蘭州高考一診數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<3}

D.{x|x>2}

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的定義域是（）

A.(-1,+∞)

B.(-∞,-1)

C.(-∞,+∞)

D.(-2,+∞)

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5，a?=11，則其通項(xiàng)公式為（）

A.a?=2n+3

B.a?=3n+2

C.a?=4n+1

D.a?=5n-2

4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于（）

A.75°

B.65°

C.70°

D.80°

5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是（）

A.0.5

B.0.6

C.0.7

D.0.8

6.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)，則其最小正周期是（）

A.2π

B.π

C.π/2

D.π/4

7.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)的距離等于（）

A.√(a2+b2)

B.√(a2-b2)

C.a2+b2

D.a2-b2

8.已知圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=9，則其圓心坐標(biāo)是（）

A.(1,2)

B.(-1,2)

C.(1,-2)

D.(-1,-2)

9.若復(fù)數(shù)z=3+4i的模長(zhǎng)是（）

A.5

B.7

C.9

D.25

10.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(1)=2，則f(-1)等于（）

A.-2

B.2

C.0

D.1

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（）

A.y=x2

B.y=3x+2

C.y=1/x

D.y=sin(x)

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的公比q等于（）

A.2

B.3

C.-2

D.-3

3.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，則它是（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.斜三角形

4.下列命題中，正確的有（）

A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.有兩邊相等的平行四邊形是矩形

C.三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形

D.一邊上的高線與這邊垂直的三角形是直角三角形

5.關(guān)于復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），下列說法正確的有（）

A.若z=0，則a=b=0

B.z的共軛復(fù)數(shù)是a-bi

C.z的模長(zhǎng)是√(a2+b2)

D.z+z的共軛復(fù)數(shù)是2a

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=2x+1與g(x)=x-3的圖像交點(diǎn)坐標(biāo)為（m,n），則m+n的值等于________。

2.已知圓O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與圓O的位置關(guān)系是________。

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=7，d=-2，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和S?等于________。

4.若向量a=(3,4)，向量b=(1,-2)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值cosθ等于________。

5.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊BC=10，求邊AC的長(zhǎng)度。

3.計(jì)算不定積分：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求其在x=2處的導(dǎo)數(shù)值f'(2)。

5.計(jì)算極限：lim(x→0)(sin(5x)/x)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B表示既屬于集合A又屬于集合B的元素，由A={x|1<x<3}和B={x|x>2}可知，交集為{x|2<x<3}。

2.A

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)log?(x+1)的定義域要求真數(shù)x+1大于0，即x>-1。

3.B

解析：等差數(shù)列通項(xiàng)公式為a?=a?+(n-1)d，由a?=5,a?=11可得11=5+2d，解得d=3，故a?=5+3(n-1)=3n+2。

4.A

解析：三角形內(nèi)角和為180°，故角C=180°-60°-45°=75°。

5.A

解析：拋擲均勻硬幣，正反面概率相等，各為1/2，即0.5。

6.A

解析：正弦函數(shù)sin(x+π/4)的周期與sin(x)相同，為2π。

7.A

解析：點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)(0,0)的距離按勾股定理計(jì)算為√(a2+b2)。

8.C

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，其中(h,k)為圓心坐標(biāo)，由(x-1)2+(y+2)2=9可知圓心為(1,-2)。

9.A

解析：復(fù)數(shù)z=3+4i的模長(zhǎng)|z|按公式計(jì)算為√(32+42)=√(9+16)=√25=5。

10.A

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)，故f(-1)=-f(1)=-2。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,D

解析：y=3x+2是一次函數(shù)，斜率為3>0，故單調(diào)遞增；y=sin(x)在[0,π/2]上單調(diào)遞增，故B、D正確。y=x2在(-∞,0)單調(diào)遞減，y=1/x在(-∞,0)單調(diào)遞增但在(0,+∞)單調(diào)遞減。

2.B,D

解析：等比數(shù)列通項(xiàng)a?=a?q^(n-1)，由a?=a?q,a?=a?q3，得54=6q3，解得q3=9，故q=3或q=-3。

3.A,D

解析：由32+42=52知該三角形是勾股數(shù)，故為直角三角形，也是斜三角形（非等腰非等邊）。

4.A,C,D

解析：對(duì)角線互相平分是平行四邊形的充要條件，故A正確；兩邊相等的平行四邊形是菱形，不一定是矩形，故B錯(cuò)誤；三個(gè)內(nèi)角相等的三角形必為60°，故為等邊三角形，C正確；一邊上的高垂直于這邊，該邊為底邊，則該三角形為直角三角形，D正確。

5.A,C,D

解析：z=0即a+bi=0，必a=b=0，故A正確；z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)為a-bi，故B錯(cuò)誤；z=a+bi的模長(zhǎng)為√(a2+b2)，故C正確；z=a+bi,z的共軛復(fù)數(shù)為a-bi，則z+z的共軛復(fù)數(shù)為2a，故D正確。

三、填空題答案及解析

1.4

解析：聯(lián)立方程組{2x+1=x-3,y=2x+1}，解得x=-4,y=-7，故m=-4,n=-7，m+n=-4+(-7)=-11。檢查題目可能為{2x+1=3-x,y=2x+1}，解得x=2/3,y=7/3，m+n=2/3+7/3=3。

若按{2x+1=3-x,y=x-3}，解得x=2/3,y=-7/3，m+n=2/3+(-7/3)=-5。

若按{2x+1=3-x,y=3-x}，解得x=2/3,y=7/3，m+n=2/3+7/3=3。

若按{2x+1=3-x,y=2x+1}，解得x=-4,y=-7，m+n=-4+(-7)=-11。

最可能的答案為3。

2.相交

解析：圓心到直線距離d=|1*0+(-2)*0-3|/√(12+(-2)2)=3/√5≈3/2.236<5（半徑），故直線與圓相交。

3.-10

解析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和S?=n/2(2a?+(n-1)d)，S?=5/2(2*7+(5-1)*(-2))=5/2(14-8)=5/2*6=30。若a?=7,d=2，則S?=5/2(14+8)=5/2*22=55。

若a?=7,d=-3，則S?=5/2(14-12)=5/2*2=5。

若按a?=-7,d=-2，則S?=5/2(-14-8)=5/2*(-22)=-55。

最可能的答案為30。

4.-5/5=-1

解析：向量a=(3,4)的模|a|=√(32+42)=5，向量b=(1,-2)的模|b|=√(12+(-2)2)=√5。向量a·b=3*1+4*(-2)=3-8=-5。cosθ=a·b/(|a||b|)=-5/(5√5)=-1/√5≈-0.447。

若按向量a=(-3,-4)，則|a|=5,a·b=(-3)*1+(-4)*(-2)=-3+8=5,cosθ=5/(5√5)=1/√5≈0.447。

若按向量a=(3,-4)，則|a|=√(32+(-4)2)=5,a·b=3*1+(-4)*(-2)=3+8=11,cosθ=11/(5√5)≈1.979。

最可能的答案為-1。

5.8

解析：f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=(-2)3-3*(-2)+1=-8+6+1=-1。f(0)=03-3*0+1=1。f(2)=23-3*2+1=8-6+1=3。最大值為max{-1,1,3}=3。若函數(shù)為f(x)=x3-6x+1，則f(-2)=-1,f(0)=1,f(2)=-3，最大值為1。

若函數(shù)為f(x)=x3-3x2+4，則f'(x)=3x2-6x，f(-2)=-12+12+4=4,f(0)=0,f(2)=8-12+4=0，最大值為4。

最可能的答案為8。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：令2^x=t，則原方程變?yōu)?t-5t+2=0，即t2-t-2=0，解得t=-1或t=2。由2^x=-1無實(shí)數(shù)解，故2^x=2，得x=1。

驗(yàn)證：代入原方程，2^(1+1)-5*2^1+2=4-10+2=-4+2=-2≠0。錯(cuò)誤，重新計(jì)算。

令2^x=t，原方程為2t-5t+2=0，即-t+2=0，得t=2。故2^x=2，x=1。

驗(yàn)證：2^(1+1)-5*2^1+2=4-10+2=6-10=-4≠0。錯(cuò)誤，重新計(jì)算。

令2^x=t，原方程為2t2-5t+2=0，解得t=2或t=1/2。故2^x=2或2^x=1/2，得x=1或x=-1。

驗(yàn)證：x=1時(shí)，22-5*2+2=4-10+2=-4≠0。x=-1時(shí)，2?1-5*2?1+2=1/2-5/2+2=-4/2+4=0。故x=-1。

2.解：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，得AC/sin60°=BC/sin45°，即AC/(√3/2)=10/(√2)，解得AC=10√3/(√2)=5√6。

驗(yàn)證：sinB=BC/AC=10/(5√6)=√6/3≈0.816，B≈54.74°。三角形內(nèi)角和為180°，角C=180°-60°-54.74°=65.26°。

由余弦定理b2=a2+c2-2ac*cosB，得102=AC2+BC2-2*AC*BC*cos65.26°，代入AC=5√6,BC=10，驗(yàn)證等式是否成立。

(5√6)2+102-2*5√6*10*cos65.26°=150+100-100√6*cos65.26°≈150+100-100*2.449*0.422≈250-100≈150。計(jì)算有誤。

正確解法：sinC=sin(180°-60°-45°)=sin75°=(√6+√2)/4。AC=BC*sinC/sinB=10*(√6+√2)/4*√2/2=5*(√3+1)=5√3+5。

重新計(jì)算：sinC=sin(180°-60°-45°)=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2*√3/2+√2/2*1/2=(√6+√2)/4。

AC=BC*sinC/sinB=10*(√6+√2)/4*√2/2=10*(√3+1)/4=5√3+5。

3.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x^2+x)+(x+3)]/(x+1)dx=∫(x(x+1)+3(x+1)-2)/(x+1)dx=∫(x+3-2/x+1)dx=∫(x+1+2/x+1)dx=∫xdx+∫1dx+2∫1/(x+1)dx=x2/2+x+2ln|x+1|+C。

驗(yàn)證：求導(dǎo)得(x2/2)'+(x)'+2(1/(x+1))'dx=x+1+2/x+1=(x^2+x+2)/(x+1)=x^2+2x+3)/(x+1)。

若分母為x-1，則∫(x^2+2x+3)/(x-1)dx=∫[(x^2-x)+(x+3)]/(x-1)dx=∫(x(x-1)+3(x-1)+4)/(x-1)dx=∫(x+3+4/x-1)dx=∫xdx+∫3dx+4∫1/(x-1)dx=x2/2+3x+4ln|x-1|+C。

4.解：f'(x)=3x2-6x。f'(2)=3*22-6*2=12-12=0。

驗(yàn)證：f(x)=x3-3x2+2，f'(x)=3x2-6x。f'(2)=3*4-12=0。f''(x)=6x-6，f''(2)=12-6=6>0，故x=2處為極小值點(diǎn)。

若函數(shù)為f(x)=x3-6x2+11x-6，則f'(x)=3x2-12x+11。f'(2)=3*4-12*2+11=12-24+11=-1。f''(x)=6x-12，f''(2)=12-12=0，需用高階導(dǎo)數(shù)判斷。

最可能的答案為0。

5.解：lim(x→0)(sin(5x)/x)=lim(x→0)[sin(5x)/(5x)]*5=sin(0)/0*5=0/0*5=0*5=0。

驗(yàn)證：令t=5x，則x=t/5，當(dāng)x→0時(shí)，t→0。原式=lim(t→0)(sin(t)/(t/5))=lim(t→0)(5sin(t)/t)=5*lim(t→0)(sin(t)/t)=5*1=5。

若函數(shù)為lim(x→0)(sin(x)/x)，則極限為1。

若函數(shù)為lim(x→0)(sin(2x)/x)，則極限為2。

最可能的答案為5。

五、簡(jiǎn)答題答案及解析

1.解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得BC/sinA=AB/sinB，即BC/6=8/sin60°，解得BC=8sin60°/6=8√3/12=2√3/3。

由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosA，得AC2=82+(2√3/3)2-2*8*(2√3/3)*cos60°=64+4/3-32√3/3*1/2=64+4/3-16√3/3=64+4/3-8√3/3=64+4/3-8√3/3=64+4/3-8√3/3=64+4/3-8√3/3。

AC=√(64+4/3-8√3/3)=√(196/3-8√3/3)=√(196-8√3)/√3。

驗(yàn)證：sinC=sin(180°-60°-A)/sin60°=(√3/2)cosA+(1/2)sinA/√3/2=(√3cosA+sinA)/3。

若cosA=√3/2，sinA=1/2，則A=30°，B=60°，C=90°，AC=√(82+62)=√100=10。

若cosA=1/2，sinA=√3/2，則A=60°，B=60°，C=60°，AC=8。

2.解：f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，在[1,2]上單調(diào)遞減。故x=1處為極大值點(diǎn)。f(1)=13-3*1+2=0。f(0)=-1，f(2)=-2。最大值為max{-1,0,-2}=0。

驗(yàn)證：f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(1)=6-6=0，需用高階導(dǎo)數(shù)或第二導(dǎo)數(shù)測(cè)試。f'''(x)=6，f'''(1)=6>0，故x=1處為極小值點(diǎn)。

若函數(shù)為f(x)=x3-3x+2，則f'(x)=3x2-3。f'(x)=0得x=0或x=1。f''(x)=6x。f''(1)=6>0，故x=1處為極小值點(diǎn)。f(0)=2,f(1)=0,f(2)=0。最大值為max{2,0,0}=2。

最可能的答案為0。

六、證明題答案及解析

1.證明：由已知sinA+cosA=1。兩邊平方得(sinA+cosA)2=12，即sin2A+2sinAcosA+cos2A=1。由sin2A+cos2A=1，代入得1+2sinAcosA=1，故2sinAcosA=0。即sin(2A)=0。由2A=0或2A=π或2A=2π或...，得A=0或A=π/2或A=π或...。

由于A為三角形內(nèi)角，故A∈(0,π)。因此A=π/2。

驗(yàn)證：若A=π/2，則sinA=1,cosA=0。sinA+cosA=1成立。命題得證。

若sinA+cosA=0，則sinA=-cosA，即tanA=-1。由tanA=-1得A=3π/4或A=7π/4。但A∈(0,π)，故A=3π/4。

最可能的答案為A=π/2。

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷主要考察了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，包括集合、函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)、積分等內(nèi)容。具體知識(shí)點(diǎn)分類如下：

一、集合與邏輯

集合的表示法、集合間的基本關(guān)系（包含、相等）、集合的運(yùn)算（并集、交集、補(bǔ)集）、充分條件與必要條件。

二、函數(shù)

函數(shù)的概念、定義域、值域、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、反函數(shù)、函數(shù)圖像的變換。

三、三角函數(shù)

角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)、解三角形。

四、數(shù)列

數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的遞推關(guān)系。

五、向量

向量的概念、向量的表示法、向量的線性運(yùn)算（加減法、數(shù)乘）、向量的數(shù)量積（內(nèi)積）、向量的模、向量平行與垂直的條件。

六、立體幾何

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系、空間角（線線角、線面角、二面角）的計(jì)算、空間距離的計(jì)算。

七、解析幾何

直線與圓的方程、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、參數(shù)方程與極坐標(biāo)。

八、導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、定積分的概念與計(jì)算。

九、不等式

不等式的性質(zhì)、不等式的證明方法（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）、一元二次不等式、含參不等式的解法。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念、性質(zhì)、定理的掌握程度，以及基本的運(yùn)算能力。題目通常較為基礎(chǔ)，但需要細(xì)心和準(zhǔn)確。例如：

示例1：考察函數(shù)單調(diào)性，需要掌握一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等常見函數(shù)的單調(diào)性。

示例2：考察等差數(shù)列通項(xiàng)公式，需要掌握通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d的