專題11函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

1、通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言

表達(dá)能力

2、會(huì)用定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，提高學(xué)生的推理論證能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

3、在經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括，自主建構(gòu)單調(diào)性概念的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)從具體到抽象，從特殊到一

般，從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程

知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性

1、增函數(shù)與減函數(shù)

1.1增函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?,區(qū)間/,如果Vxi，4eD,當(dāng)石<%時(shí),都有/(七)</(%),

那么就稱函數(shù)/(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞增.(如圖：圖象從左到右是上升的)

特別地，當(dāng)函數(shù)/(%)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).

1.2減函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?,區(qū)間?？?，如果V%,9e。，當(dāng)石<々時(shí),都有/(西)>/(x2),

那么就稱函數(shù)/(x)在區(qū)間。上是單調(diào)遞減.(如圖：圖象從左到右是下降的)

特別地，當(dāng)函數(shù)/(X)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).

2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=/(%)在區(qū)間。上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)

單調(diào)性，區(qū)間。叫做y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

3、常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性

當(dāng)人＞0時(shí)，/(X)在R上單調(diào)遞增

一次函數(shù)/(x)=Ax+人(左wO)當(dāng)左＜0時(shí)，/(%)在R上單調(diào)遞減

當(dāng)左＞0時(shí)，/(%)在(—8,0)和(0,+勾)上單調(diào)遞減

k當(dāng)左＜0時(shí)，/(%)在(—8,0)和(0,+勾)上單調(diào)遞增

反比例函數(shù)/(%)二—(左。0)

X

b

當(dāng)〃＞。時(shí)，/(%)在(-8,-7-)上單調(diào)遞減；

2a

二次函數(shù)/(%)=依2+法+。(〃。0)在(_b+8)上單調(diào)遞增

2a

b

對(duì)稱軸為九=-丁b

2a當(dāng)〃＜。時(shí)，/(?在(-8,-丁)上單調(diào)遞增；

2a

在(_b+8)上單調(diào)遞減

2a

知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

1、定義法：一般用于證明，設(shè)函數(shù)/(幻，證明的單調(diào)區(qū)間為。

①取值：任取苞，X2GD,且X]＜%;

②作差：計(jì)算/a)一/(々)；

③變形：對(duì)/(西)-/(々)進(jìn)行有利于符號(hào)判斷的變形(如通分，因式分解，配方，有理化等)；如有必要

需討論參數(shù)；

④定號(hào)：通過(guò)變形，判斷/(西)一/(%)〉0或(/(石)一/(%)＜0),如有必要需討論參數(shù)；

⑤下結(jié)論：指出函數(shù)y=/(x)在給定區(qū)間。上的單調(diào)性

2、圖象法

一般通過(guò)已知條件作出函數(shù)的圖象(或者草圖)，利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.

3、性質(zhì)法

(1)函數(shù)y=/(x)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性與y=-/U)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性相反;

(2)函數(shù)y=/(X)在給定區(qū)間。上的單調(diào)性與y=/(%)+c的單調(diào)性相同；

(3)y=/(x)和y=g(x)的公共定義區(qū)間。，有如下結(jié)論；

y=/(x)y=g(x)y=/(x)+g(x)y=/(x)-g(x)

增/增/增/不確定

增/減\不確定增/

減\減,減,不確定

減\增/不確定減\

知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)的最大(小)值

1、最大值：對(duì)于函數(shù)y=/(x),其定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:

①Vxe/,都有

②叫e/,使得/(%)=〃

那么稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值；

2、最小值：對(duì)于函數(shù)y=/(x),其定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)加滿足:

①祗C/,都有/(X)2772

②叫e/,使得/(%)=加

那么稱〃?是函數(shù)v=/(%)的最小值

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)一：利用定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

典型例題

例題1.(24-25高一上,安徽銅陵?階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)=生

(1)用定義法判斷了(X)在區(qū)間(-2,+?))上的單調(diào)性

(2)求出該函數(shù)在區(qū)間［1,4］上的最大值和最小值.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；

（2）最小值為1,最大值為不3

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域

【分析】（1）利用定義法，設(shè)玉再化簡(jiǎn)求得〃占）即可判斷；

（2）由“X）的單調(diào)性即可判斷最值.

【詳解】⑴e（-2,+co）,且%

lilllf（xy-f（x1=2百+1_2%+1=（2X］+1）（%+2）-（2x?+1）（丙+2）=3（-―

川八〃八2尸&+2%+2一（見(jiàn)+2）（%+2）—（占+2）伍+2）

因玉>x2>-2,貝IJ%+2>0,9+2>0,玉一%>0,

則/（西）一/（%）>。，即/⑺>〃％）,

則〃龍）在區(qū)間（-2,+8）上單調(diào)遞增.

（2）由⑴可知〃無(wú)）在區(qū)間［1,4］上單調(diào)遞增，

則“X）的最小值為"1）=1，最大值為7（4）=；.

例題2.（24-25高一上?上海寶山?期末）已知函數(shù)/（"=爐—2尤.

（1）用定義法證明函數(shù)、尤）在區(qū)間（-8』上是嚴(yán)格減函數(shù)；

（2）寫(xiě)出函數(shù)y=在區(qū)間［-2,2］上的最值，以及相應(yīng)的x的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）答案見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、求二次函數(shù)的值域或最值

【分析】（1）任取4、且為<%,作差/&）-/（々），因式分解后判斷的符號(hào),

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；

（2）分析函數(shù)“X）在區(qū)間［-2,2］上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)〃x）的最大值、最小值以及對(duì)應(yīng)的x值.

【詳解】（1）任取々、%2￡（e,l］且西<工2，則石一工2<0且玉+工2<2,

所以，?/1（%）-/（%）=儲(chǔ)-2%）-（考-2%）=（片-考）-2（占-*2）

=（看一.）（占+々）一2（%一尤2）=（玉_/）（二+/-2）>0,即〃％）>/（%2）1

所以，函數(shù)>=〃尤）在區(qū)間（-8』上是嚴(yán)格減函數(shù).

（2）因?yàn)楹瘮?shù)〃力=爐-2尤在42』上為減函數(shù)，在［1,2］上為增函數(shù),

所以，當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)”可取最小值，且最小值為=

又因?yàn)椤?2）=4+4=8,"2）=4-4=0,

所以，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取最大值，且最大值為〃-2)=8.

精練

1.(24-25高一上?甘肅蘭州?階段練習(xí))已知函數(shù)xe[2,3].

x—1

(1)用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)的最大值和最小值.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)最大值為4,最小值為|

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷并證明.

(2)根據(jù)單調(diào)性即可求解.

【詳解】(1)任取2<玉<馬(3,

%+2%—1+33

函數(shù)〃x）=-------=11+----

x-1x-1x-1

333（元2—西）

&-1x,—1（無(wú)1—1）（々一1）

2<X］<%2<3,;.x2-%］>O,Xj—1>0,x2-1>0,

：./(%)-/⑸>0,故〃西)>〃％)，

所以函數(shù)/'(x)在［2,3］上為減函數(shù).

(2)/(x)在［2,3］上單調(diào)遞減，

24

/Wmax=/()=y^=>/Mmin=/(3)==-

Z—1J—1Z

2.(24-25高一上?廣西河池?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x+g.

(1)判斷函數(shù)/(x)在(0,1)上的單調(diào)性并用定義進(jìn)行證明;

(2)若相對(duì)任意xe恒成立，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

【答案】(1)在(0,1)上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析

「17)

(2)一

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

【分析】(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性定義即可證明；

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值，即可得答案.

【詳解】⑴"X）在（0,1）上單調(diào)遞減，證明如下：

任取士e（O,l）,且王<苫2，.

XX2l

則/（芯）一/（%）=^1+—~{x2+—>|=（X］-X2）（'~,

I再J［x2）I玉工27

G（O,1）,且玉</，

/.jq-x2<0,0<xxx2<1,玉%—1<0,

.?"（石）一/（工2）>0,即/（占）A”馬）,

所以函數(shù)/'（X）在（0,1）上單調(diào)遞減.

（2）由/（尤）《相對(duì)任意xe恒成立得1Mx,

由⑴知在（0,1）上單調(diào)遞減，

函數(shù)〃x）在xe上的最大值為了g〉

即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為

2r+1

3.（2024高二上,河南安陽(yáng)?學(xué)業(yè)考試）已知/（%）=-

x+1

（1）判斷函數(shù)/（X）在區(qū)間［1,+8）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；

（2）求該函數(shù)/（X）在區(qū)間［1,4］上的最大值與最小值.

【答案】（1）增函數(shù)，證明見(jiàn)解析

aa

（2）最大值為:，最小值為萬(wàn)

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域

【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)單調(diào)性的定義代入計(jì)算，即可證明；

（2）根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最值.

【詳解】⑴在［1,+8）上是增函數(shù).證明如下：

任取現(xiàn),馬€工+8）,且占<%,

M+1x2+1（石+1）（X2+1）

,.,%,-x2<0,（^+l）（x2+1）>0,

???/（）-/㈤<。，/（石）</（々），

函數(shù)f（x）在［1,+◎上是增函數(shù).

（2）由（1）知函數(shù)”X）在口，函上是增函數(shù).

所以?。┳畲笾禐椤?）=卷十.最小值為〃D=智=1.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

典型例題

例題1.（23-24高三下?全國(guó)?自主招生）函數(shù)y=-/-5x+6的單調(diào)遞減區(qū)間為

【答案】（或（-■1,+co））

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】y=-x2-5x+6的對(duì)稱軸為％=-g,

因?yàn)?lv。，所以函數(shù)＞=-工2-5工+6的圖象開(kāi)口向下，

所以函數(shù)y=-V-5x+6的單調(diào)遞減區(qū)間為［-*”）（或（-：,+/））.

故答案為：［—―,+°°）（或（-于+⑹）

例題2.（2024高一?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)、=卜尤2+以+5］的單調(diào)遞增區(qū)間是

【答案】（T2）,（5,?。?/p>

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、畫(huà)出具體函數(shù)圖象

【分析】作出函數(shù)y=|-/+4x+5］的圖象，根據(jù)圖象即可求出結(jié)果.

—x^+4x+5,x￡[—1,5]

【詳解】函數(shù)y=—x2+4x+5

x2-4x-5,XG(-??,-1)u(5,+<x))

由|—Y+4X+5|=0,解得x=—1或%=5,

函數(shù)y=|-%2+4%+5］的圖象如圖所示，

由圖可知,函數(shù)y=|-f+4%+5|的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,2）,（5,y）.

精練

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)〃%）=亞式不3的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.1-。0，，B.（3,一1]C.m1001D-g+j

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意可得2尤2一%一320,即（2x-3）（x+l?o,解得尤W-l或轉(zhuǎn)小

2

令，=2x—X—3（x<—X>—）,貝【Jy二〃，

因?yàn)?2%2—%_3的對(duì)稱軸為x=1,

4

所以r=2/_x-3在（』T]上遞減，在|，+8）上遞增，

因?yàn)閥=?在定義域內(nèi)遞增，

所以y（x）=一x-3在上遞減,在T.+s）上遞增.

故選：C

qY

2.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）函數(shù)言的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【答案】（-,4）和（4,y）

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【分析】整理可得/（引=3+三，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】首先，的定義域?yàn)椋╡,4）u（4,y）,且/⑺===3/12：12=3+=.

JLHrJiHrT"

而對(duì)任意再<%<4,根據(jù)4-%>4-尤2>0可知J—<丁'—,即」故

4一%4一%2玉一4x2-4

了⑸-小―<。,

111212

又對(duì)任意4<尤1〈尤2,根據(jù)4_4>玉_4>0可知----<-----,故/（尤2）-/（尤1）=_=7_J<0-

工2—4玉一4%2—4再一4

因此/⑺在區(qū)間（-8,4）上單調(diào)遞減，在（4,+力）上單調(diào)遞減，故函數(shù)=的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,4）

和（4,+8）.

故答案為：（—8,4）和（4,+8）.

3.（24-25高一上?浙江?期中）函數(shù)/（%）=,-34的單調(diào)遞增區(qū)間是

【答案】（。，3和（3,+8）

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【分析】作出了（》）的圖象，根據(jù)圖象直接判斷出單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】作出〃尤）的圖象如下圖所示，

由圖象可知，〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間是（。，|）和（3,+8）,

故答案為：］。,|［和（3,+6）.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)三：利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

典型例題

例題1.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù),〃力=7^+2%，?/（2a2-5a+4）＜/（a2+a+4）,則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（）

A.（一8,；1口（2,+8）B.［2,6）

C.（0,；u［2,6）D.（0,6）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】首先確定函數(shù)的單調(diào)性，則可將/州-5a+4）＜?+a+4）轉(zhuǎn)化為2W2a2_5a+4＜/+a+4,

解不等式可得答案.

【詳解】由題意可知，函數(shù)〃彳）的定義域?yàn)椋?,內(nèi)），且在［2,y）上單調(diào)遞增，

???202a2—51+4</+〃+4,解得v6或0<。(工

2

故選：C.

例題2.(24-25高一上?安徽蚌埠?期末)已知函數(shù)“X)滿足：,當(dāng).占片超時(shí)，>2

恒成立，且"2)=12,g/(m2)>2m2+8,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.[-B.[—2,2]

C.^―°°,—\/2J+00jD.(-00,-2]u[2,+00)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】不妨設(shè)公>無(wú)2,令尸(x)=〃x)-2x,變形得到“不)>八々)，得到少("=〃尤)-2x在R上單調(diào)

遞增，并根據(jù)"2)=12得到/?(叫22加+8=網(wǎng)病”/⑵，得到不等式，求出答案.

【詳解】不妨設(shè)外>%,"6"*)>2^/(x1)-f(x2)>2占一2%,

玉一工2

故〃石)一2玉>f(x2)-2x2,

令網(wǎng)x)=〃x)-2x,則/&)>W%),所以/(x)=〃x)-2x在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?2)=12,所以網(wǎng)2)=〃2)-4=8,

/(/M2)>2irr+8^>/(m2)-2/n2>8F(zra2)>F(2),

所以m222,解得根€卜00,-應(yīng)]“6+oo).

故選：C

精練

1.(2024高二上?云南?學(xué)業(yè)考試)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?-叫入)的增函數(shù)，若/(根-9)>〃-2m)，則，〃的

取值范圍為()

A.(0,+co)B.(-oo,-3)C.(3,+oo)D.(-co,3)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是定義域?yàn)?―,內(nèi))的增函數(shù)，

所以由/(〃工-9)>f(-2tn),得_9>-2m,

解得相>3,即加的取值范圍為(3,y).

故選：C.

2.(24-25高一上?北京?期中)函數(shù)是［。,+8)上是減函數(shù)，那么下述式子中正確的是()

A./(l)>/(a2+2a+2)B./(l)</(a2+2a+2)

C./(l)=f(?2+2?+2)D.以上關(guān)系均不確定

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】先判斷1和4+2a+2的大小關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)/(元)的單調(diào)性得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)a2+2q+2進(jìn)行變形可得+2。+2=(a+1)?+1.

因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都大于等于0,那么(a+iy+lNl,即q2+2a+2Nl.

因?yàn)楹瘮?shù)/(無(wú))在［0,+到上是減函數(shù)，且"+2a+2Nl.

根據(jù)減函數(shù)的性質(zhì)，自變量越大函數(shù)值越小，所以/⑴W/(/+2a+2).

故選：A.

3.(24-25高一上?浙江,期中)已知f(x)是定義在T1］上的增函數(shù)，且/'(x-l)</Cl-3x),則x的取值范

圍是()

A?B.。。.T，；)

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】根據(jù)單調(diào)性解不等式即可，注意函數(shù)的定義域.

【詳解】因?yàn)榱刷耸嵌x在［TH上的增函數(shù)，fi/(x-l)</(l-3x),

貝,解得OWxJ,

2

所以x的取值范圍是0,：).

故選：A.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)四：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

典型例題

1—Cly

-----X<一］

例題1.(24-25高一下,遼寧朝陽(yáng)?階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=x'，在R上單調(diào)遞

龍2+(4—〃)%+2〃—1,x—1

增，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

A.|，2B.fl,|C.(1,2］D.f1,2

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增，列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

1—〃<0

a>\

_4—3

【詳解】由題意可得，-a-,解得,即:工〃02,

22

、3

—p<1-（4-?）+-1a~2

-3-

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為-,2.

故選：A

例題2.（24-25高一上?江蘇鹽城?期末）已知/（力=尤2-（2°-l）x+l,對(duì)％,都有叢￥^^21

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[l,+oo）B.C.[2,+oo）D.（-oo,2]

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

【分析】由）（%）一"％）21變形得"％）一現(xiàn)-[A%）-々20,構(gòu)造函數(shù)g（X）=〃X）T,進(jìn)而根據(jù)二次函

石一%2%一%

數(shù)〉=屋工）的單調(diào)性求參數(shù).

【詳解】由以止31,得以止必-12。，則一Qo,

玉一工2%一，2%一人2

設(shè)函數(shù)g（x）=/（x）-x,則對(duì)％,N€[1,+00）都有g(shù)（玉）g“）20成立,

所以函數(shù)g（x）=d-26+1在區(qū)間[1,+?0上單調(diào)遞增，

所以嶄41,解得心1,貝

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將‘（斗）一"%）21變形為〃不）一&一"伍）-16o,從而構(gòu)造函數(shù)

玉一%2%一看

g（X）=/（A-）-X.

精練

1.（24-25高一上?廣西百色?期末）10”是“函數(shù)/（力=4爐-丘-8在區(qū)間（-1,4）上單調(diào)遞增”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、判斷命題的充分不必要條件

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分不必要條件，可得答案.

【詳解】當(dāng)心—10時(shí)，二次函數(shù)〃尤)=4尤2-依-8的對(duì)稱軸為直線》=^4-；，

易知此時(shí)二次函數(shù)在(-1,4)上單調(diào)遞增；

由二次函數(shù)—日一8的對(duì)稱軸為直線x

O

易知當(dāng)[v-1,即”-8時(shí)，二次函數(shù)“X)在(-1,4)上單調(diào)遞增.

O

所以“心-10”是“函數(shù)/(x)=4d-質(zhì)-8在區(qū)間(-1,4)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.

故選：A.

2.(24-25高一上?浙江杭州?期中)已知函數(shù)〃力=爐-丘-8在[3,4]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)人的取值范圍

是()

A.[6,8]B.co,6]U[8,+co)C.[8,+co)D.oo,6]

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

kk

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到或解得即可.

22

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)=f-履-8在[3,4]上具有單調(diào)性，

kk

所以人43或解得上W6或左28,

22

即實(shí)數(shù)上的取值范圍是(-e,6]u[8,+。).

故選：B

,、/、f(a-5\x-2,x>2/、

3.(24-25高一上?福建莆田?期中)函數(shù)〃x)=2八a.，若對(duì)任意。，馬€叫占中龍2)，

x—2(〃+1)%+3a,%，

都有“xj一〃z)<0成立,則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

玉一%2

A.(-oo,l]B.(1,5)C.[1,5)D.[1,4]

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求

參數(shù)值

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可求解.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意占馬6口(芯片馬)，都有°成立,所以f(x)是減函數(shù)，

4-4(fl+l)+3a>2(a-5)-2

則<Q-5<0,解得1<67<4.

a+\>2

故選：D.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)五：求函數(shù)最值(值域)

典型例題

例題1.(24-25高一上?四川自貢?階段練習(xí))已知函數(shù)"尤)=d-2x-2,xe[-2,2],函數(shù)〃x)的值域?yàn)?/p>

()

A.[-3,6]B.[-2,6]

C.[2,10]D.[1,10]

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值

【分析】將函數(shù)的解析式配方，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其值域.

【詳解】函數(shù)/(x)=d—2x—2,x+2,2]可化為〃尤尤e[-2,2],

所以函數(shù)"X)=X2-2X-2,xe卜2,2]在[—2,1)上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增，

X/(-2)=4+4-2=6,/(l)=l-2-2=-3,/(2)=4-4-2=-2,

所以函數(shù)“X)的值域?yàn)閇-3,6].

故選：A.

例題2.(24-25高一上?新疆喀什,期末)已知函數(shù)/'(x)=(+2.

(1)判斷函數(shù)/(x)在(0,+")上的單調(diào)性，并用定義法證明你的結(jié)論；

(2)若xe[2,7],求函數(shù)的最大值和最小值.

【答案】(1)減函數(shù)，證明見(jiàn)解析

(2)/(^=|?/?mn=7

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域

【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義即可證明得出結(jié)論；

（2）由單調(diào)性代入即可得出其最值.

【詳解】（1）函數(shù)/'（X）在（0,+8）上是減函數(shù)，證明如下：

任取玉,工2,且。<網(wǎng)<工2,

貝！17（尤1）—/（/）='+2—（2+2）=^----=———,

尤］x2x1x2XjX2

因?yàn)?<x1<x29所以9一%>0,玉X2〉09

所以/（西）-/（蒼）>0,即/（%）>/（%）,

所以〃x）=：+2在區(qū)間（0,+力）上是減函數(shù).

（2）因?yàn)楹瘮?shù)〃彳）=：+2在區(qū)間［2,7］上是減函數(shù)，

所以〃》廉="2）1，/Wmn=/（7）=^.

精練

1.（24-25高三下?湖南永州?開(kāi)學(xué)考試）已知"x）=x：j+6（x>0）,則/（x）的最小值是（）

A.2B.3

C.4D.5

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域

【分析】利用換元法，令yx+l,（x>0）,可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=f+；+l,?>l）,再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性,

即可求出結(jié)果.

【詳解】令"尤+l,（x>0）,所以x=

所以〃x）=<^Q>0）轉(zhuǎn)化為y=（'T）2+：（'T）+6?>i）;

2

gPy=G-l）+3（Z-l）+6=f+￡+i（f>i）

又函數(shù)y=r+；+l在（1,2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2,+e）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)f=2時(shí)，>取到最小值為5;

即當(dāng)x=l時(shí)，/（尤）取到最小值，最小值為5.

故選：D.

Oy

2.(24-25高一上?貴州畢節(jié),階段練習(xí))設(shè)函數(shù)〃尤)==在區(qū)間［3,4］上的最大值和最小值分別為M,巴

x-2

【答案】I

【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域

【分析】采用分離參數(shù)法分析函數(shù)/(X)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最大、最小值即可求解.

【詳解】因?yàn)楸P(pán)-=2(.?2)+4=2+±,xe［3,4］

因?yàn)閤e［3,4］時(shí)，x-2>0,隨著x的增大，函數(shù)的值越來(lái)越小，即函數(shù)人"=烏在［3,4］上單調(diào)遞

減.

所以M=/(3)=6,根=/(4)=4.

所以史=3=號(hào).

M63

故答案為：|

3.(24-25高一上?河南鄭州?期中)已知函數(shù)7'(x)是二次函數(shù)，且/(0)=1,/(x+1)-/(%)=2%.

(1)求f(x)的解析式并且寫(xiě)出/(x)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求出/(%)在區(qū)間上的最大值和最小值.

【答案】(1)/(無(wú))=/-工+1,單調(diào)遞增區(qū)間為：；,+金，單調(diào)減區(qū)間為;

3

(2)最大值為13,最小值為I.

【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值、求二次函數(shù)的解析式

【分析】(1)利用待定系數(shù)法，結(jié)合代入法、二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】⑴設(shè)〃力=加+法+c(aH0),由〃0)=1,得c=l,

由=+Z?x+c("。)可得:y(x+l)=a(x+l)2+/?(x+l)+c,

根據(jù)：/(x+1)—/(A:)=2X,可得：+=a(x+l)2+Z>(x+l)+c—(ax2+bx+c^=2x

一,2a=2fa=l

整理得：2ax+a+b=2x,可得：\,解得<,

\a+b=0\b=-1

可得"%)=d7+i為/⑴的解析式.

因?yàn)?'(x)=x2-x+l可得：對(duì)稱軸為X=(

且二次項(xiàng)系數(shù)為1>0,

可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：；,+%］,單調(diào)減區(qū)間為；

(2)由二次項(xiàng)系數(shù)為1>0,和函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在尤=3處最小值，即/

當(dāng)元=—1時(shí)，/(-1)=3,當(dāng)尤=4時(shí),"4)=13.

3

因此函數(shù)的最大值為13,最小值為:.

4

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)六：二次函數(shù)(含參數(shù))最值問(wèn)題

典型例題

例題1.(2025高三下?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Y_^cix_3.

(1)已知f(x)在［3,+8)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)求/Xx)在［-1,2］上的最小值.

【答案】(1)(-?,3］.

2〃—2,a<—1,

2

(2)/(x)min=<-a-3,-l<a<2,

\-4a,a>2.

【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)，可得;

(2)討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=a和區(qū)間的三種位置關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得.

【詳解】(1)由函數(shù)Ax)=V-2ax-3,可得/(x)的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為x="，

要使得/(x)在［3,舟)上單調(diào)遞增，貝嗨足所以。的取值范圍為(9,3］.

(2)由函數(shù)/(x)=x2-2ax-3,可得/(x)的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為x=a,

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/⑴在［T2］上單調(diào)遞增，所以/Q)的最小值為/(-l)=2a-2；

當(dāng)-lVaM2時(shí)，函數(shù)〃x)在［-1,a］上單調(diào)遞減，在［a,2］上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(a)=-a2-3;

當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)f(x)在［T2］上單調(diào)遞減，所以f(x)的最小值為〃2)=1-4“，

2a—2,a<—1,

2

綜上可得，fM在［—1,2］上的最小值為f(x)min=<-a-3,-l<a<2,

1-4a,a>2.

例題2.(24-25高一上?江西宜春?期中)已知函數(shù)/(力=2/-mx+n,不等式W0的解集［o,5］.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)〃x)在上J+1］上的最小值為g(f),求g⑺的表達(dá)式及g⑺的最小值.

【答案】(l)/(x)=2x2-10x

,3

2t—61—8/W—

2

253525

(2)g(f)=，---,—<t<—g(')3=

222T

2/2-10rj>|

【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、求二次函數(shù)的解析式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)

【分析】(1)根據(jù)不等式解集與二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系計(jì)算參數(shù)即可；

(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論動(dòng)區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱軸的關(guān)系可得表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最

小值即可.

【詳解】(1)/(x)=2x2-mx+n,不等式/⑶40的解集［0,5］,

-0,5為/(x)=0的兩個(gè)根，

0+5=-

2nm=10

n=Q

0x5=-

2

f(x)=2x2-10%.

(2)由(1)知，f(x)=2x2-lOx,其對(duì)稱軸是x=I，

i.當(dāng)時(shí),易知在卬+1］遞增,

故了⑺1111n=7")=2r-10/,

m.當(dāng)y即明。時(shí)，〃."圖二一條

iii.當(dāng)r+弓即時(shí)，函數(shù)“X)在M+1］上單調(diào)遞減，〃%1=/?+1)=2/_6/8,

3

2t92-6t-^t<-

2

2535

綜上，g")="-----,一</<一

222

2t2-lQt,t>-

2

所以，函數(shù)g?)=2/一67—8在1-8,|上單調(diào)遞減，g⑺=2?-107在|.+8］上單調(diào)遞增,

3525nil/、25

且ggy-貝IJg(%)min=-W

44

精練

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知。22,求函數(shù)/(力=爐+辦+3在區(qū)間［-1』上的最值.

【答案】最小值為4-。，最大值為4+。

【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值

【分析】將《)配方得小)=1尤+j+3-1，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.

【詳解】將《)配方得〃力=［無(wú)+1+3-j

2.(24-25高一上?江蘇宿遷?期中)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為A(U6),且圖象在x軸上截得線段長(zhǎng)為8.

(1)求函數(shù)/⑴的解析式：

(2)令g(x)=/(x)+?(x-2)-15

①求不等式g(x)>0的解集；

②求函數(shù)g(x)在xe［0,2］的最大值.

【答案】(l)/(x)=-%2+2x+15

(2)詳見(jiàn)解析；

【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、求二次函數(shù)的解析式、解含有參數(shù)的一元二次不等式

【分析】⑴根據(jù)二次函數(shù)“X)的圖象頂點(diǎn)為A(U6),設(shè)“x)=a(x-l)2+16=療-26+。+16,再根

據(jù)函數(shù)/⑺圖象在x軸上截得線段長(zhǎng)為8,由歸-即=8求解；

(2)①由(1)得到%2—G+2)x+2f<0,利用一元二次不等式的解法求解；

②由8(力=——+。+2卜一%,根據(jù)其對(duì)稱軸方程為：x=［,分號(hào)22,0(等<2求解.

【詳解】⑴解：因?yàn)槎魏瘮?shù)/（X）的圖象頂點(diǎn)為A（L16）,

所以設(shè)/（%）=。（九-1）2+\6=ax1—2ax+a+16,

令BPax2-2ax+a+16=0?

則%+9—2,%],x=IT9

2a

由題意得卜-引=J（%+%2『-4%?5=[一絲=8,

解得a=—l,

所以〃%）=—/+2%+15;

（2）①由（1）得g（x）=—f+?+2）x—2%>。，

即了?—（%+2）x+2,<0,即（％—2）（x—'）<0，

當(dāng)，>2時(shí)，解得2Vx<t;

當(dāng)，=2時(shí)，無(wú)解;

當(dāng)/<2時(shí)，解得t<x<2,

所以當(dāng)r>2時(shí)，不等式的解集是｛x[2<x<r｝；

當(dāng)t=2時(shí)，不等式的解集是0；

當(dāng)：<2時(shí)，不等式的解集是｛x|f<x<2｝,

②g（尤）=—d+?+2）x-2r,對(duì)稱軸方程為：x=T，

當(dāng)?shù)萕O,即——2時(shí),g（x）的最大值為g（o）=—2r；

當(dāng)號(hào)22,即止2時(shí),g（x）的最大值為g（2）=o;

當(dāng)0〈號(hào)<2,即—2<f<2,g（x）的最大值為g（野]=：〃T+1.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)七：根據(jù)最值（值域）求參數(shù)

典型例題

例題1.（24-25高一上?全國(guó),課后作業(yè)）已知函數(shù)y=f-2x+3在閉區(qū)間[0,汨上有最大值3,最小值2,

則加的取值范圍是（）

A.[l,+oo）B.[0,2]

C.（一叫2]D.[1,2]

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)

【分析】由題可知當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最小值2,而f（0）=/（2）=3,再結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可求出

m的取值范圍.

【詳解】因?yàn)閥=Y-2x+3=（x-1了+2,

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最小值2,

因?yàn)?（。）=/（2）=3,而函數(shù)閉區(qū)間［0,汨上有最大值3,最小值2,

所以1V/"V2.

故選：D

例題2.（23-24高一上，四川涼山?期中）已知函數(shù)〃力=尤2一依+4

。當(dāng)。=3時(shí),求在區(qū)間［L3］上的值域;

（2）若在區(qū)間［0,2］上的最大值為4,求。的取值范圍.

-7-

【答案】（1）匕，4

（2）［2,+?）

【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)、求二次函數(shù)的值域或最值、根據(jù)二次

函數(shù)的最值或值域求參數(shù)

【分析】（1）直接代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到值域；

（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為/'（2）＜4,代入計(jì)算即可.

【詳解】（1）當(dāng)a=3時(shí)，無(wú)）=d-3x+4=+：,

則在上單調(diào)遞減，在g，3上單調(diào)遞增，

"⑴3n=/0=：,/（%="3）=4,

「7-

所以“X）在區(qū)間［1,3］上的值域?yàn)?,4.

（2）因?yàn)椤?）=尤2-OX+4,xe［0,2］,開(kāi)口向上，

則/（X）的最大值為/（0）和/（2）兩個(gè)中的較大者，

而八0）=4,要使〃x）在區(qū)間［0,2］上的最大值為4,貝（1〃2）＜4,

4—2。+4K4,〃22,

故a的取值范圍為［2,y）.

精練

1.（23-24高一上?北京?期中）已知函數(shù)y=-x2-2x+3