第01講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用5種常見考法歸類

學(xué)其目標(biāo)］

1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計(jì)算平面向量的數(shù)量積；

2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意義；

3.會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；

4.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積、平面向量垂直的條件，會表示兩個(gè)平面向量的夾角;

||詢基礎(chǔ)知識1

------------------II1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIII-----------------------

1.向量數(shù)量積的定義

(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b,。是平面上的任意一點(diǎn)，作況=訪仍=僅如

圖所示)，則NA03=e(OW先?叫做向量a與b的夾角.

(2)向量的平行與垂直：當(dāng)6=0時(shí)，a與力同向；當(dāng)8=71時(shí)，a與〃反向；如果a與萬的

夾角是，，我們說a與8垂直，記作a,4

(3)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a與仇它們的夾角為仇我們把數(shù)量|a||8|cos。叫做

向量a與8的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab,即a-b=\a\\b\cos0.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

2.向量的投影

(1)定義：如圖，設(shè)a,方是兩個(gè)非零向量，A^=a,Cb=b,作如下的變換：過磅的起點(diǎn)

A和終點(diǎn)B,分別作6所在直線的垂線，垂足分別為Ai,Bi,得到髭1,則稱上述變換為向

量a向向量b投影，出力1叫做向量a在向量8上的投影向量.

(2)計(jì)算：設(shè)與8方向相同的單位向量為e,a與8的夾角為仇則向量a在向量8上的投

影向量是|a|cos6e.

注：lalcos。叫做向量a在6方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)。為鈍角時(shí),

它是負(fù)數(shù)；當(dāng)夕為直角時(shí)，它是0.

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義

a年的幾何意義：數(shù)量積等于。的長度⑷與。在。方向上射影I“cos。的乘積.

4.向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,%是非零向量，它們的夾角是仇e是與8方向相同的單位向量，則

(l)a-e=e-a=\a\cos0.

注：任意向量與單位向量的數(shù)量積等于這個(gè)向量在單位向量上的投影的數(shù)量.

(2)4_1_/>田力=0.

注：可用于解決與兩個(gè)非零向量垂直有關(guān)的問題.

(3)當(dāng)a與b同向時(shí),。力=|。|仍|；當(dāng)a與b反向時(shí),—特別地,?a=|aF或⑷=也［.

注：當(dāng)兩個(gè)向量的相等時(shí)，這兩個(gè)向量的數(shù)量積等于平面向量的模的平方，因此可以用于

求向量的模.

d?b

(4)cos6>^——(|a|傳伊0).

|a||*l

注：夾角公式，實(shí)質(zhì)是平面向量數(shù)量積的逆用，可用于求兩平面的夾角.

(5)\a-b\^a\\b\.

注：可用于解決有關(guān)“向量不等式”的問題.

5.向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律

對于向量a,b,c和實(shí)數(shù)九有

(l)a-Z>=Z>a；

(2)(%a)為=23仍)="?(2))；

(3)(a+Z>)-c=a-c+Z>-c.

6.數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知非零向量”=(為，M),b=(x2,y2),。為向量。、b的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=y[a^a1〃1=9

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0a-b=xlx2+yly2

八ab

cos6=----cos*一+產(chǎn)

夾角\a\\b\

a_LZ＞的充

要ab=0%%+M%=0

條件

a//b的充

要〃=25(辦。0)=。

條件

1",一與|a力ISa||R(當(dāng)

I玉%+%%w

\a\\b\且僅當(dāng)a〃〃時(shí)等號

Jk+y：

的關(guān)系成立)小;+￡

7.數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

(1)(?！?2=。2±2°必+廬.

(2)(a+b)-(a—b)=a1—b2.

(3)層+戶=0口=0且b=0.

I雷解題策略

---------------------IllllllllllllUlllilllllllllillUIIIIIIII-----------------------

1、向量數(shù)量積的求法

(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個(gè)向量

的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.(注：兩向量的夾角要共起點(diǎn)且夾角的范圍為［0，m)

(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式

的乘法運(yùn)算.

2、求向量模的一般思路及常用公式

(1)求向量模的常見思路

根據(jù)。2二|32求|Q|2

開方計(jì)算

(2)常用公式

@(a-b)-(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2；

②|a土bF=(a±b)2=a2±2a-b+b2.

3、解決向量垂直問題一般思路

解決向量垂直問題常用向量數(shù)量積的性質(zhì)方臺,a仍=0.這是一個(gè)重要性質(zhì)，對于解平面

幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效，應(yīng)熟練掌握.

4、求向量a,b的夾角。的思路

(1)求向量的夾角的關(guān)鍵是計(jì)算ab及|a||b|,在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cos

。=儒，最后借助。?[0,可，求出。值.

(2)在個(gè)別含有|a|,|b|與a-b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cos。的

5、解決向量投影問題應(yīng)注意以下三點(diǎn)

(1)向量a在b方向上的投影向量為|a|cos6e(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個(gè)向

量，且與b共線，其方向由向量a和b夾角。的余弦決定.

(2)向量a在b方向上的投影向量需去

(3)注意：a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投

影向量可表示為|b|cos端.

6、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,州)，b=(X2,”)，貝I

?a-b=x\xi+y\y2-,a2=xi+yh|a|=^/xi+y?.

?a_L=0.

③I-X1X2+了1丁2|9/區(qū)+)六/上+貨.

④設(shè)。是a與8的夾角，則

abX1X2+W2

⑷網(wǎng)[京+小/或+/

igr考點(diǎn)剖析

------------------lllllllllllllilllllllllllllllllllllllllll-----------------------

考點(diǎn)一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

例1.已知向量日石滿足⑺=2,出1=5,且G與5夾角的余弦值為g則w+2孫（3萬-5）=（）

A.-28B.-18C.12D.72

【答案】A

【分析】運(yùn)用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)殄顋=2,出|=5,且1與B夾角的余弦值為g,

2

所以但+2萬卜（3商一5）=3忖2+57另一2慟=3X22+5X2X5X1-2X52=-28.

故選：A.

變式1：已知Z,b,"均為單位向量，且Z+2B=3入則72=（）

114

A.—B.-C.1D.—

333

【答案】C

【分析】將原等式轉(zhuǎn)化為13"=2人平方后化簡即可求解.

【詳解】a+2b=3c,..a—3c=2b,-'-{a—3c^=（2石）,:.a-6a-c+9c=4b,

-,ta7b,"均為單位向量，.?.1-672+9=4,.,.72=1.

故選：C

變式2：已知同=2,例=3,方與石的夾角為60s.求：

（y）a-b;

（2）（3萬一匕），萬+°）;

⑶忸叫.

【答案】⑴3

⑵T

⑶至

【分析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義即可得到答案；

(2)將式子展開化簡，結(jié)合向量￡范的模和數(shù)量積即可得到答案;

(3)先將悔-耳化為如彳，進(jìn)而展開化簡可得答案.

【詳解】(1)因?yàn)橥?2,W=3,4與方的夾角為60。，

所以=2x3xcos60°=3；

(2)由⑴a-b=3,

所以(21孫(Q+3Z?)—2Q-3b+5Q,Z?—2x2?-3x3?+5x3--4；

(3)由(1)a,b=3,

所以忤-4=不(2a-Bj=+b-4a-b=J16+32-12=岳.

2.在邊長為6的正AABC中，若點(diǎn)。滿足前=2配，則而.反==

【答案】6

【分析】以衣、血作為一組基底表示出茄、BC,再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)辂?2覺，^^AD=AC+CD=AC+1CB=AC+!(AB-AC)=|AC+|AB,

BC=AC-AB,

AABAC--AB

33

3323

故答案為：6

變式1：在AABC中，C=90。，點(diǎn)。在A3上，AD=3DB,I而1=4,則屈.①=(

A.8B.10C.12D.16.

【答案】C

【分析】用無，而表示出麗，從而根據(jù)數(shù)量積的定義及題中條件C=90。和|既1=4可求出麗.而

的值.

【詳解】在AABC中，因?yàn)榍?3而，

^^W=CA+AD=CA+-AB=CA+-(AC+CB)=-CA+-CB,

4444

^L)ACB-CD=CB-(1C4+|CB)=^CA-CB+|CB2=O+||CB|2=12.

故選：C.

變式2：已知等邊聞的邊長為3,0是邊AB上的中點(diǎn)，則方.(麗+成”

9

【答案】I

【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?。是邊A3上的中點(diǎn)，

j5/fl^CD=1(CA+CB)^ZjC=-1(CA+CB)=1(ZC+BC),因止匕

DA-(DB+DC]=--AB-\-AB+-AC+-BC\=--AB-AC=--x3x3x-=--,

\>2{222J2224

故答案為：

變式3：在“LBC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，且3c=4,AD=3,則而.*=()

A.-5B.5C.-8D.8

【答案】B

【分析】由題意，根據(jù)三角形的性質(zhì)，結(jié)合向量的加法幾何意義以及數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答

案.

【詳解】由題意如圖所示：

B

C

由AD"C,所以而灰=0,而?而=0

又AB=AC,所以。為BC的中點(diǎn),

所以2D=￡>C=；8C=2,

ABAC=（AD+Z）B）（AD+Z）C）=AD2-DC2=9-4=5,

故選：B.

例3.在平行四邊形ABC。中，若屁=(1,4),荏=(2,3),則布.而的值為()

A.1B.5C.-1D.-5

【答案】A

【分析】根據(jù)向量加法與減法的坐標(biāo)運(yùn)算求出蒞和麗的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)橐?荏+蒞，所以而=衣-通從而而=而-通=(-3,-2),所以

ADBD=-lx-3+lx-2=l.

故選：A

變式1：在邊長為3的正方形A3CD中，點(diǎn)E滿足樂=2麗，則/.詼=()

A.3B.-3C.-4D.4

【答案】A

【分析】建立直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到：W,DE,利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即

可.

【詳解】以3為原點(diǎn)，BC,瓦1所在直線分別為無，y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，

由題意得人（。，3）,￡（1,O）,C（3,O）,0（3,3）,

所以前=（3,-3）,DE=（-2,-3）,

所以衣.詼=3x（—2）+（—3）x（-3）=3.

故選：A.

變式2：在邊長為2的正三角形A5c中，AD=^DB,CE=EB,則荏.潼=()

9339

A.--B.-C.--D.-

4224

【答案】D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得到向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積運(yùn)算求解.

【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：

則4(0,@,鞏-1,0)設(shè)D(x,y),貝I」蒞=1,y-麗=(-1_兌_/

,__.1—.

因?yàn)?

11

X=---------X

所以3\,解得，

y-'^>=--y

則瓶=倒，一⑹，礪=

-..9

所以4足?！?1,

故選：D

變式3：【多選】如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD,AD.LAB,AB=2AD=2CD=2,E是

3c的中點(diǎn)，則()

D

E

AB

—,—.1—?1―-1―-

A.AEBE=——B.EB=-AB——AD

242

—?3—?1—?

C.ACBC=OD.AE=-AB——AD

42

【答案】ABC

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法計(jì)算可得.

【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則4（0,0）,8（2,0）,41,1）,。（0』）,《|,；

y八

對A，正確；

對B,麗=［；,-；］,1AB-|AD=i（2,0）-1（0,l）=f1,-1\正確;

\乙乙JI*乙1,乙\乙乙J

對C,AC-BC=（l,l）-（-l,l）=O,正確；

對D,通|AB-|AD=|（2,0）-1（0,l）=f|,-lY錯(cuò)誤.

故選：ABC.

4.在四邊形A3CD中,AB=2DC作DHJ.AC于點(diǎn)凡若DH=2,則麗.麗=）

A.9也B.10C.11V2D.12

【答案】D

【分析】設(shè)AC與3。交于點(diǎn)。，由已知可得麗=3詼，則麗?麗=麗.3前，且麗屈=加

即可求結(jié)果.

【詳解】設(shè)AC與3。交于點(diǎn)。，因?yàn)橛?2配，所以歷=3加.

又?！盻LAC于點(diǎn)H,且。〃=2,

所以麗?麗=|麗卜麗卜os/BOH=由2=4,

所以兩.麗=兩.39=3*4=12.

故選：D

變式1：如圖，已知正六邊形A3CDER邊長為1,點(diǎn)尸是其內(nèi)部一點(diǎn)，（包括邊界），則APAC

的取值范圍為

【答案】[0,3]

【分析】易得"?第=網(wǎng)?匹卜。5（麗,府）=6網(wǎng)-85（麗,記），再由網(wǎng)―（而,蔗）表示於在

求上的投影求解.

【詳解】解：由正六邊形的性質(zhì)得：ZBCA=ZBAC=30°,

貝ljAC=2xlxcos300=5NG4尸=120--30：=90、

A?.AC=|AP|-|AC|-COS^AP,AC^=^|AP|-COS^AP,AC^,

而網(wǎng).cos（衣，碼表示衣在衣上的投影，

當(dāng)點(diǎn)P在C處時(shí)，投影最大為百，當(dāng)點(diǎn)P在R處時(shí)，投影最小為0,

所以冷.屁的取值范圍為[0,3],

故答案為：[。，3]

變式2：在邊長為2的正六邊形A3CDER中，點(diǎn)P為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則而.而的取值

范圍為.

【答案】[T12]

【分析】利用數(shù)量積的幾何意義去求布.麗的取值范圍即可解決.

【詳解】正六邊形A3CDER中，過點(diǎn)3作郎」AD于E,則|碼=4,|叫=斗兩=1

布.麗=MH闞cos（而，而）

又一西.麗閆碼.網(wǎng)cos（亞,而岸西.|西

即-4W蒞H網(wǎng)cos（而，麗）412,故而.麗的取值范圍為[T12]

故答案為：[T,12]

考點(diǎn)二：平面向量的垂直問題

例5.已知向量日=（1,2）,6=（-2,3）,若（妨+石）乂萬一5）,貝心=.

【答案】_：/~0.25

【分析】由數(shù)量積等于0并結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.

【詳解】由題意可得初+B=（左一2,2k+3）,萬一3=（3,—1）,

因?yàn)椋ǔ跞f—5）,

貝|J（屈+石）?（日-5）=3（左一2）—（2%+3）=0,解得k=9.

故答案為：-;

變式1：已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A。,2）,B（m,6）,若蘇則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

【答案】-7

【分析】由題設(shè)得力=（1,2）,麗=（相-1,4）,應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值即可.

【詳解】由題設(shè)方=（1,2）,而=（相-1,4）,又赤，獲，

所以麗.通=m-1+8=0,可得〃?=-7.

故答案為：-7

變式2：已知向量0=(2,1),辦=(九-3),若則實(shí)數(shù)加=()

A.-6B.6C.-4D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量坐標(biāo)的加減法運(yùn)算，及向量垂直的坐標(biāo)表示，即可求出叫

【詳解】由題可知，a=(2,1)'b=(〃2,-3),

貝!Ja-b=(2,1)-(m,-3)=(2-m,4),

由于貝=

即：2x(2-m)+4=0,解得：m=4.

故選：D

變式3設(shè)向量2=(3,3),5=(1-1),如果0+/石)，(￡-篇),2>0,那么2=()

A.2B.6C.3D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的垂直關(guān)系得到向量的數(shù)量積為。，再將Z+證，1"分別用坐標(biāo)表示出來,

最后根據(jù)坐標(biāo)形式下的向量垂直對應(yīng)的關(guān)系式求解出2的值.

【詳解】因?yàn)槲?悶，

所以(a+2B).(a-")=0,

因?yàn)閍=(3,3),5=(l,-l),

所以Z+痛=(3+43-4),￡-“=(3-/,3+4),

所以9-矛+9-22=0,

所以X=±3,

又4>0,

所以彳=3

故選：C

變式4：已知向量萬的夾角為，且忖=內(nèi)*3,若（痛+山2,則人

【答案】-|##-0-5

【分析】根據(jù)已知可得（痛+今日=0,代入即可求得4的值.

【詳解】由已知可得，忖=3,|0=豆，/=那國＞3*34=|,

因?yàn)椋?a+B）_La,所以（/la+Bja==0,即92+?=0,解得力=-；.

故答案為：

考點(diǎn)三：平面向量的模長問題

[^2]例6.已知向量的夾角為30。，|q="W=3,則囚+q=（）

A.V5B.屈C.739D.7

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄繛V的夾角為30。，|q="W=3,

所以|2%+次=4|Zf+|討+4a-^=12+9+4x73x3x^1=39,

2

所以忻+*我.

故選：C

變式1:已知向量￡=(2,3),.=(3,2),則|2[B|=()

A.0B.2C.V17D.572

【答案】C

【分析】求出21B=(1,4),求模即可.

【詳解】:商=(2,3),力=(3,2),215=(1,4),

|2a-5|=Vl2+42=y/Y7.

故選：c.

變式2：已知向量1(2,0),5=(1,2),且(2-3可〃修石+助/eR),則h+研為()

A.2歷B.4A/37C.2屈D.4屈

【答案】A

【分析】首先求出Z-3鼠2Z+我的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，求出參數(shù)上的

值，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閆=(2,0),S=(l,2),所以￡-3石=(-1,-6),

2a+kb=2(^2,0^+k(1,2)=(4+k,2k),

又倒-3郎/(2￡+同，所以-1x2左=-6x(4+左)，解得左=一6,

所以+防=(-2,-12),則RZ+。卜J(-2『+(_12)2=2扃.

故選：A

變式3：若平面向量。為W兩兩的夾角相等且不為0,且向=|力|=1,同=4,則

H+5+d=__________

【答案】3

【分析】首先確定苕,be兩兩的夾角為三，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得

\a+b+c^,進(jìn)而可得卜+1+4

【詳解】石忑兩兩的夾角相等且不為忑兩兩的夾角為O三jr，

:.d-b=lxlxcos-=-—,a-c-b'C=lx4xcos-=-2,

323

/.|a+^+c|=同?+問+同2+2萬.5+25?12萬?五=1+1+16-1—4—4=9,

卜+石+W=3.

故答案為：3.

例7.已知向量2=(2,-3),b=(4,m),若忖+24=歸-留,則機(jī)=.

【答案】|

【分析】根據(jù)向量模的展開計(jì)算，得出a.B=O,從而進(jìn)一步利用向量的線性計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)椴?2相1叫

所以0+2,=歸-2邛,

所以.+2方)2=(”25)2,

+4a-b+4b2=a2-4a-b+4b2,

所以￡.石=0,

所以(2,-3卜(4,祖)=8-3帆=0,

解得機(jī)=|,

故答案為：|.

變式1:已知向量2,石滿足公=(-1,2),力=51),卜+%3,則實(shí)數(shù)x=.

【答案】1

【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)的線性運(yùn)算求得M+1=(-l+x,3),根據(jù)向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算列方

程即可得實(shí)數(shù)x的值.

【詳解】解：已知向量￡,B滿足Z=(T,2),8=(尤,1),所以2+B=(-1+X,3),

則B+B[=K_1+X,3)|=J(_1+X)+32=3,解得x=l.

故答案為：L

變式2：已知向量Z=(x,4),S=(-l,l),若則X的值是()

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

【分析】直接求出Z+B與的坐標(biāo)，根據(jù)模相等即可解得X的值.

【詳解】由已知可得，a+S=(x-l,5),a-b=(x+l,3),

因?yàn)椴?石卜歸一母，所以小-I)?+5?=J(x+iy+32,

解得，x=4.

故選：C.

已知平面向量癡滿足|4=W=i,則忖+4的最小值為

【答案】0

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義確定的范圍，在根據(jù)向量模與數(shù)量積的關(guān)系可得|。+目的范圍,

即可得k+q的最小值.

【詳解】解：因?yàn)槠矫嫦蛄繑虧M足同第=1,又(還閆0,可,

所以=|a|-|z?|cosa,b=Ixlxcosa,&=cosa,be[-1,1],

則卜+B卜J(萬+B)=J/2+廬+2萬Z=也+2無5,由商1,1],則2+2如5e[0,4],故卜+.e[0,2],

貝”z+4的最小值為0.

故答案為：0.

變式1：已知向量Z,3的夾角為60°,且|引=2|￡|=2,則|〃+"?WR)的最小值是.

【答案】石

【分析】|花+昨“￡+歷2,展開計(jì)算得|應(yīng)+51=J(r+1)?+3,根據(jù)"(r+l)2+3..g,則得到其最小

值.

【詳解】Ita+b\=\l(ta+b)2=Jt2a+2/|a||5|-cos600+b=+2/+4=++3.

因?yàn)椤?1)2..0,所以4+1)2+3..后,當(dāng)且僅當(dāng)f=T時(shí)取等號,

所以癡+句..唐，則癡+司的最小值是技

故答案為：6

變式2：已知向量百，方的夾角為60。，也」|=2有，則同+2忖的最大值為（）

A.3不B.4不C.5不D.6用

【答案】B

【分析】設(shè)同+2忖=左（左>0）,由已知條件得前-陽4+1*12,把等式改寫為關(guān)于碼的方程,

方程有解，判別式A》。，可求同+小|的最大值.

【詳解】向量方，石的夾角為60。，區(qū)」|=26，

貝IJ有林」『=*一2=￡+力2=用一2陽￡即60。+叩=師一臥忖+叩=12,

設(shè)同+2網(wǎng)=%（%>0）,同=左一2忖，

.,.（一2時(shí)一僅一2麗響+*12,即7MJ5左料+左2-12=0,M存在,方程有解，

則有A=25左2-28化2-12卜0,解得0〈左44后，則同+2忖的最大值為4近.

故選：B

考點(diǎn)四：平面向量的夾角問題

例9:在AABC中，AB=43,BC=1,AC=2,。是AC的中點(diǎn)，則而與前的夾角為.

【答案】120°

【分析】根據(jù)向量的夾角的定義求解.

【詳解】如圖，AABC中，AB2+BC2=AC2,所以ZABC=90。，而AB=6，BC=1,AC=2,所

以A=3（F,C=60。，。是AC的中點(diǎn)，貝IJZADB=120°,

所以而與血的夾角等于">3=120。.

故答案為：120。.

A

變式1：設(shè)〕"/），B="，-#],則向量￡,石的夾角為（）

A.30°B,60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】根據(jù)題意和平面向量的幾何意義與數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出同，|斗拓，結(jié)合平面向量的

數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意知，

設(shè),與方的夾角為0<6?<180°

所以6=60°.

故選：B.

變式2：已知向量2=1+1,右），S=（l,0）a-b=-2,則向量Z+B與石的夾角為

【答案】y

【分析】由75=-2可得％,a+b,后由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.

【詳解】Q./?=—2n%+1=—2nx=—3,貝！JO+B=（—1,^^）,貝ljcos（a+刃,坂）

（a+b,G[O,可,則（3+=g

27r

故答案為：y.

變式3：若非零向量2B滿足2卜-W=2,（a-24_La,則向量￡與B夾角的余弦值為（）

A.—B.；C.-D.—

4234

【答案】D

【分析】求出問=煙=2,根據(jù)日-2到二可得（"2孫”0,代入化簡求解夾角余弦值即可.

【詳解】設(shè)）與石的夾角為。，

因?yàn)?問=W=2,R-2可，￡，所以忖=1,忖=2,

一2同5cos6=0

故選：D.

變式4：已知I3=2,向量1在向量方上的投影為名，則花與方的夾角為（）

A.fB.JC.—D.g

3632

【答案】B

【分析】利用平面向量的幾何意義，列出方程求出￡與6夾角的余弦值，即可得出夾角大小.

【詳解】記向量,與向量B的夾角為。，

:.a^￡b上的投影為同cos，=2cos，.

?.七在5上的投影為

cos夕=

故選：B.

10.已知向量2=(2,0),b=x,2⑻,且Z與B的夾角為彳，則工=

【答案】-2

【分析】依據(jù)向量數(shù)量積列出關(guān)于x的方程，解之即可求得x的值.

【詳解】向量2=(2,0),6=1,2后)，則忖=2,W=&+12

又々與B的夾角為g,則2x+0x2若=2丘+12x1J=一+12<0,

解之得％=-2或%=2(舍)

故答案為：-2

變式1：已知向量々=(1,1),S=(l,0),c=Aa+b,〈a,B〉=〈B,c〉，貝“2=

【答案】-|##-0-5

【分析】根據(jù)平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)橄蛄縕=(l,1),B=(l,0),~c=Za+b,

所以c=(X+l,X),因?yàn)?,石〉=〈及)〉,

a-b_b-c1_2+11

所以有忖荊,,Vl2+12xl1X^(2+1)2+222，

故答案為：

11.已知二=(1,2),b=(x,4),若Z與5的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

【答案】(-8,2)U(2,+S)

【分析】由75>0,求得x>-8,再設(shè)￡=肪，求得x=2,進(jìn)而得到x的取值范圍.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?。,2),5=(X,4),

由可得〃Z=lxx+2x4=x+8>0,解得了>-8,

=1

設(shè)￡=〃，可得(1,2)=4(%4),即解得02,此時(shí)向量-與B共線,

4Z=Z

所以當(dāng)￡與后的夾角是銳角時(shí)，貝U滿足-8<x<2或無>2,

所以x的取值范圍是(-8,2)U(2,+s).

故答案為：(-8,2案(2,m).

變式1：已知向量2=(x-l,2),5=(2,4),則“無>-3”是，與分夾角為銳角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示，由題設(shè)條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要條件

即可得答案.

【詳解】由題設(shè)：a-b=\a\^cos(^a,5)=2x+6

當(dāng)x>-3時(shí)，a-b>0,飆0,3,注意當(dāng)x=2時(shí)，(a,5)=0,故充分性不成立.

當(dāng),與B的夾角為銳角時(shí)，無石=忸帆cosR,可=2尤+6>0,解得x>-3.

故必要性成立.

故選：B.

變式2：已知平面向量Z,辦滿足卜|=1,W=2,(a+2B)?2a-B)=-3.

(1)求卜-q；

(2)若向量B與丘+B的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【答案】(1)73；(2)(T0)U(0,w).

【分析】(1)由給定條件求出亂再根據(jù)向量模的計(jì)算公式即可得解；

⑵根據(jù)向量夾角為銳角借助數(shù)量積列出不等關(guān)系即可作答.

【詳解】(1)依題意，R+2石)<2Z-五)=27-￡1+4-石-2萬=3￡3-6=-3,得2與=1,

**=4a+b-2a-b=VTT4^2=血,

所以卜-耳=石；

(2)由向量B與腐+B的夾角為銳角，可得加(癡+B)>0,即有九+4>0,解得2>T,

而當(dāng)向量行與花+方同向時(shí)，可知a=0,

綜上所述4的取值范圍為(<0)U(0,內(nèi)).

變式3：設(shè)兩個(gè)向量滿足忖=1,忖=2.

⑴若?！?辦（￡+楊=-3,求a石的夾角0；

⑵若的夾角為60。，向量2力-3與%+/的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【答案】⑴120。

（2）-1<r<1

【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出再求出cos。，即可得解；

（2）由向量2G-B與2Z+萬的夾角為鈍角，可得（2法-今（2Z+萬）<0,注意排除相反向量這一情

況.

【詳解】⑴解：由（2力）?+%一3,得2/+/一片=一3，

又〃2=11=4,所以。為=-1,

八a-b1

所以8S”麗一，

又因?yàn)?°<6><180°,

所以￡石的夾角為120。；

（2）解：由已知得4%=1><2*8560。=1,

貝U（2fa—b）.（2a+tb）=4fa~+2t~a-b—2a,b—tb~—21一2,

因?yàn)橄蛄?笈-B與2Z+瘍的夾角為鈍角，所以2/_2<0,解得-

設(shè)2/a-石=2（2a+f方）,2<0,

'2t=2/1

則一1=打，無解，故兩個(gè)向量的夾角不可能為180。，

2<0

所以向量2笈。與2Z+瘍的夾角為鈍角時(shí)，1的取值范圍為T<r<L

考點(diǎn)五：平面向量的投影、投影向量

「、一］例12.已知向量Z=（1,0）,5=（73,1）,則B在之方向上的投影是.

【答案】6

【分析】根據(jù)向量投影的知識求得正確答案.

Zb也

【詳解】B在Z方向上的投影是斤丁石.

故答案為：出

變式1：已知點(diǎn)4-1,1),8(1,2),C(-2,-l),0(3,4),則向量而在①方向上的數(shù)量投影為______

【答案】述

2

【分析】先求得向量麗，麗的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量投影的定義即可求得答案.

【詳解】荏=(2,1),函=(5,5),

ABCD2x5+lx53A/2

所以向量而在而方向上的數(shù)量投影為??=后芯=F.

故答案為：迫.

2

變式2：設(shè)平面向量a,B滿足同=12,B=a-b=l8,則B在a方向上的投影向量為(

A.-aB,-bC.-aD.-b

8822

【答案】A

【分析】直接利用投影向量的計(jì)算公式求解.

【詳解】解：??,忖=12,3=(1,20),"=18

a-ba181-1-

.不在Z方向上的投影向量=7同=五?行

故選：A.

變式3：已知非零向量Z,入滿足忖=2忖=2,且則向量石在向量日上的投影為

【答案】g##0.5

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)由R4)，況可得￡石=片，再根據(jù)投影的概念計(jì)算即可.

【詳解】解：因?yàn)樗?-片=6,所以￡花=片，又問=2『2,

所以向量入在向量力的投影為Bcose=U=4=2

HH2

故答案為：，

變式4：已知Z=（L6）,b=（3,m）.若后在￡方向上的數(shù)量投影為3,則實(shí)數(shù)機(jī)=

【答案】百

a-b-

【分析】由》在￡方向上的投影為可=3,代入計(jì)算即可得到答案.

【詳解】由題意知，同=后=2

,,a-ba-b3+V3m_

因?yàn)?在￡方向上的投影為下「，所以可=-2—=3,解得加=6.

故答案為：73

13.已知向量|￡|=2,\b\=\,且|12碓如，則行在￡方向上的投影向量為（）

A1-

A.—aB.千C.9D.

4O

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得112H=/一4狙+4片=10,可求得即可利用投影

向量得出答案.

【詳解】V|a|=2,1^1=1,且|￡-2向=質(zhì),

'■\a-2b^=a-4a-b+4b=10，

--1

...4—4a。+4=10,a-b=—,

2

B在Z方向上的投影向量為㈤8$<2,石>?=5|言］.占="2=-卜,

\a\\a\\b\\a\\a\X

故選：D.

變式1：已知忖=1炳=3點(diǎn)-0=4,則向量￡在向量石上的投影向量為

【答案】j##T

【分析】由題知＞分=-3,進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.

【詳解】解：因?yàn)橥?1炳=3,0一方卜4

所以卜-@=|a|-2a-5+15|=l-2a-&+9=16,解得7B=-3,

ba.b—3-1-

所以，向量￡在向量B上的投影向量為慟-b=g"=一§6

1一

故答案為：守

變式2：已知向量2=(-2,4)=(1,1),^.alb,則2=,在后方向上的投影向量

的坐標(biāo)為.

【答案】2

【分析】①根據(jù)平面向量垂直的判定條件求解力的值即可；

②首先根據(jù)投影的計(jì)算公式求出aJ在方方向上的投影，進(jìn)而求出a/在3方向上的投影向量.

【詳解】①已知。=(一2,幾)，S=(l,l),由于所以Z%=(-2)xl+/ixl=0,解得；L=2；

②由①知:?=(-2,2),5=(1,1),得2-石=(一3,1),

則(Z-石)石=(一3)xl+lxl=-2,忖=712+12=6,

(a-b\-b-2廠

故力在石方向上的投影為匚芳=奇-0，

得:/在B方向上的投影向量為言出=(T-i).

72

故答案為：2；(-1,-1)

［修真題演練

----------------------lllllllllllllllllilllllllllllllllllllllll------------------------

1.已知向量"滿足|Z|=1,I昨后|￡一2昨3,則￡已=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解:,5-2盯=|西2_4無5+4時(shí)，

又?.?|刈=1,|方|=若,|萬一251=3,

?*?9=1-4^-5+4x3=13-4a-,

d'b=\

故選：C.

2.已知向量￡=(2,1)萬=(-2,4),則卜,()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得1萬，然后求得自-4

【詳解】因?yàn)椤?=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以歷而=5.

故選：D

3.已知向量￡=(3,4),5=(1,0),2=￡+，方,若<a,c>=<5,2>,則，=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】c

【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

9+3%+163+/

【詳解】解：1=(3+t,4),cosS?=cosR?,即=百，解得,=5,

故選：C

4.設(shè)向量￡,B的夾角的余弦值為:，且同=1,口=3,則(22+3"=^

【答案】11

【分析】設(shè)￡與B的夾角為明依題意可得cose=g,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出最后根據(jù)

數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)￡與B的夾角為。，因?yàn)椤昱c5的夾角的余弦值為］1即cos”：1

又忖=1,2|=3,所以a.B=?qcos9=lx3xg=l,

所以（22+石）％=2￡石+^=275+=2x1+32=11.

故答案為：11.

5.已知向量。=。,3）石=（3,4）,若貝!J%=.

【答案】|

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出.

【詳解】因?yàn)椤暌?=。,3）—“3,4）=（1—343—4孫所以由（1二），」可得,

3（1-3為+4（3-4為=0,解得彳=：

3

故答案為:~.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)2=（刃,％）3=（々，%），

=+=。，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分.

6.若向量￡,早滿足卜卜3*卜-耳=5,夕％=1,則同=.

【答案】3亞

【分析】根據(jù)題目條件，利用入?模的平方可以得出答案

【詳解】=5

.I——|2f2—2一一I-|2

??〃一/?=a+b-2tz-Z?=9+/?-2=25

.?調(diào)=30.

故答案為：3行.

國過關(guān)檢測-

lllllllllllllllllllilllllllllllllllllllll----------------------

1.已知向量"B滿足同=1,ab=-l,貝lj商121+5)=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律直接計(jì)算.

【詳解】由同=1,ab=-1>

得力-(20+B)=2萬？+萬-5=2+(—1)=1,

故選：D.

2.若向量。出滿足|々|=魚,出|=2,m_L(1-5),則々與石的夾角為()

A-B-C—D—

'4'3'3'4

【答案】A

【分析】根據(jù)平面垂直向量和向量數(shù)量積的定義可得2-2應(yīng)cosG4=0,即可求解.

【詳解】因?yàn)?。?-5),

所以0=2-(M—5)=萬2-萬.5=2-卜|Wcos(a,B)=2-20cos(a,，

得cos(a,B)=等^,又7],

所以=

故選：A.

3.在四邊形ABCD中，AB=DC,且(荏+而)?(通-亞)=0,那么四邊形ABCD為()

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】C

【分析】結(jié)合向量運(yùn)算以及平行四邊形、矩形、菱形、正方形等知識，確定正確答案.

【詳解】由荏=比，可得四邊形A5CD是平行四邊形.

由(荏+15)(荏一礪)=0,AB-AD=0,AB2=AD2,

所以|荏卜|碼，所以四邊形A5CD為菱形.

故選：C

4.已知G和1是兩個(gè)正交單位向量，=27+3；,且應(yīng)，貝隈=()

A.2或3B.2或4C.3或5D.3或4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得到Z=(2,3),分=(1