初中教學(xué)

二元一次方程組（12壓軸題專練）

目錄

【題型一利用二元一次方程的定義求字母參數(shù)】..............................................1

【題型二利用二元一次方程的解求字母參數(shù)的值】............................................2

【題型三利用二元一次方程的解求代數(shù)式的值】..............................................4

【題型四不解二元一次方程組求代數(shù)式的值】................................................6

【題型五利用二元一次方程組的解求字母參數(shù)】..............................................8

【題型六利用二元一次方程組的解相同求字母參數(shù)】.........................................10

【題型七二元一次方程組結(jié)合一元一次方程含參數(shù)問題】....................................12

【題型八二元一次方程組的特殊解法】......................................................16

【題型九新定義型二元一次方程組有關(guān)問題】...............................................20

【題型十二元一次方程組解決分配問題】....................................................23

【題型十一二元一次方程組解決方案問題】.................................................26

【題型十二二元一次方程組解決銷售、利潤問題】...........................................29

【題型一利用二元一次方程的定義求字母參數(shù)】

例題：（2023下?遼寧大連?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若/。厘+2y5。+2°=0是二元一次方程，那么0、6的值分

別是

?田2623

【答案】一行,一行

【分析】依據(jù)二元一次方程的未知數(shù)的次數(shù)為1列出方程組求解即可.

【詳解】解：2y=0是二元一次方程,

j2a-3b=l

[547+6+10=1

26

a=-----

17

解得

723

b=-----

17

工心田山生2623

故答案為：-jy，一行

【點睛】本題主要考查的是二元一次方程的定義，依據(jù)二元一次方程的未知數(shù)的次數(shù)為1列出方程組是解

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題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023下?廣東惠州?七年級統(tǒng)考期末)若xm-2+=9是關(guān)于的二元一次方程，則機(jī)+〃=.

13

【答案】y

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得加-2=1,3n-m=l,解方程可以計算出相、〃的值，再算出m+〃即

可.

【詳解】解：由題意得：m-2=\,3n-m=l,

4

解得：m=3,n=—,

3

?a413

33

、,13

故答案為：—.

【點睛】此題主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有2個未知數(shù),

未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程.

2.(2023下?江蘇?七年級專題練習(xí))若方程("1)則-3^225=5是關(guān)于p的二元一次方程,則nm=.

【答案】-2026

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出同=1且加-2025=1且再求出〃八〃即可.

【詳解】：方程("-1)”-3尸-2。25=5是關(guān)于心了的二元一次方程，

同=1且加-2025=1且“-1W0,

解得：n=-\,m=2026,

mn=2026x(-1)=—2026.

故答案為：-2026.

【點睛】本題考查了二元一次方程的定義和絕對值，能熟練掌握二元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵.

【題型二利用二元一次方程的解求字母參數(shù)的值】

(x=—2

例題：(2024上?四川成都?八年級統(tǒng)考期末)已知。是二元一次方程辦+47=8的一個解，則。的值

為

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【答案】2

【分析】本題考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出關(guān)于。的方程，即可解題.

【詳解】解：將x=-2,y=3代入辦+4了=8,

得：—2a+4x3=12-2a=8,

解得：a=2,

故答案為：2.

【變式訓(xùn)練】

\x=m

1.（2024上?廣東佛山?八年級?？计谀┤?是方程2x-y=5的一組解，則實數(shù)加的值為_______；

b=1

【答案】3

【分析】本題主要考查的是二元一次方程的解的定義，得到關(guān)于〃，的一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

將方程的解代入方程得到關(guān)于加的一元一次方程，從而可求得加的值.

[x=m

【詳解】將1代入方程2x->=5得：2加-1=5,

gl

解得加=3.

故答案為：3.

[x=3

2.（2024上?遼寧沈陽?八年級統(tǒng)考期末）如果〈是方程%x+2y=-2的一組解，那么加的值為_______.

b=-5

oo

【答案】|/21

【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)

[x=3

此把〈代入原方程中求出優(yōu)的值即可.

卜=-5

[X=3

【詳解】解：〈〈是方程”+2尸-2的一組解，

〔尸―5

3m+2x(-5)--2,

,8

??加=］，

故答案為：I

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\x=2

3.（2024上?吉林長春?七年級吉林省第二實驗學(xué)校?？计谀┮阎欠匠?x-3y=%的解，則加的

[y=T

值為.

【答案】7

【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，根據(jù)二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

fx=2

把"弋入原方程求出加的值即可.

b=-i

（x=2

【詳解】解：：，是方程2x-3y=%的解，

b=-i

/.2x2-3x（-l）=m,

m=7,

故答案為：7.

【題型三利用二元一次方程的解求代數(shù)式的值】

\x=a

例題：（2023下?福建泉州?七年級統(tǒng)考期中）若公是方程2x+y=l的解，貝IJ3-4a-26=_______.

[y=b

【答案】1

\x=a/、,

【分析】先由y=6是方程2x+_v=l的解，得出2a+6=l,然后把3-4。-26化為3-2（2。+6）,再整體代

入即可.

[x=a

【詳解】解：把人代入方程2x+y=l得：2a+b=l,

[y=b

貝1J3-4a-26=3-2（2a+6）=3-2xl=l,

故答案為：1.

【點睛】此題考查的知識點是二元一次方程組的解，解題關(guān)鍵是把方程的解代入原方程，得出2q+6=1,

然后整體代入.

【變式訓(xùn)練】

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[x=m

1.（2023下?重慶南川?七年級統(tǒng)考期末）若是二元一次方程2x-3y=4的解，則的值

為.

【答案】7

【分析】根據(jù)題意將解代入等式，可得關(guān)于見”的關(guān)系時，通過變形即可求解.

\x=m

【詳解】解：:是二元一次方程2x-3y=4的解，

2m-3n=4,

4m-6〃=8,

4m-6H-1=8-1=7,

故答案為：7.

【點睛】本題主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解，代入等式變形，并掌握代數(shù)式的變形

求值是解題的關(guān)鍵.

[x=1

2.（2023下?海南省直轄縣級單位?七年級校考期末）已知、是方程"+如=3的解，則代數(shù)式a+26-l的

b=2

值為.

【答案】2

【分析】將解代入方程，求得。+26=3,進(jìn)一步求得代數(shù)式值.

[x=\

【詳解】解：把.代入方程，得。+26=3,

卜=2

a+2b-1=3-1=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查方程組解的定義，理解二元一次方程的解的定義是關(guān)鍵.

fx=2

3.（2022下?湖南株洲?七年級統(tǒng)考期末）已知，是二元一次方程即妙=i的一組解，則代數(shù)式

b=-i

2b-4a+2022的值為.

【答案】2020

【分析】把x和〉的值代入方程即可求出。與6的關(guān)系式，然后再整體代入計算即可.

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\x=2

【詳解】解：把代入以+如=|可得：

[y=T

2a-b=l,

：.26-4。+2022

=-2(20-6)+2022

=-2x1+2022

=2020.

故答案為：2020.

【點睛】本題主要考查二元一次方程的解，代數(shù)式求值，整體代入的思想是解答的關(guān)鍵.

(x=—2

4.(2023下?福建福州?七年級福州華倫中學(xué)校考期末)若1是二元一次方程6+a=11的一組解，則

b=i

2012+(-2a+b)=.

【答案】2023

【分析】根據(jù)題意得出-20+6=11,代入代數(shù)式即可求解.

[x=-2

【詳解】解：：，是二元一次方程6+力=11的一組解，

b=i

:?—2a+b=11,

?.2012+(-2a+b)=2012+11=2023,

故答案為：2023.

【點睛】本題考查了二元一次方程的解，代數(shù)式求值，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵.

【題型四不解二元一次方程組求代數(shù)式的值】

[3a-b=2

例題：(2023上?四川成都?八年級?？计谀?已知.⑺，則4+6=()

+56=10

8

A.3B.-C.2D.1

3

【答案】/

【分析】此題考查了解二元一次方程組，用加減消元法得到4。+46=12,即可確定〃+6的值.

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3a-b=2(1)

【詳解】解:

。+56=10②

由①+②得4〃+4Z)=12,即4(〃+6)=12,

，〃+6=3,

故選：A.

【變式訓(xùn)練】

\3m+n=6,

1.（2023上?安徽宿州?八年級?？茧A段練習(xí)）已知二元一次方程組,。則2冽-〃的值是（）

[m-3n=3,

9Q

A.--B.-C.-9D.9

22

【答案】B

【分析】本題考查了加減消元法解方程組，兩式相加，后除以2計算即可.

【詳解】兩式相加，得4皿-2〃=9,

?o9

,?2m-n=—，

2

故選反

2x+3y=14

2.（2023下?山東聊城?七年級校考階段練習(xí)）已知方程組3x+2y=15'則日昨

【答案】y29/514/5.8

【分析】觀察可知兩個式子相加，即可求解.

2尤+3>=14①

【詳解】解:

3x+2y=15②

①+②得5x+5y=29,

29

x+y=

故答案為：—.

【點睛】本題考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法.

2x+3y=k+4

3.（2023上?重慶大渡口?八年級校考階段練習(xí)）已知關(guān)于％,＞的二元一次方程組i6*則

x-y=

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【答案】y/31

【分析】本題考查了解二元一次方程組；利用加減消元法，將①+②，即可得到答案.

2x+3y=k+4①

【詳解】解:

x-6y=6-左②

①+②得，3x-3y=10

???x_y—_i—o

3

故答案為：y.

【題型五利用二元一次方程組的解求字母參數(shù)】

[x=-1f2x-3y=2m

例題：（2023下?江蘇常州?七年級統(tǒng)考期末）已知.是方程組，的解，則機(jī)+〃=________.

（y=2[nx+y=-\

【答案】-1

【分析】把x與〉代入方程組求出"與"的值，即可求出”?+〃的值.

[x=_]f2x-3y=2m

【詳解】解：把.代入方程組,得：

[y=2[nx+y=-1

-2-6=2m

一〃+2=—1

解得：m=-4,〃=3,

貝!J加+幾=-1,

故答案為：-1.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值.解題

的關(guān)鍵是求出機(jī)與〃的值.

【變式訓(xùn)練】

\2x-ay=3\x=l

1.（2023下?上海長寧?六年級校聯(lián)考期末）關(guān)于x、了的方程組人的解為「則

[to+y=l[>=一1

【答案】1

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\x=\]2+q=3

【分析】把方程組的解，代入可得入，?,得到。和6的值即可求解.

[y=-1=l

【詳解】解：把方程組的解1一代入可得:2+4=3

6—1=1

解得。=1,6=2,

（-。）"=（T）2=1，

故答案為：1.

【點睛】本題考查二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解的定義是解題的關(guān)鍵.

fx=3[mx+ny=36

2.（2023下?山東東營?七年級統(tǒng)考期末）已知、是二元一次方程組■0的解，則加的立方

[y=2[nx+my=9

根為_____

【答案】3

【分析】先將x與了的值代入方程組即可加與〃的值.

x=2\mx+ny=36

【詳解】解：將尸1代入k+.9

[2m+n=36@

[2n+m=9?

①一②加-n=27,

???27的立方根為3,即冽一〃的立方根為3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了立方根和方程組的解法，熟練運用二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵.

Ix=-1\3x+2y=m

3.（2023下?湖北武漢?七年級?？茧A段練習(xí)）已知。是關(guān)于x,丁的二元一次方程組\的一

=2[nx-y=l

組解，則2冽-〃的值為.

【答案】5

\x=-1[3x+2y=m

【分析】把。代入?得出冽和〃的值，代入2加-〃即可

[y=2.[nx-y=l

x=-13x+2y=m

【詳解】解：???q是關(guān)于％，V的二元一次方程組?的一組解,

7=2nx-y=\

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.J3x(-l)+2x2=m

9[-n-2=1

[m=l

2加-〃=2x1-（-3）=5.

【點睛】題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是熟練運用二元一次方程組的解的定義，本題屬于基礎(chǔ)

題型.

【題型六利用二元一次方程組的解相同求字母參數(shù)】

5x-2y=3x-4y=-3

例題：（2023上?全國?七年級專題練習(xí)）已知關(guān)于X，y的方程組與關(guān)于x,歹的方程組

mx+5y=45x+ny=1

的解相同，則加+〃的值為.

【答案】-5

【分析】先求出x和y的值，再代入求出加，〃的值再求解;

5x-2y=3

【詳解】解方程組

x-4y=-3

解之得

代入機(jī)尤+5了=4得用=-1,

代入5尤+即=1得〃=-4,

故加+〃=-1-4=-5；

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，掌握消元思想是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

[4x+3y=112x-y-3

1.（2023下?山東荷澤?七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x,V的方程組/。和///的解相同，則

[ax+by=-2[bx-ay—6

+6戶23的值為.

【答案】0

【分析】聯(lián)立不含。與6的方程組成方程組，求出方程組的解得到x與了的值，進(jìn)而求出。與b的值，代入

初中教學(xué)

(a+6)2°23即可求解.

4x+3y=ll

【詳解】解：解7,得,

[2x-y=3

x=2

,=1

x=2ax+by=-2

把"弋入

，=1bx-ay=6

2a+b=—2

2b—a—6

(a+b產(chǎn)

=(-2+2)2023

=0.

故答案為：0.

【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，方程組的解即為能使方程組中兩方程

都成立的未知數(shù)的值.

2.(2023上?安徽亳州?七年級統(tǒng)考階段練習(xí))已知關(guān)于x,y的方程組1+),=；與j”x+(%_l)y=3有相

同的解.

(1)求這個相同的解；

(2)求加，〃的值；

⑶若(1)中的解也是關(guān)于x,y的方程(3-。)x+(2q+l)y=3的解，求a的值.

fx=3

【答案】⑴,

IJ=-1

[16

m=——

⑵;

n=一

17

(3)。=1

初中教學(xué)

【分析】本題考查同解方程組，由二元一次方程組的解求參數(shù)，理解同解方程組的概念是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)兩個方程組有相同的解，即可聯(lián)立兩個方程組中不含"，〃的方程，再求解即可；

(2)將(1)所求的解代入含小，"的方程，即得出關(guān)于小，〃的方程組，解之即可；

(3)將(1)所求的解代入(3-°卜+(2°+1力=3,再化簡，即可求出°的值.

(x+y=2

【詳解】(1)解：由題意可得：.，，

3m—2n=4

(2)解：將代入含有小，"的方程得

)=一13〃一（加-1）=3

解得

(3)解：將

<(3-a)x3+(2a+l)x(-l)=3,

解得：<7=1.

【題型七二元一次方程組結(jié)合一元一次方程含參數(shù)問題】

f3x+y=5m

例題：(2024上?四川成都?八年級統(tǒng)考期末)若關(guān)于x,y的二元一次方程組/,的解也是二元一次

x—2y=3m

方程2x+3y=6的一個解，則根的值為.

【答案】3

f3x+y=5m

【分析】本題考查了解一元二次方程，方程的解，先算出/、的解，再將解代入2x+3y=6中，即

x-2y=3m

可得，掌握解一元二次方程，方程的解是解題的關(guān)鍵.

3x+>=5加①

【詳解】解:

x—2y=31n②

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①x2,得6x+2y=10加③，

③+②，得7x=13加，

13

x=——m,

7

把工=一加代入②,得一m-2y=3m,

77

。8

2y=——m,

7

4

y=——m,

7

???方程組的解為]

y=——m

[7

3x+v=

??,二元一次方程組二,的解也是二元一次方程2x+3y=6的一個解,

x-2y=3m

134

2x冽+3x(——77Z)=6,

2612「

—m-----m=6,

77

14

一m=6,

7

m=3,

故答案為：3.

【變式訓(xùn)練】

2x+y=7

1.（2024上?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于％,V的二元一次方程組。。的解也是方程

x+2y=m-3

x—>=2的角％貝IJ冽的值為.

【答案】8

【分析】本題考查了利用二元一次方程組解的情況求參數(shù)，由由①-②得x-V=1。-加，從而得到10-加=2,

即可求解，觀察所給方程的特征，考慮用整體代入法求解是解題的關(guān)鍵.

2x+y=7①

【詳解】解:

x+2y=m-3@

由①—②得：x-y=10-mf

初中教學(xué)

2x+y=7

???二元一次方程組c。的解也是方程x-V=2的解,

x+2y=m—3

/.10-m=2，

..in=8,

故答案為：8.

x+ky=5

2.（2024上?重慶北倍?七年級西南大學(xué)附中?？计谀┤絷P(guān)于x，V的二元一次方程組；U的解也是

x-3y=-j

二元一次方程2x+y=4的解，則力的值為

【答案】2

【分析】本題考查二元一次方程組的解法以及解的定義.聯(lián)立方程組

m解得"”的值，再代

入x+@=5中，即可求出答案.

'+?"［的解也是二元一次方程2x+y=4的解,

【詳解】解：,?,關(guān)于x,＞的二元一次方程組

x-3y=-5

x—3y——5

，聯(lián)立方程組

2%+y=4

X=1

解得

)=2'

x=\

將c代入x+0=5中,

P=2

即1+2后=5,

解得：k=2；

故答案為：2.

4x+>=9①

3.（2023下?河北廊坊?七年級廊坊市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x、y的方程組

kx-(k-\)y=8②

（1）直接寫出方程4x+y=9所有的正整數(shù)解一；

⑵如果方程組的解滿足2x+3y=7,求人的值;

（3）當(dāng)先每取一個值時，履-（左-1萬=8就對應(yīng)一個方程，而這些方程有一個公共解，請直接寫出這個公共解.

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X=1x=2

【答案】（1）3或

、=1

(2)7

x=8

⑶V=8

【分析】（1）根據(jù)采用“給一個，求一個”的方法，求解方程4x+y=9的所有正整數(shù)解即可;

f4x+V=9[x=2

（2）先解。；「，再將解代入履-佐-1?=8,求解左即可；

\2x+3y=7。=1

（3）履-（左T?=8可化為左（％-y）+y=8,當(dāng)x—y=O時，即可求出公共解.

【詳解】（1）解：x=l時，4+片9,

「?歹=5；

x=2時，8+y=9,

；?歹=1,

,心fx=1fx=2

.?方程4%+y=9的所有正整數(shù)解為,或,

[>=5[y=1\

故答案為:

+y=9

（2）根據(jù)題意，解

[2x+3y=7

x=2

解得,，

[y=l

fx=2

將41代入h-(左T?=8,

Lv=i

得2人-(左-1)=8,

解得左=7；

(3)區(qū)一(左一1?=8可化為左(x—y)+y=8,

當(dāng)％-y=0時，即％二y時，歹=8,

..x=y=8,

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x=8

這個公共解為

）=8

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解，公共解，熟練掌握這些含義是解題的關(guān)鍵.

【題型八二元一次方程組的特殊解法】

例題：⑵23春?浙江臺州?七年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x一的二元一次方程組\2母x-+a3y…=-1的解是1[x=51,則

，（上）+3（」）=8的解是

關(guān)于加、〃的二元一次方程組

【分析】由關(guān)于x,y的二元一次方程組。的解是可得出關(guān)于伽+明（優(yōu)-〃）的二元一

\2（m+n\-a（m-n\=（m+n=1

次方程組J<。的解是,解之即可得出結(jié)論.

[冽+〃）+3（加一〃）=8[m-n=5

[2x-ay=-1fx=1

【詳解】解：..?關(guān)于X,y的二元一次方程組L；。的解是「

[bx+3y=8[V=5

/、/、\2（m+n\-a（m-n\=[m+n=1

.?.出關(guān)于加+",加_〃的二元一次方程組）<）<。的解是.

'7[6（加+〃）+3（加一〃）=8[m-n=5

解得：

[m=3

\n=-2

2^m+n）-a^m-n）=-\m=3

二.關(guān)于m、〃的二元一次方程組的解是

6（加+〃）+3（加一〃）=8n=-2

m=3

故答案為:

n=-2

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，利用整體思想求解方程組是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

初中教學(xué)

2a-3b=\3a=8.3

1.（2023春?江蘇揚州?七年級校考階段練習(xí)）已知方程組。一，八0的解是（,,則方程組

3a+5o=30.9o=1.2

2（x+2）-3（j-l）=13

的解是（

3（x+2）+5（y-l）=30.9

Ix—8.3\x=8.3Ix=6.3\x-6.3

A.].B._C._D.\_

[y—1.2—2.2[y—2.2[y—1.2

【答案】C

[a=8.3

【分析】觀察兩個方程組結(jié)合二元一次方程組的解的定義，得出x+2=a,y~\=b,結(jié)合即可作

[b=1.2

答.

f2Q—3b=13a=8.3

【詳解】解：因為方程組的解是

3。+56=30.96=1.2

32（二（x+2）［）-53（；（y-1）l二）=1。3.9的解是x和-

所以

x+2=a

那么得

y-1=b

a=8.3

因為

6=1.2

x=6.3

則解得

y=2.2

故選：c.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解的定義，理解二元一次方程組的解的定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2023上?山東青島?八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：善于思考的樂樂同學(xué)在解方程組

3（m+5）-2（?+3）=-l

時，采用了一種“整體換元”的解法.把"?+5,〃+3看成一個整體，設(shè)〃7+5=x,〃+3=y,

'3（m+5）+2（w+3）=7

則原方程組可化為IM丁,解得m+5=1m=-4

即,解得

〃+3=2n=-l

初中教學(xué)

xx

+y!-y:^

⑴學(xué)以致用，模仿樂樂同學(xué)的“整體換元”的方法，解方程組35

x+yx-y

------------------=—Z

I35

[a.x-hy=cxfx=3

⑵拓展提升，已知關(guān)于％J的方程組?：1的解為一請直接寫出關(guān)于加、〃的方程組

[a2x-b2y=c2[y=4

a（加+2）一姐=c

xx的解是______

a2（加+2）一打及=c2

x+y二_一.

（3）請你用卜.述方法解方程組亍一亍

2（x+y）-3x+3y=25

x=9

【答案】⑴

y=-6

m=1

⑵

〃=4

25

x=------

2

(3)

5

"5

【分析】本題考查二元一次方程組的特殊解法一“整體換元法”.

X+VX—V_[TYI+〃=4

（1）根據(jù)題意所給材料可令"，=手，〃=一，則原方程組可化為c，解出〃?，"，代入

35\m-n=-2

m^x+y,n^x-y,再解出關(guān)于x,y的方程組即可;

\m+2=3

（2）根據(jù)題意所給材料可得出/,再解出這個方程組即可；

[〃=4

m_n

（3）令加=%+V,〃=x-丁貝]原方程組為＜2-3,再解出這個方程組即可求解.

2m-3n=25

1±Z+￡ZZ=4

【詳解】（1）解：對于35，令〃?=且，"=匕匕，

x+yx-y_35

=—2

[35

m+n=4

則原方程組可化為

m—n=—2

初中教學(xué)

m=\

解得:

〃=3

x+j

3[x+y=3

，即彳

x-y[x—y=15

---------j

[5

x=9

解得:

y=-6

ax-by-cx=3

（2）解:方程組xxx的解是

a2x-b2y=c2y=4

Jm+2=3

[〃=4

m=l

解得:

〃=4

mn

(3)解：依題意，令加='+＞貝lj原方程組為,I--3

2m-3n=25

]3加-2〃=0①

即[2m-3n=25@

①x2-②x3得，-4〃+9〃=-75

解得：〃=-15,

①x3—②x2得,9m-Am=-50,

解得：m=—10

.fx+j;=-10(3)

,*jx_y=_]5④

③+④得，2%=-25,

解得：^=-f

③-④得，2y=5,

解得：

初中教學(xué)

25

x=---

2

...原方程組的解為

5

一

【題型九新定義型二元一次方程組有關(guān)問題】

例題：(2024上?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期末)對于有理數(shù)。，b,我們定義新運算?！?=。、+其中x,y

是常數(shù).若[1^2=1,(-3)^3=6,貝(]2X(-5)=.

【答案】-7

【分析】本題考查了解二元一次方程組，根據(jù)題意列出關(guān)于陽〉的方程組，然后解方程組求出xj的值，然

后再代入2x-5y中進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】解：???阿2=1,(-3忤3=6

x+2j=1,-3x+3y=6

.Jx+2y=l

,?[x-y=-2

[x=-1

解得：,

卜=1

2x(-5)=2x(-l)+(-5)xl=-2-5=-7,

故答案為：-7.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023下?重慶銅梁?七年級統(tǒng)考期末)對于有理數(shù)x,外定義一種新運算“九"：x?y=ax+by,其中0,

6為常數(shù)，已知3③4=1,(-1通2=3,則師工=.

【答案】3

【分析】先根據(jù)新定義得到關(guān)于。、6的方程組，然后解方程組求出。、6的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義

求解即可.

【詳解】解：\-x0y=ax+by,304=1,(-1)02=3,

.儼+46=1

[-a+2b-3

初中教學(xué)

s/Sb-a=J8x1-(-1)=V9=3,

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查了新定義，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，解二元一次方程組，正確理解新定義得到關(guān)于

b的方程組是解題的關(guān)鍵.

,a>b

2.（2023下?廣西河池?七年級?？茧A段練習(xí)）對于實數(shù)a,b,定義運算“?”和“”：.=

例如4*3,因為4>3,所以4.3=""7^"=5，尤*>=加工+孫+1,m,〃為常數(shù)，若4*(-1)=1,1*2=4,

貝U.

【答案】|4

.f4m-〃+1=1-、

【分析】根據(jù)新定義法則得出。,，求出如〃的值，再根據(jù)新定義運算法則，計算即可得出答案.

加+2〃+11=4

【詳解】解：4*(一1)=1,1*2=4,x*y=mx+ny+lf

14m+1=1

+2〃+1=4'

.1

m=—

解得：；，

4

n=—

I3

14

?—一〈一,

33

▲144

m+n=—x—=—,

339

4

故答案為：

【點睛】本題考查了新定義運算，解二元一次方程組，解本題的關(guān)鍵在理解新定義運算法則.

3.（2023下?黑龍江佳木斯?七年級校聯(lián)考期末）已知尸儂6）是平面直角坐標(biāo)系中的一點，若。，6是關(guān)于x,

y的二元一次方程組"的解，則稱尸（。/）為該方程組的“夢想點”?例如：（1,2）是二元一次方程組

[a2x+b2y=c2

初中教學(xué)

\x+y=3

,,的“夢想點''?根據(jù)以上定義，回答下列問題：

[x-y=-l

[2x+3y=5

⑴求關(guān)于％,＞的二元一次方程組/?的“夢想點”.

[x+3y=\

\x+y=1fmx+ny=\

（2）若關(guān)于x,y的方程組,,與，的“夢想點”相同，求冽，"的值.

[x-y=3[mx-ny=\

【答案】⑴（4*-1）

（2）加的值為〃的值為0

【分析】⑴解方程組，可得出關(guān)于X,了的二元一次方程組，\2x++33y=25的解為Ix二=4T,進(jìn)而可得出關(guān)于

\2x+3y=5.、

X,＞的二元一次方程組=1的“夢想點”為（4,-1）;

⑵解方程組，可得出關(guān)于X,，的方程組\x仁+y一=l的解為\x二=2T,進(jìn)而可得出關(guān)于X，y的方程組

x+y=l/、\x=2\mx+ny=\

。的“夢想點''為2,-1,再將代入?，中，解之即可求出加，”的值.

x-y=3[y=-1[mx-ny=l

【詳，解&】⑴解A：1\2x++33y1=15②@

①-②得：x=4,

將x=4代入②得：4+3y=l,

解得：y=-i,

2x+3y=5%=4

.?.關(guān)于尤，了的二元一次方程組川"的解為

y=T