專題06等式性質與不等式性質

1、掌握等式性質與不等式性質以及推論，能夠運用其解決簡單的問題.

2、進一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實數的大小.

知識點一：不等式的概念

在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，我們用數學符號“W“2”

連接兩個數或代數式，以表示它們之間的不等關系.含有這些不等號的式子，叫做不等式.

自然語言大于小于大于或等小于或等至多至少不少于不多于

于于

符號語言><><<>><

知識點二：實數。力大小的比較

1、如果a—b是正數，那么a>/?；如果a—Z?等于0,那么a=b；如果a—Z?是負數，那么a<6,反過

來也對.

2、作差法比大?。孩賏-b>Qoa>b；@a-b-O^=>a=b；③a-bcOoacb

3、不等式性質

性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變

性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變

性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變

知識點三：不等式"+廿22他的探究

一般地，Va,beR,有片+/22M，當且僅當。=辦時，等號成立.

知識點四：不等式的性質

性質性質內容特別提醒

對稱性a>b<^b<ao（等價于）

傳遞性a>b,b>a>c=>（推出）

可加性a>b<^>a+c>b+co（等價于

a>b\注意C的符號（涉及分類討

可乘性>=>ac>be

c>OJ論的思想）

a>b

>=ac<bc

c<OJ

a>b\

同向可加性=>

c>d]

a>b>Q\

同向同正可乘性>=ac>bd=>

c>d>Q\

可乘方性a〉b〉0na">b'\neN,n>2)a,6同為正數

5、區(qū)間的概念

5.1區(qū)間的概念

設a,b是實數，且。<6,滿足aWxWb的實數大的全體，叫做閉區(qū)間，

記作［4句，即，la,b}={x\a<x<b}Q如圖：fl,b叫做區(qū)間的端點.在數軸上表示一個區(qū)間時，若

區(qū)間包括端點，則端點用實心點表示；若區(qū)間不包括端點，則端點用空心點表示.

ii」1:I1

“bXabx“b飛abx

。WxWba<x<ba<x￡ba^x<b

{x|aWxWb){r|a<x<b](r|a<x^.b]

(?.ft)(a,可(??b)

閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)向半開半閉區(qū)間

集合{x\a<x<b}{x\a<x<b}{x\a<x<b}{x\a<x<b}

區(qū)間\a,b\(a,b)（。,勿[a,b')

5.2含有無窮大的表示

全體實數也可用區(qū)間表示為（—8,+8）,符號“+cc”讀作“正無窮大”，“一8”讀作“負無窮大”，

即7?=（TO,+8）。

____L.1.___1

axaxaxax

X》axWax>ax<a

a}

|a.+ao)(-??a](a.-Ho)(-<力.a)

集合{x\x>a}{x\x<a}{x\x>a}{x\x<a}

區(qū)間[a.+oo)(—GO,a](a,+oo)(-CO,a)

對點集訓一：比較兩個代數式的大小

角度1:由不等式性質比較數(式)的大小

典型例題

例題1.(24-25高一下?貴州遵義?階段練習)已知a>b>c,則下列不等式一定成立的是()

A.a+b>cB.ab>c2C.---->----D.ab>ac

a-ba-c

【答案】C

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質比較數(式)大小

【分析】利用賦值法可判斷ABD;利用不等式性質可判斷C.

【詳解】-3>M>-5,但一3-4<一5,故A錯誤；

-3>-4>-5,但(-3)x(-4)<(-5)2,故B錯誤；

因為。>c,所以一匕〈一c,所以〈〃-c,又a〉b〉c,所以0<“一》一c,

所以工>,>0,故C正確；

a-ba-c

-3>-4>-5,但(―3)x(y)<(—3)x(—5),故D錯誤.

故選：C.

例題2.(24-25高一上?湖南益陽?期末)已知a">0,c>d>0,貝IJ()

A.a+d>b+cB.a-d>c-b

C.ac2>be2D.ad>be

【答案】C

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質比較數(式)大小

【分析】根據不等式的性質判斷AC,舉例說明判斷BD.

【詳解】A：若a=2,b=l,c=3,d=2,貝iJa+d=/?+c,故A錯誤；

B:舉例a=2,/?=l,c=3,d=2,。一4>。一6不成立，故B錯誤；

C：由題意知,2>0,貝(lac?〉/?/,故C正確；

D：舉例。=l.l,b=l,c=3,d=2,ad>be不成立,故D錯誤.

故選：C

精練

1.（24-25高一上?上海?期末）若a<b<0下列不等式中：①￡<1;②同〉問；③4<!；?-<7,成立

bbaab

的有（）個

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質比較數（式）大小

【分析】根據不等式的性質一一判斷即可.

【詳解】因為a<6<0,所以，>1,故①錯誤；

b

\a\>\b\>0,故②正確;

，>時>0,即/>》2>0,所以上>，，故③錯誤；

1111ba

因為a<與<0,所以故④錯誤；

ab

故選：A

2.（多選）（24-25高一上?新疆昌吉?期末）已知〃>3>0>c>d,下列說法正確的是（）

cd

A.aobcB.a3>b3C.a-c>b-dD.—>—

ab

【答案】BD

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質比較數（式）大小

【分析】根據不等式的性質，結合特殊值法逐一判斷即可.

【詳解】對于a>6>0>c,所以ac<6c，故A$昔誤；

因為/在R上單調遞增，又a〉b,所以〃3>戶，故B正確；

令a=4,6=3,c=-L〃=-9,此時a-c=51-d=12,此時a-c<b-d,故C錯誤;

因為。所以因為所以

>b>0,ab0>c>4,-d>-c>0,

所以?>Z￡>O,所以￡>g,故D正確.

baab

故選：BD.

3.（多選）（24-25高一上?山東臨沂?期末）若〃>b>0,貝（I（）

八,-11八ba.bb+X

A.ac>bcB.—<—C.—<—D.—>

ababaa+1

【答案】BC

【知識點】由不等式的性質比較數（式）大小、作差法比較代數式的大小

【分析】利用不等式的性質，結合作差法逐項判斷.

【詳解】對于A,取c=0,貝!lac=O=bc,A錯誤；

對于B,由。>6>0,得,<?，B正確；

ab

ah

對于C,由〃>匕>0,得,c正確；

ba

ZTn缶1八3bb+1b-a<0則2<絲1,D錯誤.

a丁。,ru，何1—<U,

aa+1a(a+1)aa+l

故選：BC

角度2:利用作差法比較大小

典型例題

例題1.(2024高三?全國?專題練習)若。=(x+i)(x+3),b=2(x+2『，則下列結論正確的是()

A.a>bB.a<bC.a>bD.?,大小不確定

【答案】B

【知識點】作差法比較代數式的大小

【分析】利用作差法分析判斷即可

【詳解】因為6—4=2(X+2)2-(X+1)(X+3)=2尤2+8%+8-任+4%+3)=%2+4%+5=(%+2)2+1>0,

所以a<b.

故選：B

例題2.(24-25高一上?海南海口?階段練習)若x<y<。，設M=任+/卜”N=(V-嚴(工+,),則降

N的大小關系是.

【答案】M>N

【知識點】作差法比較代數式的大小

【分析】利用作差法求解.

【詳解】M-N=-2xy(x-y),

因為x<y<0,

所以-2孫<0,x-y<0,

所以M—N>0,即舷〉N,

故答案為:M>N

精練

1.(2025高三?全國?專題練習)已知P=°2+3a+3,。=。+1,貝必與0的大小關系為()

A.P<QB.p=QC.P>QD.P<Q

【答案】C

【知識點】作差法比較代數式的大小

【分析】利用作差法判斷即可.

【詳解】因為尸-Q=a2+3a+3-(a+l)="+2a+2=(a+l)2+l>0,

所以P>Q.

故選：C

2.(24-25高一上?四川南充?階段練習)設M=2a(a-2),N=(。+1)(”3),貝(]加，N的大小關系為()

A.M>NB.M<NC.M<ND.無法確定

【答案】A

【知識點】作差法比較代數式的大小

【分析】作差并與0比較大小得解.

【詳解】依題意，M-N=2a(a-2)-(a+lXa-3)=a2-2a+3=(a-r)2+2>0,

所以M>N.

故選：A

3.(24-25高一上,遼寧,期末)已知a,b均為正實數，若V="+/,N=+,貝IJ()

A.M<NB.M<NC.M>ND.M>N

【答案】D

【知識點】作差法比較代數式的大小

【分析】根據給定條件，作差比較大小.

【詳解】由明。均為正實數，M=a3+b3,N=a2b+ab2,

M—N=a3+b3-a2b—ab~=6(a—b)—(a—b)=(a—b){cr—b2)

=(a-b)2(a+b)>0,當且僅當〃=/?時取等號，

所以M2N.

故選：D

角度3:利用作商法比較大小

典型例題

例題1.(多選)(23-24高三上?湖南長沙?階段練習)對于實數。，b,下列選項正確的是()

A?若a〉b,則〃B.若貝

2

1]h+ch

C.若一>:，則a>0,b<0D.若a>b>0,C>O,則——>-

aba+ca

【答案】ABD

【知識點】作商法比較代數式的大小、作差法比較代數式的大小

【分析】利用比較法、特例法逐一判斷即可.

八辛旬1■但E"rnM,g、ia+ba-b八a+b,a-b

【詳解】對選項A,因為a”，所以。-----=---->0,-----b=---->0n,

2222

所以字>6,故A正確；

2

焉=亨>1’所以",疝'

對選項B,a>b>Q,

因為華=3>1，所以而>>，即.>疝>"，故B正確；

對選項C,令a=2,b=3,滿足工>1,不滿足a>0,b<Q,故C錯誤；

ab

對選項D,因為〃>/?>(),<?>0,

所以-b-+--c---b二」a—(b+c]-b(―a+cL]=^c一(a-b(\>0,故D正確.

a+ca++

故選:ABD.

例題2.(2024高一?上海?專題練習)尸=/+。+1,。=3—,(aeR),則P,Q的大小關系為______

a-a+1

【答案】2

【知識點】作商法比較代數式的大小

【分析】用作商法比較RQ的大小關系，化簡即可得結果.

【詳解】因為尸=儲+々+1=[々+；]+-1>0,〃2一〃+1=(〃一；］+1->0貝UQ>°

由二(Q2+Q+1)(〃2—Q+1)=(/+1|一4=Q'_|_/_|_J>I

所以尸2。

故答案為:>

精練

1.(23-24高一?江蘇?假期作業(yè))已知建1,試比較M■和N=二I的大小.

【答案】M<N

【知識點】由不等式的性質比較數(式)大小、作商法比較代數式的大小

【分析】方法1深用作商比較法，結合分母有理化即可求解方法2:先計算上=而1+&-=&+病萬,

MN

從而可得_L>J_>0,進而可求解.

MN

【詳解】（方法工）因為〃21,所以M=>o,N=萬>o.

所以A/yjCl+1—y/u+y]Cl—1

N?y/^-Ja—iJa+i+yj~Q.

因為Ja+1+s/a>y/a+y/a—1>0,所以—<1即Af<N；

N9

（方法2）所以M=Ja+1—y/a>0,N=y[a—y/a—1>0,

V,——―/---T=—+1+yfu,———7=---/—{a—1.

M孤NGV^T

所以—>—>0,所以M<N.

MN

2.（23-24高一下?黑龍江鶴崗?期末）設。>萬>0,比較占彩與巴二?的大小

a+ba+b

〃2—b?a-b

【答案】—------>------

〃+Z?a+b

【知識點】作商法比較代數式的大小、由不等式的性質比較數（式）大小

【分析】先判斷兩個式子的符號，然后利用作商法與1進行比較即可.

【詳解】???a>b>0^>a-\-b>0,a-b>0,

a2-b1（a+b\（a-b\a-b八

.—;——7=-——~->0,------>0,

a+ba+ba+b

/+尸=（a+?=]2ab

'a-b~cr+b2~a-+b2，

a+b

〃2—/72ci—b

.-〉-----.

a+ba+b

3.（23-24高一上?河北石家莊?期中）（1）設a>b>0,比較與0二的大??；

a+ba+b

PP

（2）已知a>Z?>0,c<d<Q,e<0,求證：>-——-.

a-cb-d

【答案】（1）；匕）證明見解析

a+ba+b

【知識點】由不等式的性質證明不等式、作商法比較代數式的大小、作差法比較代數式的大小

【分析】（I）由題意得￡4>0,@心>0,利用作商法即可得出答案；

a+ba+b

（2）利用不等式的性質和作差法，即可證明結論.

【詳解】（1）,.,〃>/?>（）,a~b>0,^-^->0,

a+ba+b

.2ab)],a2-b2a-b

22222

a-ba+b~a+b'"a+ba+b'

a+b

⑵Qc<J<0,:.-c>-d>0,又a>b>0,

:.a-c>b-d>O,b-a<O,c-d<0,y^e<09

ee_e(b-d)-e(a~c)_e(Jb-d-a+c)_e(b-a+c-d)

a—cb—d(a-c)(b—d)(a-c)(b-d)(a-c)(b-d)

ee

----->------.

a-cb-d

對點集訓二：利用不等式的性質證明不等式

典型例題

例題1.(24-25高一上?海南省直轄縣級單位?期中)已知a>b>l,d<c<-2.

(1)求證：(a—l)(b-l)(c+2)(4+2)>0;

(2)求證：ac+bd>bc+ad-

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【知識點】由不等式的性質證明不等式、作差法比較代數式的大小

【分析】(1)利用不等式的性質證明即可；

(2)應用作差法比較大小，即可證.

【詳解】⑴由”>匕>1,貝故(。―1)(6-1)>0,

由d<c<-2,貝lJc+2<0,d+2<0,故(c+2)(d+2)>0,

所以(。-l)(〃-l)(c+2)(d+2)>0,得證.

(2)ac+bd-bc-ad=c(a-b')+d(b-a)=(c-d')(a-b),]fjja—b>O,c—d>0,

所以ac+bd-"c-血=(c-")(a-b)>0,即在+切>歷+血，得證.

例題2.(2024高三?全國?專題練習)已知實數“，b,。滿足a+b+c=O.

(1)若a<b<0,求證：；

a—cb—c

(2)若a<0,b<Q,abc=l,求。的最小值.

【答案】(1)證明見解析

(2)痣

【知識點】條件等式求最值、由不等式的性質證明不等式

【分析】(1)利用不等式的性質證明即可；

(2)由條件得°=-。-6且。=乙，代入c3=c2.c,利用基本不等式求解.

【詳解】(1)由〃且〃+b+c=O,得c>0,-a>-b>Q,

故。一。>(?一匕>0,所以。v」一所以RP—<T^~-

(2)由〃+/?+c=0且〃<0,b<0,abc=1,得c=-〃一/?,且。二二，

ab

2

er-Ki32/7\21+Z?+2abab_b_.

所以03=c^,c=(a+b\——=-----------=—+—+2>2/----+2=4,

ababba\ba

當且僅當f=即“=8時取等號，所以C的最小值為游.

ba

精練

1.(24-25高一上?河北石家莊?階段練習)⑴比較Y+4V+1與2(x+2y—1)的大小；

(2)已知。>6>0,c<d<0,e<0,求證：,>'.

a-cb-a

【答案】⑴x2+4/+l>2(x+2y-l);(2)證明見解析.

【知識點】作差法比較代數式的大小、由不等式的性質證明不等式

【分析】(1)利用比較法，作差即可判斷大?。?/p>

(2)結合不等式性質即可證明.

【詳解】解：(1)x2+4y2+l-2(x+2y-l)=(x2-2x+l)+(4j2-4y+l)+l=(x-l)2+(2y-l)2+1>O,

+4y2+1>2(x+2y—1).

(2)證明：因為c<d<0,a>b>0,可得一c〉一d>0,a-c>b-d>0,

11cc

貝—>0,又e<0,可得￡>占.

b-aa-ca-cb-a

2.(24-25高一上?甘肅蘭州?期中)⑴比較(。+3)(。-5)與m+2)(a-4)的大??；

(2)已知a>6>0,c<0,求證：

ab

【答案】答案見解析

【知識點】由不等式的性質證明不等式、作差法比較代數式的大小

【分析】(1)利用作差法比較大??；

(2)根據〃>6>o,得到;>上〉0,再由。<0,根據不等式的性質可得從而得證.

baab

【詳解】(1)因為(a+3)(a—5)—(a+2)(a-4)

=a?-2〃-15-(a?-2〃-8)=—7<0,

所以(a+3)(a-5)v(a+2)(a-4);

(2)因為。>b>0,所以?>工>0,

ba

又c<0,所以—〉不，得證.

ab

3.(2024高一上?全國?專題練習)已知6>a>0,c>d>0,求證工>上一

c+ad+b

【答案】證明見解析.

【知識點】由不等式的性質證明不等式

【分析】利用不等式的性質證明.

【詳解】根據不等式的性質利用綜合法即可證明.

因為6>a>0,所以!>g>0,

ab

又因為c>d>o,所以￡>g>o,

ab

所以2b>a@>o,所以b2+ia>@+i>o+i,

acac

b+da+c

所以------>------>1,

d

所以工>二

c+ad+b

對點集訓三：利用不等式的性質求取值范圍

典型例題

例題1.(24-25高一上?廣東河源?階段練習)已知-l<x+y<4,2<x-y<3,

(1)求x的取值范圍

(2)求3x+2y的取值范圍

【答案】

【知識點】利用不等式求值或取值范圍

【分析】(1)兩不等式相加可求X的取值范圍；

(2)利用待定系數法可得3x+2y=；(x+y)+；(x-y),再根據不等式的性質可求3x+2y的取值范圍.

【詳解】(1)\--l<x+y<4,2<x-y<3,

??兩個不等式相加可得1<21<7

17

解得大<%<—.

22

（2）設3x+2y=加（x+y）+H（x—y）,

5

m=-

m+n=32

則

m—n=21

n=—

2

即3x+2y=；（尤+y）+g（尤-y）,

又?「一l<%+y<4,2<x-y<3,

55/、1/、3

——<—（x+y）<10,l<—（x-y）<—,

22V72V72

35zAlz、23

22V72V72

323

RP-—<3x+2y<-,

.?.3尤+2y的取值范圍為（-

jr

例題2.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）如果30<%<42,16<y<24.分別求%+%%-2y及一的取值范圍.

y

5r21

【答案】46vx+y<66;-18<%—2）<10;一<一<——

4y8

【知識點】利用不等式求值或取值范圍

【分析】先利用不等式的性質分別求-2y,■的范圍，再結合所求運用不等式的同向可加性，同向皆正可

乘性即得.

【詳解】因3。<%<42/6<><24,故46Vx+y<66；

因T8<-2y<—32,故一18vx—2yvl0；

11130x215x21

又m因五<7<記，則mI五<丁千n即方丁丁

精練

1.（24-25高一上廣東廣州?階段練習）⑴設為實數，比較與2“一2》-2的值的大??；

（2）已知l《a+6《4,-l<a-b<2,求4a-26的取值范圍；

（3）已知正數。力滿足2"=2a+A,求a+25的最小值.

9

【答案】（1）a2+b2>2a-2b-2；（2）[-2,10]；（3）-

2

【知識點】作差法比較代數式的大小、基本不等式“1”的妙用求最值、利用不等式求值或取值范圍、基本

不等式求和的最小值

【分析】（1）利用作差法判斷即可;

（2）根據不等式的性質計算可得；

(3)依題意可得上1+；2=2,再利用乘“1”法及基本不等式計算可得.

ab

【詳解】(1)因為(2。—26-2)=(?！?)2+。+爐二。，當=時等號成立,

所以/+/224-26-2,當0=1力=-1時等號成立；

(2)因為4〃-2b=3(a-Z?)+(a+b),

又-l<a-b<2,所以-343(q-5)<6,

所以—2K3(a—b)+(a+b)<10,

所以4a-2be[-2,10];

I?

(3)因為正數〃力滿足2〃》=2。+8，所以一+：=2,

ab

b-C71/?、門2、1(2b2a\

所以a+2Z?=%(a+2Z?)-+-=-5+——+—

2\ab)2vabJ

$5+2廬當且僅當”==,即a=b=3時等號成立，

2|^\ab)2ab2

所以a+2/>的最小值為！0

2.(2025高三?全國?專題練習)已知-lVx+”2,-2<x-y<l,求x-2y的取值范圍.

【答案】[T2]

【知識點】利用不等式求值或取值范圍

13

【分析】計算出x-2y=-q(x+y)+：a-y),從而得到Y4x-2”2,得到答案.

[詳解]l§.x-2y=m(x+y)+n(x-y),

x—2y=(m+n)x+(m—n)y,

1/片=--1

解得J,

[m—n=—23

n=—

I2

[3

故x_2y=_/(x+y)+5(x-y),

-l<x+y<2,-2<x-y<l,

,1/1c3/3

-1^-2(x+y、)-2,-3?Q(x_y、)W]，

13

■■--4<--(x+y)+-(x-y)<2,

gp-4<x-2y<2,

故尤-2y的取值范圍為[T,2].

3.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知-1<%<4,2<y<3.

（1）求x-y的取值范圍；

（2）求3x+2y的取值范圍.

【答案】

（2）1<3X+2J<18

【知識點】利用不等式求值或取值范圍

【分析】（1）由不等式的性質求解即可；

（2）由不等式的性質求解即可；

【詳解】（1）因為一l<x<4,2<y<3,

所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.

（2）由2<y<3,得—3<3x<12,4<2y<6,

所以1<3尤+2y<18.

一、單選題

1.（24-25高一上?重慶?期中）已知P:x+y>2,到>1；q：%>1,>>1,貝也是。的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.就不充分又不必要條件

【答案】A

【知識點】判斷命題的充分不必要條件、由不等式的性質證明不等式

【分析】通過舉特例及不等式性質可判斷選項正誤.

【詳解】當x=L5,y=0.8時,x+y=2.3>2,xy=1.2>l,但y=°.8<l,

則由P不能得到。；當x>l,>>1時，x+y>2,xy>l,則由q可得到p,

故0是P的充分不必要條件.

故選：A

2.（24-25高一上?北京?期中）若a,b,C為非零實數，且a>c,b>c,則（）

112

A.a+b>cB.ab>c2C.a+b>2cD.—F—>—

abc

【答案】C

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確

【分析】舉反例說明ABD是錯誤的，根據不等式的性質判斷C的真假.

【詳解】令a=b=-l,c=-2,貝！b>c,

因為此時。+匕二一2=c,故A不成立；

而=1<（-2）2=。2,故B不成立；

11o

+2<1=

~aTb=~-c~9故D不成立;

根據不等式的基本性質：，b>c=>a+b>2c,故C成立.

故選：C

3.（24-25高一上?江蘇南通?階段練習）若〃>人>0,則下列不等式一定成立的是（

bb+\2a+ba

A.—>----D.----->—

aa+\aba+2bb

【答案】C

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數式的大小

【分析】舉出反例可得A、B、D錯誤；借助作差法計算可得C.

【詳解】對A：若a=l,6=則有2=[b+l|+13,

2a2--==-

Q+11+14

hZ?+1

此時故A錯誤；

aa+1

對B:若〃=1,b=—,貝II有QH—=1+1=2,Z?+—=—F2=—,

2ab22

此時“+”+，,故B錯誤;

(Q_Z?)(Q+Z?)

對C:/7一+=(Q_〃)+

bab

由4>。>0,故〃一。>0,a+b>0,ab>0,故

hn

^a-->b——,故C正確；

ab

?_1_

——丁一乙9

對D:若〃=1,b=—,貝！|2a+b=___2=9b1，

2

a+2b~1+1~42

.2a+bai,_人,、口

此時——-<-,故D錯1H誤.

a+2bb

故選：C.

4.（24-25高一上?云南昭通?期中）下列命題為真命題的是（）

A.若貝ija<}B.若〃<人,貝!!.2<62

ab

hn

C.若a>0>0,則，D.若a>0>0,貝!|一〈:

ab

【答案】D

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數式的大小

【分析】對ABC舉反例即可判斷，對C和D利用作差法即可判斷.

【詳解】對A,舉例a=l,b=T,滿足!>。，但a>b,故A錯誤；

對B,舉例a=T,b=l,滿足a。，但"=從，故B錯誤；

對C,若"6>0,&-揚=:"?>。，即加，故C錯誤，

7a+7b

對D,2，=0+")3一”),因為a〉〃〉0,貝1_|。6>0/+。>0/_。<0,

abab

則2q<。，即

abab

故選：D.

5.(2025高三?全國?專題練習)已知0c<5,則元-2y的取值范圍是(

A.(2,3)B.(-2,3)

C.(2,7)D.(-2,7)

【答案】D

【知識點】利用不等式求值或取值范圍

【分析】由不等式性質得到-2<-2y<2,-2<x-2y<7.

【詳解】故-2<-2”2,

又0<%<5,所以-2<x-2y<7

故選：D

6.(24-25高一上?廣東陽江?期末)已知1<。<2,0<。<3,則2a-6的取值范圍為(

A.(1,2)B.(2,7)C.(-1,7)D.(-1,4)

【答案】D

【知識點】利用不等式求值或取值范圍

【分析】由已知根據不等式的乘法性質求出2a,的范圍，再同向相加即可得結論.

【詳解】因為1<。<2,0<6<3,

用f以2v2av4,—3v—h<0,

所以一1<2。一

故選：D.

7.（24-25高一上?四川瀘州,階段練習）已知實數J》滿足-44尤-l<4x-y<5,則6x-3y的

取值范圍是（）

A.[-9,3]B.[-7,26]

C.[4,15]D.[1,15]

【答案】A

【知識點】利用不等式求值或取值范圍

【分析】設6X-3尸皿x-y）+〃（4x-y）,求出力和〃，再根據不等式的性質求解即可.

【詳解】設6x—3_y=—_y）+〃（4x—y）=（〃z+4/z）x—（〃z+〃）y,

,fm+4?=6（m=2./、/、

則<,,解得〈],所以6x-3y=2（x-y）+（4x-y）,

[m+n=31〃=1

因為-4Vx_y〈_l,所以-8M2（%_y）M_2,

X-l<4x-y<5,所以一9M2（x—y）+（4x—y）V3,gp-9<6x-3y<3,

所以6%-3丫的取值范圍是[-9,3].

故選：A.

8.（24-25高一上?湖南郴州?期末）已知實數滿足1<"3,-l<b<2,則2a-〃的取值范圍是（）

A.（0,4）B.（3,4）C.（3,7）D.（0,7）

【答案】D

【知識點】利用不等式求值或取值范圍

【分析】利用不等式性質得到2-2<2a-b<6+l,得到答案.

【詳解】l<a<3n2<2a<6,又-1</?<2=-2<-6<1,

故2-2<2。-Z?<6+1,即0<2a-/?<7.

故選：D

二、多選題

9.（24-25高一上?廣東廣州?階段練習）已知c<0<A<a,貝U（）

A.ac+b<bc+aB.b3+c2<a3+c2

【答案】ABD

【知識點】由不等式的性質比較數（式）大小、作差法比較代數式的大小、由已知條件判斷所給不等式是

否正確

【分析】利用不等式的性質和同向不等式可加性，可判斷ABD,利用作差法可判斷C,即可.

【詳解】對于A:Qc<0<b<a

/.ac<bc,又b<a,由加法性質知ac+b<bc+Q,A正確，

XtTB:\*a>b>0,/.?3>Z?3,/.a3+c2>&3+c21B正確,

..Q+Ca_(a+c)b-a(b+c)_c(b-a)

“C.b+cbb(Jb+c)b(Jb+c)1

Qc〈O<b〈a,，。(%-〃)>0,但是。+。的正負號不確定，

.??爐與一大小關系不確定，c錯誤，

b+cb

,

對于D:：a>b>O1:.y/a>y/b>0,

??萬>-7=,又c<O,，F<~j=,D正確，

7b7a7b7a

故選：ABD.

10.(24-25高一下?貴州畢節(jié),階段練習)下列命題正確的是()

A.a>b,c<d,貝Uq-ob-d

B.若"6<0,貝

ab

c.若a<b,c<d,則ac<M

D.若a<,<0,則/<而</

【答案】AB

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確

【分析】對于AB,根據不等式的基本性質分析判斷，對于CD,舉例判斷即可.

【詳解】對于A,因為c<d,所以-c>-d,因為。>匕，所以“+(-c)>b+(-d),即a—c>6—d,所以A正

確，

對于B,因為a<b<0,所以ab>0,所以:<與，所以所以B正確，

ababab

對于c,若。=1,6=2,。=-2,〃=-1,貝［J滿足a</?,c<d,此時呢=切=-2,所以C錯誤，

對于D,若〃=-21=-1,貝嗨足”辰0,此時/>">/,所以D錯