高中數學人教A版必修第一冊第二章綜合檢測卷(基礎A卷)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.

1.設6,。"為實數，下列說法正確的是().

,“,“ab

A.若,貝I/〉/B.若a>6>0,c>d>0,則一>一

ca

C.若?>b,貝!Ja〉/D,若a>6>0,貝!)/>的>/

【答案】D

【分析】根據不等式的性質判斷，錯誤的可舉反例說明.

【詳解】例如-2〉-3,但(-2)2<(—3兒A錯；

42

例如4>2,8>1,{0—<—,B錯；

O1

例如方>-10,但9<(-10)2,C錯;

a>b,b>0,則仍>從，a>b,a>0,則常>己力,所以。>而>從,D正確.

故選：D.

2.已知關于x的一元二次不等式f-3x+2<0的解集為{N根<%<"},貝1]〃?+"的值是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據三個二次的關系，再結合韋達定理可求.

【詳解】依題意可得，桃〃分別是關于x的一元二次方程f一3x+2=0的兩根，根據韋達定理可

得：m+n=3.

故選：A.

3.已知a>l,b>l,記“=1+]N=蘇，則”與N的大小關系為()

A.M>NB.M=N

C.M<ND.不確定

【答案】A

11a+b2____

【詳解】M=g+6=abq翕,故選A.

4Q

4.已知4+62=3若恒成立，則%的最大值為（）

ab+1

A.4B.5C.24D.25

【答案】C

【分析】由1+(〃+1)=左+1,利用基本不等式整理得W+上2呂，根據恒成立問題可得

'/ab+1k+1

75

運算求解即可得答案.

k+1

【詳解】回/+/=左，所以/+僅2+])“+1,

499a2

-7^--9---篇+2+13=25，

ab+1Z?2+l

當且僅當4伊產)=器,即3a2=2/+1)=4優(yōu)+1)時等號成立,

目口49、25

BP—7H—2---，

aZ;+1k+1

75

由題意可得：-—7之1，又2>0,解得0〈左K24,

k+1

故人的最大值為24.

故選：C.

5.已知p：|.r|<2；q：%2-x-2<0,則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】分別求出小q對應的不等式的解，進而可選出答案.

【詳解】由題意，W<2o—2<x<2,即p：-2<x<2；

X2-X-2<0<^>-1<X<2,即q：-l<x<2,

所以qnp,PLq,即p是q的必要不充分條件.

故選：B.

【點睛】本題考查絕對值不等式及一元二次不等式的解法，考查命題的充分性與必要性，考查

學生的推理能力與計算求解能力，屬于基礎題.

6.若正實數滿足。+4b=2,則必的最大值為（）

A.—B.—C.；D.1

842

【答案】B

【分析】根據基本不等式求解即可.

【詳解】解：由題知：他=［（46）<U二"T=J，當且僅當。=46=1時等號成立.

4412J4

所以，必的最大值為:

故選：B

1791

7.若正數9滿足：-+^=1,則告+T■、的最小值為（）

aba-\b-2

A.2B.—C.-D.l+-

224

【答案】A

1o

【分析】把上+>1化為（。-1）。-2）=2,利用基本不等式可求最小值.

ab

i719

【詳解】因為上+：=1,為正數，所以0<晨1,0<：<1,從而。>l,b>2.

abab

i0

又乙；=1可化為（4-1）。-2）=2,

ab

故二7+322\昌二1^=2,當且僅當。=3力=3時等號成立，

a—1b—2vtz-lb-2

71

所以9+占的最小值為2?

a-1b-2

故選：A.

【點睛】本題考查基本不等式的應用，應用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等",

如果原代數式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數變形以產生和為定值或積為定

值的局部結構?求最值時要關注取等條件的驗證.

8.若不等式2日2+"-6<0對一切實數x都成立，則人的取值范圍是()

O

A.[-3,0]B.(-^?,-3)U(0,4<O)

C.(-3,0]D.(-<?,-3]u[0,+oo)

【答案】C

【分析】根據題意對二次項系數分類，結合二次函數圖像的特征列出關系式，求解即可.

【詳解】解：當左=0時，-9<。對一切實數X都成立，故左=0符合題意；

O

a

當發(fā)片0時，要使不等式2依2+履一<0對一切實數X都成立，

O

><0

則卜一？k聞、《<0,

綜上可得-3〈無VO,BPke(—3,0]；

故選：C.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.若a<6<0,則()

A.一>丁B.ab>b2

ab

C.a+b>2-JabD.—\-->2

ab

【答案】ABD

【分析】對A、B：利用作差法分析判斷；對C、D：根據基本不等式分析判斷.

【詳解】對A、B：回a<6<0,則6-°>0,">0,

回!__L=">o,尸_浦=仇6-〃)<0,即』>?,ab>b2,A、B正確；

ababab

對CEla<b<0,例如1=6=一1,貝1」a+/?=-2,2^/^F=2,顯然不滿足〃+b>2A/^,C錯誤；

bZ7

對D：回〃<b<0,則0<—

ab

「ba\ba_十.

0—+—>2J—x—=2,D正確.

ab\ab

故選：ABD.

10.已知不等式—+6x+c<。的解集為｛x|或x<〃｝,其中m<0,則下列選項正確的是()

A.a<0B.不等式cY+bx+avo的解集為或

[nmJ

C.C>0D.不等式d+fec+a〉。的解集為lx|X/或

[nmJ

【答案】AB

【分析】對于A,由不等式的解集進行判斷，對于BD,由韋達定理6=-aG”+〃),c=a而，然后

結合一元二次不等式的解法進行判斷，對于C,由不等式的解集結合根與系數的關系判斷.

【詳解】不等式加+6x+c<0的解集為｛x[x>m^x<n],

b°_

所以a<0,m+n=--,mn=-,所以A正確，

aa

=—a(m+ri),c=amn,

由解集形式可知相>〃，由于機v。，所以"根<0,

所以c=am"0,所以C不正確，

22

ex+bx+a<09^amnx-a(m+ri)x+a<0,因為a<0,

fffVXmrvc2-(m+n)x+l>0,BP(mx-l)(nx-l)>0,

因為〃vmvO,所以0>4>工,

nm

所以不等式I+"+QVO的解集為［x|x〉』或所以B正確，D錯誤，

故答案為：AB

11.下列說法錯誤的是（）

A.依2>。（。>。）的解集為R

B.不等式V+無+1<0的解集為0

C.如果分2+6x+c=0中〃<0,△=（）,貝!Jor?+6x+c20的解集是|x|x*

D.d+3x-4>0的解集和不等式組［尤一：:的解集相同

［%+4>0

【答案】ACD

［分析］根據一元二次不等式的解法依次判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,依2>0（a>0）的解集為{小力0},A錯誤；

對于B,A=l—4=-3<0,.,.尤2+x+l<0的解集為0,B正確；

對于C,若“<0,△=（）,則依?+）x+c2O的解集為卜|x=-五1,c錯誤；

對于D,丁+31>0的解集為（—1”（1,同；不等式組］二］二的解集為。,+⑹，D錯誤.

故選：ACD.

12.已知x>0,y>0,Y+y2=l,當且僅當尤=y=也時，則下列結論正確的是（）

2

A.孫取得最大值為gB.?取得最小值為g

C.x+y取得最大值為后D.x+y取得最小值為0

【答案】AC

【分析】利用基本不等式的變形應用和不等式成立的條件逐一判斷選項即可得出答案.

【詳解】解：因為x>0,V>0,故M+/W2孫，所以孫vj,當且僅當x=y=當時，等號成

乙L,

立,

所以孫取得最大值為A正確，顯然B錯誤;

因為亨所以當且僅當x=y=孝時，等號成立,

所以x+y取得最大值為四，C正確，D錯誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知實數。＞1,則工+。的最小值是______.

a—1

【答案】3

【分析】根據題中所給的式子進行構造，然后利用基本不等式即可求最值.

【詳解】因為。＞1,可得

所以_L+a=_L+a-l+122j（a-l），+l=2+l=3,當且僅當a-1=＜，即。=2時取等號，

a-1a-1\a-\a-\

所以一二+a的最小值是3.

＜2-1

故答案為：3.

14.關于x的不等式6-6＞0的解集為（1，~）,則關于*的不等式竺學＞。的解集為_____

x-2

【答案】（9,-1）U（2,4W）

【分析】不等式依-。＞0的解集為（I，+8）可以確定a的正負以及a，b的關系，從而可得y＞。的

解.

【詳解】不等式曲：-6＞0的解集為（1，+°°）,故a＞0且a-6=0,

故絲號＞0可化為皿巴1＞0即@+1）（尤_2）＞0,

它的解為（-COT）U（2,+00）,填（-00,-1）（2,+oo）.

【點睛】本題考查一元一次不等式的解與對應方程之間的關系及分式不等式的解法，屬于容易

題.

15.若無+y+l=O,則正工手的最小值為

【答案】@

2

【分析】運用基本不等式進行求解即可.

【詳解】由x+y+l=Onx+y=-l,

7777J；"=狂爭當且僅當x=y=-1時取等號，

故答案為：叵

2

16.若關于x的不等式/一4>2-°>0在區(qū)間（1,4）內有解，則實數。的取值范圍是

【答案】（—,-2）

【分析】不等式/一4尤-2”>0在區(qū)間。,4）內有解等價于"優(yōu)-4戶2）3,然后求出

2的值域即可.

【詳解】不等式Y-4-2”>0在區(qū)間。,4）內有解等價于"（/-4犬-2）鵬

因為函數“力=*一4>2在（1,2）上單調遞減，在（2,4）單調遞增，f（l）=-5,/（2）=-6,f（4）=-2

所以的值域為（d,-2）

所以a<-2

故答案為：（9,-2）

【點睛】本題考查的是不等式存在性問題，考查了學生對基本方法的掌握情況，較簡單.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

pP

17.(1)已知a>A>0,c<d<0,e<0,比較——與丁一的大小;

a—cb-d?

(2)已知%>。，y>。，2x+y=\,,求'的取值范圍.

犬y

【答案】(1)〉J;(2)[3+2>/2,+00).

a—cb-a

【解析】(1)利用作差比較法即可得出結果;

(2)先對工+2乘以1結果保持不變，將2x+y=l看為一個整體代入得雪工=工+工(2x+y),

XyXyy)

展開運用基本不等式可求得最小值，得到結果.

r詳解】(1)—_____ed)-=3-Q)+(c-嘰

L阡用牛,IJa-cb-d(a-c)(b-d)(a-c)(b-d),

0a>b>0,c<d<0,,0a-c>O,b-d>0,b—a<Q9c—d<0.

l八廠6e八廠6e

又e<0,0--------->0.0——>---

a—cb-da-cb-d

(2)回2尤+y=l,x>0,y>0,0-+-=|-+-(2^+y)=3+—+->3+2A/2,

尤y[xyjyx

2x+y=1,

[13

當且僅當即當，一2'時等號成立.

y%y=5/2—1

x>0,y>0,

故’的取值范圍是[3+2"+co).

xy

【點睛】該題考查的是有關不等式的問題，涉及到的知識點應用作差法比較式子的大小，利用

基本不等式求最值，屬于簡單題目.

18.解下列不等式：

(1)2X2+5X-3<0;

(2)—3%2+6%<2；

⑶

(4)(x-l)(x-2)<x(2x-5)+3

【答案】⑴[-3,鼻；(2)~,1-

叵3"；(3)[-13,3)；(4)(^,1)IJ(1，H

33J

【分析】(1)先因式分解，然后直接求解即可;

(2)利用求根公式即可求解不等式;

(3)分類討論，將分式不等式變?yōu)檎讲坏仁角蠼?

(4)先整理，然后直接求解即可.

【詳解】(1)2無？+5元一3<0,

二.(2x—1)(龍+3)<0,—3<x<—?

即不等式的解集為

(2).-3爐+6xW2,/.3x?—6x+220,

解得-3或途1+3；

33

即不等式的解集為1-8」-乎［J1+咚，+1；

(3)=4，

x-32

兀+54一(——3)、%+52_(%―3)..

.*.<2、1或2、),解得—134九<3

尤―3〉0%—3<0

即不等式的解集為［-13,3)；

(4)(九一〈龍(2%—5)+3,

整理得f—2x+l〉0,解得"1,

即不等式的解集為(-U).(l,y).

4

19.已知%>0,求y=2-x--的最大值

x

【答案】-2

【分析】利用基本不等式即可求解.

【詳解】因為x>0,所以x+&N2、W=4,

XyX

當且僅當尤=3,x>0,即無=2時等號成立.

X

所以2-x--=2-x+-|<2-4=-2

y=XkX)

所以函數y=2-尤」的最大值為-2.

「二21

20.已知Q>0,b>0,H—=1.

ab

(1)求M的最小值；

(2)求〃+2)的最小值.

【答案】(1)最小值為8；(2)0+26最小值為8.

【分析】(1)利用基本不等式轉化2+〈=1,由此求得"的最小值.

(2)利用"1的代換”的方法，結合基本不等式求得。+2》的最小值.

【詳解】(1)因為"0*>0,所以1，人2、g,當且僅當!=]=[即。=2力=4時取等號,

ab\abab2

從而就28,即必的最小值為8.

/人2/C.4ba、414ba

(2)a+2b=(a+2b7)、\,—2+—=4d---F—>4+2./----=8o,

\ab)ab\ab

當且僅當竺=3即a=26=4時取等號，從而。+26最小值為8.

ab

21.已知關于x的不等式2kx2+kx-K0.

(1)若不等式的解集為求實數k的值；

(2)若不等式的解集為R,求實數k的取值范圍.

【答案】(1)|；(2)-8<k<0.

【解析】(1)由解集為，|[,知-1和1是方程2kx2+kx-1=0的兩個實數根，代入求k的值;

(2)討論k是否為0,分別求得k的范圍，求并集即為k的取值范圍.

【詳解】(1)關于x的不等式2kx2+kx-l<0的解集為，|j,

31

回-5和1是方程2kx2+kx-1=0的兩個實數根，代入x=1得2k+k-1=0,解得％=§；

(2)若不等式2kx2+kx-1<0的解集為R,

回當k=0時，不等式為-1<0,滿足題意；

<0

當上0時，應滿足八。，八，解得-8Vk<0；

[AA=左一+8左<0

綜上知，實數k的取值范圍是-8<k<0.

【點睛】關鍵點點睛：

1、一元二次不等式解集的端點值為對應一元二