB,NC的對邊分別是。，b,c,且/一62=，，

?*.b1+c2=a2■

:.b、c是兩直角邊，。是斜邊，

ZA=90°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理.注意掌握如果三角形的三邊長。，b,c滿足片+〃=",那么這個(gè)三

角形就是直角三角形.

2.如圖，ABAC=90°,AD1BC,ZE4D=30。，BD=1,貝UBC=)

A.3B.4C.2否D.5

【答案】B

【分析】本題考查了含30度角直角三角形的特征，解題的關(guān)鍵是掌握含30度角的直角三角形，30度角所

對的邊是斜邊的一半.

先求出/8=60。,48=2血=2,再得出NC=3O。，即可推出BC=2AB=4.

【解析】解：；AD13C，ZSAD=30°,BD=1,

：.ZB=60°,AB=2BD=2,

ABAC=90°,

：.ZC=30°,

BC=2AB=4,

故選：B.

3.如圖：在Rt/VIBC中，ZC=90°,ZA=30°,BE平分/ABC,交AC于E,則CE:AE=().

【答案】D

【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到=然后再說明AE=BE,最后代入求解

即可.

【解析】解：：在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,

ZABC=60°

BE平分，ABC,

NABE=NEBC=-ZABC=30°

2

...在WAEBC中，CE=^BE

?：ZA=ZABE=30°,

：.AE=BE.

...CE：AE=CE：BE=-BE：BE=1:2.

2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識成為

解答本題的關(guān)鍵.

4.如圖所示，在AABC中，=90°,々=30。，。為斜邊AB的中點(diǎn).若AC=5,則的長為（）

A

>K

c°^-------------------

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】此題主要考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和30。角所對的直角邊等于斜邊的一半性質(zhì)，熟練掌握性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

首先根據(jù)NACB=90。，④?=3?！愕玫浇?247=10,然后得到CO=AD=8。=；A8.

【解析】解：：ZAC3=90°,々=30°

AB=2AC=IO,

:點(diǎn)D為A3的中點(diǎn)

/.CD=AD=BD=-AB.

2

故選:B.

5.如圖，在等邊AA5c中，AB=4,BDJ.AB,CD//AB,則。的長度為（）

A.2B.4C.2月D.布

【答案】A

【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂直的定義、平行線的性質(zhì)、含30。的直角三角形的性質(zhì)，熟記等

邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AB=3C=4,ZABC=60°,結(jié)合垂直的定義、平行線的性質(zhì)求出

ZCBD=30°,NZ）=90。，根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【解析】解：在等邊AABC中，AB=4,

AAB=BC=4,ZABC=60°f

丁BD.LAB,

：.lABD90?,

??.Z.CBD=ZABD-ZABC=30°,

u：CD//AB,

：.ZD+ZABD=180°,

：.?D90?,

CD=-BC=2,

2

故選：A.

6.如圖，在AABC中，ZACB=90°,DE垂直平分AB,分別交A3、BC于點(diǎn)、D、E,AE平分NB4C,ZB=30°,

DE=2,則8c的長為（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，先由

線段垂直平分線的性質(zhì)得到/EDB=90°,則由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到BE=2DE=4,再由角

平分線的性質(zhì)得到CE=DE=2,貝ij3C=3E+CE=6.

【解析】解：垂直平分A2，

NEDB=90°,

VZB=30°,DE=2,

：.BE=2DE=4,

VZACB=90°,AE平分，3AC,NEC?=90。

CE=DE=2,

：.BC=BE+CE=6,

故選：D.

7.如圖，AABC中，。為AB中點(diǎn)，E在AC上，且8ELAC.若DE=5,A￡=8,則BE的長度是（）

A

D.

E

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】C

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求出AB長，根據(jù)勾股定理求出BE即可.

【解析】解：?.?BELAC,

:.ZBEA=90°,

■：DE=5,。為AB中點(diǎn)，

:.AB=2DE=10,

AE=8,

由勾股定理得：BE=。AB。-AE2=6，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線和勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平

方和等于斜邊的平方.

8.如圖，在AABC中，AB=AC,ZB=30°,AD±AB,AD=4,則下列各式中正確的是（）

A.AB=8B.BC=16C.DC=4D.BD=10

【答案】C

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出NB=/C=30。，ZBAD=90°,易證得NDAC=/C=30。，即

CD=AD=4.RtAABD中，根據(jù)30。角所對直角邊等于斜邊的一半，可求得BD=2AD=8,由此可求得BC的

長，利用勾股定理可求得AB的長，即可一一判斷.

【解析】VAB=AC,

/B=NC=30。，

VABXAD,

BD=2AD=2x4=8,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ZB+ZADB=90°,

ZADB=60°,

ZADB=ZDAC+ZC=60°,

.".ZDAC=30°,

.".ZDAC=ZC,

；.DC=AD=4,故C選項(xiàng)正確；

?*-AB=7BD2-AD2=>/82-42=4A/3，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

BC=BD+DC=8+4=12,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)；熟

練掌握等腰三角形的性質(zhì)，求出BD和CD的長度是解決問題的關(guān)鍵.

9.如圖，RtAABC中，ZACB=90°,NA8C=60。，8C=4cm,。為BC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)￡從4點(diǎn)出發(fā)，沿

著A—8的方向運(yùn)動(dòng)，聯(lián)結(jié)DE,當(dāng)是直角三角形時(shí)，BE的值為（）

A.4B.1C.4或1D.4或7

【答案】C

［分析］根據(jù)題意，ZABC=60°,當(dāng)4BDE是直角三角形時(shí)，則分ABED=90°和/BDE=90°兩種情況討

論，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得8E的值

【解析】如圖，???ZABC=6O°,BC=4cm,。為BC的中點(diǎn)，則2

.,.當(dāng)ABOE是直角三角形時(shí)，N3/90。

①當(dāng)/BED=90°時(shí)，NBDE=30°

②當(dāng)4￡>E=90°時(shí)，NBED=30°

:.BE=2BD=4

B

故選c

【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在等邊AABC中，AB=6,點(diǎn)尸是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將人45尸繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AACQ,

點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，連接。。，則的最小值是（）

A.36B.73+1C.73+1D.后

【答案】A

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，掌握對應(yīng)點(diǎn)到旋

轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得至1J/BC0=12O°,當(dāng)。QLC。時(shí)，D0的長最小，再根據(jù)勾股定理，即可得到。。

的最小值.

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)可得ZACQ=48=60。，

又；NACB=60°

ZBCQ=120°,

:點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，

CD=3,

當(dāng)￡>Q_LCQ時(shí)，。。的長最小，

此時(shí)，ZCZ）e=30°,

.3產(chǎn)1=展3

。。的最小值是m百.

故選：A.

二、填空題

11.已知，如圖所示，RSA3C的周長為4+2百，斜邊AB的長為26，則Rt"8C的面積為

【答案】1.

【分析】設(shè)AC=a,BC=b,根據(jù)題意列出關(guān)于a、b的方程組，然后解方程得到ab的值，再利用三角形的面

積公式求解即可.

【解析】設(shè)AC=a,BC=b,

a+b+2\/3=4+25/3

由題意得，/廠\2，

/+〃=Q碼

Ja+b-4

"[a2+^=12'

(a+b)2=a2+b2+2ab=12+2ab=16,

ab=2,

則Rt^ABC的面積為^ab=l.

2

故答案為L

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，解此題的關(guān)鍵在于利用勾股定理列出方程組，然后求得ab的值.

12.AABC中，ZC=90°,ZA=30°,則BC：AC：A8=.

【答案】1：6：2

【分析】根據(jù)直角三角形中30度角所對直角邊為斜邊的一半，可設(shè)BC=x,則AB=2x,再利用勾股定理求

AC的長即可得解.

【解析】已知AABC中,ZC=90°,ZA=30°,

設(shè)BC=x,貝i]AB=2x,

AC=7AB2-BC2=V3X,

貝BC：AC：AB=1：73：2.

故答案為1：石：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了30度所對直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識

點(diǎn).

13.在RtZXABC中，ZC=90°,AD平分/BAC,交BC于D,如果30:8=2:1,那么N3=.

【答案】30。/30度

【分析】先畫出圖形，作。于點(diǎn)E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得8=再根據(jù)即:8=2:1,得

初：龍=2：1,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得答案.

【解析】如圖所示，過點(diǎn)。作。￡工45,于點(diǎn)E,

AD平分ZBAC,ZC=90°,

CD=DE.

'：BD:CD=2:1,

初：龐=2：1,

在Rt/\BDE中，BD：DE=2

：.ZB=