第二章

一元二次方程第11課

一元二次方程章末復(fù)習(xí)一元二次方程一元二次方程的解法直接開平方法：x2=p（p≥0），x=①________配方法：轉(zhuǎn)化→降次→求解公式法(Δ=b2-4ac)當(dāng)b2-4ac≥0時，x=②______根的判別式當(dāng)Δ③______0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根當(dāng)Δ④______0時，方程有兩個相等的實數(shù)根當(dāng)Δ⑤______0時，方程沒有實數(shù)根因式分解法一元二次方程的解與估算一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)

>＝<一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程的應(yīng)用

考點1

一元二次方程的相關(guān)概念

1．

【典例1】若方程(m－2)x|m|－2x＝3是關(guān)于x的一元二次方程，

則m的值為(

B

)A．

2B．

－2C．

±2D．

不存在B

?跟蹤訓(xùn)練

2．

下列方程中，是一元二次方程的是(

C

)A．

ax2＋2x＝1B．

x2＋2y＝2C．

2x－x2＝3D．

x＋

＝4C

3．

若關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0的常數(shù)項為

0，則m＝

?．－1

4．

若x＝2是關(guān)于x的方程ax2－bx＝2的解，則2025－2a＋b的值

為(

B

)A．

2023B．

2024C．

2025D．

2026B

考點2

解一元二次方程

5．

【典例2】解方程：(2x＋3)2＝(3x＋2)2.

解：兩邊開平方，得2x＋3＝±(3x＋2)．∴2x＋3＝－3x－2，或2x＋3＝3x＋2.

解得x1＝－1，x2＝1.

?跟蹤訓(xùn)練

6．

解下列方程：

(1)x2＋4x＋1＝0(配方法)；

(1)解：移項，得x2＋4x＝－1.

配方，得x2＋4x＋4＝－1＋4，即(x＋2)2＝3.

(2)x2－5x＋3＝0(公式法)；

(2)解：這里a＝1，b＝－5，c＝3.∵Δ＝(－5)2－4×1×3＝13＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．

(3)x(x－2)＝2－x(因式分解法)．

(3)解：方程可變形為x(x－2)＋(x－2)＝0.

(x－2)(x＋1)＝0.

x－2＝0，或x＋1＝0.

∴x1＝2，x2＝－1.

考點3

根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系

7．

【典例3】已知關(guān)于x的方程x2＋5x－p2＝0.

(1)求證：無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(1)證明：Δ＝52－4×1×(－p2)＝25＋4p2.∵無論p取何值時，總有p2≥0，∴25＋4p2＞0.∴無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．

(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，當(dāng)x1＋x2＝x1x2時，求p的值．

(2)解：由題意，得x1＋x2＝－5，x1x2＝－p2.

∵x1＋x2＝x1x2，

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8．

一題多問關(guān)于x的方程mx2＋2x＋1＝0.

(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是

?

?；

(2)若方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是

?；

(3)若方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是

?；

(4)若方程無實數(shù)根，則m的取值范圍是

?；m＜1且

m≠0m≤1且m≠0m≤1m＞1

9．

(2024內(nèi)江)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p為常數(shù))有

兩個不相等的實數(shù)根x1和x2.

(1)填空：x1＋x2＝

，x1x2＝

?；

解：(2)∵關(guān)于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p為常數(shù))有兩個不相

等的實數(shù)根x1和x2，

p1

(3)已知x12＋x22＝2p＋1，求p的值．

(3)由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝p，x1x2＝1.

∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1.

∴p2－2＝2p＋1.

解得p1＝3，p2＝－1.

當(dāng)p＝3時，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0；

當(dāng)p＝－1時，Δ＝p2－4＝－3＜0，不合題意，舍去．

∴p＝3.

考點4

一元二次方程的應(yīng)用

10．

【典例4】一農(nóng)戶家承包了一塊矩形荒地，修建了三個草莓種植

大棚，其布局如圖所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，陰影部

分為大棚，其余部分是等寬的通道，大棚的總面積為870平方米，則通道

寬為

?米．1

?跟蹤訓(xùn)練

11．

跨學(xué)科某校生物學(xué)科老師在組織學(xué)生進行野外實踐活動時，學(xué)

生發(fā)現(xiàn)自然界的植物生長具有神奇的規(guī)律．比如某種植物的主干長出若

干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分

支的總數(shù)是43，設(shè)這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)為x，則可列方程

為

?.x2＋x＋1＝43

12．

縣教體局要組織一次籃球賽，賽制為單循環(huán)形式(每兩隊之間都

要賽一場)，計劃安排15場比賽，應(yīng)邀請

?個球隊參加比賽．6

13．

(2024淄博)“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的

關(guān)注度越來越高．某市參加健身運動的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬

人增加到2023年的50萬人．

(1)求該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率；

解：(1)設(shè)該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率為x.

由題意，得32(1＋x)2＝50.

解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合題意，舍去)．

答：該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率為25%.

(2)為支持市民的健身運動，市政府決定從A公司購買某種套裝健

身器材．該公司規(guī)定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超

過100套，每增加10套，售價每套可降低40元．但最低售價不得少于1

000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器

材的套數(shù)．

答：購買的這種健身器材的套數(shù)為200套．

解：(2)根據(jù)題意，得BP＝6－2t，CQ＝t，

矩形的面積為AB·AD＝12.

①當(dāng)0<t≤3時，如圖1，過點Q作QE⊥AB于點E.∴四邊形EBCQ