章末復習第23章

旋轉(zhuǎn)人教版數(shù)學九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********第23章

旋轉(zhuǎn)

章末復習一、知識梳理（一）旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)。這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)的要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向（順時針或逆時針）、旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；對應線段相等，對應角相等；旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。（二）旋轉(zhuǎn)作圖作圖依據(jù)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。作圖步驟：確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角；找出圖形的關(guān)鍵點（如線段的端點、多邊形的頂點等）；作出每個關(guān)鍵點繞旋轉(zhuǎn)中心按指定方向和旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)后的對應點；按原圖形中關(guān)鍵點的連接順序，將對應點連接起來，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形。（三）中心對稱中心對稱的概念：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)\(180^{\circ}\)，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做它們的對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關(guān)于中心的對稱點。中心對稱的性質(zhì)：對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分；對應線段平行（或在同一直線上）且相等；對應角相等；關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。中心對稱的判定：如果兩個圖形的對應點所連線段都經(jīng)過某一點，并且都被這個點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這個點中心對稱。（四）中心對稱圖形中心對稱圖形的概念：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)\(180^{\circ}\)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。常見的中心對稱圖形：平行四邊形（包括矩形、菱形、正方形）、圓、正偶數(shù)邊形、線段等。中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別：中心對稱是兩個圖形之間的位置關(guān)系，中心對稱圖形是一個圖形自身的性質(zhì)；聯(lián)系：兩者都是以旋轉(zhuǎn)\(180^{\circ}\)為基礎(chǔ)，中心對稱的兩個圖形結(jié)合在一起可看作一個中心對稱圖形。（五）關(guān)于原點對稱的點的坐標在平面直角坐標系中，任意一點\(P(x,y)\)關(guān)于原點對稱的點\(P'\)的坐標是\((-x,-y)\)，即橫、縱坐標都互為相反數(shù)。（六）圖案設計基本思路：確定設計主題、選擇基本圖形、確定變換方式（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、中心對稱等）、組合與修飾。常用方法：利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、中心對稱以及綜合運用多種變換設計圖案。二、典型例題解析例1：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應用如圖，將\(\triangleABC\)繞點\(O\)順時針旋轉(zhuǎn)\(90^{\circ}\)得到\(\triangleA'B'C'\)，若\(OA=3\)，\(\angleAOB=40^{\circ}\)，求\(OA'\)的長度和\(\angleA'OB'\)的度數(shù)。解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，所以\(OA'=OA=3\)；對應角相等，所以\(\angleA'OB'=\angleAOB=40^{\circ}\)。例2：旋轉(zhuǎn)作圖已知線段\(AB\)，旋轉(zhuǎn)中心為點\(O\)（不在\(AB\)上），將線段\(AB\)繞點\(O\)逆時針旋轉(zhuǎn)\(120^{\circ}\)，作出旋轉(zhuǎn)后的線段\(A'B'\)。解：連接\(OA\)、\(OB\)；以點\(O\)為頂點，\(OA\)為一邊，按逆時針方向作\(\angleAOA'=120^{\circ}\)，在射線\(OA'\)上截取\(OA'=OA\)，得到點\(A\)的對應點\(A'\)；用同樣的方法作出點\(B\)的對應點\(B'\)；連接\(A'B'\)，線段\(A'B'\)即為所求。例3：中心對稱的判定與性質(zhì)已知四邊形\(ABCD\)的對角線\(AC\)、\(BD\)相交于點\(O\)，且\(AO=CO\)，\(BO=DO\)，判斷四邊形\(ABCD\)是否為中心對稱圖形，若是，指出對稱中心。解：因為\(AO=CO\)，\(BO=DO\)，所以點\(A\)與點\(C\)、點\(B\)與點\(D\)關(guān)于點\(O\)中心對稱，因此四邊形\(ABCD\)是中心對稱圖形，對稱中心是點\(O\)。例4：關(guān)于原點對稱的點的坐標已知點\(P(2,-5)\)，求它關(guān)于原點對稱的點\(P'\)的坐標。解：根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標規(guī)律，橫、縱坐標都互為相反數(shù)，所以點\(P'\)的坐標為\((-2,5)\)。例5：圖案設計分析分析如圖所示的圖案是由哪種基本圖形通過什么變換方式設計而成的。解：該圖案可以看作是以一個菱形為基本圖形，通過繞圖案中心順時針（或逆時針）每次旋轉(zhuǎn)\(90^{\circ}\)，連續(xù)旋轉(zhuǎn)\(3\)次后得到的。三、易錯點提醒旋轉(zhuǎn)角的確定：旋轉(zhuǎn)角是對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角，不是圖形上任意兩條線段的夾角，容易混淆。中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別：中心對稱是兩個圖形的關(guān)系，中心對稱圖形是一個圖形的性質(zhì)，不要混淆兩者的概念。旋轉(zhuǎn)作圖時關(guān)鍵點的選擇：若關(guān)鍵點選擇不準確，會導致整個圖形旋轉(zhuǎn)錯誤，應確保選擇能確定圖形形狀和大小的點。關(guān)于原點對稱的點的坐標符號：容易記錯符號變化規(guī)律，記住橫、縱坐標都要變?yōu)橄喾磾?shù)。四、復習建議梳理知識網(wǎng)絡：通過思維導圖等方式將本章的知識點串聯(lián)起來，明確各知識點之間的聯(lián)系，如旋轉(zhuǎn)與中心對稱的關(guān)系、旋轉(zhuǎn)作圖與性質(zhì)的關(guān)系等。強化基礎(chǔ)練習：針對旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)作圖、中心對稱的性質(zhì)、關(guān)于原點對稱的點的坐標等基礎(chǔ)內(nèi)容進行練習，熟練掌握基本方法和技巧。注重綜合應用：多做結(jié)合旋轉(zhuǎn)、中心對稱等知識的綜合題目，如利用旋轉(zhuǎn)解決幾何證明題、設計復雜圖案等，提高綜合運用知識的能力?？偨Y(jié)解題規(guī)律：在練習過程中，總結(jié)常見題型的解題方法和規(guī)律，如旋轉(zhuǎn)作圖的步驟、中心對稱圖形的判斷方法等，提高解題效率。通過本章的學習，我們掌握了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，并能運用這些知識解決圖形變換、作圖和圖案設計等問題。在復習過程中，要注重理解概念、掌握性質(zhì)、熟練作圖，不斷提高分析問題和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解一、旋轉(zhuǎn)的特征1．旋轉(zhuǎn)過程中，圖形上______________________

按

旋轉(zhuǎn)

．2．任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是_______，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離都______．3．旋轉(zhuǎn)前后對應線段、對應角分別_____，圖形的大

小、形狀_______．每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心同一旋轉(zhuǎn)方向同樣大小的角度旋轉(zhuǎn)角相等相等不變1．中心對稱把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)____，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關(guān)于中心的對稱點．180°二、中心對稱2.中心對稱的特征中心對稱的特征：在成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段都經(jīng)過

，并且被對稱中心_______．3.中心對稱圖形把一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心．對稱中心平分4．關(guān)于原點對稱的點的坐標兩點關(guān)于原點對稱時，它們的對應坐標互為

，即點

P(x，y)關(guān)于原點的對稱點為

P′(

，

)．相反數(shù)－x－y考點一旋轉(zhuǎn)的概念及性質(zhì)例1

(1)如圖

a，將△AOB繞點

O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

60°后得到△COD，若∠AOB=15°，則∠AOD的度數(shù)是

(

)A.15°B.60°C.45°D.75°ABODC圖aC【解析】關(guān)鍵是找出旋轉(zhuǎn)角∠BOD=60°.(2)如圖b，4×4的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1，其旋轉(zhuǎn)中心是(

)A.點

AB.點

BC.點

CD.點

DN1M1NMP1DPAB圖

bCB【解析】作線段

NN1與

PP1

的垂直平分線，交點便是旋轉(zhuǎn)中心.1.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，將三角形

AOB繞點

O

逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到三角形

COD，則旋轉(zhuǎn)過程中形成的陰影部分的面積為針對訓練_______．例2

如圖，正方形

ABCD

中，△ADE

經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF

重合．(1)旋轉(zhuǎn)中心是

，旋轉(zhuǎn)了

度；(2)如果

CF

=

8，CE

=

4，求

AC

的長．點

A90解：∵△ADE

繞點

A

順時針旋轉(zhuǎn)

90°后與△ABF

重合，

∴

BF

=

DE，S△ABF

=

S△ADE.

而

CF

=

CB

+

BF

=

8，

∴

BC

+

DE

=

8.

∵

CE

=

CD－DE

=

BC－DE

=

4，

∴

BC

=

6.2.

如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB

=

90°，AC

=

8，BC

=

15，將△ABC

繞點

B

順時針旋轉(zhuǎn)

60°，得到△EBD，連接

DC

交

AB

于點

F，則△ACF

與△BDF的周長之和為_____.55解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

BD

=

BC

=

15，從而得到△BCD

為等邊三角形，故

CD

=

15；在

Rt△ACB

中，利用勾股定理得到

AB

=

17，于是得到結(jié)論.針對訓練

(1)畫旋轉(zhuǎn)后的圖形，要善于抓住圖形特點，作出特殊點的對應點；(2)旋轉(zhuǎn)作圖時要明確三個方面：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度及旋轉(zhuǎn)方向

(順時針或逆時針)．方法總結(jié)考點二旋轉(zhuǎn)變換例3

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB

=

90°，點

D，E

分別在

AB，AC

上，CE

=

BC，連接

CD，將線段

CD

繞點

C

按順時針方向旋轉(zhuǎn)

90°

后得

CF，連接

EF．（1）補充完成圖形；（2）若

EF∥CD，求證：∠BDC

=

90°．解析：(1)根據(jù)題意，找準旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角度，補全圖形即可；解：(1)補全圖形，如圖所示.F(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得

DC=FC，∠DCF

=

90°，∴∠DCE

+∠ECF

=

90°.∵∠ACB

=

90°，∴∠DCE

+∠BCD

=

90°.∴∠ECF

=∠BCD.∴△BDC≌△EFC

(SAS).∴∠BDC

=∠EFC.∵

EF∥DC，∴∠EFC

+∠DCF

=

180°.∴∠EFC

=

90°.∴∠BDC

=

90°.F(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCF

為直角，由

EF

與

CD

平行，得到∠EFC

為直角，利用

SAS

得到△BDC

與△EFC

全等，利用全等三角形對應角相等即可得證．針對訓練4.如圖，在等腰

Rt△ABC中，點

O是

AB的中點，AC=4，將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點放在

O點處，將三角板繞點

O旋轉(zhuǎn)，始終保持三角板的直角邊與

AC

相交，交點為

D，另一條直角邊與

BC

相交，交點為

E，則等腰

Rt△ABC的邊被三角板覆蓋部分的兩條線段

CD

與

CE

的長度之和等于

.ABCDEO4例4

如圖，在邊長為

1的正方形組成的網(wǎng)格中，每個正方形的頂點稱為格點.已知△AOB的頂點均在格點上，建立如圖所示的平面直角坐標系，點

A、B的坐標分別是

A(3，2)、B(1，3).xyOAB

(1)將△AOB繞點

O逆時針旋轉(zhuǎn)

90°后得到△A1OB1，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；(2)畫出△AOB關(guān)于原點

O對稱的圖形△A2OB2，并寫出點A2，B2的坐標.xyOABA1B1A2B2解析：(1)因為旋轉(zhuǎn)角

90°，故用直角三角板及圓規(guī)可快速確定對應點的位置；(2)先根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標確定對稱頂點的坐標，再依次連接得到所要畫的圖形.易錯提示：旋轉(zhuǎn)作圖不要搞錯方向.解：(1)如圖所示.(2)如圖所示，點

A2的坐標為(－3，－2)，B2的坐標為(－1，－3).5.如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點(小正方形的頂點)上，將△ABC繞點

A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1.請你作出△AB1C1.解析：作∠CAC1＝90°，且

AC1＝AC，得到

C的對應點

C1，由同樣的方法得到其余各點的對應點．解：如圖所示.針對訓練考點三中心對稱例4

下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱

圖形的是(

)

A

B

C

DD【解析】圖A、圖B都是軸對稱圖形，圖C是中心對稱

圖形，圖D既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形.

中心對稱圖形和軸對稱圖形的主要區(qū)別在于一個是繞一點旋轉(zhuǎn)，另一個是沿一條直線對折.這是易錯點，也是辨別它們不同的關(guān)鍵.方法總結(jié)6.下列說法不正確的是（）A.任何一個具有對稱中心的四邊形都是平行四邊形B.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C.線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形都是中心對稱圖形D.正三角形、矩形、菱形、正方形都是軸對稱圖形，且對稱軸都不止一條.B針對訓練例6

如圖，從前一個農(nóng)民有一塊平行四邊形的土地，地里有一個圓形池塘.農(nóng)民立下遺囑：要把這塊土地平分給他的兩個兒子，中間池塘也平分.農(nóng)民的兩個兒子不知怎么做，你能想個辦法嗎？解析

先找到平行四邊形對角線的交點

A和池塘的圓心

B，過

A、B兩點作一條直線可以了.AB7.軸對稱圖形的對稱軸將圖形面積二等分，中心對稱圖形過對稱中心的直線將圖形面積二等分.請用學過的知識將下圖所示的圖形面積分成相等的兩部分.針對訓練（1）（2）（3）解：如圖所示.例7

若點

A(2m－1，2n+3)與

B(2－m，2－n)關(guān)于原點

O對稱，則

m=_____，

n=_____．－1－5解析：關(guān)于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標分別互為相反數(shù)，可以直接根據(jù)此性質(zhì)列方程(組)求解.8.已知點

P

(－1－2a，2a－4)關(guān)于原點的對稱點在第一象限，則整數(shù)

a

的值為(

)A．1B．0C．0

或

1D．0

或

1

或

2針對訓練C例8如圖所示的圖案是一個軸對稱圖形(不考慮顏色)，直線

m是它的一條對稱軸.已知圖中圓的半徑為

r，你能借助軸對稱的方法求出圖中綠色部分的面積嗎？說說你的做法.m考點四圖形變換的簡單應用解：以直線

m為對稱軸，把

m左邊綠色部分對稱到

m的右邊，那么左邊綠色部分恰好填補了右邊的白色部分，所以圖中的綠色部分面積等于半個圓的面積，也就