專題09有理數(shù)的大小比較

目錄導(dǎo)航

預(yù)習(xí)目標(biāo).......................................................................................1

新課輕松學(xué).....................................................................................1

新知速通.......................................................................................2

題型探究.......................................................................................2

題型1、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小.....................................................2

題型2、利用數(shù)軸比較用字母表示的有理數(shù)的大小.........................................6

題型3、利用法則比較有理數(shù)的大小....................................................10

題型4、利用特殊值法比較有理數(shù)的大小................................................14

題型5、有理數(shù)大小比較的實(shí)際應(yīng)用....................................................18

題型6、有理數(shù)大小比較中的新定義問題................................................20

基礎(chǔ)通關(guān)......................................................................................23

拓展提優(yōu)......................................................................................33

尸R'I

預(yù)習(xí)目標(biāo)

1.能利用數(shù)軸、法則或特值法比較有理數(shù)的大??；

2.能利用有理數(shù)的大小比較解決生活中的實(shí)際問題；

3.通過有理數(shù)大小比較的探究，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想、觀察和動(dòng)手操作的能力.

新課輕松學(xué)

\_________________________)

【思考1】大于0的數(shù)在數(shù)軸上位于原點(diǎn)的哪一側(cè)？小于0的數(shù)呢？

【思考2】我們小學(xué)已經(jīng)能比較兩個(gè)正數(shù)的大小了，那么如何比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小呢？

1/39

新知速通

\__________________

1.利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

在數(shù)軸上表示出兩個(gè)有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.

如：a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a<b.一

2.利用法則比較有理數(shù)的大小

兩個(gè)數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號分類，情況如下:

同為正號：絕對值大的數(shù)大

兩數(shù)同號

同為負(fù)號：絕對值大的反而小

兩數(shù)異號止數(shù)大于負(fù)數(shù)

正數(shù)與0：正數(shù)大于0

一數(shù)為0

負(fù)數(shù)與0：負(fù)數(shù)小于0

3.利用絕對值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟

（1）分別計(jì)算兩數(shù)的絕對值；（2）比較絕對值的大??；（3）判定兩數(shù)的大小.

記憶口訣：比較數(shù)大小數(shù)軸最直接；正數(shù)比0大，負(fù)數(shù)比0??；同負(fù)絕對值，值大數(shù)反小.

題型探究

X______________________________Z

題型1、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

【解題技巧】1）正方向上，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，數(shù)越大；

2）負(fù)方向上，離原點(diǎn)越近，數(shù)越大（負(fù)數(shù)數(shù)字越大，結(jié)果反而越?。?

注：在數(shù)軸上表示出兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左右邊的數(shù)大.

例1.（24-25七年級上湖北荊州期末）下列各數(shù)中，在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)在表示-3的點(diǎn)的左邊的是（）

A.0B.-2C.-4D.1

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的特征，有理數(shù)比較大小，根據(jù)數(shù)軸上左邊的數(shù)總比右邊的小，即可求解.

【詳解】解:■■--4<-3<-2<0<1.

，在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)在表示-3的點(diǎn)的左邊的是-4,

故選：C.

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例2.（24-25七年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖，數(shù)軸上的六個(gè)點(diǎn)滿足4B=BC=CO=OE=EF,則在點(diǎn)/、2、

C、D、E、尸對應(yīng)的數(shù)中，最接近-3的點(diǎn)是（）

ABCDEF

-81

A.點(diǎn)EB.點(diǎn)DC.點(diǎn)CD.點(diǎn)2

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求出//，然后求出的長度，再求出8、C、。表示的數(shù)，然后確定

出與-3接近的點(diǎn)即可.

【詳解】解:由圖可知，，尸=1-（-8）=1+8=9,

AB=BC=CD=DE=EF,

9

^5=-=1.8,

點(diǎn)B表示的數(shù)是一8+1.8=—6.2,

點(diǎn)C表示的數(shù)是-8+1.8x2=-4.4,

點(diǎn)。表示的數(shù)是-8+1.8x3=-2.6,

-3-(-4.4)=1.4,-2.6-(-3)=0.4,1,4>0,4

二最接近-3的點(diǎn)是點(diǎn)。，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸以及線段等分點(diǎn)的定義，有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加減運(yùn)算等知識點(diǎn)，

熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的求解并能靈活運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵.

例3.（24-25七年級上貴州銅仁期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并將這些數(shù)按從大到小的順序排列，再

用“〉”連接起來:

。，1；，-3,一（一5）,用,+/.

-5-4-3-2-1012345

【答案】數(shù)軸表示見解析，-（-5）>,>0>-g?-3>彳￡]

【分析】本題考查的了數(shù)軸和有理數(shù)的大小比較，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大是解答此題的關(guān)鍵

在數(shù)軸上正確表示所給有理數(shù)，再利用數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)比較大小即可.

【詳解】解：-（-5）=5,+[-4^=-41,

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在數(shù)軸上表示如圖所示：

+(-4j)-3-|y|°ly-(-5)

—I_?~~I--*----------1_?~~I-------i---------1__?-I--------1--------1----------*—>

-5-4-3-2-1012345

有數(shù)軸上各點(diǎn)的位置可知：

-(-5)>f°>一?一3>+卜41.

例4.(24-25七年級上河南濮陽?期末)給出下列9個(gè)有理數(shù)，按下列要求解答：

III_______III_______II_______II1A

-6-5-4-3-2-101234

41

3,——,0,1—,0.45,—5,—77,—2.5,0.3

52

⑴把上面的9個(gè)數(shù)用“<”排列起來；

⑵把數(shù)3,0,11,-5,一2.5表示在數(shù)軸上.

(3)9個(gè)數(shù)中，①絕對值最小的數(shù)是；②整數(shù)有；③-2.5的倒數(shù)是..

4.1

【答案】(1)-77<-5<-2.5<--<0<0.3<0.45<1-<3

⑵見詳解；

2

⑶①0；②3,0,-5,-77；③

【分析】本題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的大小比較，絕對值及倒數(shù)、有理數(shù)的分類等知識點(diǎn).熟知相關(guān)定義是

正確解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)”的法則即可結(jié)果；

(2)根據(jù)數(shù)軸是用直線上的點(diǎn)表示數(shù)的一條直線，可把數(shù)在數(shù)軸上表示出來；

(3)根據(jù)絕對值、整數(shù)、倒數(shù)的意義可得答案.

41

【詳解】(1)解：將3,0,1-,0.45,-5,-77,-2.5,0.3用“<”排列如下：

52

41

-77<-5<-2.5<——<0<0.3<0.45<1-<3；

52

(2)解：把數(shù)3,0,1-,-5,-2.5表示在數(shù)軸上，如下：

2

11°

-5-2.50123

I4?i.i?1i.iJ?>

-6-5-4-3-2-101234

2

(3)解：9個(gè)數(shù)中，①絕對值最小的數(shù)是0；②整數(shù)有3,0,-5,-77；③-2.5的倒數(shù)是.

2

故答案為：①0；②3,0,-5,-77；③—1.

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變式1.(23-24七年級上?四川樂山,期末)下列說法，不正確的是()

A.絕對值最小的有理數(shù)是0.

B.離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)，表示的數(shù)的絕對值越大.

C.數(shù)軸上的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大

D.在數(shù)軸上右邊的數(shù)的絕對值比左邊的數(shù)的絕對值大.

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對值等知識點(diǎn)，能準(zhǔn)確理解數(shù)軸以及絕對值的意義是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.絕對值最小的有理數(shù)是0,故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

B.離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)，表示的數(shù)的絕對值越大，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

C.數(shù)軸上的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

D.在數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大，故該選項(xiàng)不正確，符合題意.

故選：D.

變式2.(23-24七年級上?吉林長春?階段練習(xí))比較-2.4,-0.5,-(-2),-3的大小，下列正確的是()

A,-3>-2.4>-(-2)>-0.5B,-(-2)>-3>-2.4>-0.5

C.-2)>-0.5〉-2.4>-3D.-3>-(-2)>-2.4>-0.5

【答案】C

【分析】本題主要考查有理數(shù)大小比較，先把各數(shù)化簡再在數(shù)軸上表示出來，根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)便可直觀解

答.

【詳解】解：-(-2)=2,

各點(diǎn)在數(shù)軸上表示為：

-3-2.4-0.5-(-2)

II..I1.11.II|>

-5-4-3-2-1012345

由數(shù)軸上各點(diǎn)的位置可知，-。2)>-0.5〉-2.4〉-3.

故選：C.

變式3.(24-25七年級上?廣東汕頭,階段練習(xí))把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并按從小到大的順序用“<

連接起來.3,0,-2.5,-|-4|,4；,-(+1.6),

【答案】數(shù)軸表示見解析，十4|<-2.5<-(+1.6)<0<3<4；

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【分析】本題主要考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)、有理數(shù)的大小比較，首先把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來,

再根據(jù)數(shù)軸上左邊的點(diǎn)表示的數(shù)小于右邊的點(diǎn)表示的數(shù)，按從小到大的順序用“<”連接起來.

【詳解】解:-卜4|=-4,一(+1.6)=-1.6,

把各數(shù)表示在數(shù)軸上，如下圖所示，

1

4-

24

,一|14|,一）5「什1?,

0-24

~5-4—3—2—1-

按從小到大的順序用“〈”連接起來可得：-|-4|<-2.5<-(+1.6)<0<3<41.

變式4.(24-25七年級下?江蘇常州?階段練習(xí))如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)/,8分別表示數(shù)-3,-2x+l.

AB

----------1-----------1-------->

-3-2%+1

⑴求X的取值范圍；

⑵數(shù)軸上表示數(shù)“-工-1”的點(diǎn)。應(yīng)落在點(diǎn)/左邊、點(diǎn)/、8之間還是點(diǎn)B的右邊？請說明理由.

【答案】⑴x<2

(2)點(diǎn)N、5之間，見解析

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)大于其左邊的數(shù)列不等式解答即可；

(2)根據(jù)x<2,得至1］一》>一2得至U-X—1>一3解答即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，得-2X+1A-3,

解得x<2,

故x的取值范圍為x<2；

(2)解：根據(jù)x<2,得到-x>-2,

得至U-x-l>-3,在/的右側(cè)；

—2x+1—(—x—1)=-x+2>0,

故在8的左側(cè)，

故在點(diǎn)/、8之間.

題型2、利用數(shù)軸比較用字母表示的有理數(shù)的大小

【解題技巧】比較一個(gè)有理數(shù)和它的相反數(shù)的大小分以下3種情況：

1)一個(gè)有理數(shù)本身大于0的話，它的相反數(shù)必然小于0,這個(gè)有理數(shù)比它的相反數(shù)大.

2)一個(gè)有理數(shù)本身小于0的話，它的相反數(shù)必然大于0,這個(gè)有理數(shù)比它的相反數(shù)小.

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3）一個(gè)有理數(shù)本身等于0的話，它的相反數(shù)必然等于0,這個(gè)有理數(shù)與它的相反數(shù)一樣大，即相等.

例1.（24-25七年級上?遼寧大連?期末）如圖，若點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)分別為。、b、c,則

下列大小關(guān)系正確的是（）

BCA

?__________?1?>

bQca

A.a<b<—cB.b<—c<aC.—a<c<bD.a<c<—b

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，相反數(shù)的含義，把-表示在數(shù)軸上，根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)

大于左邊的數(shù)，即可求解.

【詳解】解:由題意可知,b<O<c<a,且同>例>閆,

如圖所示，把-表示在數(shù)軸上，

—aB-cC—bA

IIIIIII、

b0ca

-a<b<-c<0<c<-b<a,

故選：B.

例2.（23-24七年級上?江蘇?期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)4對應(yīng)的數(shù)為則下列結(jié)論正確的是（）

A

------------01―2_a?——?

A.-2<—ci<。<2B.—a<—2<。<2

C.—ci<—2<2<tzD.—2<—Q,<2<。

【答案】C

【分析】本題主要考查了數(shù)軸的定義、有理數(shù)的大小比較，掌握理解數(shù)軸的定義是解題關(guān)鍵.

由數(shù)軸可得0<2<。，則進(jìn)而完成解答.

【詳解】解：由數(shù)軸可得0<2<a,則-°<-2<0,

戶斤以—a<—2<2<。.

故選C.

例3.（24-25七年級上湖南張家界?期中）有理數(shù)〃，6滿足6<0,-a<6,則下列結(jié)論正確的是（）

A.-a<b<-b<aB.b<-a<a<-b

C.-a<-b<b<aD.b<-a<-b<a

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【答案】A

【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，根據(jù)題意把有理數(shù)。、6、-服-6在數(shù)軸上表示出來即可判

斷求解，正確畫出數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：>0,b<0、-a<b,

「?有理數(shù)〃、氏-以-6在數(shù)軸上表示如下：

____]?]II?

-abQ-ba

由數(shù)軸可得，-a<b<-b<a,

故選：A.

例4.（24-25七年級上?北京東城?期末）若有理數(shù)“，6在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，在下列結(jié)論中，

正確的是（）

i.i?.1??

-2a-10b12

A.|a|〈同B.a+3>0C.a2<b2D.a>-b

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得到-2<a<-l<0<b<l<2,然后一一判斷即可,

掌握絕對值與數(shù)軸上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可知，-2<a<-l<0<b<l<2

.-.l<|a|<2,0<|fe|<1

，同>瓦故A錯(cuò)誤

*.*—2<。<—1

tz+3>0,故B正確；

—2<。<—1,0<6<1

那么當(dāng)a=-1.5,6=0.5時(shí),a2=1,25,b~=0.25,a2>b2,故C錯(cuò)誤；

,/0<Z?<1

/.-1<-ZJ<0

/.a<-b,故D錯(cuò)誤；

故選：B.

變式1.（24-25七年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）有理數(shù)。在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則“，-1的大小關(guān)

系正確的是（）

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>

a01

A.a<-a<IB.-a<a<lC.a<\<-aD.\<-a<a

【答案】C

【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較大小、絕對值，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得

?<0<1,[4>1,從而可得-a>l,由此即可得.

【詳解】解:由數(shù)軸可知,a<O<l,|a|>l,

-ci>1,

a<\<—a,

故選：C.

變式2.（24-25七年級上?云南楚雄?期末）數(shù)軸上表示數(shù)“〃的點(diǎn)如圖所示，把肛〃，-乙—按照從小到大

的順序排列，下列正確的是（）

11

---m------o1--n---->

A.-m<m<—n<nB.一加<-n<m<n

C.m<n<-n<-mD.m<-n<n<-m

【答案】D

【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，能根據(jù)數(shù)軸得出/<0<〃是解此題的關(guān)鍵.

根據(jù)數(shù)軸得出小<0<",|網(wǎng)>|〃|,再比較即可.

【詳解】解：；從數(shù)軸可知:m<O<n,且加|>|H，

m<-n<O<n<-m,

故選：D.

變式3.（24-25七年級上?廣東廣州?期中）已知有理數(shù)。、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的

是（）

ab

―L—?--1------1~*

-101

11,

A.—<a<—<bc117

abab

171-11

C.—<Q<Z><一7

abab

【答案】A

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【分析】本題主要考查了數(shù)軸，利用數(shù)軸比大小，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解答是解題的關(guān)鍵.

觀察數(shù)軸可得”0,6>0,同>例,即可求解.

【詳解】解：觀察數(shù)軸得：-l<a<0,0<1<6,

一<。<0,0<一<b,

ab

117

一<〃<一u,

ab

故選：A.

變式4.（23-24七年級上?浙江嘉興?期中）數(shù)軸上點(diǎn)4B,。分別表示數(shù)-1,m,-1+m,下列說法正確

的是（）

A.點(diǎn)C一定在點(diǎn)/的右邊B.點(diǎn)C一定在點(diǎn)/的左邊

C.點(diǎn)C一定在點(diǎn)B的右邊D.點(diǎn)C一定在點(diǎn)B的左邊

【答案】D

【分析】由于不知道數(shù)加的數(shù)值，所以不清楚點(diǎn)/與點(diǎn)C,點(diǎn)力與點(diǎn)2的位置關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)2,C分別

表示數(shù)辦-1+加即可判斷.

【詳解】解：???切的數(shù)值未知，

???點(diǎn)N與點(diǎn)C,點(diǎn)力與點(diǎn)8的位置關(guān)系未知，

,二點(diǎn)B,C分別表示數(shù)機(jī)，—1+W?,

即點(diǎn)8向左移動(dòng)一個(gè)單位得到C,

點(diǎn)C一定在點(diǎn)B的左邊，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸，掌握在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊大是解題關(guān)鍵.

題型3、利用法則比較有理數(shù)的大小

【解題技巧】有理數(shù)的大小比較法則：正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，其絕

對值大的反而小.

例1.（24-25七年級上湖北恩施，階段練習(xí)）比較大?。?|；1；-1.

【答案】<<<

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，根據(jù)法則比較：正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);

兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.

10/39

33_27

【詳解】解：.??

88-72

,__8/___5,

961

故答案為：<,<,<.

例2.（24-25七年級上?貴州畢節(jié)期中）下列各式正確的是（）

【答案】B

【分析】此題主要考查了有理數(shù)的大小比較，有絕對值的先化簡絕對值，再根據(jù)正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于

0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小解答即可.

【詳解】解：A、卜，=，＞-：,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

IooO

B、-日建,-|||=4,所以-"一曰，故此選項(xiàng)正確,符合題意；

|8|8|6|6868|6|

C、所以/與＜。故此選項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意；

\o7o86VoyO

D、故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

例3.（24-25七年級下?貴州遵義?階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，可以用來說明命題‘若忖＞3,貝出＞尸是假命

題的反例是（）

A.x=-4,y=-1B.x=5,y=-2

C.x=l,y=0D.x=-3,y=-4

11/39

【答案】A

【分析】本題考查的是命題與定理，任何一個(gè)命題非真即假.要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、

論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.

根據(jù)絕對值、有理數(shù)的大小比較法則解答即可.

【詳解】解：A.當(dāng)x=-4,y=-l時(shí)，滿足忖＞3,但不滿足x＞兒符合題意;

B.x=5/=-2,滿足滿足龍〉了是真命題，不符合題意；

C.x=l,y=O,滿足國＞|訊滿足x＞V是真命題，不符合題意；

D.尤=-3）=-4,不滿足忖＞3，，不符合題意.

故選A.

例4.（23-24七年級上?四川成都?階段練習(xí)）下列各式中，大小關(guān)系正確的是（

【答案】B

【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù),

絕對值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A、0.3＞-1,故本選項(xiàng)不合題意，錯(cuò)誤；

B、；-：＜一￡，故本選項(xiàng)正確；

c、故本選項(xiàng)不合題意，錯(cuò)誤；

5656

D、鬻［，-故本選項(xiàng)不合題意，錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)比較大小，將每個(gè)數(shù)進(jìn)行符號化簡后利用有理數(shù)比較大小法則進(jìn)行比較是解答此

題的關(guān)鍵.

變式1.（23-24七年級上?全國裸后作業(yè)）在-5,-0.9,0,-0.01這四個(gè)數(shù)中，最大的負(fù)數(shù)是（）

A.-5B.-0.9C.0D.-0.01

【答案】D

【分析】根據(jù)：絕對值越大的負(fù)數(shù)，本身越小，選出最大的負(fù)數(shù).

12/39

【詳解】解:-.'I-5|>|-0.9|>|-0.01|,-5<-0.9<-0.01,

??.在-5,-0.9,0,-0.01這四個(gè)數(shù)中，最大的負(fù)數(shù)是-0.01.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)比較大小的方法.

變式2.（24-25七年級上?廣東深圳?階段練習(xí)）比較的大小結(jié)果正確的是（）

A111cli1八111A111

A.->——>——B.>——C.——>->——D.——>——>-

324342234243

【答案】B

【分析】先根據(jù)正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)可得出g最大，再由負(fù)數(shù)比較大小的法則進(jìn)行比較即可.

【詳解】'''>0,-y<0,

324

］最大，

414144

<—

4

.—>-—>

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)大小比較，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì).

變式3.（24-25七年級上?湖南長沙?階段練習(xí)）下列比較大小正確的是（）

【答案】D

【分析】先化簡，然后根據(jù)有理數(shù)的大小比較方法比較即可.

2222

【詳解】A.--=—,---故不正確；

B.--->.故不正確；

6767

C.—（—5—）=5.5,|—5.5|=5.5,???—（—5—）=|—5.5|,故不正確;

761/1-丁力

--<-y,故正確;

故選D.

13/39

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值

大的反而小.

變式4.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）比較有理數(shù)的大?。?/p>

1111111

1111-------------------111111

【答案】<

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的大小比較.首先求出這兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值：-幣y=—.

|"l=

n7Tnnnn,再分別求出這兩個(gè)絕對值的倒數(shù)，比較這兩個(gè)數(shù)的絕對值的倒數(shù)可得號?>*,所

以可喘再根據(jù)兩

個(gè)負(fù)數(shù)絕對值大的反而小可得結(jié)果

【詳解】解:?富r黑,11111111

111111—111111’

11111110+1s11111111山。。+」_

------=-----------=10+——,——1=1

1111111111111一11111111

1111111111八八八11110+^

=100-10+------—>0

111111111111J1111111

1111111111

..>,

1111111

1111111

----->---------

1111111111

1111111

-----<-----------

1111111111

故答案為：<.

題型4、利用特殊值法比較有理數(shù)的大小

【解題技巧】一般選填題中帶有字母的大小比較問題可采用賦值法.

例1.（2024.江蘇宿遷.模擬預(yù)測）當(dāng)-1。<0時(shí)，/、工、！的大小順序是（）

x

A.一<x<B.X2<x<—C.—<<xD.<一<x

XXXX

【答案】A

【分析】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)

負(fù)數(shù)比較大小，根據(jù)可令x=求出Lx?的值，再比較大小即可，絕對值大的反而小是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：

14/39

.?.令％=一上則1

=—10,x2

X100

1

---->->-10

10010

12

:.一<x<x,

x

故選：A.

例2.（23-24七年級上,浙江杭州?階段練習(xí)）已知m是比1大的整數(shù)，則m,-m,工的大小關(guān)系是（）

m

A.m<-m<—B.-m<m<—

mm

C.-m<—<mD.m<—<—m

mm

【答案】C

【分析】根據(jù)m>l,可確定-m和，的取值范圍，根據(jù)有理數(shù)的大小比較方法即可得答案.

m

【詳解】??,m>1,

.---m<-1,0<—<1,

m

1

.*.-m<—<m,

m

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，能分別求出各式的取值范圍是解題關(guān)鍵.

例3.（23-24六年級下,黑龍江綏化?期中）a、6、c都是自然數(shù)，且"弓=bx23=c+貝IJ。、氏c中最

小的是（）

A.aB.bC.cD.不確定

【答案】B

【分析】本題考查了利用假設(shè)法判斷最小自然數(shù)，首先假設(shè)axlg=6x23=c+g=l,得出a、6、c的值,

即可判斷出其中的最小自然數(shù).

【詳解】假設(shè)axl!=6x23=c+g=l,貝=b=士,c=g,

556235

511

>一,

6523

:.a>c>b,

即b最小，

故選：B.

15/39

變式1.（24-25七年級上?廣東佛山,期中）若則。，-。從小到大排列正確的是（）

a

A11八1C1

A.—u<一<uB.a<—u<—C.—<—Q<ciD.-a<a<一

aaaa

【答案】D

【分析】根據(jù)a的取值范圍，取一個(gè)具體數(shù)值代入計(jì)算從而得到三個(gè)式子的大?。?/p>

【詳解】解：：0<a<l,

.,.設(shè)a=',-=2,-a=—,

2a2

..11<2

'.—a<a<—.

a

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值和有理數(shù)比大小，賦予特殊值代入計(jì)算是解題的常用方法.

變式2.（23-24七年級上?江西上饒?期中）若“為大于-1的負(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a2<aB.a3<aC.—<aD.-a<a2

a

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的大小比較方法.根據(jù)“的取值范圍分析

即可求解.

【詳解】解：為大于-1的負(fù)數(shù)，

**?—1<67<0,

A、a2—a=a—1）,

:a<0,

Q—1<0,

Q（Q-1）>0,

故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、/_Q=Q（/_］）,

,**—1<tz<0,

tz2-l<0,

q（/_1）〉0,

16/39

?3>a,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

C1—1

I、a—=----,

aa

-1<。<0,

???672-1<0,

/.CL---->0,

a

：.~<a,故該選項(xiàng)正確，符合題意;

a

D、/+〃=〃(〃+1)

,**—1<a<0,

a+1>0,

,，礦+a<0

-a>a2,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

故選：C.

變式3.(23-24七年級上,河南洛陽?期中)請閱讀材料，并解決問題.

比較兩個(gè)數(shù)的大小的方法:

若比較—肅99與的S1大小‘利用絕對值法比較這兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小要涉及到分?jǐn)?shù)的通分‘計(jì)算量大’可以

使用如下的方法改進(jìn):

q巾4991511.9951.9951

角羊：因?yàn)椤?lt;-,——>-,所以——<——,所以---->-----.

20121012201101201101

9951

⑴上述方法是先通過找中間量____來比較出舒與益的大小，再根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小,大的負(fù)數(shù)

反而小，把這種方法叫做借助中間量比較法;

⑵利用上述方法比較4-3羲與-泰79的大小.

【答案】(1)/；絕對值

°、4379

(2)-------<--------

126243

【分析】本題主要考查有理數(shù)大小比較:

(1)根據(jù)計(jì)算過程和有理數(shù)大小比較法則得出答案即可;

(2)找出中間量是g,再比較大小即可,

17/39

ioo51

【詳解】（1）上述方法是先通過找中間量/來比較出u■與益■的大小，再根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對

值大的負(fù)數(shù)反而小，把這種方法叫做借助中間量比較法；

故答案為：絕對值；

小、431791

12632433

,-4-3->--7-9

"126243,

4379

---126<-243'

題型5、有理數(shù)大小比較的實(shí)際應(yīng)用

例1.（2025?福建福州?二模）下表是幾種氣體在1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的沸點(diǎn)（保留整數(shù)）

氣體氮?dú)庋鯕獍睔舛趸?/p>

沸點(diǎn)（℃）-196-183-269-78

其中沸點(diǎn)最低的氣體是（）

A.氮?dú)釨.氧氣C.氨氣D.二氧化碳

【答案】C

【分析】本題主要考查有理數(shù)的大小比較.根據(jù)'‘兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值越大反而小”即可求解.

【詳解】解:v|-269|>|-196|>|-183|>|-78|,

.---269<-196<-183<-78,

??.沸點(diǎn)最低的氣體是氮?dú)?

故選：C.

例2.（2025?遼寧撫順?模擬預(yù)測）初中常用部分元素常見化合價(jià)如下表所示：

元素氧0鎂Mg氯Cl鋁AI鉀K

化合價(jià)-2+2-1+3+1

其中化合價(jià)最小的元素是（）

A.氧OB.鎂MgC.氯ClD.鋁Al

【答案】A

18/39

【分析】本題考查了有理數(shù)大小的比較，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對值大的反而??；根據(jù)這

一比較法則，只要比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小即可.

【詳解】解：卜2|=2,卜1|=1,且2>1,

故-2<-1；

故選：A.

例3.（24-25七年級上?河南南陽?期中）古箏是中國獨(dú)特的民族樂器之一，為了保持音準(zhǔn)，彈奏者常使用

調(diào)音器對每根琴弦進(jìn)行調(diào)音.如圖，這是某古箏調(diào)音器的界面，指針指向40表示音調(diào)偏高，需放松琴弦.下

列指針指向的數(shù)字中表示需擰緊琴弦，且最接近標(biāo)準(zhǔn)音（指針指在0處為標(biāo)準(zhǔn)音）的是（）

A.-20B.-10C.10D.30

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，根據(jù)有理數(shù)的大小比較方法解答即可，熟練掌握有理數(shù)的大小比

較是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，大于0的需要放松，小于0的需要擰緊，且-20<-10<0<10<30,

二指針指向的數(shù)字中表示需擰緊琴弦，且最接近標(biāo)準(zhǔn)音（指針指在0處為標(biāo)準(zhǔn)音）的是-10,

故選：B.

變式1.（2025?浙江杭州,二模）世界上陸地海拔最低的四個(gè)地方主要分布在極端干旱或地質(zhì)活動(dòng)頻繁的洼

地、湖泊及盆地中，以下是具體信息：

地區(qū)阿薩勒湖艾丁湖蓋塔拉洼地死海

最低海拔（m）-155-154-133-430

其中海拔最低的是（）

A,阿薩勒湖B,艾丁湖C.蓋塔拉洼地D.死海

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小的比較.

直接比較各個(gè)數(shù)據(jù)大小即可.

【詳解】I?：v|-133|<|-154|<|-155|<|-430|,

19/39

-430<-155<-154<-133

其中海拔最低的是死海，

故答案為:D.

變式2.（2025?江西?中考真題）在1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，四種晶體的熔點(diǎn)如下表所示，則熔點(diǎn)最高的是（）

晶體固態(tài)氫固態(tài)氧固態(tài)氮固態(tài)酒精

熔點(diǎn)（單位：。C）-259-218-210-117

A.固態(tài)氫B,固態(tài)氧C.固態(tài)氮D.固態(tài)酒精

【答案】D

【分析】本題考查負(fù)數(shù)的知識，負(fù)數(shù)大小的比較.分別比較幾個(gè)凝固點(diǎn)的大小，即可得到解答..

【詳解】解：由表格可知，固態(tài)氫的熔點(diǎn)為-259。（2,固態(tài)氧的熔點(diǎn)為-218。（2,固態(tài)氮的熔點(diǎn)為-21（FC,固

態(tài)酒精的熔點(diǎn)為

?■--259<-218<-210<-117,

???熔點(diǎn)最高的是固態(tài)酒精.

故選：D.

變式3.（24-25七年級上?北京期末）手機(jī)信號的強(qiáng)弱通常采用dBm值來表示，dBm值越大表示信號越好,

則下列表示手機(jī)信號強(qiáng)弱的dBm值中，信號最好的是（）

A.-40dBmB.-60dBmC.-80dBmD.-lOOdBm

【答案】A

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的大小比較，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，絕對值大的反而小.根據(jù)有理數(shù)的大

小比較法則，即可求解.

【詳解】fl?：V40<60<80<100,

-40>-60>-80>-100,

???信號最好的是-40dBm.

故選：A.

題型6、有理數(shù)大小比較中的新定義問題

例1.（2025?山東聊城?一模）對于各數(shù)互不相等的正整數(shù)組（%,生，…,%）（〃是不小于2的正整數(shù)），如果

在i</時(shí)有則稱％與%是該數(shù)組的一個(gè)‘逆序例如數(shù)組（L-2,3-4）中%=1,g=-2,q>出，

20/39

則"1,-2”為一個(gè)逆序，且此數(shù)組所有的逆序?yàn)?L-2","1,Y”，“-2,-4","3,-4",其逆序數(shù)為4.則

數(shù)組(-1,2,-3,4,-5)的逆序數(shù)是

【答案】6

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的大小比較及新定義的理解，理解題意是解題關(guān)鍵，根據(jù)新定義結(jié)合有理

數(shù)的大小比較即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：數(shù)組(-1,2,-3,4,-5)中所有的逆序?yàn)椤?1,-3「-1,_5”，“2,-3”，“2,-5”，“-3,-5”，

"4,-5",

數(shù)組(-1,2,-3,4,-5)的逆序數(shù)是6,

故答案為：6.

例2.(23-24七年級上湖南株洲?期中)對于任意實(shí)數(shù)x,通常用印表示不超過x的最大整數(shù)，如[2.9]=2,

下列結(jié)論正確的是()

①[一3]=-3②[-2.9]=-2③[0.9]=0@[x]+[-x]=O

A.①②B.②③C.①③D.③④

【答案】C

【分析】根據(jù)符號岡表示不超過x的最大整數(shù)，依次判斷可得答案.

【詳解】解：由題意可得，

[-3]=-3,故①正確;

[-2.9]=-3,故②錯(cuò)誤;

[0,9]=0,故③正確；

當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，岡+[-x]=x+(-x)=0,

當(dāng)x為小數(shù)時(shí)，如x=1.2,則岡為-x]=l+(-2)=-1*0,故④錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，解答本題的關(guān)鍵是理解題目中的新定義.

例3.(24-25七年級上甘肅蘭州期中)定義：=-計(jì)算(2025*2024)*2023的值.

[a+6(當(dāng)a<加寸)

【答案】2024

【分析】本題考查新定義下有理數(shù)運(yùn)算，根據(jù)題意代入計(jì)算即可.

【詳解】解：-■-2025>2024,

21/39

2025*2024=2025-2024=1,

則原式=1*2023,

?■-1<2023,

??/★2023=1+2023=2024,

故答案為：2024.

變式1.(2