第03講探索三角形全等的條件（7種題型）

----------------------

學(xué)習(xí)目標

------------------------

1.理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“乩

定理.

2.能把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等.

［詢基礎(chǔ)知3

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

一、全等三角形判定1——“邊角邊”

1.全等三角形判定1——“邊角邊”

兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.

要點詮釋：如圖，如果AB=A'B',ZA=ZA',AC=A'C',則AABC0△A'5'C'.注

意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.

2.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.

如圖，ZkABC與4ABD中，AB=AB,AC=AD,ZB=ZB,但AABC與4ABD不完全重合，故不

全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.

A

二、全等三角形判定2—“角邊角”

全等三角形判定2一—“角邊角”

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

要點詮釋：如圖，如果/A=/A',AB=A'B',ZB=ZB',則△ABCgZkA'5'C'.

三、全等三角形判定3——“角角邊”

1.全等三角形判定3一一“角角邊”

兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）

要點詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由

“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前

者的推論.

2.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.

如圖，在△ABC和4ADE中，如果DE〃BC,那么/ADE=NB,ZAED=ZC,又/A=/A,但

△ABC和4ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.

四、全等三角形判定4一—“邊邊邊”

全等三角形判定4——“邊邊邊”

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

要點詮釋：如圖，如果A'3'=AB,A'C=AC,B'C'=BC,則AABC四△45'。.

五.直角三角形全等的判定一一“HL”

1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角

形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“乩”公理就是直角三角形獨有的判定方法.所

以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件.

六、判定方法的選擇

1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表:

已知條件可選擇的判定方法

一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA

兩角對應(yīng)相等ASAAAS

兩邊對應(yīng)相等SASSSS

2.如何選擇三角形證全等

(1)可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角(用等量代換后的線段、角)在哪兩個可能全等

的三角形中，

可以證這兩個三角形全等；

(2)可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；

(3)由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋?/p>

(4)如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

七.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔

助線構(gòu)造三角形.

八.全等三角形的應(yīng)用

(1)全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要

認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系.

(2)作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決

中線問題的基本規(guī)律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，

這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明.

(3)全等三角形在實際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已

知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

l|Q考點剖析

，-IIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIII---------------------

題型一、全等三角形的判定1——“邊角邊”

例1、已知：如圖，AB=AD,AC=AE,N1=N2.求證：BC=DE.

A

1

a

D

【變式】如圖，將兩個一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三點共線，AB=CB,

EB=DB,ZABC

=NEBD=90。）,連接AE、CD,試確定AE與CD的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

例2、如圖，AD是AABC的中線，求證：AB+AO2AD.

例3、已知，如圖：在AABC中，ZB=2ZC,AD±BC,求證：AB=CD—BD.

B

D

【變式】已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/BAD,CE_LAB于E,并且AE=1(AB+

2

AD),

求證：ZB+ZD=180°.

題型二、全等三角形的判定2一—“角邊角”

例4、已知：如圖，E,F在AC上，AD〃CB且AD=CB,ZD=ZB.求證：AE=CF.

【變式】(2022?長安區(qū)一模)己知：點、B、E、C、廠在一條直線上，AB//DE,AC//DF,

BE=CF.求證：AABC^ADEF.

例5、如圖，G是線段AB上一點，AC和DG相交于點E.請先作出/ABC的平分線BF,交AC

于點F；然后證

明：當AD〃BC,AD=BC,/ABC=2/ADG時，DE=BF.

【變式】已知：如圖，在AMPN中，H是高MQ和NR的交點，且MQ=NQ.求證：HN=PM.

題型三、全等三角形的判定3——“角角邊”

例6.（2021秋?蘇州期末）如圖，在四邊形ABC。中，E是對角線AC上一點，AD//BC,

ZADC=ZACD,NCED+NB=180°.求證：AADE名ACAB.

例7、已知：如圖，AB±AE,AD±AC,NE=NB,DE=CB.求證：AD=AC.

DB

【變式】已知：如圖，NACB=90°,AC=BC,CD是經(jīng)過點C的一條直線，過點A、B

分別作AEJ_CD、

BF±CD,垂足為E、F,求證：CE=BF.

題型四、全等三角形的判定4——“邊邊邊”

例8、已知：如圖，△RPQ中，RP=RQ,M為PQ的中點.求證：RM平分/PRQ.

【變式】已知：如圖，AD=BC,AC=BD.試證明：ZCAD=ZDBC.

6

AB

例9、如圖，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,BD=CE,求證：ZBAD=ZCAE.

題型五.直角三角形全等的判定“HL”

例10.如圖,48_18。,。9_18。,4。=8(7,則能直接判斷口1/\&8。gn/\。8的理由是()

【變式1】.如圖，在和Rt△。斯中，ZC=ZF=90°,AC=DF,只需補充條

件,就可以根據(jù)“HL”得到Rt^ABC義Rt/VDER

AD

CBFE

【變式2】如圖，Rt^ABC和Rt^EO/中，BC//DF,在不添加任何輔助線的情況下，請你

添加一個條件,使RtAABC和RtAEDF全等.

題型六.全等三角形的判定與性質(zhì)

例11.(2022?南通模擬)如圖，在△A8C中，AB=AC,ADLBD,AE±EC,垂足分別為

D,E,BD,CE相交于點。，且/BAE=/C4D

(1)求證：AABD義AACE；

(2)若/BOC=140°,求N0BC的度數(shù).

A

【變式1】?如圖，已知A8=CB,AD=CD.求證：ZA=ZC.

【變式2】如圖，在△ABC和△AOE中，AB=AC,AD=AE,ZBAD=ZCAE.求證：Z

題型7.全等三角形的應(yīng)用

例12.如圖，要測量河兩岸相對兩點A、8間的距離，在河岸上截取BC=CD,作即

交AC的延長線于點E,垂足為點。.(DEKCD)

(1)線段的長度就是48兩點間的距離

(2)請說明(1)成立的理由.

【變式】為了解學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用能力，某校老師在七年級數(shù)學(xué)興趣小組活動中，設(shè)置

了這樣的問題：因為池塘兩端A,2的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計方案測量A,B

的距離.甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計出了如下兩種方案：

甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A,8的點0,連接并延長到點C,

連接80并延長到點。，使CO=A。，DO=BO,連接。C,測出。。的長即可.

乙：如圖②，先確定直線A8,過點B作直線8E,在直線8E上找可以直接到達點4的

一點、D,連接D4,作。C=D4,交直線4B于點C,最后測量BC的長即可.

（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個可行？

（2）請說明方案可行的理由.

真題演練

選擇題（共8小題）

1.（2022秋?南京期末）已知：如圖，AC=DF,BC=EF,下列條件中，不能證明AABC

的是（）

A.AC//DFB.AD=BE

C.ZCBA=ZFED=90°D.ZC=ZF

2.（2022秋?啟東市校級月考）不能判定兩個直角三角形全等的條件是（）

A.兩個銳角對應(yīng)相等

B.兩條直角邊對應(yīng)相等

C.斜邊和一銳角對應(yīng)相等

D.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等

3.（2022秋?阜寧縣期末）如圖，已知再添加一個條件，仍不能判定△

ABC咨ABAD的是（）

A.AC^BDB./C=/DC.AD=BCD./ABD=NBAC

4.（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，已知AB=AD.下列條件中，不能作為判定

AOC條件的是（）

B

A.BC=DCB.ZBAC=ZDACC.ZB=ZZ)=90°D.ZACB=ZACD

5.（2022秋?揚州期中）一塊三角形玻璃樣板不慎被小強同學(xué)碰破，成了四片完整四碎片

（如圖所示），聰明的小強經(jīng)過仔細的考慮認為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以

讓師傅畫一塊與以前一樣的玻璃樣板.你認為下列四個答案中考慮最全面的是（）

A.帶其中的任意兩塊去都可以

B.帶1、2或2、3去就可以了

C.帶1、4或3、4去就可以了

D.帶1、4或2、3或3、4去均可

6.（2022秋?宿豫區(qū)期末）如圖，小明和小麗用下面的方法測量位于池塘兩端的A、8兩點

的距離；先取一個可以直接到達點A的點C,量得AC的長度，再沿AC方向走到點D

處，使得CD=AC；然后從點。處沿著由點B到點A的方向，到達點E處，使得點E、

B、C在一條直線上，量得的。E的長度就是A、B兩點的距離.在解決這個問題中，關(guān)

鍵是利用了△DCE04AC8,其數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

7.（2022秋?高郵市期末）如圖，已知/1=/2,若用“A4S”證明還需

A.AD=BCB.BD=ACC.ZZ）=ZCD.ZDAB=ZCBA

8.（2022秋?邳州市期末）如圖,AB=AC,D,E分別在AB、AC上，補充一個條件后,

仍不能判定的是（）

B

D

A—EC

A.NB=/CB.AD=AEC.BE=CDD.ZAEB=ZADC

二.填空題（共4小題）

9.（2022秋?泗洪縣期中）如圖，在RtZXABC和中，ZC=ZF=90°,AC=DF,

只需補充條件，就可以根據(jù)“乩”得到RdA8C0RtADEE

10.（2022秋?啟東市校級月考）如圖，在△ABC和△。跖中，ZA=ZZ）=90°,AC^DE,

若要用“斜邊直角邊（”.L.）”直接證明RtAABC^Rt△￡）￡￡,則還需補充條

11.（2022秋?江寧區(qū)校級月考）如圖，在RtA42C與Rtz^DCB中，已知NA=NO=90°,

請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使RtAABC^RtADCB,你添加的條件

是________________,理由是（填簡稱）.

12.（2022秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=5,A。是邊BC上的中線,

A￡>=2,則△AC2的面積是.

13.（2022秋?泗陽縣期中）王強同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩

堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC=BC,ZACB^

90°）,點C在。￡上，點A和B分別與木墻的頂端重合.

（1）求證：AADC絲ACEB；

(2)求兩堵木墻之間的距離.

14.(2022秋?鼓樓區(qū)期中)如圖，點8、C、E、尸在同一條直線上，AF、OE相交于點G,

ZB=ZC=ZAGD=90°,BF=CD.

求證：AF=DE.

15.(2022秋?蘇州期中)如圖，△ABC中，是邊上的中線，E,尸為直線上的

點，連接BE,CF,S.BE//CF.

(1)求證：ABDE冬ACDF；

(2)若AE=13,AF=1,試求。E的長.

16.(2021秋?新吳區(qū)期末)如圖，在△ABD和△AC。中，AB=AC,BD=CD.

(1)求證：g△AC。；

(2)過點。作QE〃AC交A8于點E,求證：AE=DE.

B

17.（2022秋?大豐區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD平分NBAC,DE1AB,DFLAC,

垂足分別為E、F,且3￡>=CD試說明3E=CK

圉過關(guān)檢測

----------------------IIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1------------------------

一、單選題

1.下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）

A.有兩條邊分別相等B.有一個銳角和一條邊相等

C.有一條斜邊相等D.有一直角邊和斜邊上的高分別相等

2在△/8C中，ZA=6Q0,/8=50。AB=8,下列條件能得到4/8百△頌的是（

A.ZD=60°,ZE=50°,DF=8B.ZZ?=60°,=50°,DE=8

C.N￡=50°,ZF=70°,DE=3D.Z2?=60°,ZF=7Q°,EF=3

3.如圖，AC=DF,Z1=Z2,如果根據(jù)“SAS”判定△ABC四△DEF,那么需要補充的

條件是（

D

A.ZA=ZDB.AB=DEC.NB=NED.BF=CE

4.如圖，%平分//四，D、E、尸分別是。C、OA,如上的點，則添加下列哪個條件不能使

△（W與△眥全等（）

A.DE=DFB.0拄OFC.ZODE^ZODFD.Z.AE22BFD

5.如圖，已知/，=也，添加下列一個條件后，仍無法判定△/比2△胡，的是（

A./ABC=NBADB.NC=/g90°C./CAB=/DBAD.CB=DA

6.用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出NAOB=NA0R的依據(jù)是（）

二、填空題

7.如圖，^ABgADEF,BE=5,BF=\,貝l|CF=

D

8.如圖所示，點。為4c的中點，也是切的中點，那么46與5的關(guān)系是

9.如圖，△ABC絲ZkOEF,點2、F、C、E在同一條直線上,AC、￡）廠交于點

/ACB=30。，則NAMF的度數(shù)是

10.如圖，△/切是等邊三角形，若AB=DE,BC=AE,N￡=H5°,則/胡￡=

11.在叢ABC和ADEF,給出下列四組條件：

①AB=DE,BOEF,AODF-,②AFDE,NB=/E,BOEF-,③/廬B(=EF,/C=/F；④

AB=DE,AODF,/B=/E.其中，能使△/比絲△瓦F的條件共有組

12.如圖，己知5a尤=24m?,AD平分Z&4C,且AD_LBO于點。，則％ADC=______m2.

13.如圖，在中，ZACB=90°,/C中C,點。的坐標為（-2,0）,點8的坐標為（1,

5）,則4點的坐標是.

14.如圖所示，4）是△/歐中8c邊上的中線，若/左2,A（=6,則段的取值范圍是

三、解答題

15.如圖，己知48〃5，AB=CD,ZA=ZD.求證：AF=DE.

16.已知；ABN和zMCM位置如圖所示，AB=AC,AD=AE,Z1Z2.

(1)試說明：BD=CE；

(2)試說明：ZM=ZN.

17.如圖，ZCAB+ZABD=nO°,AD,8C分別平分NCAB、ZABD,AT＞與BC交于點0.

(1)求NAOB的度數(shù)；

(2)說明AB=AC+5￡?的理由.

18.如圖①，AD平分NBAC,N3+NC=180o,N3=90。，可得O3=OC.

(1)如圖②，平分乙BAC,NABO+ZAa>=180o,ZABO<90。，參照圖①，過點D作

Z)ELAB于點瓦。尸，AC交AC的延長線于點F,求證：DB=DC；

(2)如圖③，在四邊形ABDC中，ZB=45°,ZC=135°,DB=DC,過點D作DELAB,垂

足為點E,若BE=a,則AC的值是多少？(用含a的代數(shù)式表示)

19.如圖(1)在中，ZACB=90°,A(=BC,直線腑經(jīng)過點G且/〃1廨于點。，BE

于點E.

(1)求證：①△祖金△儂；②D庫AIKBE.

(2)當直線腑繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時，DE、AD、龍又怎樣的關(guān)系？并加以證明.

20.在［ABC中，AB^AC,點〃是直線6c上一點(不與民C重合)，以4?為一邊在4?

的布刎作△/■,^AD=AE,ZDAE=ABAC,連接留

(1)如圖1,當點D在線段8C上，如果4c=90。，貝|NBCE=一度；

(2)設(shè)NR4c=。，NBCE=/3.

①如圖2,當點O在線段8C上移動，則a，￡之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

②當點O在直線BC上移動，則a，夕之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論.

第03講探索三角形全等的條件（7種題型）

----------------------

學(xué)習(xí)目標

------------------------

1.理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“HL

定理.

2.能把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等.

||豳基礎(chǔ)知羨

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

一、全等三角形判定1——“邊角邊”

1.全等三角形判定1——“邊角邊”

兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.

要點詮釋：如圖，如果AB=A'B',ZA=ZA',AC=A'C',則△ABC0Z\A'5'。.注

意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.

2.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.

如圖，ZXABC與4ABD中，AB=AB,AC=AD,ZB=ZB,但AABC與4ABD不完全重合，故不

全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.

A

二、全等三角形判定2——“角邊角”

全等三角形判定2——“角邊角”

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

要點詮釋：如圖，如果NA=NA',AB=A'3'，NB=NB',則AABC四△A'5'C'.

三、全等三角形判定3——“角角邊”

1.全等三角形判定3——“角角邊”

兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）

要點詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由

“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前

者的推論.

2.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.

如圖，在△ABC和4ADE中，如果DE〃BC,那么NADE=NB,ZAED=ZC,又NA=/A,但

△ABC和4ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.

四、全等三角形判定4——“邊邊邊”

全等三角形判定4——“邊邊邊”

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

要點詮釋：如圖，如果A'3'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC,則AABC四△A'5'C'.

A

五.直角三角形全等的判定一一“HL”

1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角

形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“/遼”公理就是直角三角形獨有的判定方法.所

以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件.

六、判定方法的選擇

1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：

已知條件可選擇的判定方法

一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA

兩角對應(yīng)相等ASAAAS

兩邊對應(yīng)相等SASSSS

2.如何選擇三角形證全等

(1)可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角(用等量代換后的線段、角)在哪兩個可能全等

的三角形中，

可以證這兩個三角形全等；

(2)可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；

(3)由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋?/p>

(4)如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

七.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔

助線構(gòu)造三角形.

八.全等三角形的應(yīng)用

(1)全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要

認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系.

(2)作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決

中線問題的基本規(guī)律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，

這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明.

(3)全等三角形在實際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已

知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

IQ考點剖析

------------------IIIIII1IIIIII1IIIIIIUIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

題型一、全等三角形的判定1——“邊角邊”

例1、已知：如圖，AB=AD,AC=AE,Z1=Z2.求證：BC=DE.

【思路點撥】由條件AB=AD,AC=AE,需要找夾角/BAC與/DAE,夾角可由等量代換證得

相等.

【答案與解析】

證明：VZ1=Z2

.\Z1+ZCAD=Z2+ZCAD,即/BAC=/DAE

在4ABC和4ADE中

AB=AD

<ABAC=ZDAE

AC=AE

A△ABCADE(SAS)

/.BC=DE(全等三角形對應(yīng)邊相等)

【總結(jié)升華】證明角等的方法之一：利用等式的性質(zhì)，等量加等量，還是等量.

【變式】如圖，將兩個一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三點共線，AB=CB,

EB=DB,ZABC

=ZEBD=90°),連接AE、CD,試確定AE與CD的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】AE=CD,并且AE_LCD

證明：延長AE交CD于F,

VAABC和4DBE是等腰直角三角形

；.AB=BC,BD=BE

在4ABE和aCBD中

AB=BC

<ZABE=ZCBD=90°

BE=BD

.'.△ABE^ACBD(SAS)

/.AE=CD,Z1=Z2

又?.?/l+/3=90°,Z3=Z4(對頂角相等)

.?.Z2+Z4=90°,即NAFC=90°

.\AE±CD

例2、如圖，AD是△ABC的中線，求證：AB+AO2AD.

【思路點撥】延長AD到點E,使AD=DE,連接CE.通過證全等將AB轉(zhuǎn)化到ACEA中，同時

也構(gòu)造出了2AD.利用三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.

【答案與解析】

證明：如圖，延長AD到點E,使AD=DE,連接CE.

在4ABD和4ECD中，

AD=DE

<ZADB=ZEDC

BD=CD.

/.△ABD^AECD(SAS).

/.AB=CE.

VAC+CE>AE,

/.AC+AB>AE=2AD.即AC+AB>2AD.

C

BD\

【總結(jié)升華】證明邊的大小關(guān)系主要有兩個思路：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形的

兩邊之和大于第三邊.要證明AB+AO2AD,如果歸到一個三角形中，邊的大小關(guān)系就是顯

然的，因此需要轉(zhuǎn)移線段，構(gòu)造全等三角形是轉(zhuǎn)化線段的重要手段.可利用旋轉(zhuǎn)變換，把4

ABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到ACED,也就把AB轉(zhuǎn)化到ACEA中，同時也構(gòu)造出了2AD.若

題目中有中線，倍長中線，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形是一種重要方法.

例3、已知，如圖：在AABC中，ZB=2ZC,AD±BC,求證：AB=CD-BD.

【思路點撥】在DC上取一點E,使BD=DE,則4ABD4AAED,所以AB=AE,只要再證出EC

=AE即可.

【答案與解析】

證明：在DC上取一點E,使BD=DE

AD±BC,AZADB=ZADE

在AABD和AAED中，

BD=DE

<ZADB=ZADE

AD=AD

.'.△ABD^AAED(SAS).

/.AB=AE,ZB=ZAED.

XVZB=2ZC=ZAED=ZC+ZEAC.

/.ZC=ZEAC..\AE=EC.

.\AB=AE=EC=CD—DE=CD—BD.

【總結(jié)升華】此題采用截長或補短方法.上升到解題思想，就是利用翻折變換，構(gòu)造的全等

三角形，把條件集中在基本圖形里面，從而使問題加以解決.如圖，要證明AB=CD-BD,

把CD—BD轉(zhuǎn)化為一條線段，可利用翻折變換，把4ABD沿AD翻折，使線段BD運動到DC上,

從而構(gòu)造出CD-BD,并且也把/B轉(zhuǎn)化為/AEB,從而拉近了與/C的關(guān)系.

【變式】已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/BAD,CELAB于E,并且AE=4(AB+

2

AD),

求證：ZB+ZD=180°.

【答案】證明：在線段AE上，截取EF=EB,連接FC,

A

VCE±AB,

.\ZCEB=ZCEF=90°

在ACBE和ACFE中，

EB=EF

<ZCEB=ZCEF

EC=EC

.,.△CBEWACFE(SAS)

.*.ZB=ZCFE

VAE=-(AB+AD)，.\2AE=AB+AD

2

/.AD=2AE-AB

VAE=AF+EF,

.".AD=2(AF+EF)-AB=2AF+2EF-AB=AF+AF+EF+EB-AB=AF+AB-AB,

即AD=AF

在AAFC和AADC中

AF=AD

,NE4C=ND4c(角平分線定義)

AC=AC

：.AAFC^AADC(SAS)

ZAFC=ZD

VZAFC+ZCFE=180°,ZB=ZCFE.

AZAFC+ZB=180°,ZB+ZD=180°.

題型二、全等三角形的判定2——“角邊角”

例4、已知：如圖，E,F在AC上，AD〃CB且AD=CB,ND=/B.求證：AE=CF.

【答案與解析】

證明：VAD/7CB

ZA=ZC

在4ADF與4CBE中

2A=zc

<AD=CB

ND=ZB

.,.△ADF^ACBE(ASA)

.,.AF=CE,AF+EF=CE+EF

故得：AE=CF

【總結(jié)升華】利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下:

(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個三角形；

(2)證明這兩個三角形全等；

(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等.

【變式】(2022?長安區(qū)一模)已知：點2、E、C、尸在一條直線上，AB//DE,AC//DF,

BE=CF.求證：△ABgADEF.

【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到ZACB=ZF,再證明BC=EF,然后

根據(jù)“ASA”可判斷△ABCgZXZJEF.

【解答】證明：

ZB=ZDEF,

'：AC//DF,

：.ZACB=ZF,

?：BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在△ABC和中，

(4=NVEF

\BC=EF'

UXCB=zF

.?.△ABC/ADEF(ASA).

【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問

題的關(guān)鍵.選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件.

例5、如圖，G是線段AB上一點，AC和DG相交于點E.請先作出/ABC的平分線BF,交AC

于點F；然后證

明：當AD〃BC,AD=BC,NABC=2NADG時，DE=BF.

AGB

【思路點撥】通過已知條件證明/DAC=NC,ZCBF=ZADG,則可證ADAE絲Z^BCF

【答案與解析】

證明：；AD〃BC,

.\ZDAC=ZC

：BF平分/ABC

.?.ZABC=2ZCBF

VZABC=2ZADG

.?.ZCBF=ZADG

在ADAE與ABCF中

ZADG=ZCBF

<AD=BC

ADAC=AC

.".△DAE^ABCF(ASA)

，DE=BF

【總結(jié)升華】利用全等三角形證明線段（角）相等的一般方法

和步驟如下：（1）找到以待證角（線段）為內(nèi)角（邊）的兩個三角形；（2）證明這兩個三角形全等;

（3）由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角（線段）相等.

【變式】已知：如圖，在AMPN中，H是高MQ和NR的交點，且MQ=NQ.求證：HN=PM.

【答案】

證明：和NR是aMPN的高，

...NMQN=NMRN=90°,

又：/1+/3=/2+/4=90°,Z3=Z4

/.Z1=Z2

在△MPQ和△NHQ中，

21=Z2

<MQ=NQ

ZMQP=ZNQH

：.AMPQ^ANHQ(ASA)

；.PM=HN

題型三、全等三角形的判定3一—“角角邊”

例6.（2021秋?蘇州期末）如圖，在四邊形A3C。中，E是對角線AC上一點，AD//BC,

ZADC=ZACD,ZCED+ZB=\SQ°.求證：AADE出ACAB.

DA

【分析】由等角對等邊可得AC=AD再由平行線的性質(zhì)可得NZME=NACB,由NCED+

/B=180°,ZCED+ZA￡￡>=180°,得/AED=NB,從而利用A4s可判定△ADE四

△CAB.

【解答】證明：VZADC=ZACD,

：.AD=AC,

"."AD//BC,

:.NDAE=NACB,

VZC￡￡>+ZB=180°,ZCED+ZAED=1SQ°,

：.NAED=NB,

在△ADE與△C42中，

AAADE^ACAB(AAS).

【點評】本題主要考查全等三角形的判定，解答的關(guān)鍵是由已知條件得出相應(yīng)的角或邊

的關(guān)系.

例7、已知：如圖，AB±AE,AD±AC,ZE=ZB,DE=CB.求證：AD=AC.

【思路點撥】要證AC=AD,就是證含有這兩個線段的三角形ABACg/XEAD.

【答案與解析】

證明：VAB±AE,ADXAC,

/.ZCAD=ZBAE=90°

AZCAD+ZDAB=ZBAE+ZDAB,即/BAC=NEAD

在ABAC和4EAD中

ZBAC=ZEAD

<ZB=ZE

CB=DE

/.ABAC^AEAD(AAS)

/.AC=AD

【總結(jié)升華】我們要善于把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角

形全等.

【變式】已知：如圖，NACB=90°,AC^BC,CD是經(jīng)過點C的一條直線，過點A、B

分別作AELCD、

BF±CD,垂足為E、F,求證：CE=BF.

【答案與解析】

證明：AE±CD,BF±CD

：.ZAEC^ZBFC=90°

：.ZBCF+ZB=90°

?：ZACB=90°,

：.ZBCF+ZACF^90°

：.ZACF=ZB

在ABC步和AC4E中

ZAEC=ZBFC

<NACE=NB

AC=BC

:.ABCF經(jīng)ACAE（AAS）

/.CE=BF

【總結(jié)升華】要證出=5/，只需證含有這兩個線段的ABCAC4E.同角的余角相等

是找角等的好方法.

題型四、全等三角形的判定4——“邊邊邊”

例8、已知：如圖，△RPQ中，RP=RQ,M為PQ的中點.求證：RM平分/PRQ.

【思路點撥】由中點的定義得PM=QM,RM為公共邊，則可由SSS定理證明全等.

【答案與解析】

證明：為PQ的中點（已知），

/.PM=QM

在aRPM和△RQM中，

RP=RQ（已知），

<PM=QM,

RM=RM（公共邊）

.".△RPM^ARQM(SSS).

NPRM=/QRM(全等三角形對應(yīng)角相等).

即RM平分NPRQ.

【總結(jié)升華】在尋找三角形全等的條件時有的可以從圖中直接找到，如：公共邊、公共角、

對頂角等條件隱含在題目或圖形之中.把證明一對角或線段相等的問題,轉(zhuǎn)化為證明它們所

在的兩個三角形全等，綜合應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)和判定.

【變式】已知：如圖，AD=BC,AC=BD.試證明：ZCAD=ZDBC.

【答案】

證明：連接DC,

在4ACD與4BDC中

AD=BC

<AC=BD

CD=DC(公共邊)

AACD^ABDC(SSS)

.-.ZCAD=ZDBC(全等三角形對應(yīng)角相等)

例9、如圖，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,BD=CE,求證：ZBAD=ZCAE.

【答案與解析】

證明：在z^ABD和AACE中,

AB=AC

<AD=AE

BD=CE

.,.△ABD絲AACE(SSS)

.\ZBAD=ZCAE(全等三角形對應(yīng)角相等).

【總結(jié)升華】把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等，綜

合應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì).要證NBAD=NCAE,先找出這兩個角所在的三角形分別是

△BDA和ACAE,然后證這兩個三角形全等.

題型五.直角三角形全等的判定“HL”

例10.如圖,4B_L3r>,CO_LB。,AZ)=BC,則能直接判斷絲RtzXCDB的理由是()

A.HLB.ASAC.SASD.SSS

【分析】由“HL”可證Rt/XAB。和Rt/XCCB.

【解答】解：'：AB±BD,CD±BD,

：.ZABD=ZCDB^90°,

在RtAABD和RtACDB中，

[AD=BC

UD-DB)

.,.RtAABD^RtACDB(HL),

故選：A.

【點評】本題考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵.

【變式1】.如圖，在Rt^ABC和RtZYDEF中，ZC=ZF=90°,AC=DF,只需補充條

件,就可以根據(jù)“HL”得到Rt^ABC0RtZWEE

AD

CBFE

【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法解決此題.

【解答】解：補充條件：AB=DE.

在RtAABC和RtADEF中，

(AB=DE

Uc-DE'

：.RtAABC^RtADEF(HL).

故答案為：AB=DE.

【點評】本題主要考查直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是

解決本題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，Rt^ABC和中，BC//DF,在不添加任何輔助線的情況下，請你

添加一個條件，使RtAABC和RtAEDF全等.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定解答即可.

【解答】解：：RtAABC和RtAEDF中，

：.ZBAC=ZDEF^90°,

'：BC//DF,

：.ZDFE=ZBCA,

添力口AB=ED,

在RtAABC和RtAEDF中

^DFE-CCA

▲DEF=LBAC'

AB=ED

：.RtAABC^RtAEDF(A4S),

故答案為：AB=ED(答案不唯一).

【點評】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定方法解答.

題型六.全等三角形的判定與性質(zhì)

例11.(2022?南通模擬)如圖，在△A8C中，AB=AC,AD1.BD,AE±EC,垂足分別為

D,E,BD,CE相交于點O,且

(1)求證：AABD咨AACE；

(2)若N8OC=140°,求/O8C的度數(shù).

【分析】(1)由“AAS”可證△ABOgZXACE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/ACE,由等腰三角形的性質(zhì)可得/ABC=/

ACB,即可求解.

【解答】(1)證明：

J.ZBAD^ZCAE,

\'AD±BD,AE±EC,

：.ZADB^ZAEC^90°,

在△ABO和△ACE中，

-

=zAEC

AAABD^AACE(AAS)；

(2)解：VAABD^AACE,

???ZABD=NACE,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

：./OBC=/OCB,

VZBOC=140°,

：.ZOBC=ZOBC=20°.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是

解題的關(guān)鍵.

【變式1】.如圖，已知A5=C5,AD=CD.求證：ZA=ZC.

【分析】連接8。，利用邊邊邊證明△A8D2△C5。，由全等三角形的性質(zhì)即可求解.

在AABD與ACBD中，

(AD=CD

,8=理，

WB=DB

：.AABD^ACBD(SSS),

???ZA=ZC.

【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，此題主要利用邊邊邊判定三角形全

【變式2］如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAD=ZCAE.求證：Z

ABD=NACE.

【分析】由“SAS”可證△48。g△ACE,可得結(jié)論.

【解答】證明：在AABD和△ACE中，

IAB-AC

l/JAD=zCA￡>

llD=4E

AABD^AACE(SAS),

ZABD=ZACE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

題型7.全等三角形的應(yīng)用

例12.如圖，要測量河兩岸相對兩點A、B