第23講特殊二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（第1課時(shí)）（十大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2（a4））；

2、知道二次函數(shù)y二ax?的圖像特點(diǎn)；

3、掌握二次函數(shù)y=ax2的圖像與性質(zhì)及應(yīng)用。

02思維導(dǎo)圖

1.二次函數(shù)y二a/圖像

知識(shí)點(diǎn)

2.二次函數(shù)y二a/的圖像與性質(zhì)

,題型1:畫出二次函數(shù)y二a/2圖像，并總結(jié)圖像特點(diǎn)及性質(zhì)

（題型2:自主畫出二次函數(shù)y二az?圖像，辨析圖像與性質(zhì)

,題型3:根據(jù)拋物線開口方向確定參數(shù)，反之

/題型4:據(jù)根拋物線開口方向、大小確定二次項(xiàng)系數(shù)大小

「題型5:根據(jù)二次函數(shù)y=ai2性質(zhì)比較大小

題型

一題型6:參數(shù)問題綜合

I題型7:與一次函數(shù)結(jié)合根據(jù)參數(shù)判斷圖像

＜題型8:與一次函數(shù)結(jié)合綜合解答題

'題型9:二次函數(shù)yna/的幾何應(yīng)用

2

V'題型10:二次函數(shù)y=a比2的代數(shù)應(yīng)用

03知識(shí)清單

一、二次函數(shù)丫=2*2（a/））的圖象及性質(zhì)

1.二次函數(shù)y=ax2（a#＞）的圖象

用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)丫=2*2（a，0）的圖象，如圖，它是一條關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，這樣的曲線叫做

拋物線.

因?yàn)閽佄锞€y=x2關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y軸是這條拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的

頂點(diǎn)，從圖上看，拋物線y=x2的頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn)。因?yàn)閽佄锞€y=x2有最低點(diǎn)，所以函數(shù)y=x2有最小

值，它的最小值就是最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).

2.二次函數(shù)y=ax2（a/D的圖象的畫法

用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2（a/））的圖象時(shí)，應(yīng)在頂點(diǎn)的左、

右兩側(cè)對(duì)稱地選取自變量x的值，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y值，這樣

的對(duì)應(yīng)值選取越密集，描出的圖象越準(zhǔn)確.

要點(diǎn)：二次函數(shù)丫=2*2許0）的圖象.用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2（a劃的圖象，該圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸

是y軸.y=ax2（a/））是最簡單的二次函數(shù)，把y=ax2（a?0）的圖象左右、上下平行移動(dòng)可以得到y(tǒng)=ax2+bx+c（a#：0）

的圖象.

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

3.二次函數(shù)y=ax2（a#））的圖象的性質(zhì)

二次函數(shù)丫=2*2（a#0）的圖象的性質(zhì)，見下表:

函數(shù)圖象開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸函數(shù)變化最大（?。┲?/p>

2

y=axa>0向上(0,0)y軸x>0時(shí)，y隨x增當(dāng)x=0時(shí)，y

大而瑙大；

最小二0

x<0時(shí)，y隨x增

kk大而減小.

2

y=axa<0i向下(0,0)y軸x>0時(shí)，y隨x增當(dāng)x=0時(shí)，y

J大而淀??；

o最大二0

x<0時(shí)，y隨x增

7]大而增大.

要點(diǎn)：頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)。相同，那么拋物線的開口方向、開

口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.|a|相同，拋物線的開口大小、形狀相同.

|a|越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸，|a|越小，開口越大，?圖象兩邊越靠近x軸.

【即學(xué)即練1］拋物線、=一爐的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（-1,0）B.（0,-1）C.（0,0）D.（-1,2）

【即學(xué)即練2】下列拋物線，其頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)的是（）

A.y=-2x2B.y=--x2C.y=--x2D.y=-x

253

【即學(xué)即練3】.關(guān)于二次函數(shù)y=2x2,下列說法正確的是（）

A.它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0,0）B.它的對(duì)稱軸是x軸

C.它的最大值是0D.以上都不對(duì)

題型精講

注：可準(zhǔn)備適量網(wǎng)格試紙解題

題型1：畫出二次函數(shù)y=ax2的圖像，并總結(jié)圖像特點(diǎn)及性質(zhì)

【典例1].在如圖所示的同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)1島yf2，「改與的圖象并

回答下列問題:

X-101

y=4x2

y=—x2

4

y=-4x2

y=--x2

4

X

（1）拋物線y=4/的開口方向,對(duì)稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是.拋物線了=-4尤2的開口方向.

對(duì)稱軸是.,頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

（2）拋物線y=4Y與拋物線＞=-4/的圖象關(guān)于.軸對(duì)稱;

（3）拋物線當(dāng)X。時(shí)，拋物線上的點(diǎn)都在x軸上方；當(dāng)無..0時(shí)，拋物線從左向右逐漸

上升；它的頂點(diǎn)是最點(diǎn).拋物線當(dāng)X.。時(shí)，拋物線從左向右逐漸下降，它的頂點(diǎn)

是最點(diǎn).

【典例2】.拋物線y尤2的開口方向是.

【典例3】.拋物線>=開口,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,當(dāng)x。時(shí)，y<0.

【典例4].關(guān)于二次函數(shù)y=V的圖象，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.它的開口向上，且關(guān)于y軸對(duì)稱

B.它與y=-Y的圖象關(guān)于龍軸對(duì)稱

C.它的頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)

D.它與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)

題型2:自主畫二次函數(shù)丫=2乂2的圖像，辨析圖像與性質(zhì)

【典例5】.拋物線y=-3x2不具有的性質(zhì)是（）

A.開口向下B.對(duì)稱軸是y軸

C.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小D.函數(shù)有最小值

【典例6】.下列函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是（）

A.y=3xB.y=-3xC.y=3/D.y=-3x2

【典例7].對(duì)于函數(shù)y=6f,下列說法正確的是（）

A.當(dāng)尤>0時(shí)，y隨x的增大而減小

B.當(dāng)x<0時(shí)，、隨x的增大而減小

c.y隨x的增大而減小

D.y隨％的增大而增大

【典例8].對(duì)于二次函數(shù)>下列說法正確的是（）

A.當(dāng)x<0時(shí)，y的值隨x值得增大而減小

B.y有最大值，最大值為0

C.當(dāng)尤>0時(shí)，y的值隨尤值的增大而增大

D.y的值隨x值得增大而減小

【典9】.觀察二次函數(shù)y=f的圖象，并填空.

（1）圖象與無軸的交點(diǎn)也是它的，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是;

（2）二次函數(shù)丫=尤2的圖象是一條,它的開口向,它的對(duì)稱軸為;

（3）當(dāng)x<0時(shí)，隨著尤值的增大，y的值______；當(dāng)x>0時(shí)，隨著尤值的增大，y的值____

題型3：拋物線開口方向確定參數(shù)；反之

【典例10].若拋物線y=（m+2）f開口向下，請寫出一個(gè)符合條件的根的值____.

【典例11].已知拋物線>的開口向下，且同=3,則。=.

【典例12].二次函數(shù)y=（左-的圖象開口向一.

題型4：根據(jù)拋物線開口方向、大小確定參數(shù)大小關(guān)系

【典例13].圖中與拋物線>=；尤2,y=2x2,y=-1x2,y=-2x2,的圖象對(duì)應(yīng)的是（）

A.①②④③B.②①④③C.①②③④D.②①③④

【典例14].如圖所示，四個(gè)二次函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)的表達(dá)式分別是:①y=；②y=/；③y=ex?；

@y=dxz,則。，b,c,1的大小關(guān)系為..（用“>”連接）

【典例15].在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)％=%/，％=%■/，%=%好的圖象如圖所示，則

%,%,%的大小關(guān)系為.

22

【典例16].①y=-3/；@y=Q3x；@.y=0.8x；④y=-0.1/四條拋物線開口由大到小用序號(hào)依次

排列為.

【典例17].函數(shù)y=6d的圖象開口方向是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對(duì)稱軸是,圖象有—

（填"最高"或"最低"）點(diǎn)，函數(shù)有最_____值，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而.

題型5：根據(jù)二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)比較大小

【典例18】.如圖，若拋物線丁=依2（。<0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)人（-1，%）,3（2,%）,C（3,%）,則%,%,%

的大小關(guān)系是：.

【典例19].已知點(diǎn)（-2,%）,（1,%）都在函數(shù)y=-2f的圖象上，則％必（填或"="）.

【典例20].已知點(diǎn)㈠，%）、（2,%）都在函數(shù)y=*+l的圖象上，貝以、％、%的大小關(guān)系

為.

【典例21].已知拋物線y=a">0）經(jīng)過4-2,%）、8（1,%）、C（3,%）三點(diǎn)，則%、％、%的大小關(guān)系是

（用連接）

題型6：參數(shù)問題綜合

【典例22].若二次函數(shù)>的圖象經(jīng)過p（_2,4）,則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）

A.（2,4）B.（-2,T）C.（-4,-2）D.（4,-2）

【典例23].已知拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)A（-2,-8）.

⑴說出這個(gè)二次函數(shù)圖象的開口方向和圖象的位置；

（2）判斷點(diǎn)是否在此拋物線上.

【典例24],已知函數(shù)y=（%+3）/小%2是關(guān)于x的二次函數(shù).

⑴求m的值；

（2）當(dāng)7"為何值時(shí)，該函數(shù)圖像的開口向下？

⑶當(dāng)，"為何值時(shí)，該函數(shù)有最小值？

⑷試說明函數(shù)的增減性.

【典例25],二次函數(shù)y=以2與y=_修的圖像關(guān)于對(duì)稱.

【典例26].根據(jù)下列條件求a的取值范圍：

（1）函數(shù)y=（a-2）x2,當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x<0時(shí)，y隨尤的增大而增大；

（2）函數(shù)y=（3a-2）N有最大值;

（3）拋物線>=（4+2片與拋物線y=-1x2的形狀相同；

（4）函數(shù)>=依。~的圖象是開口向上的拋物線.

【典例27】.二次函數(shù)〉=-；無2的圖像是,它的對(duì)稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,開

口方向是.

題型7：與一次函數(shù)結(jié)合根據(jù)參數(shù)判斷圖像

【典例28】.函數(shù)丫=砥與y=<在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）

J—

A入y\7

【典;例29].下列四個(gè)選項(xiàng)中,函數(shù)》與>=以2（g0）的圖象表示正確的是（）

xr

4

題型8：與一次函數(shù)結(jié)合綜合解答題

【典例30].已知函數(shù)y=x?與>=2尤+3的交點(diǎn)為A,B（A在B的右邊）.

⑴求點(diǎn)A、點(diǎn)2的坐標(biāo).

⑵求V49B的面積.

【典例31].如圖，已知一次函數(shù)>=履+6的圖象與二次函數(shù)丫=內(nèi)2的圖象交于點(diǎn)A（l,“z）和3（-2,4）.

⑴求兩個(gè)函數(shù)的解析式;

⑵求VAOB的面積.

【典例32].如圖，直線y=與拋物線丁="2交于A,B兩點(diǎn)，與V軸于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（Y,8）.

⑴求。，6的值；

（2）若CD，AB于點(diǎn)C,CD=CA.試說明點(diǎn)。在拋物線上.

題型9：二次函數(shù)y=ax2的幾何應(yīng)用

【典例33].如圖，正方形（MBC與拋物線>=相交于點(diǎn)3（叫一1）,則正方形Q4BC面積為（）

D.3

【典例34】.二次函數(shù)y=62的圖象如圖所示，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)人在y軸的正半軸上，點(diǎn)8、c在函

數(shù)圖象上，四邊形O54C為菱形，且NBOC=60。，則菱形的C的面積為

題型10：二次函數(shù)丫=2乂2的代數(shù)應(yīng)用

【典例35】.拋物線丫=-/，3；=6無2?=]/的共同性質(zhì)是（）

A.開口向上B.都有最大值C.對(duì)稱軸都是x軸D.頂點(diǎn)都是原點(diǎn)

【典例36].已知二次函數(shù)y=-Y,當(dāng)TVxW2時(shí)，y的最小值為.

【典例37].點(diǎn)入。,9）在函數(shù)y=4/的圖象上，則代數(shù)式（2a+@（2a-⑹的值等于—.

【典例38].已知以（與％），N（x?,%）為拋物線>="2（4*0）上任意兩點(diǎn)，且.若對(duì)于X2-X1=2,

都有帆-乂|21,則a的取值范圍是

'P

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.關(guān)于X的二次函數(shù)y=下列說法正確的是（）

A.圖像開口向上

B.y隨x的增大而減小

C.圖像關(guān)于x軸對(duì)稱

D.無論x取何值，y的值總是非正數(shù)

2.在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫函數(shù)的圖象，它們圖象的共同特點(diǎn)是（）

A.都是關(guān)于V軸對(duì)稱，拋物線開口向上

B.都是關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線的頂點(diǎn)都是原點(diǎn)

c.當(dāng)尤＞0時(shí)，y隨x的增大而增大

D.拋物線的頂點(diǎn)都是原點(diǎn)，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)

3.二次函數(shù)^=7".1,若在其圖象的對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，則下列各點(diǎn)不在其圖象上的是

()

A.(1,-73)B.(-1,-^)C.(0,0)D.(-1,73)

4.如圖，A,B為拋物線＞=/上兩點(diǎn),且線段ABLy軸.若A3=6,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（)

C.(-3,3)D.(-3,9)

5.關(guān)于拋物線y=-2尤2,給出下列說法：

①拋物線開口向下，頂點(diǎn)是原點(diǎn)；

②