4.3.1

線段的長短第4章

幾何圖形初步【2025-2026學(xué)年】2024滬科版

數(shù)學(xué)

七年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********4.3.1線段的長短匯報人：[教師姓名]匯報班級：[具體班級]知識回顧上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線的基本事實——“兩點確定一條直線”，知道了經(jīng)過兩點有且只有一條直線。線段作為直線上的一部分，有兩個端點且可以度量長度。本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)如何比較線段的長短，以及線段的另一個重要基本事實。學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握比較線段長短的兩種方法——疊合法和度量法。理解線段的基本事實“兩點之間，線段最短”，并能結(jié)合生活實例說明其應(yīng)用。能運(yùn)用線段長短的比較方法和基本事實解決簡單的幾何問題。培養(yǎng)動手操作能力和空間想象能力，感受幾何知識在生活中的應(yīng)用。知識點：比較線段長短的方法疊合法操作步驟：將兩條線段的一個端點重合，使另一個端點落在重合端點的同一側(cè)。觀察兩條線段另一個端點的位置關(guān)系：如果一條線段的另一個端點落在另一條線段上，那么這條線段較短。如果兩條線段的另一個端點重合，那么這兩條線段相等。如果一條線段的另一個端點落在另一條線段的延長線上，那么這條線段較長。示例：比較線段AB和線段CD的長短，將點A與點C重合，使點B和點D在點A（點C）的同一側(cè)。若點B落在CD上，則AB＜CD；若點B與點D重合，則AB=CD；若點B落在CD的延長線上，則AB＞CD。注意事項：使用疊合法時，兩條線段的擺放要規(guī)范，確保一個端點重合且另一個端點在同一側(cè)，避免因擺放不當(dāng)導(dǎo)致判斷錯誤。度量法操作步驟：用刻度尺分別測量出兩條線段的長度（單位要統(tǒng)一）。比較兩條線段長度的數(shù)值大?。簲?shù)值大的線段較長，數(shù)值小的線段較短，數(shù)值相等則線段相等。示例：用刻度尺測量得線段EF的長度為5cm，線段GH的長度為3cm，因為5cm＞3cm，所以EF＞GH。優(yōu)缺點：優(yōu)點：度量法可以得到線段長度的具體數(shù)值，比較結(jié)果更精確。缺點：需要借助測量工具（如刻度尺），且測量結(jié)果可能存在一定的誤差。知識點：線段的基本事實內(nèi)容兩點之間的所有連線中，線段最短。簡單說成：兩點之間，線段最短。含義解讀“兩點之間，線段最短”表明在連接兩個點的所有可能的線（如折線、曲線、線段等）中，線段的長度是最短的。這條線段的長度叫做這兩點之間的距離。例如，從點A到點B，無論走折線ACB還是曲線ADB，其長度都大于線段AB的長度，只有線段AB的長度是最短的。知識點：線段基本事實的應(yīng)用“兩點之間，線段最短”這一基本事實在生活中有著廣泛的應(yīng)用，以下是一些常見實例：道路修建：在修建連接兩個城市的道路時，人們通常會盡量選擇直線距離修建，以縮短路程，節(jié)省時間和成本。例如，兩個城市之間有山脈或河流，人們會開鑿隧道或修建橋梁，使道路盡可能接近線段形狀。交通路線選擇：人們出行時，在規(guī)劃路線時往往會選擇距離最短的路線。比如，從家到學(xué)校，我們會選擇走直線距離的街道，而不是繞遠(yuǎn)路。拉線最短：在農(nóng)村，人們晾曬衣物時，會在兩個固定點之間拉一根繩子，因為這樣繩子的長度最短，能晾曬更多的衣物。植物生長：植物的根在土壤中生長時，會沿著最短的路徑向有水分和養(yǎng)分的地方延伸，體現(xiàn)了“兩點之間，線段最短”的原理。例題解析例1：如圖，比較線段AB、AC、AD的長短，并指出其中最短的線段。A||B——C——D解：使用度量法，用刻度尺測量可得：AB=3cm，AC=5cm，AD=7cm。因為3cm＜5cm＜7cm，所以AB＜AC＜AD，其中最短的線段是AB。也可以使用疊合法：將點A重合，觀察B、C、D的位置，點B在AC和AD上，點C在AD上，所以AB最短。例2：如圖，從點A到點B有三條路線：①A→C→B；②A→D→B；③A→B。哪條路線最短？為什么？A||CD||||B解：路線③A→B最短。因為根據(jù)線段的基本事實“兩點之間，線段最短”，點A和點B之間的所有連線中，線段AB的長度最短，而路線①和②都是折線，長度都大于線段AB的長度。例3：已知線段AB=5cm，線段CD=3cm，線段EF=5cm，比較這三條線段的長短，并說明理由。解：因為AB=5cm，EF=5cm，所以AB=EF；又因為5cm＞3cm，所以AB=EF＞CD。理由是通過度量法得到三條線段的長度，根據(jù)長度數(shù)值的大小進(jìn)行比較。小練習(xí)填空題：（1）比較線段長短的方法有______和______。（2）兩點之間的距離是指______。（3）“兩點之間，______”是線段的基本事實，它表明在連接兩個點的所有連線中，______最短。選擇題：（1）下列說法正確的是（

）A.過兩點的直線越長，兩點之間的距離越大B.兩點之間的線段就是兩點之間的距離C.兩點之間的距離是兩點之間線段的長度D.兩點之間的曲線長度是兩點之間的距離（2）如圖，從點P到點Q的四條路線中，最短的路線是（

）P||AB||||CD||||QA.P→A→C→QB.P→B→D→QC.P→A→D→QD.P→B→C→Q簡答題：（1）用疊合法比較你手中直尺的兩條鄰邊的長短。（2）生活中還有哪些現(xiàn)象體現(xiàn)了“兩點之間，線段最短”？請舉例說明。思考討論線段的長短比較與直線、射線的長短比較有什么不同？線段有兩個端點，可以度量長度，因此可以通過疊合法和度量法比較長短；而直線沒有端點，射線只有一個端點，它們都可以無限延伸，無法度量長度，所以不能比較直線和射線的長短?！皟牲c之間，線段最短”與“兩點確定一條直線”有什么區(qū)別？“兩點之間，線段最短”強(qiáng)調(diào)的是連接兩個點的所有連線中，線段的長度最短，描述的是線段的性質(zhì)；“兩點確定一條直線”強(qiáng)調(diào)的是經(jīng)過兩個點有且只有一條直線，描述的是直線的性質(zhì)。兩者都是幾何中的基本事實，但側(cè)重點不同。課堂小結(jié)比較線段長短的方法：疊合法：將兩條線段的一個端點重合，觀察另一個端點的位置關(guān)系進(jìn)行比較。度量法：用刻度尺測量出線段的長度，根據(jù)長度數(shù)值比較。線段的基本事實：兩點之間，線段最短。這條線段的長度叫做兩點之間的距離。應(yīng)用：比較線段長短的方法在幾何作圖和計算中經(jīng)常用到；“兩點之間，線段最短”在道路修建、路線選擇等生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們掌握了比較線段長短的方法和線段的基本事實，進(jìn)一步加深了對線段的認(rèn)識，為后續(xù)學(xué)習(xí)線段的和差等知識奠定了基礎(chǔ)。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解如圖，兩支筆放在一起，哪支長？新課導(dǎo)入你是怎么比較的？觀察怎樣比較下列兩條線段AB與CD的長短呢？ABCD可以采用度量法和疊合法.新知探究知識點1線段的長短比較度量法:利用刻度尺分別量出兩條線段的長度，再進(jìn)行比較.ABCD疊合法：將AB、CD放在同一條直線上，使端點A與C重合，端點B與D落在A的同側(cè).位置圖形線段AB與CD的關(guān)系記作點D與B重合線段AB等于線段CDAB=CD點D在A，B兩點之間線段AB大于線段CDAB＞CD點D在AB的延長線上線段AB小于線段CDAB＜CDAB(C)(D)AB(C)DAD(C)B注意：(1)度量法一般采用相同的測量標(biāo)準(zhǔn),單位統(tǒng)一,精確度一致.(2)疊合法必須保證兩個前提：一是兩條線段放在同一條直線上;二是使它們的一個端點重合,另一個端點落在同一側(cè)(操作要點:共端點,同方向,疊一起,比長短).如圖，已知線段a

和

b，且

a＞b.ab（1）AB=a，BC=b，則線段AC就是a與b的______，記作___________.ABC和AC=a+b如圖，已知線段a

和

b，且

a＞b.ab（2）AB=a，BD=b，則線段AD就是a與b的______，記作____________.AB差A(yù)D=a-bD知識點2線段的尺規(guī)作圖例

1

如圖，已知線段a，畫一條線段AB，使得AB=a.a方法一用刻度尺量出a的長度，再在一條直線上畫出一條線段AB=a.例

1

如圖，已知線段a，畫一條線段AB，使得AB=a.a方法二我們也可以只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫．這種只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖的方法稱為尺規(guī)作圖.例

1

如圖，已知線段a，畫一條線段AB，使得AB=a.a作圖步驟如下:（1）作直線l，如圖.（2）在直線l上任取一點A，以點A為圓心，以線段a的長度為半徑畫弧，交直線l于點B．線段AB即為所求作的線段.例

2

已知：線段a，b（a＞b），如圖，作一條線段AB，使得：（1）AB=2a；（2）AB=a-b.ab作法（1）作射線AM．在射線AM上順次截取AC=CB=a.線段AB=2a即為所求作的線段.AMCB例

2

已知：線段a，b（a＞b），如圖，作一條線段AB，使得：（1）AB=2a；（2）AB=a-b.ab（2）作線段AN=a．在線段NA上截取NB=b.則線段AB=a-b即為所求作的線段.ANB練習(xí)1.比較各圖中線段AB與CD的長短.（1）（2）ABCDCDABCD＞ABAB＝CD【教材P150練習(xí)第1題】2.如圖，C，D是線段AB上不同的兩點，那么：（1）AC=_______-DC，BD=______-CD;（2）AC=_______-BC，BD=______-AD;（3）AB=_______+______+_______.ADABCDBCABABACDBCD【教材P150練習(xí)第2題】3.如圖，已知線段a，b，作線段AB，使得：（1）AB=a+b;（2）AB=2a-b.解:（1）如圖所示.作法:①作射線AM.②在射線AM上順次截取AC=a,CB=b.線段AB=a+b即為所求作的線段.abAMCB【教材P150練習(xí)第3題】3.如圖，已知線段a，b，作線段AB，使得：（1）AB=a+b;（2）AB=2a-b.（2）如圖所示.作法:①作射線AM.②在射線AM上順次截取AD=DC=a,在線段CA上截取CB=b.線段AB=2a-b即為所求作的線段.AMDCabB【教材P150練習(xí)第3題】1.如圖，下列關(guān)系式中與圖形不符的式子是（）A.AD-CD=AB+BCB.AC-BC=AD-BDC.AC-AB=AD-BDD.AD-AC=BD-BCC隨堂練習(xí)2.尺規(guī)作圖是指（）A.用直尺規(guī)范作圖B.用刻度尺和圓規(guī)作圖C.用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖D.用量角器和圓規(guī)作圖C3.如圖，己知線段a>b，求作線段a-b.作法:畫射線AM，在射線AM上截取AB=a，在線段AB上截取BC=