試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江蘇省連云港市灌云縣楊集高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期三模考前數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測（練習(xí)卷）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．3．已知平面向量是兩個單位向量，在上的投影向量，則（）A．1 B． C． D．4．若數(shù)列各項均為正數(shù)，則“為等比數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，點到點的距離與到直線的距離相等，則（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知函數(shù)則的解集是（

）A． B． C． D．7．已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，其軸截面是以為頂點的等腰三角形，若分別是該三角形的三個內(nèi)角，則（

）A． B． C．0 D．18．若函數(shù)有唯一零點，且，則（

）A． B． C． D．1二、多選題9．在二項式的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128C．常數(shù)項為D．展開式中系數(shù)最大項為第3項和第4項10．“早潮才落晚潮來，一月周流六十回”，潮汐現(xiàn)象是海水受日月的引力而引起的周期性漲落現(xiàn)象，觀察發(fā)現(xiàn)某港口的潮汐漲落規(guī)律為（其中（單位）為港口水深，（單位）為時間，）.若某輪船當(dāng)水深大于時可以進(jìn)出港口，根據(jù)表格中的觀測數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（

）時間1471013161922水深1112.51412.51112.51412.5A．B．C．該輪船9點可以進(jìn)出港口D．該輪船從0點到12點，在港口可停留的時間最長不超過4小時11．已知，分別是橢圓：的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，為上異于左、右頂點的一點，是線段的中點，則（

）A． B．C．內(nèi)切圓半徑的最大值為 D．外接圓半徑的最小值為1三、填空題12．將兩個1，兩個3，一個5排成一行，則不同的排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）13．函數(shù)的最小值為.14．已知正四面體的棱長為，動點P滿足，用所有這樣的點P構(gòu)成的平面截正四面體，則所得截面的面積為.四、解答題15．某公司升級了智能客服系統(tǒng)，在測試時，當(dāng)輸入的問題表達(dá)清晰時，智能客服的回答被采納的概率為，當(dāng)輸入的問題表達(dá)不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為.已知輸入的問題表達(dá)不清晰的概率為.(1)求智能客服的回答被采納的概率；(2)在某次測試中輸入了3個問題（3個問題相互獨(dú)立），設(shè)表示智能客服的回答被采納的次數(shù).求的分布列、期望及方差.16．如圖，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，點在線段上.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求.17．已知雙曲線：的離心率為，為坐標(biāo)原點，過的右焦點的直線交的右支于P，Q兩點，當(dāng)軸時，.(1)求的方程；(2)過P作直線的垂線，垂足為N.（i）證明：直線過定點；（ii）求面積的最小值.18．中國古代許多著名的數(shù)學(xué)家對推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻甍多、芻童垛等的公式．我們把公差不為0的等差數(shù)列稱為“一階等差數(shù)列”，若數(shù)列是“一階等差數(shù)列”，則稱數(shù)列是“二階等差數(shù)列”．定義：若數(shù)列是“階等差數(shù)列”，則稱原數(shù)列為“階等差數(shù)列”．例如：數(shù)列，它的后項與前項之差組成新數(shù)列，新數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．(1)若數(shù)列滿足，，且，求證：數(shù)列為二階等差數(shù)列；(2)若三階等差數(shù)列的前項依次為，求的前項和；19．已知，函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求的極值；(2)若存在零點.（i）當(dāng)時，求的取值范圍；（ii）求證：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《江蘇省連云港市灌云縣楊集高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期三?？记皵?shù)學(xué)質(zhì)量檢測（練習(xí)卷）》參考答案題號12345678910答案BABCBABCABDBC題號11答案ACD1．B【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解.【詳解】集合，則，所以.故選：B2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算即可得到答案.【詳解】.故選：A.3．B【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義及數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】由在上的投影向量，得，則，而是單位向量，因此，又是單位向量，所以.故選：B4．C【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義判斷.【詳解】數(shù)列中，，數(shù)列為等比數(shù)列，令其公比為，則，，為常數(shù)，因此數(shù)列為等差數(shù)列；反之，為等差數(shù)列，令其公差為，則，即為常數(shù)，因此數(shù)列為等比數(shù)列，所以“為等比數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的充要條件.故選：C5．B【分析】首先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義及已知條件得到，求出，再代入拋物線方程，求出.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，又點在拋物線，所以點到點的距離與到直線的距離相等，又，點到點的距離與到直線的距離相等，所以，解得，即，所以，解得.故選：B6．A【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解抽象不等式即可.【詳解】當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；且當(dāng)時，，所以為奇函數(shù)，易知為上的遞減函數(shù)，則，所以原不等式的解集為.故選：A7．B【分析】根據(jù)，得，進(jìn)而判斷三角形為等邊三角形，進(jìn)而利用正切的和差角公式即可化簡求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑以及圓錐的母線分別為，由題意可得，故，因此三角形為等邊三角形，故,故,故選：B8．C【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零點的唯一性可得求解.【詳解】由于有唯一的零點，所以也有唯一的零點，由于均為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，因此，故，故選：C9．ABD【分析】求出展開式的通項，根據(jù)題意可得，即可判斷A；根據(jù)二項式定理的性質(zhì)即可判斷B；令的指數(shù)等于零，即可判斷C；理由不等式法即可判斷D.【詳解】展開式的通項為，則前3項的系數(shù)分別為，對于A，由題意可得，即，解得或（舍去），所以，故A正確；對于B，展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故B正確；對于C，展開式的通項為，令，則，所以展開式中常數(shù)項為，故C錯誤；對于D，設(shè)展開式中第項的系數(shù)最大項，則有，解得或，所以展開式中系數(shù)最大項為第3項和第4項，故D正確.故選：ABD.10．BC【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出可判斷ABC；求出時，輪船從0點到12點在港口可停留的時間，結(jié)合的單調(diào)性可判斷時停留的時間比時停留的時間長可判斷D.【詳解】對于A，由表格數(shù)據(jù)可得，故A錯誤；對于B，由表格數(shù)據(jù)可得，解得，，所以，因為點在函數(shù)圖象上，所以，即，又因為，所以，故B正確；對于C，當(dāng)時，，故C正確；對于D，由，得，由得，即，當(dāng)時，，，因為得該輪船從0點到12點，在港口可停留的時間最長超過4小時，故D錯誤.故選：BC.11．ACD【分析】由橢圓的定義結(jié)合中位線的性質(zhì)可得A正確；由橢圓的性質(zhì)令點在第二三象限時可得B錯誤；由焦點三角形的面積公式結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)可得C正確；由正弦定理可得D正確.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，由三角形中位線得，因為當(dāng)點在第二三象限時，，此時，故B錯誤；對于C，因為，，當(dāng)點在上頂點時，最大，所以，所以，所以，所以由三角形相似可得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，又，所以內(nèi)切圓半徑的最大值為，故C正確；對于D，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，故D正確.故選：ACD12．【分析】先給兩個1找兩個位置，再給兩個3找兩個位置，最后剩的一個位置排5即可.【詳解】第一步選2個空給兩個1有種選法，第二步選剩下的3個空給兩個3有種選法，最后剩一個空排5即可，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有種排法，故答案為：.13．【分析】根據(jù)和分類討論，作出函數(shù)圖像即可求解.【詳解】當(dāng)時，即時，，當(dāng)時，即時，，所以，作出函數(shù)圖像：

所以函數(shù)的最小值為，當(dāng)時.故答案為：.14．【分析】設(shè)四個頂點為，根據(jù)得到截面方程即可求解.【詳解】建立正四面體的頂點坐標(biāo)，設(shè)四個頂點為，每條棱長均為，設(shè)動點，，，，，，，因為，所以，即所有滿足條件的點構(gòu)成的平面為平面（平面），

而為正方體的頂點（如圖所示），且該正方體的中心為原點，由對稱性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于，截面四邊形的頂點為，在平面上形成一個菨形，其對角線的長度為，故面積為2.故答案為：.15．(1)；(2)分布列見解析，期望為，方差為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式求解.（2）求出的可能值及對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望的方差.【詳解】（1）設(shè)“智能客服的回答被采納”，“輸入的問題表達(dá)不清晰”，依題意，，，因此，所以智能客服的回答被采納的概率為.（2）依題意，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望；.16．(1)證明見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，設(shè)即可求得點的坐標(biāo)，利用夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：由正方形有，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，過點作，則，，，所以，所以，即，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）知兩兩互相垂直，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則有，設(shè)，則，設(shè)，則有，解得，得，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，所以，解得或，所以或.17．(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）由離心率及雙曲線參數(shù)關(guān)系求得，結(jié)合已知令，代入雙曲線求參數(shù)值，即可得方程；（2）（i）設(shè)，則，設(shè)，聯(lián)立雙曲線并應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合直線、雙曲線對稱性確定定點位置并得到，再作化簡求值，即可得定點坐標(biāo)；（ii）應(yīng)用三角形面積公式、弦長公式，結(jié)合求面積的最小值.【詳解】（1）由題設(shè)且，則，由軸時，，不妨令，代入雙曲線得，所以，則所求方程為；（2）（i）設(shè)，則，由斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立雙曲線并整理得，則，所以，由，直線，根據(jù)雙曲線的對稱性，直線所過定點必在軸上，令，則，因為，所以，而，則，所以過定點；

（ii）由，由（i），，可得，令，則，由，故，當(dāng)時取等號，綜上，的最小值為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列的定義及題設(shè)定義求證即可；（2）結(jié)合已知設(shè)，結(jié)合累加法得到，，進(jìn)而結(jié)合組合數(shù)公式求解即可；【詳解】（1）因為，所以，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，則是一階等差數(shù)列，數(shù)列為二階等差數(shù)列（2）因為是“三階等差數(shù)列”，所以是“二階等差數(shù)列”，設(shè)，所以是“一階等差數(shù)列”．由題意得，，，所以，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，根據(jù)累加法有：，滿足上式，所以，因為滿足上式，.19．(1)答案見解析；(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）直接求導(dǎo)得，再分和討論即可；（i）轉(zhuǎn)化得有解，再設(shè)，求導(dǎo)后再對分類討論，最后利用隱零點法即可得到其范圍；（ⅱ）分析得表示原點與直線上的動點之間的距離，再等價轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)新函數(shù)并多次求導(dǎo)即可證明.【詳解】（1）時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值.當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，，