2023年反比例函數(shù)專項(xiàng)測試卷及解析一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.下列函數(shù)中，屬于反比例函數(shù)的是（）A.\(y=2x+1\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{3}{x}\)D.\(y=\frac{0}{x}\)解析：反比例函數(shù)的嚴(yán)格定義為\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)，\(x\neq0\)）。A選項(xiàng)是一次函數(shù)（形如\(y=ax+b\)），不符合；B選項(xiàng)是二次函數(shù)（形如\(y=ax^2+bx+c\)），不符合；C選項(xiàng)符合反比例函數(shù)的形式（\(k=3\neq0\)），正確；D選項(xiàng)中\(zhòng)(k=0\)，不符合反比例函數(shù)“\(k\neq0\)”的要求，錯(cuò)誤。答案：C2.反比例函數(shù)\(y=-\frac{2}{x}\)的圖像所在的象限是（）A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D(zhuǎn).第三、四象限解析：反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的象限分布由\(k\)的符號決定：當(dāng)\(k>0\)時(shí)，圖像在第一、三象限；當(dāng)\(k<0\)時(shí)，圖像在第二、四象限。本題中\(zhòng)(k=-2<0\)，因此圖像在第二、四象限。答案：B3.對于反比例函數(shù)\(y=-\frac{3}{x}\)，下列說法正確的是（）A.在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大B.當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大C.當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小D.圖像過點(diǎn)\((1,3)\)解析：反比例函數(shù)的增減性需強(qiáng)調(diào)“在每個(gè)象限內(nèi)”：當(dāng)\(k<0\)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大（如\(x>0\)時(shí)，\(x\)越大，\(y=-\frac{3}{x}\)的值越大；\(x<0\)時(shí)，\(x\)越大（越接近0），\(y=-\frac{3}{x}\)的值越大）。A選項(xiàng)錯(cuò)誤，因?yàn)閈(x\neq0\)，不能說“全體實(shí)數(shù)”；B選項(xiàng)正確，符合\(k<0\)時(shí)\(x>0\)的增減性；C選項(xiàng)錯(cuò)誤，\(x<0\)時(shí)\(y\)隨\(x\)增大而增大；D選項(xiàng)錯(cuò)誤，代入\((1,3)\)得\(3=-\frac{3}{1}=-3\)，不成立。答案：B4.若點(diǎn)\((2,3)\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像上，則該函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形面積為（）A.2B.3C.6D.12解析：反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的幾何意義：過圖像上任意一點(diǎn)作\(x\)軸、\(y\)軸的垂線，垂足與原點(diǎn)圍成的矩形面積為\(|k|\)。點(diǎn)\((2,3)\)在圖像上，故\(k=2\times3=6\)；矩形面積為\(|k|=6\)。答案：C5.一次函數(shù)\(y=2x+1\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{2}{x}\)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無法確定解析：聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式得：\[2x+1=\frac{2}{x}\]兩邊乘\(x\)（\(x\neq0\)）得：\[2x^2+x-2=0\]計(jì)算判別式\(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times2\times(-2)=1+16=17\)。\(\Delta=17>0\)，說明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，因此兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)。答案：C二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）6.若點(diǎn)\((3,2)\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像上，則該函數(shù)的解析式為__________。解析：代入點(diǎn)\((3,2)\)得\(2=\frac{k}{3}\)，解得\(k=3\times2=6\)，故解析式為\(y=\frac{6}{x}\)。答案：\(y=\frac{6}{x}\)7.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像關(guān)于__________對稱（填對稱中心）。解析：反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像是雙曲線，關(guān)于原點(diǎn)\((0,0)\)對稱（即若點(diǎn)\((a,b)\)在圖像上，則點(diǎn)\((-a,-b)\)也在圖像上）。答案：原點(diǎn)（或\((0,0)\)）8.長方形的面積為12，若長為\(x\)，寬為\(y\)，則\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式為__________（\(x>0\)）。解析：長方形面積公式為\(面積=長\times寬\)，即\(12=x\timesy\)，故\(y=\frac{12}{x}\)（\(x>0\)）。答案：\(y=\frac{12}{x}\)9.若點(diǎn)\((m,n)\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{4}{x}\)的圖像上，則\(mn=\)__________。解析：點(diǎn)\((m,n)\)在\(y=\frac{4}{x}\)上，代入得\(n=\frac{4}{m}\)，兩邊乘\(m\)得\(mn=4\)。答案：410.一次函數(shù)\(y=3x\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{12}{x}\)的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,6)\)，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為__________。解析：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱（因?yàn)閮烧叨际顷P(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)）。已知交點(diǎn)\((2,6)\)，則另一個(gè)交點(diǎn)為\((-2,-6)\)（驗(yàn)證：代入\(y=3x\)得\(-6=3\times(-2)\)，成立；代入\(y=\frac{12}{x}\)得\(-6=\frac{12}{-2}\)，成立）。答案：\((-2,-6)\)三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）11.已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像經(jīng)過點(diǎn)\(A(2,3)\)。（1）求該反比例函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)\(B(3,2)\)在該函數(shù)圖像上，過點(diǎn)\(B\)作\(x\)軸、\(y\)軸的垂線，垂足分別為\(C\)、\(D\)，求矩形\(OCDB\)的面積。解析：（1）求解析式：點(diǎn)\(A(2,3)\)在\(y=\frac{k}{x}\)上，代入得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=2\times3=6\)，故解析式為\(y=\frac{6}{x}\)。（2）求矩形面積：方法一：點(diǎn)\(B(3,2)\)作垂線后，\(OC=3\)（\(x\)坐標(biāo)絕對值），\(OD=2\)（\(y\)坐標(biāo)絕對值），矩形面積\(=OC\timesOD=3\times2=6\)。方法二：利用反比例函數(shù)幾何意義，矩形面積為\(|k|=6\)。答案：（1）\(y=\frac{6}{x}\)；（2）612.反比例函數(shù)\(y=\frac{k-1}{x}\)，當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小，求\(k\)的取值范圍。解析：反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的增減性：當(dāng)\(k>0\)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)\(y\)隨\(x\)增大而減??；當(dāng)\(k<0\)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)\(y\)隨\(x\)增大而增大。本題中\(zhòng)(y=\frac{k-1}{x}\)，當(dāng)\(x>0\)時(shí)\(y\)隨\(x\)增大而減小，故\(k-1>0\)，解得\(k>1\)。答案：\(k>1\)13.已知一次函數(shù)\(y=ax+b\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)交于點(diǎn)\(A(2,1)\)和點(diǎn)\(B(-1,-2)\)。（1）求兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）求\(\triangleAOB\)的面積（\(O\)為原點(diǎn)）。解析：（1）求反比例函數(shù)解析式：點(diǎn)\(A(2,1)\)在\(y=\frac{k}{x}\)上，代入得\(1=\frac{k}{2}\)，解得\(k=2\times1=2\)，故反比例函數(shù)解析式為\(y=\frac{2}{x}\)。求一次函數(shù)解析式：點(diǎn)\(A(2,1)\)和\(B(-1,-2)\)在\(y=ax+b\)上，代入得方程組：\[\begin{cases}2a+b=1\\-a+b=-2\end{cases}\]用減法消去\(b\)：\((2a+b)-(-a+b)=1-(-2)\)，得\(3a=3\)，解得\(a=1\)；代入\(2a+b=1\)得\(2\times1+b=1\)，解得\(b=-1\)；故一次函數(shù)解析式為\(y=x-1\)。（2）求\(\triangleAOB\)的面積：方法一：利用一次函數(shù)與\(y\)軸的交點(diǎn)分割三角形。一次函數(shù)\(y=x-1\)與\(y\)軸交于點(diǎn)\(C(0,-1)\)（令\(x=0\)，得\(y=-1\)）；\(\triangleAOB\)的面積\(=\triangleAOC\)的面積\(+\triangleBOC\)的面積；\(\triangleAOC\)的面積\(=\frac{1}{2}\times|OC|\times|x_A|=\frac{1}{2}\times1\times2=1\)；\(\triangleBOC\)的面積\(=\frac{1}{2}\times|OC|\times|x_B|=\frac{1}{2}\times1\times1=0.5\)；故\(\triangleAOB\)的面積\(=1+0.5=1.5\)（或\(\frac{3}{2}\)）。方法二：利用坐標(biāo)公式計(jì)算三角形面積。對于點(diǎn)\(O(0,0)\)、\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，面積為\(\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\)；代入得\(\frac{1}{2}|2\times(-2)-(-1)\times1|=\frac{1}{2}|-4+1|=\frac{1}{2}\times3=1.5\)（或\(\frac{3}{2}\)）。答案：（1）反比例函數(shù)\(y=\frac{2}{x}\)，一次函數(shù)\(y=x-1\)；（2）\(\frac{3}{2}\)（或1.5）14.某工廠生產(chǎn)一批零件，每天生產(chǎn)的數(shù)量\(y\)（個(gè)）與生產(chǎn)天數(shù)\(x\)（天）成反比例關(guān)系。已知生產(chǎn)5天時(shí)，每天生產(chǎn)200個(gè)。（1）求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若生產(chǎn)天數(shù)增加到10天，每天生產(chǎn)多少個(gè)零件？解析：（1）求函數(shù)關(guān)系式：成反比例關(guān)系即\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）；代入\(x=5\)，\(y=200\)得\(200=\frac{k}{5}\)，解得\(k=5\times200=1000\)；故函數(shù)關(guān)系式為\(y=\frac{1000}{x}\)（\(x>0\)）。（2）求10天的日產(chǎn)量：當(dāng)\(x=10\)時(shí)，\(y=\frac{1000}{10}=100\)（個(gè)）。答案：（1）\(y=\frac{1000}{x}\)；（2）100個(gè)15.已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像經(jīng)過點(diǎn)\((3,2)\)，一次函數(shù)\(y=mx+n\)經(jīng)過點(diǎn)\((3,2)\)和\((0,5)\)。（1）求兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）求它們的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)。解析：（1）求反比例函數(shù)解析式：點(diǎn)\((3,2)\)在\(y=\frac{k}{x}\)上，代入得\(2=\frac{k}{3}\)，解得\(k=3\times2=6\)，故反比例函數(shù)解析式為\(y=\frac{6}{x}\)。求一次函數(shù)解析式：點(diǎn)\((0,5)\)在\(y=mx+n\)上，故\(n=5\)（\