專題一集合中的新定義重點練

2026年高考數(shù)學復習備考

一、單選題

1.若對任意xeA,-eA,則稱A為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（）

X

A.{1,3}B.{-1,0,1}

C.{x|x>l}D.{x|x>0）

2.對于數(shù)集A,B,定義4+5=,

A^B=Ux=^,aeA,b^B\,若集合A={1,2},則集合（A+A）-A中所有元素之和為（）

15c23

A.5B.c"D.——

~22

3.在集合{a,b,c,d}上定義兩種運算十和0如下：

?abcd?abed

aahcdaaaaa

bbbbbbabed

ccbcbcacca

ddbbddadad

那么d?（。十c）=

A.aB.bC.cD.d

4.設集合/={1,3,5,7},若非空集合A同時滿足：①Aq/；②card（A）<min（A）（其中wd（A）表示

A中元素的個數(shù)，min（A）表示集合A中最小的元素），稱集合A為/的一個“好子集”，貝〃的所有“好

子集，，的個數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

5.已知/={（x,y）|y="og2XT+LlVxV2,0Vr〈l}是平面直角坐標系中的點集.設d是M中兩

點間距離的最大值，左是M中的點與原點0連線的斜率，S是M表示的圖形的面積，給出下列四個

結(jié)論：①（也,￡|eM；②d=0；③kc0,1；?S<1.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

6.中國剩余定理又稱“孫子剩余定理”，它是中國古代史上最有創(chuàng)造性的成就之一，其中“韓信點兵”“物

不知數(shù)”等問題的解法在數(shù)論中有相應的推廣，數(shù)論中的。三6（mod〃）形式表示。和6除以〃的余數(shù)相

同.已知集合A,B,C滿足A={〃|〃=2（mod3）/wN*},8={〃山〃三l（mod4）,〃zeN*},C=A^}B.對

于集合C中的任意一個元素C,下列結(jié)論錯誤的是（）

A.c=2（mod3）B.c=l（mod4）C.c=5（mod7）D.c=5（modl2）

7.我們把一些向量構成的集合稱為線性空間，設/是線性空間V到自身的一個變換，將V中所有能

被/變換為零向量的向量組成的集合稱為變換了在丫上的核，記作個r了.已知線性空間

F=1（x,sin7t￥）|0<x<20},對任意力=（“Me/7,變換。滿足。伍）=（cos?+l,—^）,則埠r。中的

2u—2

元素個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

8.設集合S,T,SUN*,TUN*,S,T中至少有兩個元素，且S,T滿足：

①對于任意x,y^S,若天分，都有孫?T

②對于任意尤，yeT,若x<y,則上eS；

x

下列命題正確的是（）

A.若S有4個元素，則SUT有7個元素

B.若S有4個元素，則SUT有6個元素

C.若S有3個元素，則SUT有5個元素

D.若S有3個元素，則SUT有4個元素

二、多選題

9.設U是一個非空集合，尸是U的子集構成的集合，如果尸同時滿足：①②若產(chǎn)，

則4小（63）€b且AuBc廠，那么稱歹是U的一個環(huán).則下列說法正確的是（）

A.若。={123,4,5,6},則尸={0,{1,3,5},{2,4,6},。}是。的環(huán)

B.若。={。,瓦。},則存在U的一個環(huán)尸，產(chǎn)含有8個元素

C.若。=2,則存在U的一個環(huán)尸，尸含有4個元素且{2},{3,5}e歹

D.若〃=1{,則存在U的一個環(huán)產(chǎn)，尸含有7個元素且[0,3],[3,5]e尸

10.已知集合/={團4=（尤,y）,尤,yeR},若對于任意前，為e/,以及任意4e[0,l],滿足

2/7z+（l-A）ne/,則稱集合/為“一字集”，記C={X|X為“一字集”},則下列說法正確的是（）

A.[a\a^（x,y）,x2+y2<l|eQ

B.{知,=（x,y）,y2尤e?eO

C.若且Aplbw。，則AcBwO

D.若AcO,貝|{引B=2日+（3,4）,萬￡A}EQ

11.群論，是代數(shù)學的分支學科，群的定義如下：設G是一個非空集合，“?”是G上的一個代數(shù)運算，

如果該運算滿足以下條件：①對任意的有。力eG；②對任意的a,6,ceG,有

（a-Z>）-c=o-（Z?-c）；③存在ewG,使得對任意的aeG,有e-a=a-e=a,e稱為單位元；④對任意

的aeG,存在Z?eG,使。力="。=6,稱。與b互為逆元.則稱G關于“?”新構成一個群.則下列

說法正確的有（）

A.G={T,l,-i,i}（i為虛數(shù)單位）關于數(shù)的乘法構成群

B.有理數(shù)集Q關于數(shù)的加法構成群

C.G={a+。"力eZ}關于數(shù)的除法構成群

D.正實數(shù)集R+關于數(shù)的乘法構成群

三、填空題

12.設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b￡P,都有a+b、a-b、ab、￡ep（除數(shù)b用）

b

則稱P是一個數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是數(shù)域，有下列命題：

①數(shù)域必含有0,1兩個數(shù)；

②整數(shù)集是數(shù)域；

③若有理數(shù)集Q=M,則數(shù)集M必為數(shù)域；

④數(shù)域必為無限集.

其中正確的命題的序號是.（填上你認為正確的命題的序號）

13.已知集合A={《,02,%凡},其中a”N*,l<i<n,n>2./（A）表示％+勺（1<i〈廠”）中所

有不同值的個數(shù).若集合A={1,2,3,4},則/（A）=；若集合8={2,4,8…,2"},則/（3）=.

四、解答題

14.已知數(shù)列{4},記集合T={s（i"）|S（i,/）=q+-+…+對于有限數(shù)列3,

7,2,9,寫出集合T；

15.已知集合5={0,1,2,…，5"}（"cN*）,集合T=S,記T的元素個數(shù)為|T|.若集合T中存在

三個元素a,b,c（a<b<c）,使得c+2a>3b,則稱T為“理想集”.

⑴若〃=1,分別判斷集合[={0,2,3,5},T2=[0,1,2,5}是否為“理想集”，并說明理由；

⑵若”=1,寫出所有的“理想集”7的個數(shù)并列舉；

（3）若|T|=4〃+2,證明：集合T必為“理想集”.

16.對于非空數(shù)集S,T^\\x-y\\x,yeS},若T=S,則稱數(shù)集S具有性質(zhì)

⑴若數(shù)集S具有性質(zhì)證明：OeS；判斷H={0,1,2,3},S?={0,1,2,5}是否具有性質(zhì)“，并說明

理由

⑵若5={4&，4,…(心3)滿足①％=0；②Vi,/eN*,當?時，都有4<與.

(i)判斷“數(shù)集S具有性質(zhì)是否是“數(shù)列{g}為等差數(shù)列”的充要條件，并說明理由；

(ii)已知數(shù)集S具有性質(zhì)〃且g=10%,A=S,求數(shù)集A具有性質(zhì)/的概率.

17.已知集合S,={1,2,3,…,2〃}(〃eN*,〃")，對于集合S“的非空子集A,若S“中存在三個互不相同

的元素a,b,c,使得"6+c,c+a均屬于A,則稱集合A是集合S”的“期待子集”.

⑴試判斷集合A={3,4,5},4={3,5,7}是否為集合見的“期待子集”；(直接寫出答案，不必說明理由)

(2)如果一個集合中含有三個元素％y,z,同時滿足①x<y<z,②x+y>z,③x+y+z為偶數(shù).那么稱

該集合具有性質(zhì)尸.對于集合S,的非空子集A,證明：集合A是集合S,的“期待子集，，的充要條件是集

合A具有性質(zhì)P.

18.已知集合”={1,2,…㈤，“eN*,A、B是M的非空子集.記集合A+8={(x+y)除以〃的余數(shù)

若正整數(shù)“滿足：存在非空集合A、B,使得A+3兩兩的交集為空集，且

AU3U(A+B)={O,L2,…，〃一1},貝IJ稱〃為“好的”.

(1)設4={1},B={2,4},當〃=5時，求A+3,并直接判斷〃=5是否為“好的”；

⑵證明：〃=8是“好的"，”=16是“好的”；

(3)求所有“好的”正整數(shù).

19.設〃為正整數(shù)，集合A={a|tz=(r"2,…/4),&e{0,l},左=1,2,…，疥.對于集合A中的任意元素

a=(菁,々,…,%)和/?=(%,%,???,%)，記

M(a,P)=5[(罰+y_,一必|)+卜2+%-|尤2-%|)+-+(斗+%-民-%|)].

(I)當〃=3時，若a=(l,l,0),尸=(0,1,1),求M(%。)和M(%￡)的值；

(II)當”=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素d?，當a,尸相同時，M(?,/3)

是奇數(shù)；當a,尸不同時，M(a)/3)是偶數(shù).求集合8中元素個數(shù)的最大值；

(III)給定不小于2的〃，設B是A的子集，且滿足:對于8中的任意兩個不同的元素a,￡,M(a,夕)

=0.寫出一個集合8,使其元素個數(shù)最多，并說明理由.

參考答案

題號12345678910

答案DDABCCCAABCACD

題號11

答案ABD

1.D

【分析】對于ABC：舉反例說明即可；對于D：分局題意分析即可.

【詳解】對于選項A：因為3e{l,3},但;e{1,3},不符合題意，故A錯誤;

對于選項B：因為Oe{-1,0,1},但"無意義，不符合題意，故B錯誤；

對于選項C：例如2e{尤|尤）1},但;0國力1},不符合題意，故C錯誤，

對于選項D：對任意xe{x|x〉0},均有符合題意，故D正確；

故選：D.

2.D

【分析】根據(jù)集合的新定義求出A+A和（A+A）+A,即可求出元素之和.

【詳解】根據(jù)新定義，集合A={1,2},則A+A={2,3,4},

貝!］（A+A）+A=”,2,3,4,1,,則可知所有元素之和為

故選：D

3.A

【詳解】d便（。十。）==a

4.B

【分析】結(jié)合“好子集”的定義，分c"d（A）=l,2,3三種情況即可.

【詳解】當wd（A）=l,即集合A中元素的個數(shù)為1時,A的可能情況為{1},{3},{5},{7}；

當劭利4）=2,即集合A中元素的個數(shù)為2時，A的可能情況為{3,5},{3,7},{5,7}；

當wd（A）=3,即集合A中元素的個數(shù)為3時，A的可能情況為{3,5,7},

綜上所述，I的所有“好子集”的個數(shù)為8.

故選：B

5.C

【分析】由/={（尤,y）|y=flog2xT+l,14尤42,04/41},可作出符合題意點集的區(qū)域，根據(jù)區(qū)域即

可得出結(jié)論.

【詳解】對于①代入可得;"log2應—+l=-?+lnr=l符合題意，故①正確；

?/V=Mog2尤t+1對Vf《0』恒過點A（2,l）,

111

當，=1時，J=10g2X,當"5時，y=-\Og2x+-,當，=0時，y=lf

由此我們可知M的點集是由曲線繞A點往上直到C（u）點掃過的區(qū)域，如圖：

J=|AB|=72,故②正確；

kmax=Me-1,%n=。，攵￡[。,1],故③錯誤；

有圖易得S<<A8C=；，故④正確.

故選：C.

6.C

【分析】根據(jù)同余的定義式，分別求出集合中元素滿足的式子，進而得到集合C,再利用同余的

定義式檢驗ABD選項，最后取特殊值c=17,檢驗C選項.

【詳解】因A={川〃三2（mod3）,〃wN*},貝|=3仁一1/￡N*,

因B=fm|m=l（mod4）,mG,則加=442-3,k2GN*,

又〃=3（左1+2）—7溫GN*,zn=4（k2+1）—7,7wN*,

則C={cJc;）=12p_7,peN*}

又Cp=12/7-7=3（4p-3）+2,則c三2（mod3）,故A正確；

Cp=12p—7=4（3p—2）+1,貝i]c三l（mod4）,故B正確；

Cp=12。一7=12（“-1）+5,貝ijc三5（modl2）,故D正確；

不妨取c=17,不滿足c三5（mod7）,故C錯誤.

故選：C.

7.C

【分析】根據(jù)給定條件，求出9(尸)，再求出9(尸)中零向量個數(shù)即可得解.

【詳解】對任意商=(",V)￡尸，。⑷=(COS—+1,—^―)且尸={(X,sin7ix)10<X<20},

2u—2

?./「、</TUCrsinTLX、I八cc、A71%rc,口Jix,

貝ij以方)={(cos——+1,----)10<<20},令cos——+1=0,得cos——=-1,

'2x—222

TTY

則一=(2左+1)兀keZ,得％=4左+2,左￡Z,X0<x<20,貝lj%￡{2,6,10,14,18},

2

SinTTYfsilULV=0

令^L=o,得1,解得m=E,ZcZ,且XW2,即》=上歡?2且刀w2,

x-2[x-2^0

X0<x<20,因止匕xw{0,1,3,4,5,…,20},

于是變換。將/中的元素變換為零向量的xe{6,10,14,18},

所以耳r。中的元素個數(shù)為4.

故選：C

8.A

【分析】分別給出具體的集合S和集合T,利用排除法排除錯誤選項，然后證明剩余選項的正確性即

可.

【詳解】首先利用排除法：

若取S={1,2,4},則7={2,4,8},止匕時SUT={1,2,4,8},包含4個元素，排除選項C；

若取S={2,4,8},則7={8/6,32},此時SUT={2,4,8,16,32},包含5個元素，排除選項。；

若取5={2,4,8,16},則7={8,16,32,64,128},止匕時SUT={2,4,8,16,32,64,128},包含7個元素，排

除選項8；

下面來說明選項A的正確性：

設集合S={Pi，P2，n，Pj，且Pl<P2Vp3Vp4，P1，P2，P3，P4eN*,

則PM2Vp血，且則%"CS,

Pi

同理莊eS,包eS,,4wS,,

PiP3PiPlPl

若Pl=l，貝則上<〃3，故與二〃2即〃3=P；，

PlPl

又P4>%■>■■>1,故久■二與二。2，所以P4=P]，

PlP3P3Pl

故5={1,04,同},此時區(qū)￡丁,22￡丁，故p；￡S,矛盾，舍.

若P1N2,則上V/<03,故衛(wèi)二。2，衛(wèi)=〃1即P3=P；，P2=/，

PlPlPlPl

又p4＞星＞區(qū)＞區(qū)＞1,故&=與=,1，所以〃4=訴，

Pl夕2P3〃3P1

故5={0,°；山,武},此時{p；,p：,p；,*p；}uT.

若qeT,則￡wS,故4=p；,i=l,2,3,4,故好p-、l,2,3,4,

PiPi

即4e{p：，P；，P：，P：}，故{P：，P；，P：，P：}=T,

此時$口7={R,4方,，,/：,短",“}即5舊中有7個元素.

故A正確.

故選：A.

【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新

定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，

透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不

變應萬變才是制勝法寶.

9.ABC

【分析】利用題設中的信息，集合的交集、并集的運算，以及集合間的關系，逐項判定，即可求解.

【詳解】由題意知：①尸，②若則/且AuBe尸,

對于A,全集。={1,2,3,4,5,6}且尸={0,{1,3,5},{2,4,6},。},

滿足戶且當ABe尸時，可得且尸，所以A正確；

對于B,由于的子集}={0,{a},,{c},{a,6},{a,c},{Z?,c},{a,O,c}},共8個元素,

若F是U的子集構成的集合，所以集合尸有8個元素，所以B正確；

對于C,若{2}",{3,5}“,可得{2}u{3,5}={2,3,5}

所以{2}口{3,5}={2,3,5}e/={0,{2},{3,5},{2,3,5}}是個環(huán),其中產(chǎn)中含有4個元素，所以C正確;

對于D,^[0,3]GF,[3,5]eF,

可得[0,3]門4[3,5]=[0,3)€/，[3,5]門旗[0,3]=(3,5]€尸，[3,5]o[0,3]=[0,5]eF,

[0,3]n[0,3)={3}GF,[0,5]n{3}=[0,3)u(3,5]eF,且0e尸,

所以集合廠中至少有8個元素，所以D錯誤.

故選：ABC.

10.ACD

【分析】理解“一字集”的定義，根據(jù)該內(nèi)涵對每個選項進行分析判斷.

【詳解】對于選項A：

任取兩點帚,萬在該單位圓內(nèi)，

則線段/I沅+。-％）萬的所有點均滿足1+丁41,

因此屬于該集合，A正確.

對于選項B：

取特殊值進行排除，假設兩點（。,0）,。,e）,令彳=0.5,

則它們的中點不滿足y20.5e°J,所以B錯誤.

對于選項C:

設施為eAc3,因為AwO,

所以對于任意Xe[。』],滿足力而+。一%）萬eA.

又因為Bed所以對于任意Xe[0,l],滿足4所+（1-4）河e氏

所以X初.+（1-；I）為eAc3,所以AcBcd所以C正確.

對于選項D：

若AeQ,設/力eA,瓦=2/+（3,4）,￡=2萬+（3,4）.

那么疝+（1_彳）￡=/1（2沅+（3,4））+（1_孫2為+（3,4））=2（麗+（1-4）@+（3,4）.

因為AeQ,所以沏z+（l-X）萬eA.

則2（2應+（1—/1）力）+（3,4）e{方出=2N+（3,4）,萬eA}.

所以選項D正確.

故選：ACD.

11.ABD

【分析】依據(jù)群的定義，對每個選項中的集合和相應運算進行逐一分析，判斷是否滿足群的四個條件,

進而確定該集合關于給定運算是否構成群.

【詳解】對于A選項：

因為G=可以計算里面任意兩個元素的乘積結(jié)果都屬于集合G.

因為數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，對于復數(shù)也不例外.

存在e=leG,對于X/aeG,當a=-l時，lx（-l）=（-l）xl=-1.

當a=i時，lxi=ixl=i;當a=-i時，lx（-i）=（-i）xl=-i.

集合G也滿足逆元，關于數(shù)的乘法能夠構成群，所以A選項正確.

對于B選項：

對于任意兩個有理數(shù)，它們的和仍為有理數(shù)；有理數(shù)的加法也滿足結(jié)合律.

存在e=OeQ,對于VaeQ,有0+。=。+0=。.

對于任意的“eQ,存在6=-oeQ,使得a+(-a)=(-a)+a=O.

所以有理數(shù)集Q關于數(shù)的加法構成群，B選項正確.

對于C選項：

取a=0,b=l,a+&=6,"叵無意義，不滿足對任意的a”eG=[a+@|a,beZ

有"叵eG(ceG),所以不滿足封閉性，C選項錯誤.

C

對于D選項：

任意兩個正實數(shù)的乘積仍然是正實數(shù)；實數(shù)的乘法滿足結(jié)合律.

對于任意的aeR+,存在^=—eR+使得a—=—a=1.

aaa

滿足。6=6a=e.所以D選項正確.

故選：ABD.

12.①④

【詳解】解：當a=b時，a-b=O、ab=iep,故可知①正確.

當a=l,b=2,1《Z不滿足條件，故可知②不正確.

對③當M中多一個元素i則會出現(xiàn)l+i《M所以它也不是一個數(shù)域；故可知③不正確.

根據(jù)數(shù)據(jù)的性質(zhì)易得數(shù)域有無限多個元素，必為無限集，故可知④正確.

故答案為①④.

【分析】(1)直接利用定義把集合A中的元素代入即可求出/(A)；

(2)先由。,+%(1口<八")最多有個值，可得/(8)4當力；再利用定義推得所有

ai+aj(\<i<j<ri')的值兩兩不同，即可證明結(jié)論.

【詳解】由1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6,3+4=7,得/(A)=5；

???4+?yd<，<JV")最多有C：=山二^個值，

〃2

.?"(8)4-4」，

又集合8={2,4,8,…,2"},任取生+%,ak+al(l<i<j<n,l<k<I<n),

當時，不妨設/</,則q+%<2%=2'<勾<%+q,

即q+aj^ak+at,

當j=/,iw化時,q+%w+q,

???當且僅當，=左,/=/時，6+%=%+巧，

即所有ai+aj(Wv/?ri)的值兩兩不同,

n(n-l]

故Ir答案為：5；------

2

14.T={9,10,11,12,18,21}

【分析】根據(jù)題意給出的集合T新定義，即可得出答案.

【詳解】由題，設％=3,%=7,。3=2,4=9,按照相鄰兩項，三項，四項分類列舉如下:

4+%=10,%+〃3=9,a3+a4=ll,

%+。2+。3=12,a2+a3+a4=lSfq+%+%+&=21,

所以T={9,10,11,12,18,21}；

15.(1)7/不是“理想集”，乃是“理想集”，理由見解析

⑵答案見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，分別取集合中的三個數(shù)，利用列舉法，可得答案；

(2)利用分類討論的思想，根據(jù)集合的元素個數(shù)，結(jié)合元素的大小關系，可得答案；

(3)利用反證法，任意取三個元素，假設不等式成立，結(jié)合元素之間的大小關系，可得答案.

【詳解】(1)(不是“理想集”，心是“理想集”.

由題意，令a=0,b-2,c=3,貝！13+2x0<3x2；

令a=0,b=2,c=5,則5+2x0<3x2；

令a=0,b=3,c=5,貝l]5+2x0<3x3；

令a=2,b=3,c=5,則5+2x2=3x3；所以(不是“理想集

令a=l,b=2,c=5,貝!|5+2xl>3x2,所以心是“理想集”.

(2)共16個“理想集”.

若〃=1,有5={0,1,2,3,4,5).

當|T|=3時，若。=0,貝!J6N1,由c+2a>3%可知<?>3匕23,

故3,c)=(l,4)或(1,5)；

若a=l,貝!J622,由c+2a>36可知c+2>3/?26,貝！]4<c?5,故S,c)=(2,5).

故含有三個元素的“理想集"T={0,1,書，{0,1,5}或{1,2,5),共3個.

當|T|=4時，T={0,1,2,4),{0,1,3,4),{0,1,2,5),[0,1,3,5},{0,1,4,5},{1,

2,3,5}或[1,2,4,5},共7個.

當|7|=5時，T={0,1,2,3,4},{0,1,2,3,5),(0,1,2,4,5),(0,1,3,4,5),{1,

2,3,4,5),共5個.

當|7|=6時，T={0,1,2,3,4,5),共1個.

綜上所述，所有“理想集”T的個數(shù)為16個分別為：{0,1,4},{0,1,5},口，2,5},{0,I,2,

4),{0,1,3,4),(0,1,2,5},{0,1,3,S},{0,1,4,5},{1,2,3,5),(1,2,4,5},

(0,1,2,3,4},{0,1,2,3,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},{1,2,3,4,5),(0,

1,2,3,4,5).

(3)證明：若[7|=4〃+2,記7={占，％,…，匕用}且<%<…<%+245".

利用反證法，假設對于T中任意三個元素。，b,c(a<b<c),均有c+2aV3b,

則3/1Nx4n+2+2%,z=1,2,…，4”.

24

記%=x4n+2-Xi>0,于是yM<|y;,則y4n+l<|y4?<(|)y4?_,<???<(|)"%,

4，，

因此1<y4n+1<(1)(X4?+2-X1)<A'(5"-0)=A'<1,矛盾.

Jolol

故集合T必為“理想集”.

16.(1)證明見解析；5具有性質(zhì)M；S?不具有性質(zhì)

7

(2)(i)是，理由見解析；(ii)—.

【分析】(1)令％=上由集合新定義可證明；由集合新定義判斷可得；

(2)(i)由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合集合新定義證明可得；

(ii)由等差數(shù)列的性質(zhì)得到數(shù)列{4}的通項，再結(jié)合集合新定義分集合中元素的個數(shù)討論，最后由

古典概率計算可得.

【詳解】(1)令彳=>,則OeT,又數(shù)集S具有性質(zhì)即T=S,所以OeS.

H={0,1,2,3},7；={|無一訓x,yeSJ={0,1,2,3}=￡,所以&具有性質(zhì)河；

S2={0,l,2,5},4e7；=||x-y||x,yeS2),所以T^S?,所以S?不具有性質(zhì)M.

(2)(i)“數(shù)集S具有性質(zhì)是否是“數(shù)列{%}為等差數(shù)列”的充要條件.

先證明必要性：由題知，數(shù)列{”,}單調(diào)遞增，當其為等差數(shù)列時，設公差為4,則

%=4+(〃—1”=(〃一1”,

則5={0“,2a..，5-1)力，顯然T=S,所以數(shù)集S具有性質(zhì)Af.

再證明充分性：顯然。廠的6/，其中i=3,4,有”一2個元素，OeT,an-0=a?eT,

又0<%-%<%一的<4,數(shù)集S具有性質(zhì)M,即S=T,

則{0,%,%,…,%_1，4}={0,%-%,%—%,一?,瑪一02，q}，所以卬一%=q_1，(7=3,4,...,〃)，

所以@一生_1=<72,(z=3,4,...,n),又見-%=a2,

所以數(shù)列{%}是以。為首項，出為公差的等差數(shù)列.

綜上，“數(shù)集S具有性質(zhì)M”是否是“數(shù)列{??}為等差數(shù)列”的充要條件.

(ii)由(i)知數(shù)列{?！皚是以0為首項，出為公差的等差數(shù)列，即為=("-1)心

由見=100知5={0,42〃,…-1”},共有11個元素，子集數(shù)為"個，

A=S,當A中只有一個元素，且具有性質(zhì)M時，A={0},共1個；

當A中元素個數(shù)大于等于2,且具有性質(zhì)M時，記4=%也,…也}在<%《??<4,

結(jié)合(i),

當時，則人={0,力，A={0,d,2d},…,A={0,d,2d,…,10d},共10個；

當仇=2"時，則4={0,2力，A={0,2d}r..,A={0,2d,44,6d,8d,10d},共5個;

當偽=3d時,則4={0,3力，A={0,3d,6d},A={0,3d,6d,9d},共3個;

當么=4d時，則4={0,4力，A={0,4d,8d},共2個；

當優(yōu)=5d時，貝|A={0,5d},A={0,5d,10d},共2個；

當仇=61時，則4={0,6力，共1個;

當么=7"時，則4={0,7力，共1個;

當N=8d時，則4={0,8力，共1個;

當d=9d時，則4={0,9力，共1個；

當4=10d時，則4={0,104},共1個；

綜上，具有性質(zhì)M的集合A共有28個，所以數(shù)集A具有性質(zhì)M的概率為備=*.

17.(1)4是集合S」的“期待子集，，，人不是集合&的“期待子集”

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)所給定義判斷即可.

(2)先證明必要性，再證明充分性，結(jié)合所給“期待子集”的定義及性質(zhì)尸的定義證明即可;

【詳解】(1)因為邑={123,4,5,6,7,8},

a+b=34=2

解得}=1,顯然IES,，2G5,3E5

對于集合A={3,4,5},令<b+c=4,44

c+a=5c=3

所以A是集合的“期待子集”;

%=3

對于集合4={3,5,7},令<々+。=5,則q+4+q=g,

q+%=7

因為％,仿2?J，即4+4+qeN*,故矛盾，所以為不是集合S’的“期待子集”

(2)先證明必要性：

當集合A是集合3的“期待子集”時，由題意，存在互不相同的“，使得“+6力+c,c+aeA,

不妨設a<6<c,令x=a+b,y=a+c,z=b+c,則x<y<z,即條件p中的①成立；

又x+y—z=(a+》)+(c+a)-(6+c)=24>0,所以x+y>z,即條件p中的②成立；

因為x+y+z=(a+b)+(c+a)+0+c)=2(a+6+c),

所以x+y+z為偶數(shù)，即條件尸中的③成立；

所以集合A滿足條件尸.

再證明充分性：

當集合A滿足條件P時，有存在x,%zcA,滿足①無<y<z,②x+y>z,③x+y+z為偶數(shù)，

x+y+z7x+y+zx+y+z

記Q=--------z,b=------------y,c=-------------x,

222

由③得“,6,ceZ,由①得a<6<c<z,由②得a=人+；+'—z>0,

所以a,仇ceS“,

因為a+>=x,a+c=y,b+c=z,所以a+Z>,b+c,c+a均屬于A,

即集合A是集合S”的“期待子集”

【點睛】關鍵點睛：涉及集合新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義，結(jié)合相

關的其它知識，分類討論，進行推理判斷解決.

18.(l)A+B={0,3},力=5是“好的”

(2)證明見解析

⑶除1、2、4外的正整數(shù)

【分析】(1)根據(jù)題中定義可求出集合A+3,并由此作出判斷；

(2)當〃=8時，取集合A={1,2},B={3,6};當〃=16時，取集合A={1,2,9,10},B={3,6,11,14},

結(jié)合題中定義驗證可得出結(jié)論；

(3)先證明出:若正整數(shù)〃是“好的”，則2”也是“好的”，再證：〃23為奇數(shù)是“好的”,〃=4不是“好

的“，同理易知〃=1,2不是“好的”，由此可得出結(jié)論.

【詳解】(1)當〃=5時，由題中定義可得A+3={0,3},且AUBU(A+B)={。」23,4},故力=5是

“好的”.

(2)