專題05全稱量詞與存在量詞

1、理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和存在量詞

2、了解含有量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題的含義,并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及判斷命

題的真假性

3、能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定,理解全稱量詞命題與存在量詞命題之間的關(guān)系

全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞

短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表示.

(2)存在量詞

短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“三”表示.

(3)全稱量詞命題及其否定(高頻考點(diǎn))

①全稱量詞命題：對M中的任意一個(gè)了,有p(x)成立；數(shù)學(xué)語言：VxeM,p(^).

②全稱量詞命題的否定：

(4)存在量詞命題及其否定(高頻考點(diǎn))

①存在量詞命題：存在M中的元素x,有p(x)成立；數(shù)學(xué)語言：3x^M,p(x).

②存在量詞命題的否定：VxeA/，r?(x).

(5)常用的正面敘述詞語和它的否定詞語

正面詞語等于(=)大于(>)小于(<)是

否定詞語不等于(豐)不大于(W)不小于(>)不是

正面詞語都是任意的所有的至多一個(gè)至少一^個(gè)

否定詞語不都是某個(gè)某些至少兩個(gè)一個(gè)也沒有

2、區(qū)間的概念

2.1區(qū)間的概念

設(shè)6是實(shí)數(shù)，且a<b,滿足aWxWb的實(shí)數(shù)x的全體，叫做閉區(qū)間,

記作［”,用，BP，［a,b\^{x\a<x<b}o如圖：a,b叫做區(qū)間的端點(diǎn).在數(shù)軸上表示一個(gè)區(qū)間時(shí)，若

區(qū)間包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示；若區(qū)間不包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用空心點(diǎn)表示.

(\1:I1

"bxabx“babx

oWxWba<x<ba<x￡baW戈

|x|a<x<bJ(r|u<xWb)

(?.b)(a,可(??b)

閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)㈣半開半閉區(qū)間

集合{x\a<x<b]{x|a<x<b}{x\a<x<b]{x\a<x<b}

區(qū)間[a,b](a,b)(a,切[a,b)

2.2含有無窮大的表示

全體實(shí)數(shù)也可用區(qū)間表示為(-8,也)，符號(hào)“+8”讀作“正無窮大”，“f”讀作“負(fù)無窮大”，即

R—(-°o,+°o)?

d____L.1__1.

axaxa*a*

X》axWax>ax<a

a}{x|xWa|

[a.+ao)(-s,a](a,,Ho)(-<??a)

集合{x\x>a}[x\x<a}{x\x>a]{x\x<a}

區(qū)間[a,+oo)(-oo,a](a,+oo)(-oo,a)

對點(diǎn)集訓(xùn)一：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷

典型例題

例題1.(24-25高一上?北京西城?期末)已知命題P:3x<0,X2=—x；命題夕：VxGR,|x+l|-1?則

()

A.P和鄉(xiāng)都是真命題B.P和鄉(xiāng)都是假命題

c.p是真命題，q是假命題D.P是假命題，q是真命題

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】判斷全稱量詞命題的真假、判斷特稱（存在性）命題的真假

【分析】根據(jù)條件，直接判斷出命題P和q的真假，即可求解.

【詳解】由/=-無，得到-+x=0,解得x=0或x=-l,所以命題P為真命題，

又當(dāng)x=-1時(shí)，歸+[=0<1,所以命題4是假命題，故選項(xiàng)A,B和D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，

故選：C.

例題2.（24-25高一上?廣東惠州?階段練習(xí)）下列命題中，是存在量詞命題且為真命題的有（）

A.玉wR,X2-2X+1<0B.有的矩形不是平行四邊形

C.HreR,x2+2x+2>0D.VxeR,%3+3^0

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題是否為特稱（存在性）命題、判斷特稱（存在性）命題的真假

【分析】利用存在量詞的概念以及命題的真假即可求解.

【詳解】ABC均為存在量詞命題，D不是存在量詞命題，故D不符合題意，

選項(xiàng)A:因?yàn)閤2-2x+l=（x-l>20,所以命題為假命題；

選項(xiàng)B:因?yàn)榫匦味际瞧叫兴倪呅?，所以命題為假命題；

選項(xiàng)C:X2+2X+2=（X+1）2+1>0,故命題為真命題，故C正確.

故選：C.

精練

1.（24-25高三上?廣東汕頭?期末）下列命題既是真命題又是存在量詞命題的是（）

A.Vx>1,x3>1B.Q,x3GQ

C.3x>l,y/x<1D.VXGQ,/GQ

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷特稱（存在性）命題的真假

【分析】根據(jù)題意可知選項(xiàng)A、D為全稱量詞命題，令工=為可得選項(xiàng)B正確，根據(jù)二次根式的概念可得選

項(xiàng)C錯(cuò)誤.

【詳解】根據(jù)題意可知，選項(xiàng)A、D為全稱量詞命題，選項(xiàng)B、C為存在量詞命題.

當(dāng)x=%gQ時(shí)，%3=3GQ,選項(xiàng)B為真命題.

當(dāng)%>1時(shí)，Vx>1,選項(xiàng)C為假命題.

故選：B.

2.（多選）（24-25高一上?安徽宿州?期末）若集合A={xeN|W<3},集合3={-1,0,2},則下列說法正

確的是（）

A.4B={2}B.AuB={-l,0,l,2}

C.A,x^BD.VxeB,xGA

【答案】BC

【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、并集的概念及運(yùn)算、判斷全稱量詞命題的真假、判斷特稱（存在性）命題

的真假

【分析】利用列舉法表示集合A,再結(jié)合集合交并運(yùn)算判斷AB;確定命題真假判斷CD.

【詳解】對于AB,A={0,1,2},則AI3={0,2},AuB={-1,0,1,2},A錯(cuò)誤，B正確；

對于C,leA,,C正確；

對于D,-leB,-UA,D錯(cuò)誤.

故選：BC

3.（多選）（24-25高一上?湖南邵陽?期中）下列四個(gè)命題是假命題的是（）

A.VxeR,X4+2>0B.3xeZ,5x+l=0

C.VxeR,x2-1^0D.BxeZ,l<4x<3

【答案】BCD

【知識(shí)點(diǎn)】判斷全稱量詞命題的真假、判斷特稱（存在性）命題的真假

【分析】根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題，解方程或不等式即可判斷選項(xiàng)中命題的真假.

【詳解】對于A,因?yàn)閂xeR,>0,可得*4+2>0,即A真命題；

對于B,易知當(dāng)5x+l=0時(shí)，不是整數(shù)，即不存在xeZ,5x+l=0,所以B為假命題；

對于C,易知當(dāng)％=±1時(shí)，X2-1=0,因此C為假命題；

對于D,解不等式l<4x<3可得!<無顯然內(nèi)不存在整數(shù)，即不存在xeZ,1<4x<3,可得D

44U4j

為假命題.

故選：BCD

對點(diǎn)集訓(xùn)二：含有一個(gè)量詞的命題的否定

典型例題

例題1.（23-24高二下?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）命題"VXW[-L,3],X2—3X+2<0”的否定為（）

—2

A.3x0G[—1,3]?-^o3x0+2>0B.G[—1,3],A:—3x+2>0

C.Vxw[—1,3],無2—3x+220D.Hx。e[—l,3j,XQ—3x0+2^0

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】全稱量詞命題的否定及其真假判斷

【分析】根據(jù)命題的否定的定義即可判斷.

【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，

u2

所以命題VxG[-1,3],x-3x+2<0"的否定為：3x0e[-l,3],^-3^+2>0.

故選：A.

例題2.（24-25高一下?黑龍江綏化?開學(xué)考試）命題“對任意一個(gè)實(shí)數(shù)x,都有的否定是

2x+4

【答案】存在實(shí)數(shù)X,有丁二W0或％=-2.

2x+4

【知識(shí)點(diǎn)】全稱量詞命題的否定及其真假判斷

【分析】由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得出答案.

【詳解】命題“對任意一個(gè)實(shí)數(shù)x,都有「二>0”的否定是：

2x+4

存在實(shí)數(shù)X,有不二V0或x=-2.

故答案為：存在實(shí)數(shù)x,有丁二V0或x=-2.

2x+4

精練

1.（24-25高一上?重慶,期中）命題："VxeR,3%2-%+8<0"的否定是（）

A.3x^R,3X2-%+8>0B.VxgR,3x2-x+8<0

C.玉eR,3x?-x+820D.VxeR,3x2—%+8>0

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】全稱量詞命題的否定及其真假判斷

【分析】由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可求解.

【詳解】"VxeR,3d-x+8<0"的否定是*eR,3%2-.r+8>0.

故選：C

2.（24-25高一上?江蘇蘇州?期末）命題,,VX>2,X2>4"的否定為（）

2u

A."VX<2,X>4"B.3x0<2,^<4"

C."VX>2,X2<4"D."王o22,x；<4"

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】全稱量詞命題的否定及其真假判斷

【分析】利用全稱量詞命題的否定為存在量詞命題求解即可.

【詳解】因?yàn)閂XN2,X2±4,是全稱量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即玉。22,焉<4,

故選：D.

3.（24-25高一上,安徽亳州?期末）命題“3r?0,+o））,x2-2x+3<0M的否定是（）

22

A.HXG（0,+OO）,X-2X+3>0B.VXG（0,-HX））,x-2x+3>0

22

C.*￡（Y0,o],%-2X+3<0D.VxeJ?,O],x-2x+3<0

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】存在量詞命題的否定及其真假判斷

【分析】由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可求解；

2

【詳解】"3xe（0,-Ko）,X2_2X+3<0"的否定是Vx?0,+co）,x-2x+3>0；

故選：B

對點(diǎn)集訓(xùn)三：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù)

典型例題

2

例題1.（24-25高一上?江蘇連云港期中）若命題“VxeR,x-l>m"是真命題，則實(shí)數(shù)加的取值范圍

是（）

A.B.（-oo,-l）

C.[-1,+co）D.（-l,+oo）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)

【分析】求出的最小值即可得.

【詳解】VxeR,尤-I的最小值是-1,因此加<-1,

故選：B.

例題2.（24-25高一上?廣東珠海?期中）若命題“玉。GR,XQ+2IWCQ+m+2<0"為真命題，則，〃的取值范

圍是（）

A.（―oo,—l）j（2,+oo）B.（―00,—l]u[2,+oo）

C.（-1,2）D.[-1,2]

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)

【分析】根據(jù)判別式大于等于0,可求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】因?yàn)槊}“玉oGR,君+2叫+m+2?0”為真命題，

所以八=4機(jī)之一4機(jī)一820即加〈一1或加，2,

故選：B.

例題3.（24-25高一下?海南?開學(xué)考試）若命題“aeR,x2-ax+l<0"是假命題，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

是____

【答案】[a\-2<a<2]

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題、根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)

【分析】根據(jù)已知命題的否定為真命題，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，即可求解.

【詳解】因?yàn)槊}"irwR,%2-izx+1<0"是假命題，

所以其否定uVxGR,x2-ax+l>0"是真命題，

即￡_公+1>0在R上恒成立，所以一=/一4<0,解得-2<a<2.

故答案為：｛a\-2<a<2]

例題4.（24-25高一上?河南?階段練習(xí)）已知命題"VxeR,一元二次不等式ax2+5x+2>0n為真命題,

則a的取值范圍為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題、根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)

【分析】借助根的判別式計(jì)算即可得.

【詳解】由題意可得。-，解得ajK+s].

故答案為：

精練

1.（24-25高一上?山西太原?階段練習(xí)）已知命題p:VxeR,x2+2x+mN0,若P為真命題，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍（）

A.（-1,+co）B.[1,+co）C.D.

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題、根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)

【分析】由二次函數(shù)大于零恒成立的條件直接求解.

【詳解】由二次函數(shù)大于零恒成立的條件可知，若P為真命題，貝IJ有A=4-4〃/OnaNL

故選：B

2.（24-25高一上?江蘇無錫?階段練習(xí)）命題“VxeR,2fc^+正一<0均成立”為真命題，則上的取值

8

范圍為（）

A.—3<k<0B.—3<左40

C?-3<^<0D.人（一3或%20

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題、根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)

【分析】根據(jù)不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)情況，分情況列不等式，解不等式即可.

【詳解】由已知2息？+也-?<0在尤eR上恒成立，

8

3

當(dāng)左=0時(shí)，不等式為-?<o,恒成立；

8

><0

當(dāng)左wo時(shí)，A,2（3、八，解得—3vkvO;

A=r-4（2A;）-I--1<0

綜上所述-3<%W0,

故選：B.

3.（22-23高三下?重慶北培?階段練習(xí)）已知命題P:Vx>0,/+x+4>q.若命題尸是假命題，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（）

A.a<5B.a<6C.a>5D.a>6

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)

【分析】根據(jù)基本不等式計(jì)算上山的最小值，再根據(jù)命題的真假計(jì)算即可.

X

【詳解】易知Vx>0癡+x+4=尤+±+IN2、[^+1=5,

xxVx

因?yàn)槊}尸是假命題，所以。25.

故選：C

4.（24-25高一上?河南周口?階段練習(xí)）已知x2+4x+a=0,若P是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

A.（0,4）B.（7,4]C.（-8,0）D.[4,+?）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)

【分析】由命題p是真命題，可知方程/+4x+a=O有解，故只需A20,求解即可.

【詳解】已知P：GR,X2+4x+a=0,若p是真命題，

貝IIA=16—4aN0,所以〃04.

故選：B

5.（2024?西藏拉薩一模）已知命題：uVxGR,m2-l=（m+m2）元”為真命題，則加的取值為.

【答案】-1

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)

【分析】由命題為真命題可知等式恒成立，進(jìn)而列方程，解方程即可.

【詳解】因?yàn)槊}：“VXER,m2-l=^m+m2卜”為真命題，

即等式病-1二（m+加2卜恒成立，

fm2-l=0

則niI彳，n,

\m+nr-（J

解得m=-l,

故答案為：-L

6.（24-25高一上?湖北黃岡?期中）若命題6:“3xeR,^2-?x+4<0"為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

【答案】（-4,4）

【知識(shí)點(diǎn)】存在量詞命題的否定及其真假判斷、根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)

【分析】利用命題的否定是真命題，通過判別式轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】"HxeR,尤2-依+440"是假命題，

貝U"VxeR,尤2—QJQ+4>0”為真命題，

A=a2-16<0>解得-4<a<4,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（Y，4）.

故答案為：（-4,4）

一、單選題

1.（24-25高一上?甘肅張掖?階段練習(xí)）命題，F(xiàn)x>0,X2-2|%|<0"的否定是（）

A.Hx>0,x2-2\x\>0B.Hx<0,x2-2\x\>0

C.Vx>0,尤2-21x0D.Vx<0,x2—21x|>0

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】存在量詞命題的否定及其真假判斷

【分析】由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.

【詳解】由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知，

"3x>0,X2-2\X\<0"的否定為"Vx>0,%2-2|X|>0".

故選：C.

2.（24-25高一下?山東淄博?階段練習(xí)）命題以>1,尤2一相>i的否定是（）

A.3x>l,x2-m<lB.3x<l,x2-m<l

C.Vx>1,尤2—m41D.VJ;<1,x2—m<l

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】全稱量詞命題的否定及其真假判斷

【分析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.

【詳解】命題Vx>l,/一加刀是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，

所以所求否定是王>1,x2-m<l-

故選：A.

3.（24-25高二下?貴州遵義?階段練習(xí)）命題Fxe（0,+8）,Y-2x+3<0”的否定是（）

A.（0,+oo）,x2-2x+3>0B.Vxe（0,+oo）,x2-2x+3>0

C.e（-co,。],/-2x+3<0D.Vxe（-co,0],x2-2x+3<0

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】存在量詞命題的否定及其真假判斷

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，直接寫出該命題的否定命題即可求解.

【詳解】命題"3%e（0,+co）,x2-2x+3<0"的否定是VxeQ+co）,》?-2x+320,

故選：B.

4.（2025?江西,二模）若命題p：Vx>0,尤2-3x+2w0,則命題P的否定為（）

A.玉>0,X2-3X+2<0B.玉VO,X2-3X+2<0

C.玉>0,X2-3X+2>0D.Vx<0,X2-3%+2>0

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】全稱量詞命題的否定及其真假判斷

【分析】根據(jù)命題的否定即可求解.

【詳解】命題P的否定為：3x>0,x2-3x+2>0,

故選：C

5.（22-23高一上?云南昭通?期中）已知命題"IteR,尤?+6+140"為假命題,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.（0,2）B.（-2,2）C.[-2,0]D.[-2,2]

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)

【分析】由題可得VxGR,x2+ax+1>0為真命題，據(jù)此可得答案.

【詳解】貝UVxwR,x2+ax+l>0,即函數(shù)y=爐+以+1的圖象恒在x軸上方，

貝!I其判別式A=4—4<0,貝！|〃￡（—2,2）.

故選：B

6.（24-25高三下?江蘇蘇州?開學(xué)考試）若命題“VXER,/一26+6〃〉0”是假命題，則。的取值范圍是

（）

A.（0,6）B.（7,0）U（6,+°O）

C.[0,6]D.（^x）,0]L[6,+oo）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)

【分析】由題意可知命題的否定為真命題，由判別式得到不等式，解得〃的取值范圍》

【詳解】命題uVxeR,X2-2ax+6a>0"是假命題，

貝（IHXER,x1-2ax+6a<0是真命題，

,'eA=4a2—24a>0,

解得：心6或aVO,

即〃的范圍是（一,

故選：D.

7.（24-25高一上?江蘇蘇州?期末）若命題工+加之0”是假命題，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A'B.C.[，+"）D.1

—,+co

4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題

【分析】先寫出命題的否定，再根據(jù)命題的否定為真命題，到不等式解得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槊}**VxGR,x2-x+m>0"是假命題，

所以“*ER,——%+加<0”是真命題，

因止匕△=1一4m>0,/.m<—

4

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

故選：B.

u

8.（23-24高三上,福建龍巖,階段練習(xí)）若命題3x0eR,焉+（Q-1）/+1<0”是真命題，則實(shí)數(shù)〃的取

值范圍是（）

A.[-1,3]B.（-1,3）

C.（-00,一1）33,+oo）D.（-00,—1）53,+oo）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)特稱(存在性)命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題

【分析】根據(jù)條件得到A=(。-1)2-4>。，即可求解.

【詳解】命題“%eR,焉+(a-1)%+1<0”等價(jià)于x：+(a-l)x°+l=O有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

所以A=(a-l)2-4>0,即/一2a-3>0,解得"-1或。>3,

故選：D.

二、填空題

9.(2025高三下?天津?qū)ｎ}練習(xí))命題P:Fxe：,2，使2元?+1<0”的否定是,

若該命題是假命題，則實(shí)數(shù)彳的取值范圍是.

【答案】曾?1,2,使得2/_祖+120卜應(yīng)2忘］

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)、存在量詞命題的否定及其真假判斷、基本不等式求和的最小

值

【分析】由命題的否定的定義得到結(jié)果；原命題為假命題，則其否定為真命題，借助基本不等式求得實(shí)數(shù)2

的取值范圍.

【詳解】由題意得命題。的否定為4］.］，使得2尤2-人+120,

若命題P為假命題，則其否定為真命題，即+

X

由基本不等式得"+工22、611=20,當(dāng)且僅當(dāng)2x=工，即苫=正時(shí)，等號(hào)成立，

xvxx2

故20*/,實(shí)數(shù)4的取值范圍為卜8,2拒］.

故答案為：Vxe1,2,使得2/一彳龍+120；卜8,2夜］

10.(24-25高一下,安徽馬鞍山?開學(xué)考試)若命題“Vx?2,+o)),不等式x+W*恒成立"為真命題，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】{a|a<6}

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)、基本不等式求和的最小值

【分析】由已知結(jié)合基本不等式先求出x+士的最小值，然后結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解.

x-2

【詳解】當(dāng)%>2時(shí)，XH———=X-2H——-——F2>2/(X-2)?———1-2=6,

x—2x—2yAx—2

4

當(dāng)且僅當(dāng)尤-2=——，即x=4時(shí)取等號(hào)，

x-2

因?yàn)椴坏仁结?上；2。恒成立，（無+4]Na,所以。<6.

尤-2I尤-2人山

故答案為：｛a\a<（>].

11.（24-25高一上?云南曲靖?期末）已知命題：“VxeR,x2—ax+4>0"為真命題，貝!I”的取值范圍

為.

【答案】（-4,4）

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題

【分析】根據(jù)題意知/+4>0的解集為R,求解可得〃的取值范圍.

【詳解】由題意可得V-辦+4>0對VxeR恒成立，

所以A=（-a）2-4xlx4<0,解得T<a<4,

所以。的取值范圍為（-4,4）.

故答案為：（-4,4）.

12.（2025高三?全國?專題練習(xí)）若命題FxeR,/-2x+m<0”為真命題，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為.

【答案】S，D

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題

【分析】根據(jù)命題為真結(jié)合二次函數(shù)值域應(yīng)用判別式計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知，不等式V-2x+m<0有解，

=,.實(shí)數(shù)小的取值范圍為（—0,1）.

故答案為：（-吃1）

三、解答題

13.（21-22高一上,遼寧丹東■階段練習(xí)）已知命題〃:T14尤<2,左2-020,命題q:eR,x2+lax+2,a+a2=0.

（1）若命題F為真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若命題P和F均為真命題，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】（1）?>1；

（2）0<a<l.

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)、根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)

【分析】（1）利用全稱量詞命題為真求出。的范圍，再由力為真求得答案.

（2）由存在量詞命題為真求出命題4,進(jìn)而求出F,再結(jié)合（1）的信息求出結(jié)果.

【詳解】（1）對于任意14x42,不等式尤2—a>0。。EV恒成立，而貝1J〃41,

即命題P：Q?1,則命題夕：。>1,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是。>L

（2）由3x￡R,+2ax+2Q+Q?—0,J導(dǎo)A—4〃—4（2〃+Q?）-—8Q20,導(dǎo)a?0,

即命題4：〃K。，則命題-iq：a>0,由（1）知命題〃:aMl,

由命題P和F均為真命題，得0<a<l,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是OVQ<1.

14.（24-25高一上?河北衡水?階段練習(xí)）已知命題p:Vx22,旦〈工，q.BxeR,x2-（m+l）x+l=O.

x—12

（1）若命題。為真命題，求用的取值范圍；

（2）若命題P為假命題和命題4為真命題.求用的取值范圍.

【答案】。）］一8，）

（2）［1,+8）

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱量詞命題的真假求參數(shù)、根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)

【分析】⑴依題意可得根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出;（x-1）的最小值，即可得解；

（2）首先求出命題4為真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍，即可得解.

【詳解】⑴命題8V尤為真命題，貝

因?yàn)閥=：（x-1）在［2,+s）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)尤=2時(shí)y=：（x-1）取得最小值!,

22z

所以m即加的取值范圍；

（2）若命題4：*￡尺，I2_（根+i）%+i=o為真命題，貝IJA=［—（根+1）1—420,

解得m21或機(jī)<-3;

若命題。為假命題，則〃下4;

因?yàn)槊}P為假命題且命題4為真命題，所以根21,

即加的取值范圍為［1,+8）.

1.（24-25高二上?江蘇泰州?階段練習(xí)）關(guān)于直線/：6+外+1=0,有下列四個(gè)命題：如果只有一個(gè)假命

題，則該命題為（）

甲：直線/經(jīng)過點(diǎn)（0,-1）;乙：直線心至過點(diǎn)（1,0）;

丙：直線/經(jīng)過點(diǎn)(-1,1);?。篴b<0

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的真假、直線過定點(diǎn)問題

【分析】根據(jù)題意，分別假設(shè)甲、乙、丙為假命題，則其余三個(gè)命題為真命題，分析推理，即可得答案.

【詳解】由題可知，命題甲、乙、丙中必有一個(gè)是假命題.

若甲為假命題，則由乙、丙為真命題可得，。=-1力=-2,此時(shí)與丁矛盾，故不成立；

若乙為假命題，則由甲.丙為真命題可得，a=2,b=l,此時(shí)與丁矛盾，故不成立；

若丙為假命題，則由甲.乙為真命題可得，a=-l,b=l,此時(shí)，丁也成立，滿足題意，所以假命題為丙，

故選：C.

2.(13-24高一上,浙江期末)當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿足“如果貝IJa+八a—b,ab,且bw0時(shí)，

feG”時(shí)，我們稱G就是一個(gè)數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的命題：①0和1都是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域G

b

有非零元素，則2020wG;③任何一個(gè)有限數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù)；④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域；⑤偶數(shù)集

是一個(gè)數(shù)域，其中正確的命題有.

【答案】①②③④

【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷命題的真假、集合新定義

【分析】利用已知條件中數(shù)域的定義判斷各命題的真假，題目給出了對兩個(gè)實(shí)數(shù)的四種運(yùn)算，要滿足對四

種運(yùn)算的封閉，只有一一驗(yàn)證.

【詳解】①當(dāng)時(shí)，由數(shù)域的定義可知，

若a,bwG,貝IJ有"beG,qeG即OeG,leG,故①是真命題；

b

②因?yàn)閘eG,若leG,則l+l=2eG,則2+l=3eG,…，U2019eG,所以1+2019=2020eG,故

②是真命題；

③OeG,當(dāng)且，時(shí)，則-AeG,因此只要這個(gè)數(shù)不為。就一定成對出現(xiàn)，

所以有限數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù)，所以③是真命題；

④若a,t>wQ,貝,且6Ho時(shí),，e。，故④是真命題；