3．2.2復(fù)數(shù)的乘法3．2.3復(fù)數(shù)的除法明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算.2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律.3.進(jìn)一步理解共軛復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)．1．復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對任意復(fù)數(shù)z1、z2、z3∈C，有交換律z1·z2＝z2·z1結(jié)合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z33.復(fù)數(shù)的除法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.[情境導(dǎo)學(xué)]我們學(xué)習(xí)過實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算及運(yùn)算律，那么復(fù)數(shù)的乘法如何進(jìn)行運(yùn)算，復(fù)數(shù)的乘法滿足運(yùn)算律嗎？探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)乘除法的運(yùn)算思考1怎樣進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法？答兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項(xiàng)式相乘，只要把已得結(jié)果中的i2換成－1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可．思考2復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法有何不同？答復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1.例1計(jì)算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.反思與感悟復(fù)數(shù)的乘法可以按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行，注意選用恰當(dāng)?shù)某朔ü竭M(jìn)行簡便運(yùn)算，例如平方差公式、完全平方公式等．跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.思考3如何理解復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則？答復(fù)數(shù)的除法先寫成分式的形式，再把分母實(shí)數(shù)化(方法是分母與分子同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，若分母是純虛數(shù)，則只需同時乘以i)．例2計(jì)算：(1)eq\f(4－3i,4＋3i)＋eq\f(4＋3i,4－3i)；(2)(eq\f(1＋i,1－i))6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i).解(1)原式＝eq\f(4－3i2,4＋3i4－3i)＋eq\f(4＋3i2,4－3i4＋3i)＝eq\f(16－9－24i,42＋32)＋eq\f(16－9＋24i,42＋32)＝eq\f(7－24i,25)＋eq\f(7＋24i,25)＝eq\f(14,25)；(2)方法一原式＝[eq\f(1＋i2,2)]6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i\r(3)＋\r(2)i,\r(3)2＋\r(2)2)＝i6＋eq\f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝－1＋i.方法二(技巧解法)原式＝[eq\f(1＋i2,2)]6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)ii,\r(3)－\r(2)ii)＝i6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)ii,\r(2)＋\r(3)i)＝－1＋i.反思與感悟復(fù)數(shù)的除法是分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2計(jì)算：(1)eq\f(7＋i,3＋4i)；(2)eq\f(－1＋i2＋i,－i).解(1)eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i.(2)eq\f(－1＋i2＋i,－i)＝eq\f(－3＋i,－i)＝eq\f(－3＋i·i,－i·i)＝－1－3i.探究點(diǎn)二共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用思考1復(fù)數(shù)a＋bi及其共軛復(fù)數(shù)之積是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)？答復(fù)數(shù)a＋bi的共軛復(fù)數(shù)表示為a－bi，由于(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2，所以兩個共軛復(fù)數(shù)之積為實(shí)數(shù)．思考2共軛復(fù)數(shù)有哪些性質(zhì)，這些性質(zhì)有什么作用？答(1)在復(fù)平面上，兩個共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱．(2)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z＝eq\x\to(z)?z∈R，利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)．(3)若z≠0且z＋eq\x\to(z)＝0，則z為純虛數(shù)，利用這個性質(zhì)，可證明一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)．思考3z·eq\x\to(z)與|z|2和|eq\x\to(z)|2有什么關(guān)系？答z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.例3已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，且(3＋4i)z是純虛數(shù)，求z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z).解設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi且|z|＝eq\r(a2＋b2)＝1，即a2＋b2＝1.①因?yàn)?3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是純虛數(shù)，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②由①②聯(lián)立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,5)，,b＝\f(3,5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,5)，,b＝－\f(3,5).))所以eq\x\to(z)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i，或eq\x\to(z)＝－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i.反思與感悟本題使用了復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想，運(yùn)用待定系數(shù)法，化解了問題的難點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3已知復(fù)數(shù)z滿足：z·eq\x\to(z)＋2iz＝8＋6i，求復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和．解設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z·eq\x\to(z)＝a2＋b2，∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－2b＝8,2a＝6))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝1))，∴a＋b＝4，∴復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和是4.1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝1，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A．－i B．iC．－1 D．1答案A解析z＝eq\f(1,i)＝－i.2．已知集合M＝{1,2，zi}，i為虛數(shù)單位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，則復(fù)數(shù)z等于()A．－2iB．2iC．－4iD．4i答案C解析由M∩N＝{4}得zi＝4，z＝eq\f(4,i)＝－4i.3．復(fù)數(shù)eq\f(i－2,1＋2i)等于()A．i B．－iC．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i D．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i答案A4．復(fù)數(shù)z＝eq\f(2－i,2＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析因?yàn)閦＝eq\f(2－i,2＋i)＝eq\f(2－i2,5)＝eq\f(3－4i,5)，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，選D.[呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律．