第13講兩條直線平行和垂直的判定3種常見考法歸類

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

||鑿基礎(chǔ)知識1

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知識點1兩條直線平行

對于兩條不重合的直線/i,h,其斜率分別為左,左2,有h〃buki=k2.

注：(1)2T：1=左2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在.②與〃不重

合.

(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時，/1與4的傾斜角都是90,則44.

(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：44=匕=&或/1，4斜率都不存在.

知識點2兩條直線垂直

如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于一1;反之，如果它

們的斜率之積等于一1,那么它們互相垂直，即?比=—1.

注：(1)/i_L/2<=^i-fo=-1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在.②A#0且

左2Ho.

(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線

垂直.

(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：

4，4O%"=T或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零.

[[豳解題策略

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1、兩條直線平行的判定及應(yīng)用

%=近臺/1〃/2是針對斜率都存在且不重合的直線而言的，對于斜率不存在或可能不存在的

直線，要注意利用圖形.

2、利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法

（1）一看：就是看所給兩點的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在只需看另一

條直線的兩點的縱坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進行第二步.

（2）二代：就是將點的坐標(biāo)代入斜率公式.

（3）三求：計算斜率的值，進行判斷.尤其是點的坐標(biāo)中含有參數(shù)時，應(yīng)用斜率公式要對

參數(shù)進行討論.

3、利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟

IQ考點剖析

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考點一：兩條直線平行的判定及應(yīng)用

（一）兩條直線平行的概念辨析

|\例1.（2023?高二課時練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.兩條直線的斜率相等是這兩條直線平行的充要條件

B.兩條直線的傾斜角不相等是這兩條直線相交的充要條件

C.兩條直線平行是這兩條直線的傾斜角相等的充要條件

D.兩條直線平行是這兩條直線的法向量平行的充要條件

變式1.（2023秋?北京?高二人大附中?？计谥校┤?與4為兩條不重合的直線，它們的傾斜角

分別為四，?2,斜率分別為a,k2,則下列命題

①若4〃3則斜率《=履；②若斜率《=及，則4〃4；

③若4〃4,則傾斜角%=%；④若傾斜角4=%,則4〃4,

其中正確命題的個數(shù)是().

變式2.【多選】(2023秋?新疆喀什?高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第六中學(xué)?？计谥?若4與4

為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有()

A.若〃〃2,則它們的斜率相等B.若4與4的斜率相等，則〃4

C.若C一則它們的傾斜角相等D.若1與4的傾斜角相等,則〃4

(二)兩條直線平行關(guān)系的判定

例2.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))判斷下列各題中直線4與4是否平行.

(1乂經(jīng)過點A(-l,-2),5(2,1),4經(jīng)過點"(3,4),M-1,-1)；

(2乂經(jīng)過點4-3,2),B(-3,10),4經(jīng)過點M(5,-2),N(5,5).

變式1.(2023秋?高二課前預(yù)習(xí))根據(jù)下列給定的條件，判定直線4與直線4是否平行或重合：

(1)4經(jīng)過點&(2,3),川＜0)；［經(jīng)過點有(-3,1),N(-2,2)；()

(2)4的斜率為-;，4經(jīng)過點A(4,2),3(2,3)；()

(3)4平行于＞軸，4經(jīng)過點尸(0,-2),2(0,5)；()

(4)4經(jīng)過點雙(M),尸(一2,-1),4經(jīng)過點G(3,4),H(2,3).()

變式2.【多選】(2023秋?高二課時練習(xí))滿足下列條件的直線4與4一定平行的是()

A.4經(jīng)過點4-1,-2),8(2,1),4經(jīng)過點m(3,4),M-l,-D

B.4的斜率為1,4經(jīng)過點A。/)，8(2,2)

C.4經(jīng)過點A(0,D,BQ，。)，4經(jīng)過點M(T3),N(2,0)

D.4經(jīng)過點4-3,2),8(-3,10),4經(jīng)過點M(5,-2),N(5,5)

變式3.（2023秋?高二課時練習(xí)）過點4（1,2）和點3（-1,2）的直線與直線尸3的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.重合D.以上都不對

變式4.（2023?全國?高二專題練習(xí)）判斷A（L3）,B（3,7）,C（4,9）三點是否共線，并說明理由.

（三）已知兩條直線平行求參數(shù)

例3.（2023秋?廣東廣州?高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┮阎本€4的傾斜角為30。，

直線〃4,則直線4的斜率為（）

A.6B.-V3C.BD.-立

33

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知過A（-2,加）和8（帆,4）的直線與斜率為一2的直線平行，

則m的值是（）

A.-8B.0C.2D.10

變式2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知直線4的傾斜角為45。，直線4的斜率為％=療一3,若

k//k,則機的值為

考點二：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用

（-）兩條直線垂直的概念辨析

[\例4.【多選】（2023秋?高二課時練習(xí)）下列說法中，正確的有（）

A.斜率均不存在的兩條直線可能重合

B.若直線乙，4,則這兩條直線的斜率的乘積為T

C.若兩條直線的斜率的乘積為-1,則這兩條直線垂直

D.兩條直線4，，若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零，則

變式1.【多選】（2023秋?高二課時練習(xí)）下列說法中正確的有（）

A.若兩直線平行，則兩直線的斜率相等

B.若兩直線的斜率相等，則兩直線平行

C.若兩直線的斜率乘積等于T,則兩直線垂直

D.若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于-1

變式2.(2023?高二課時練習(xí))下列說法中，正確的是()

A.每一條直線都有傾斜角和斜率

B.若直線傾斜角為則斜率為tana

C.若兩直線的斜率左，%滿足則兩直線互相垂直

D.直線4：了一2，-1=0與直線/2：x-2y+,〃=0(meT?)一定互相平行

(二)兩條直線垂直關(guān)系的判定

[\例5.【多選】(2023秋?浙江杭州?高二杭師大附中校考期中)下列直線44互相垂直的

是()

A.4的斜率為一，經(jīng)過點ACM),

B.4的傾斜角為45。，4經(jīng)過點尸(-2,-1),。(3,-6)

C.4經(jīng)過點M(l,0),N(4,-5),4經(jīng)過點R(-6,0),S(-1,3)

D.4的斜率為2,4經(jīng)過點U(1，2)V(4,8)

變式1.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由.

(1)4經(jīng)過點A(-3,T),8(1,3),4經(jīng)過點M(T,-3),N(3,1)；

(2)4經(jīng)過點43,4),8(3,10),4經(jīng)過點/(-I。,40),N(10,40).

變式2.(2023秋?廣東?高二校聯(lián)考階段練習(xí))判斷下列直線4與4是否垂直：

(1)4的傾斜角為整，4經(jīng)過皿-4,-@,川5,2⑹兩點；

a

(2乂的斜率為乙經(jīng)過P(3,_2),。(-6,4)兩點；

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(3)4的斜率為-葭4的傾斜角為*a為銳角，且tan2a=-“

變式3.(2023秋?福建三明?高二校聯(lián)考期中)已知直線4經(jīng)過A(-3,2),3(1,-2)兩點，直線4傾

斜角為45。，那么4與4()

A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直

變式4.【多選】（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）以4-1,1）,伏2,-1）,。（1,4）為頂點的三角形，下列結(jié)

論正確的有（）

A.kAB=-|

B.kBC=~

C.以A點為直角頂點的直角三角形

D.以8點為直角頂點的直角三角形

變式5.（2023秋?上海奉賢?高二?？茧A段練習(xí)）已知直線4,的斜率是方程一一px-2=0的兩

個根，則（）

A.B.

C.4與6相交但不垂直D.4與4的位置關(guān)系不確定

變式6.【多選】（2023春?廣西柳州?高二校考階段練習(xí)）（多選）若A（T2）,3（6,-4）,C（12,6）,

0（2,12）,下面結(jié)論中正確的是（）

A.AB//CDB.ABYADC.|AC|=|BD|D.AC//BD

（三）已知兩直線垂直求參數(shù)

例6.（2023春?甘肅蘭州?高二蘭州五十九中?？奸_學(xué)考試）已知經(jīng)過點A（-2,0）和點

3（1,3"）的直線4與經(jīng)過點尸（0,-1）和點。（。,-2a）的直線4互相垂直，則實數(shù)。的值為（）

A.oB.1C.?；?D.-1或1

變式1.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知直線4經(jīng)過點入（3,。）,3（。-2,3）,直線經(jīng)過點

c（2,3）,r＞（-i,?-2）,若/一心則。的值為^_______________.

變式2.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知直線/的傾斜角為135。，直線4經(jīng)過點43,2）,,

且4與/垂直，直線小,=-：尤+1與直線4平行，則a+人等于（）

b

A.-4B.-2C.0D.2

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知ABC的頂點為4（5,-1）,8（1,1）,C（2,機），是否存在,”eR

使ABC為直角三角形，若存在，求出機的值；若不存在，說明理由.

變式4.（2023秋?青海海東?高二校考期中）已知點A（-2,2）,3（6,4）,H（5,2）,H是,ABC的垂

心.則點C的坐標(biāo)為（）

A.（6,2）B.（-2,2）C.（T—2）D.（6,-2）

變式5.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知兩點42,0）,8（3,4）,直線/過點交y軸于點C（0,y）,

0是坐標(biāo)原點，且0,A,B,C四點共圓，那么y的值是.

變式6.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知N（2,2）,P（3,0）.

（1）求點。的坐標(biāo)，滿足PQLMN,PN〃MQ；

⑵若點。在x軸上，且乙NQP=NNPQ,求直線的傾斜角.

變式7.【多選】（2023秋?廣西貴港?高二?？茧A段練習(xí)）已知等腰直角三角形ABC的直角頂

點為C（3,3）,點A的坐標(biāo)為（0,4）,則點B的坐標(biāo)可能為（）

A.（2,0）B.（6,4）C.（4,6）D.（0,2）

考點三：兩直線平行與垂直的綜合應(yīng)用

[X例7.【多選】（2023秋?廣西欽州?高二浦北中學(xué)統(tǒng)考期末）已知兩條不重合的直線

/]：y=Kx+b],l2:y=k2x+b2,下列結(jié)論正確的是（）

A.若4〃4,則《=及B.若匕=K，則4〃4

C.若秘2=1,則“4D.若則張2=T

變式1.【多選】（2023秋?山東濟南?高二校考期中）若4與4為兩條不重合的直線，它們的傾

斜角分別是%，％,斜率分別為勺A,則下列命題正確的是（）

A.若斜率勺=友，則4〃4B.若桃2=-1,則4

C.若傾斜角%=%,則k//l2D.若%+4=兀，則4

|\例8.（2023秋?全國?高二期中）已知A（5,-l）,3（1,1）02,3）三點，則△ABC為三

角形.

變式1.（2023秋?河南商丘?高二校聯(lián)考期中）若A（5,-l）,C（2,3）,則ASC的外接圓

面積為_____..

變式2.(2023秋?高二課時練習(xí))以A(-2,_1),B(4,2),C(2,6),D(-3,1)為頂點的四邊形是()

A.平行四邊形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形D.直角梯形

變式3.(2023?高二課時練習(xí))已知A(L3),3(5,1),C(3,7),A,B,C,。四點構(gòu)成的四邊形是平

行四邊形，求點。的坐標(biāo).

變式4.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知四邊形腦叱。的頂點坐標(biāo)為M(l,l),N(3,-l),P(4,0),Q(2,2),

求證：四邊形MNP。為矩形.

變式5.(2023秋?廣東廣州?高二廣州市培正中學(xué)?？计谥?已知四邊形MNP。的頂點

M(l,l),2V(3-l),P(4,0),e(2,2).

⑴求斜率3N與斜率怎°;

⑵求證：四邊形MNP。為矩形.

變式6.(2023?高二課時練習(xí))(拓廣探索)在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。PQR的頂點坐標(biāo)

按逆時針順序依次為。(0,0),尸(1J),2(1-2?,2+0,R(-2t,2),其中則四邊形。PQR的形狀

為.

變式7.(2023?全國?高二專題練習(xí))用坐標(biāo)法證明：菱形的對角線互相垂直.

|］總過關(guān)檢測門|

----------------------llllllillllllllllllillllllllllllilllillll------------------------

一、單選題

1.(2023?全國?高二專題練習(xí))下列說法中正確的是()

A.若兩條直線斜率相等，則它們互相平行

B.若4〃3則-="

C.若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交

D.若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行

2.(2023?高二課時練習(xí))“直線4與4平行”是“直線4與4的斜率相等”的()條件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

3.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知A(-4,3),3(2,5),C(6,3),3(-3,0)四點,若順次連接A,B,

C,。四點，則四邊形A3CD的形狀是（）

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.直角梯形

4.（2023春?安徽合肥?高二?？奸_學(xué)考試）若直線4的斜率為-j4經(jīng)過點A（U）,

則直線4和4的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直C.相交不垂直D.重合

5.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知兩條直線〃，〃的斜率是方程3/+如一3=0（機?R）的兩

個根，則〃與〃的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直

C.可能重合D.無法確定

6.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）過點42,5）和點8（-4,5）的直線與直線＞=3的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.重合D.以上都不對

7.（2023春?河北承德?高二承德市雙灤區(qū)實驗中學(xué)校考開學(xué)考試）已知直線4經(jīng)過A（-3,4）,

3（-8,-1）兩點，直線4的傾斜角為135,那么4與6

A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直

8.（2023秋?山東泰安?高二統(tǒng)考期末）若直線4：y=丘+1與直線4：y=3x平行，則實數(shù)上的值

為（）

A.--B.!C.且D.3

333

9.（2023春?甘肅武威?高二民勤縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知三角形三個頂點的坐標(biāo)分別

為A（4,2）,5（1,-2）,C（-2,4）,則3c邊上的高的斜率為（）

A.2B.—2C.JD.—

22

10.（2023秋?浙江杭州?高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎c4（1,1）和8（2,4）,點尸在y

軸上，且/APB為直角，則點尸坐標(biāo)為（）

A.（0,2）B.（0,2）或（0,3）C.（0,2）或（0,4）D.（0,3）

二、多選題

11.（2023春?廣西柳州?高二?？茧A段練習(xí)）已知直線4與4為兩條不重合的直線，則下列命

題正確的是()

A.若4%,則斜率匕=左2

B.若斜率則/"〃2

C.若傾斜角%=%,則〃〃2

D.若〃〃2,則傾斜角%=%

12.(2023?全國?高二專題練習(xí))(多選)下列直線刀與直線/2平行的有()

A.直線〃經(jīng)過點A(2,1),8(-3,5),直線〃過點C(3,-3),￡)(8,-7)

B.直線。經(jīng)過點A(0,1),3(-2,-1),直線上過點C(3,4),。(5,2)

C.直線〃經(jīng)過點A(l