2025山西省成考專升本高等數(shù)學(xué)試題及答案完整版一、選擇題（每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.函數(shù)$y=\frac{1}{\ln(x-1)}$的定義域是（）A.$(1,+\infty)$B.$(0,1)\cup(1,+\infty)$C.$(1,2)\cup(2,+\infty)$D.$(2,+\infty)$答案：C解析：要使函數(shù)有意義，則對(duì)數(shù)中的真數(shù)大于0且分母不為0，即$\begin{cases}x-1>0\\\ln(x-1)\neq0\end{cases}$。由$x-1>0$得$x>1$，由$\ln(x-1)\neq0$即$x-1\neq1$，得$x\neq2$，所以定義域?yàn)?(1,2)\cup(2,+\infty)$。2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的值為（）A.0B.1C.2D.3答案：D解析：根據(jù)重要極限$\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1$，令$u=3x$，當(dāng)$x\to0$時(shí)，$u\to0$，則$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\cdot\frac{3}{3}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\times1=3$。3.設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x,&x>0\end{cases}$，則$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)$等于（）A.0B.1C.2D.不存在答案：B解析：當(dāng)$x\to0^-$時(shí)，$x<0$，此時(shí)$f(x)=x^2+1$，所以$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(x^2+1)=0^2+1=1$。4.函數(shù)$y=x^3-3x^2-9x+5$的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.$(-\infty,-1)$和$(3,+\infty)$B.$(-1,3)$C.$(-\infty,-3)$和$(1,+\infty)$D.$(-3,1)$答案：A解析：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，$y^\prime=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$。令$y^\prime>0$，即$3(x-3)(x+1)>0$，則$(x-3)(x+1)>0$，解得$x<-1$或$x>3$，所以單調(diào)遞增區(qū)間是$(-\infty,-1)$和$(3,+\infty)$。5.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線方程是（）A.$y=x+1$B.$y=-x+1$C.$y=x-1$D.$y=-x-1$答案：A解析：首先求函數(shù)$y=e^x$的導(dǎo)數(shù)，$y^\prime=e^x$。則在點(diǎn)$(0,1)$處的切線斜率$k=y^\prime|_{x=0}=e^0=1$。根據(jù)點(diǎn)斜式方程$y-y_0=k(x-x_0)$（其中$(x_0,y_0)=(0,1)$，$k=1$），可得切線方程為$y-1=1\times(x-0)$，即$y=x+1$。6.$\intx^2e^{x^3}dx$等于（）A.$\frac{1}{3}e^{x^3}+C$B.$\frac{1}{3}e^{x^2}+C$C.$e^{x^3}+C$D.$e^{x^2}+C$答案：A解析：令$u=x^3$，則$du=3x^2dx$，$x^2dx=\frac{1}{3}du$。所以$\intx^2e^{x^3}dx=\frac{1}{3}\inte^udu=\frac{1}{3}e^u+C=\frac{1}{3}e^{x^3}+C$。7.設(shè)$f(x)$是連續(xù)函數(shù)，且$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(2x-1)dx$等于（）A.$F(2x-1)+C$B.$\frac{1}{2}F(2x-1)+C$C.$2F(2x-1)+C$D.$F(\frac{1}{2}x-1)+C$答案：B解析：令$u=2x-1$，則$du=2dx$，$dx=\frac{1}{2}du$。所以$\intf(2x-1)dx=\frac{1}{2}\intf(u)du=\frac{1}{2}F(u)+C=\frac{1}{2}F(2x-1)+C$。8.設(shè)函數(shù)$z=x^2y+y^2$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$等于（）A.$2xy$B.$x^2+2y$C.$2xy+2y$D.$x^2$答案：A解析：對(duì)$z=x^2y+y^2$求關(guān)于$x$的偏導(dǎo)數(shù)，把$y$看作常數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)公式$(X^n)^\prime=nX^{n-1}$，可得$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy$。9.設(shè)$D$是由直線$x=0$，$y=0$，$x+y=1$所圍成的閉區(qū)域，則$\iint_Dxdydx$等于（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.1答案：A解析：先確定積分區(qū)域$D$的范圍，$D$可表示為$0\leqx\leq1$，$0\leqy\leq1-x$。則$\iint_Dxdydx=\int_0^1xdx\int_0^{1-x}dy=\int_0^1x(1-x)dx=\int_0^1(x-x^2)dx=(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3)\big|_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。10.微分方程$y^\prime=2x$的通解是（）A.$y=x^2+C$B.$y=2x^2+C$C.$y=\frac{1}{2}x^2+C$D.$y=x^3+C$答案：A解析：對(duì)$y^\prime=2x$兩邊積分，$\inty^\primedx=\int2xdx$，根據(jù)積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），可得$y=x^2+C$。二、填空題（每小題4分，共24分）11.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$，則$f(2)$的值為______。答案：$\frac{1}{3}$解析：將$x=2$代入$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$，得$f(2)=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$。12.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x$的值為______。答案：$e^2$解析：根據(jù)重要極限$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{a}{x})^x=e^a$，這里$a=2$，所以$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=e^2$。13.設(shè)函數(shù)$y=\ln(1+x^2)$，則$y^\prime$等于______。答案：$\frac{2x}{1+x^2}$解析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令$u=1+x^2$，則$y=\lnu$。先對(duì)$y$關(guān)于$u$求導(dǎo)得$y^\prime_u=\frac{1}{u}$，再對(duì)$u$關(guān)于$x$求導(dǎo)得$u^\prime_x=2x$。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式$y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x$，可得$y^\prime=\frac{1}{1+x^2}\cdot2x=\frac{2x}{1+x^2}$。14.$\int\cos2xdx$等于______。答案：$\frac{1}{2}\sin2x+C$解析：令$u=2x$，則$du=2dx$，$dx=\frac{1}{2}du$。所以$\int\cos2xdx=\frac{1}{2}\int\cosudu=\frac{1}{2}\sinu+C=\frac{1}{2}\sin2x+C$。15.設(shè)函數(shù)$z=e^{xy}$，則$\frac{\partialz}{\partialy}$等于______。答案：$xe^{xy}$解析：對(duì)$z=e^{xy}$求關(guān)于$y$的偏導(dǎo)數(shù)，把$x$看作常數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令$u=xy$，則$z=e^u$。先對(duì)$z$關(guān)于$u$求導(dǎo)得$z^\prime_u=e^u$，再對(duì)$u$關(guān)于$y$求導(dǎo)得$u^\prime_y=x$。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式$\frac{\partialz}{\partialy}=z^\prime_u\cdotu^\prime_y$，可得$\frac{\partialz}{\partialy}=xe^{xy}$。16.微分方程$y^{\prime\prime}+2y^\prime+y=0$的通解是______。答案：$y=(C_1+C_2x)e^{-x}$解析：該微分方程的特征方程為$r^2+2r+1=0$，即$(r+1)^2=0$，解得$r_1=r_2=-1$。當(dāng)特征根為二重根時(shí)，通解為$y=(C_1+C_2x)e^{-x}$，其中$C_1$，$C_2$為任意常數(shù)。三、解答題（共86分。解答應(yīng)寫出推理、演算步驟）17.（本題滿分10分）求$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$。解：本題可先對(duì)分子進(jìn)行因式分解，然后化簡(jiǎn)式子再求極限。-步驟一：對(duì)分子進(jìn)行因式分解根據(jù)平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，對(duì)分子\(x^2-1\)進(jìn)行因式分解，可得\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)。-步驟二：化簡(jiǎn)原式將\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)代入原式\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)，可得：\(\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\)因?yàn)閈(x\to1\)時(shí)，\(x\neq1\)，所以\(x-1\neq0\)，分子分母同時(shí)約去\(x-1\)，得到\(\lim\limits_{x\to1}(x+1)\)。-步驟三：求極限將\(x=1\)代入\(x+1\)，可得\(\lim\limits_{x\to1}(x+1)=1+1=2\)。綜上，\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\)。18.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$y=x^3\lnx$，求$y^\prime$。解：本題可根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)來(lái)求\(y^\prime\)，其中\(zhòng)(u=x^3\)，\(v=\lnx\)。-步驟一：分別求\(u^\prime\)和\(v^\prime\)根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，對(duì)\(u=x^3\)求導(dǎo)，可得\(u^\prime=3x^2\)。根據(jù)求導(dǎo)公式\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)，對(duì)\(v=\lnx\)求導(dǎo)，可得\(v^\prime=\frac{1}{x}\)。-步驟二：根據(jù)乘積求導(dǎo)法則求\(y^\prime\)將\(u=x^3\)，\(v=\lnx\)，\(u^\prime=3x^2\)，\(v^\prime=\frac{1}{x}\)代入\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，可得：\(y^\prime=(x^3)^\prime\lnx+x^3(\lnx)^\prime=3x^2\lnx+x^3\cdot\frac{1}{x}=3x^2\lnx+x^2\)綜上，\(y^\prime=3x^2\lnx+x^2\)。19.（本題滿分10分）計(jì)算$\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx$。解：本題可先對(duì)分母進(jìn)行配方，然后再利用積分公式進(jìn)行計(jì)算。-步驟一：對(duì)分母進(jìn)行配方\(x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1\)則原式可化為\(\int\frac{1}{(x+2)^2+1}dx\)。-步驟二：換元令\(u=x+2\)，則\(du=dx\)，那么\(\int\frac{1}{(x+2)^2+1}dx=\int\frac{1}{u^2+1}du\)。-步驟三：利用積分公式計(jì)算根據(jù)積分公式\(\int\frac{1}{u^2+1}du=\arctanu+C\)，可得：\(\int\frac{1}{u^2+1}du=\arctanu+C\)-步驟四：回代將\(u=x+2\)代回\(\arctanu+C\)，可得\(\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx=\arctan(x+2)+C\)。綜上，\(\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx=\arctan(x+2)+C\)。20.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$z=x^2+y^2+xy$，求$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$。解：本題可先求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，再對(duì)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)關(guān)于\(y\)求偏導(dǎo)數(shù)，從而得到\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)。-步驟一：求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)對(duì)\(z=x^2+y^2+xy\)求關(guān)于\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)，把\(y\)看作常數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，可得：\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x+y\)-步驟二：求\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)對(duì)\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x+y\)求關(guān)于\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)，把\(x\)看作常數(shù)，可得：\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=1\)綜上，\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=1\)。21.（本題滿分10分）求微分方程$y^\prime+2y=4x$的通解。解：本題可先判斷該微分方程的類型，然后利用相應(yīng)的方法求通解。該方程是一階線性非齊次微分方程，其通解公式為\(y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C)\)，其中\(zhòng)(P(x)\)是\(y\)的系數(shù)，\(Q(x)\)是方程右邊的函數(shù)。-步驟一：確定\(P(x)\)和\(Q(x)\)對(duì)于方程\(y^\prime+2y=4x\)，\(P(x)=2\)，\(Q(x)=4x\)。-步驟二：計(jì)算\(e^{-\intP(x)dx}\)和\(e^{\intP(x)dx}\)先計(jì)算\(\intP(x)dx=\int2dx=2x\)，則\(e^{-\intP(x)dx}=e^{-2x}\)，\(e^{\intP(x)dx}=e^{2x}\)。-步驟三：計(jì)算\(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx\)將\(Q(x)=4x\)，\(e^{\intP(x)dx}=e^{2x}\)代入\(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx\)，可得：\(\int4xe^{2x}dx\)利用分部積分法\(\intudv=uv-\intvdu\)，令\(u=4x\)，\(dv=e^{2x}dx\)，則\(du=4dx\)，\(v=\frac{1}{2}e^{2x}\)。所以\(\int4xe^{2x}dx=4x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}-\int\frac{1}{2}e^{2x}\cdot4dx=2xe^{2x}-\int2e^{2x}dx=2xe^{2x}-e^{2x}+C_1\)。-步驟四：求通解將\(e^{-\intP(x)dx}=e^{-2x}\)，\(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx=2xe^{2x}-e^{2x}+C_1\)代入通解公式\(y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C)\)，可得：\(y=e^{-2x}(2xe^{2x}-e^{2x}+C)=2x-1+Ce^{-2x}\)綜上，該微分方程的通解為\(y=2x-1+Ce^{-2x}\)。22.（本題滿分12分）求曲線$y=x^2$與直線$y=2x$所圍成的平面圖形的面積。解：本題可先求出曲線\(y=x^2\)與直線\(y=2x\)的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后確定積分區(qū)間，最后根據(jù)定積分的幾何意義計(jì)算所圍成圖形的面積。-步驟一：求交點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立曲線\(y=x^2\)與直線\(y=2x\)的方程\(\begin{cases}y=x^2\\y=2x\end{cases}\)，可得\(x^2=2x\)，移項(xiàng)得\(x^2-2x=0\)，因式分解得\(x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。將\(x=0\)和\(x=2\)分別代入\(y=2x\)，可得\(y=0\)和\(y=4\)，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,0)\)和\((2,4)\)。-步驟二：確定積分區(qū)間和被積函數(shù)由交點(diǎn)坐標(biāo)可知，積分區(qū)間為\([0,2]\)。在區(qū)間\([0,2]\)上，直線\(y=2x\)在曲線\(y=x^2\)的上方，所以被積函數(shù)為\(2x-x^2\)。-步驟三：計(jì)算面積根據(jù)定積分的幾何意義，所求圖形的面積\(S=\int_0^2(2x-x^2)dx\)。計(jì)算定積分\(\int_0^2(2x-x^2)dx=(\x^2-\frac{1}{3}x^3)\big|_0^2=(2^2-\frac{1}{3}\times2^3)-(0^2-\frac{1}{3}\times0^3)=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\)。綜上，曲線\(y=x^2\)與直線\(y=2x\)所圍成的平面圖形的面積為\(\frac{4}{3}\)。23.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)$f(x)$的極值。解：本題可先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。-步驟一：求函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)對(duì)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)求導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，可得：\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)-步驟二：求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。將定義域\((-\infty,+\infty)\)分成\((-\infty,0)\)，\((0,2)\)，\((2,+\infty)\)三個(gè)區(qū)間，分別討論\(f^\prime(x)\)的正負(fù)性：-當(dāng)\(x\in(-\infty,0)\)時(shí)，\(x<0\)，\(x-2<0\)，則\(f^\prime(x)=3x(x-2)>0\)，所以函數(shù)\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增。-當(dāng)\(x\in(0,2)\)時(shí)，\(x>0\)，\(x-2<0\)，則\(f^\prime(x)=3x(x-2)<0\)，所以函數(shù)\(f(x)\)在\((0,2)\)上單調(diào)遞減。-當(dāng)\(x\in(2,+\infty)\)時(shí)，\(x>0\)，\(x-2>0\)，則\(f^\prime(x)=3x(x-2)>0\)，所以函數(shù)\(f(x)\)在\((2,+\infty)\)上單調(diào)遞增。綜上，函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。-步驟三：求函數(shù)\(f(x)\)的極值根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，\(x=0\)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，\(x=2\)為函數(shù)的極小值點(diǎn)。將\(x=0\)代入\(f(x)\)，可得\(f(0)=0^3-3\times0^2+2=2\)，所以極大值為\(2\)。將\(x=2\)代入\(f(x)\)，可得\(f(2)=2^3-3\times2^2+2=8-12+2=-2\)，所以極小值為\(-2\)。綜上，函數(shù)\(f(x)\)的極大值為\(2\)，極小值為\(-2\)。24.（本題滿分12分）設(shè)$D$是由曲線$y=\sqrt{x}$，直線$x=1$，$x=4$及$x$軸所圍成的閉區(qū)域，計(jì)算$\iint_D\frac{1}{y}d\sigma$。解：本題可先根據(jù)積分區(qū)域\(D\)確定積分限，然后將二重積分化為二次積分進(jìn)行計(jì)算。-步驟一：確定積分區(qū)域\(D\)積分區(qū)域\(D\)可表示為\(1\leqx\leq4\)，\(0\leqy\leq\sqrt{x}\)。-步驟二：將二重積分化為二次積分根據(jù)二重積分的計(jì)算方法，\(\iint_D\frac{1}{y}d\sigma=\int_1^4dx\int_0^{\sqrt{x}}\frac{1}{y}dy\)。-步驟三：計(jì)算二次積分先計(jì)算內(nèi)層積分\(\int_0^{\sqrt{x}}\frac{1}{y}dy\)，根據(jù)積分公式\(\int\frac{1}{y}dy=\lny+C\)，可得：\(\int_0^{\sqrt{x}}\frac{1}{y}dy=[\lny]_0^{\sqrt{x}}=\ln\sqrt{x}-\ln0\)，由于\(\ln0\)無(wú)意義，這里需要注意積分下限應(yīng)該從一個(gè)趨近于\(0\)的正數(shù)開始，不妨設(shè)下限為\(\epsilon\)（\(\epsilon\to0^+\)），則\(\int_{\epsilon}^{\sqrt{x}}\frac{1}{y}dy=[\lny]_{\epsilon}^{\sqrt{x}}=\ln\sqrt{x}-\ln\epsilon\)。當(dāng)\(\epsilon\to0^+\)時(shí)，\(\lim\limits_{\epsilon\to0^+}(\ln\sqrt{x}-\ln\epsilon)=+\infty\)，說(shuō)明原積分\(\int_0^{\sqrt{x}}\frac{1}{y}dy\)發(fā)散。我們重新考慮積分順序，將積分區(qū)域\(D\)表示為\(0\leqy\leq2\)，\(y^2\leqx\leq4\)，則\(\iint_D\frac{1}{y}d\sigma=\int_0^2\frac{1}{y}dy\int_{y^2}^{4}dx\)。先計(jì)算內(nèi)層積分\(\int_{y^2}^{4}dx=[x]_{y^2}^{4}=4-y^2\)。再計(jì)算外層積分\(\int_0^2\frac{1}{y}(4-y^2)dy=\int_0^2(\frac{4}{y}-y)dy=\int_0^2\frac{4}{y}dy-\int_0^2ydy\)。\(\int_0^2ydy=[\frac{1}{2}y^2]_0^2=2\)，而\(\int_0^2\frac{4}{y}dy=4[\lny]_0^2\)，同樣\(\ln0\)無(wú)意義，設(shè)下限為\(\epsilon\)（\(\epsilon\to0^+\)），\(\int_{\epsilon}^{2}\frac{4}{y}dy=4[\lny]_{\epsilon}^{2}=4(\ln2-\ln\epsilon)\)，當(dāng)\(\epsilon\to0^+\)時(shí)，\(\lim\limits_{\epsilon\to0^+}4(\ln2-\ln\epsilon)=+\infty\)，說(shuō)明原積分發(fā)散。但是我們注意到\(y\)不能取\(0\)，我們應(yīng)該從一個(gè)很小的正數(shù)\(\delta\)開始積分，將積分區(qū)域\(D\)表示為\(\delta\leqy\leq2\)，\(y^2\leqx\leq4\)（\(\delta\to0^+\)），則\(\iint_D\frac{1}{y}d\sigma=\lim\limits_{\delta\to0^+}\int_{\delta}^{2}\frac{1}{y}dy\int_{y^2}^{4}dx\)。\(\int_{y^2}^{4}dx=4-y^2\)，\(\int_{\delta}^{2}\frac{1}{y}(4-y^2)dy=\int_{\delta}^{2}(\frac{4}{y}-y)dy=4\lny-\frac{1}{2}y^2\big|_{\delta}^{2}\)\(=4\ln2-2-(4\ln\delta-\frac{1}{2}\delta^2)\)當(dāng)\(\delta\to0^+\)時(shí)，\(\lim\limits_{\delta\to0^+}(4\ln2-2-4\ln\delta+\frac{1}{2}\delta^2)=4\ln2-2+\lim\limits_{\delta\to0^+}(-4\ln\delta+\frac{1}{2}\delta^2)\)因?yàn)閈(\lim\limits_{\delta\to0^+}\frac{1}{2}\delta^2=0\)，\(\lim\limits_{\delta\to0^+}(-4\ln\delta)=+\infty\)，所以原積分發(fā)散。若我們考慮積分區(qū)域\(D\)為\(1\leqx\leq4\)，\(0<\delta\leqy\leq\sqrt{x}\)（\(\delta\to0^{+}\)）\(\iint_D\frac{1}{y}d\sigma=\lim\limits_{\delta\to0^{+}}\int_{1}^{4}dx\int_{\delta}^{\sqrt{x}}\frac{1}{y}dy=\lim\limits_{\delta\to0^{+}}\int_{1}^{4}(\ln\sqrt{x}-\ln\delta)dx\)\(=\lim\limits_{\delta\to0^{+}}\left(\int_{1}^{4}\frac{1}{2}\lnxdx-\int_{1}^{4}\ln\deltadx\right)\)\(\int_{1}^{4}\frac{1}{2}\lnxdx=\frac{1}{2}\left[x\lnx-x\right]_1^4=\frac{1}{2}(4\ln4-4-(0-1))=\frac{1}{2}(4\ln4-3)\)\(\int_{1}^{4}\ln\deltadx=\ln\delta(x)\big|_1^4=3\ln\delta\)\(\lim\limits_{\delta\to0^{+}}\left(\frac{1}{2}(4\ln4-3)-3\ln\delta\right)=+\infty\)若我們重新審視，正確做法：\(\iint_D\frac{1}{y}d\sigma=\int_{1}^{