銜接點(diǎn)04一元二次方程

初中階段高中階段

1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次1、能熟練運(yùn)用十字相乘法對一元二次方程因式分解

方程2、能數(shù)列使用根與系數(shù)的關(guān)系

2、會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有3,能靈活講一元二次方程轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的一元二次函

實(shí)根數(shù)

3、能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義，能針對具體

問題列出方程，理解方程解的意義。

銜接指引

初中階段考查形式：選擇填空題。

高中階段考查形式：選擇填空題。

(知識銜接J

1、初中知識再現(xiàn)

一元二次方程根的判別式

一元二次方程以2+bx+c-0(a豐0)a、b、c均為常數(shù))的判別式A=—

⑴△>0時，ax23+bx+c=O(awO)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)△=()時，ax2+bx+c=O(awO)有兩個相等的實(shí)數(shù)根；

(3)△<()時，ax2+bx+c=O(。力0)沒有實(shí)數(shù)根.

注意：(1)在使用根的判別式之前，應(yīng)將一元二次方程化成一般式；

(2)在確定一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍時，必須檢驗(yàn)二次項(xiàng)系數(shù)aw0

(3)證明A=Z?2—4ac恒為正數(shù)的常用方法：把△的表達(dá)式通過配方化成“完全平方

式+正數(shù)”的形式.

2、高中相關(guān)知識

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

一元二次方程ax?+bx+c=O(awO)有兩個根分別是芭,*2，則：

-b+^]b-4ac-b-y/b-4ac同

2a2a

-b+yjb1-4ac-b-y/b2-4ac

x+x=--------------------------------------1-------------------------------------

122a2a

-b+y]b2-4ac-b-y/b2-4ac-2bb

2a2aa

_-Z?+J/-44c-b-ylb2-4ac_b2-(b2-4〃c)_4ac_c

122a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系

如果of+法+c=o(〃wo)的兩個根分別為再,12，貝！I：

b

%+%2=——

”,這一關(guān)系式也被稱為韋達(dá)定理.

a

（對點(diǎn)集訓(xùn)J

對點(diǎn)集訓(xùn)一：利用根的判別式判斷一元二次方程根的個數(shù)

典型例題

例題1.（24-25九年級下?浙江溫州,開學(xué)考試）關(guān)于x的一元二次方程3尤2一左一6=0根的情況是（）

A.有一個實(shí)數(shù)根是x=3B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根D.無實(shí)數(shù)根

【答案】C

【知識點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、判斷是否是一元二次方程的解

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式.根據(jù)一元二次方程的解和根的判別式計算判斷即可.

【詳解】解：.??3尤2_》-6=0,

A=（-1）2-4X3X（-6）=73>0,

故方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)x=3時，3x32-3-6=1820,

???x=3不是方程3f-x-6=0的實(shí)數(shù)木艮，

故選：C.

例題2.（24-25九年級上?福建漳州?期中）方程31-4x+l=0的根的情況是（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.只有一個實(shí)數(shù)根

C.有兩個相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】D

【知識點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題考查了一元二次方程辦2+法+。=。伯40）的根的判別式△=/一4砒，解題的關(guān)鍵是熟知不同

情況下根的情況（當(dāng)△>（）,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0,

方程沒有實(shí)數(shù)根）.求出判別式的符號，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：3V-4x+l=0,

???A=（^1）2-4x3x1=16-12=4>0,

???方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

故選D.

例題3.（24-25九年級上?湖北武漢?期末）下列關(guān)于一元二次方程f-4x+2=0的根說法正確的是（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個負(fù)的實(shí)數(shù)根

【答案】C

【知識點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握△>（）,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；△=（）,方程有兩

個相等的實(shí)數(shù)根；△<（）,方程沒有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵.根據(jù)方程得出A=8>0,即可得到答案.

【詳解】解：VX2-4X+2=0,

A=（-4）2-4xlx2=8>0,

二有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：c.

例題4.（24-25九年級上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）已知關(guān)于X的方程（冽-1）f_（租-2）X-2租=0,求證：無

論加為何值，方程總有實(shí)數(shù)根.

【答案】見解析

【知識點(diǎn)】解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)、一元二次方程的定義、根據(jù)判別式判斷一元二

次方程根的情況、判斷是否是一元一次方程

【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義和解法、一元二次方程的定義即判別式等知識，解題關(guān)鍵是

分類討論，避免遺漏.分〃-1=0和〃z-lwO兩種情況，結(jié)合一元一次方程的解法和一元二次方程的根的判

別式，即可獲得答案.

【詳解】解：①當(dāng)〃7-1=0時，即〃2=1,

代入方程得x-2=0,解尤=2,

②當(dāng)zn—1力0時,A=[—（m—2）丁-4（m—l）x2m=（3zn—2）2,

???（3m-2）2>0,此時方程總有實(shí)數(shù)根.

綜上所述，無論加為何值，方程總有實(shí)數(shù)根.

精練

1.（24-25九年級上?山東濱州?期末）下列方程中，有兩個相等實(shí)數(shù)根的是（）

A.X2-2X=8B.%2+2=0

C.x2+l=2xD.x2—3x—0

【答案】C

【知識點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，有兩個相等實(shí)數(shù)根的一元二次方程就是判別式的值是0

的一元二次方程.由此逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A、/一2.8變形為一一級-8=0,此時△=（-2）2-4xlx（-8）=36>0,此方程有兩個不相等的實(shí)

數(shù)根，故選項(xiàng)A不合題意；

B、f+2=0中A=0-4x1x2=-8<0,此時方程無實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)B不合題意；

C、d+i=2x整理為d一2x+l=0,此時A=（-2）2_4xlxl=0,此方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)C符

合題意；

D、x2-3x=0中，△=（-3）2-4xlx0=9>0,此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D不合題意；

故選C.

2.（24-25九年級下?浙江溫州?期末）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是實(shí)數(shù),且awO）的圖象開口

向下，過A（TO）,8。,0）.若1</<2,則當(dāng)時，下列關(guān)于x的一元二次方程加+6x+c=l根的個

數(shù)判斷正確的是（）

A.必有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.沒有實(shí)數(shù)根

C.必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根D.條件不夠，無法確定

【答案】C

【知識點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根的判別式等知識，解題時要能靈活運(yùn)用二次函

數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

依據(jù)題意，根據(jù)根的判別式A>0,進(jìn)而可以判斷得解.

【詳解】解：由題意，???拋物線過A（T,0）,,

設(shè)拋物線的解析式為y=,

令a(x+l)(x-/)=l,

/.cu3+a(l—x—at—1=0.

/.A—1)]~-4a(-1)

—(/+1)^+A-Cl9

a<—l,

A>0,

.?關(guān)于X的一元二次方程依2+區(qū)+c=l必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：C

3.(24-25九年級上?河南駐馬店?期末)關(guān)于1的一元二次方程5爐+如=7的根的情況是()

A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D,無法確定

【答案】A

【知識點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】根據(jù)方程的根的判別式，計算A=^—4ac=??-4x5x(-7)=加2+140>。半!|斷解答即可.

本題考查了根的判別式應(yīng)用，熟練掌握判別式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：YX的一元二次方程5d+mx=7,

即5x2+mx—7=09

??ci—5,b—jri9C——7,

N=?一4ac=??—4x5x(-7)=機(jī)2+14O>0,

故此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：A.

4.(24-25九年級上?湖南永州?期末)一元二次方程Y一》_1=0的根情況是()

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.只有一個實(shí)數(shù)根

【答案】B

【知識點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題考查一元二次方程的根的判別式的意義，熟練掌握一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)一元二次方程的根的判別式進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：'?‘。==-l,c=-1,A=/?2—4ac=(—1)"—4x1x(—1)=1+4=5>0,

???一元二次方程%2-x-l=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：B.

對點(diǎn)集訓(xùn)二：根據(jù)根的個數(shù)求參數(shù)

典型例題

例題1.(24-25九年級上?貴州遵義?期末)已知關(guān)于x的一元二次方程(％-1)尤2+2%-2=0有兩個不相等的

實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是()

A.k》一日k#1B.k——

22

C.kN—且k#1D.k2—

22

【答案】A

【知識點(diǎn)】一元二次方程的定義、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的定義，掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于0,根據(jù)一元二次方程的定義得到二次項(xiàng)系

數(shù)不等于0,解兩個不等式即可得到上的取值范圍.

【詳解】解:???關(guān)于x的一元二次方程化-l)f+2x-2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

■,1A=22-4x(jt-l)x(-2)>0*

解得：上>—且太N1,

2

/.k的取值范圍是左>g且左片1,

故選：A.

例題2.(24-25八年級上?貴州遵義?期中)關(guān)于x的一元二次方程Y-4x+a=0的判別式的值為4,則a

的值為()

A.4B.-4C.3D.-3

【答案】C

【知識點(diǎn)】解一元一次方程(一)——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元一次方程等知識點(diǎn)，熟練掌握一元二次方程根

的判別式是解題的關(guān)鍵.

由題意可得A=(T『-4xlxa=16-4〃=4,解方程即可求出a的值.

【詳解】解：由題意可得：

A=(-4)2-4xlx。=16-4。=4,

解得：a=3,

故選：C.

例題3.(24-25八年級上?上海奉賢?期末)若關(guān)于了的一元二次方程/+2)d-4x+l=0有實(shí)數(shù)根，則上的

取值范圍.

【答案】kW2且k*-2

【知識點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、求不等式組的解集

【分析】本題主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=Q(a,6,c為常數(shù)且arO)根的判別式A="-4ac,當(dāng)

△>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時，方程無實(shí)數(shù)根.

根據(jù)題意得出](一4)-4(^+2)xl>0>計算即可得到答案.

【詳解】解：?.■關(guān)于X的一元二次方程化+2)x2-4x+l=o有實(shí)數(shù)根，

,[(-4『-4伏+2)x120

.%+2w0

解得：％V2且上w-2,

?.左的取值范圍為上W2且左w-2.

例題4.(24-25九年級上?湖南衡陽?期末)已知為,當(dāng)是關(guān)于工的一元二次方程尤2-2(%+1)無+42一3=0的兩

實(shí)根.

(1)求左的取值范圍；

(2)若x=-l是方程的根，求左的值.

【答案】(1)^>-2

(2)左=0或左=一2

【知識點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、由一元二次方程的解求參數(shù)

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式和己知方程的根求參數(shù)，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵，

(1)根據(jù)方程有兩實(shí)根可得△=>2一4比20,代入數(shù)值解不等式即可得到答案；

(2)由x=-l是方程的根，代入即可求"的值.

【詳解】(1)解：.?,/一2(%+1"+42-3=0有兩實(shí)根，

A=fo2—4ac>0>

???[-2(^+l)J-4xlx(^2-3)>0,

解得：k>-2,

(2)解：,Jx=-1是方程Y-2伏+l)x+F-3=0的根，

???(-l)2-2(^+l)x(-l)+fc2-3=0,

解得：左=0或左=—2.

精練

1.（2025?陜西,模擬預(yù)測）若一元二次方程f-5x+機(jī)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則優(yōu)的取值范圍是.

【答案】m<^-

【知識點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，列

出不等式，再解不等式即可.

【詳解】解:???一元二次方程/-5%+〃?=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

???A=（-5）2-4/7?>0,

解得，m<%

故答案為：m<^.

4

2.（2025?山東泰安?模擬預(yù)測）已知方程近2+2x-l=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則上的取值（）

A.k<-lB.左>1C.左<1且左w0D.左>-1且左w0

【答案】D

【知識點(diǎn)】一元二次方程的定義、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】根據(jù)一元二次方程定義及根的判別式求出左的取值范圍，此題考查一元二次方程的根的個數(shù)及根

的判別式.

【詳解】解：根據(jù)題意得左力0且A=2?—4x^x（-l）>0,

所以%>-1且人中0.

故選：D.

3.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程V+2x+機(jī)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則加的取

值范圍是.

【答案】m<l

【知識點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)A>0解答即可求解，掌握一元二次方程根的判別式與

一元二次方程根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：??.方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

??A=22—4xlxm=4—4m>0>

m<l,

故答案為：m<l.

q

4.（2025?河南鄭州?一模）若關(guān)于x的一元二次方程近2-3尤-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則整數(shù)"的

4

最小值是

【答案】1

【知識點(diǎn)】一元二次方程的定義、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，根據(jù)題意可得△=從_4“>0,解方程即可，注意左不等

于0的情況是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得A=/-4w=9-4左

解得k>-1,

根據(jù)一元二次方程的定義k^O,

則整數(shù)化的最小值為1,

故答案為：1.

對點(diǎn)集訓(xùn)三：解一元二次方程

角度1：直接開平方法

典型例題

例題1.（24-25九年級上?云南玉溪?期中）一元二次方程（x-3）2=25的根是（）

A.玉=8,電=—2B.%=—5,9=5

C.再=一8,%=-2D,玉=一8,%=2

【答案】A

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運(yùn)用直接開平方解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵.

直接運(yùn)用直接開平方解一元二次方程即可.

【詳解】解："-3）2=25,

所以x-3=±5,

所以無1=8、x2=—2.

故選：A.

例題2.（24-25九年級上?江蘇南京?期末）方程（彳-1?=1的解是.

【答案】占=2,x2=0

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握常見的解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

直接運(yùn)用直接開平方法求解即可.

【詳解】解：（x-l）2=l,

x—1=±1*

X=±1+1f

所以該方程組的解為：%=2,x2=0.

故答案為：xt=2,x2=0.

例題3.(24-25九年級上?湖北襄陽?期末)解一元二次方程："-2)2-5=0.

【答案］玉=2+石，^=2-75

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用直接開平方法解一元二次方程即可，選擇合適的方法進(jìn)行計算

是解此題的關(guān)鍵.

2

【詳解】解：???(%-2)-5=0,

(%—2)=5,

x—2=+>/5>

..%=2+\/5>%2=2—>/5.

例題4.(24-25九年級上?福建泉州?期中)解方程：4(X-1)2-36=0;

【答案】%=4,X2=-2

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題考查了一元二次方程的解法.利用直接開方法解一元二次方程.

【詳解】解:4(X-1)2-36=0

(x-1)2=9

x-l=±3

解得：占=4,x2=-2.

精練

1.(24-25九年級上?山東德州?期末)將一個關(guān)于x的一元二次方程配方為(x+機(jī))2=。，若2土若是該方

程的兩個根，則p的值是.

【答案】3

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——直接開平方法、解一元二次方程——配方法

【分析】本題考查了解一元二次方程，掌握直接開平方法是解題的關(guān)鍵.

運(yùn)用直接開平方法求解即可.

【詳解】解：將一個關(guān)于x的一元二次方程配方為(x+m)2=p,

x+m=±4P

X=-m±y[p，

P=3,

故答案為：3.

2.(24-25七年級下?全國?課后作業(yè))求下列各式中x的值：

(1)25X2-16=0；

(2)(x+iy-49=0;

(3)(21)2=81.

44

【答案】(1)w=--,x2=-

(2)現(xiàn)=6,%=-8

（3）%=5,尤2=-4

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題主要考查直接開方法解一元二次方程，掌握直接開方的計算方法是解題的關(guān)鍵.

（1）先移項(xiàng)，再直接開方，即可求解；

（2）先移項(xiàng)，再直接開方，即可求解；

（3）先移項(xiàng)，再直接開方，即可求解.

【詳解】⑴解：25^-16=0,

移項(xiàng)得，25/=16,

.尤2_16

25

44

直接開方得，—~~^X2="

（2）解:（X+1）2-49=0,

移項(xiàng)得?（%+1）2=49,

直接開方得，％+1=7或％+1=-7,

玉=6,%=-8.

（3）解：（2x—1）2=81,

直接開方得，2%-1=9或2x-1=-9,

??玉—5,%?=-4.

3.（24-25九年級上?陜西延安?期末）解方程：（2X+1）2-1=8.

【答案】國=-2,x2=l

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題考查了一元二次方程的求解知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用直接開平方法將方程轉(zhuǎn)化為兩個一元

一次方程.

先對原方程進(jìn)行移項(xiàng)，得到完全平方式等于一個常數(shù)的形式，再利用直接開平方法求解.

【詳解】解：（洋+1）2-1=8,

移項(xiàng)，得（2X+1）2=9,

2x+l=±3，

..%]——2,%?=1.

4.（24-25九年級上嚀夏中衛(wèi)?期末）解方程（2x-1）2-81=0.

【答案】=5,X2=-4

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題主要考查解一元二次方程，方程移項(xiàng)后，運(yùn)用運(yùn)用直接開平方法求解即可

【詳解】解：（2X-1）2-81=0

方程變形得：（2xT）z=81,

開方得：2x-l=±9,

解得占=5,X2=-4.

角度2：配方法

典型例題

例題1.（24-25九年級上?四川宜賓,期末）若將一元二次方程犬一6x-2=0化成（％+加）2+〃=0的形式，則

2〃z-〃的值為（）

A.-15B.-17C.5D.17

【答案】C

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法

【分析】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵.先利用配方法將方程

化成（尤-3）2-11=0的形式，從而可得私力的值，再代入計算即可得.

【詳解】解：X2-6X-2=0,

x2—6x+9—9—2=09

（X-3）2-11=0,

將一元二次方程d-6x-2=0化成（x+m）一+〃=0的形式，

m=—3,n=—11,

2m-n=2x(-3)-(-ll)=-6+ll=5,

故選：C.

例題2.(24-25八年級上?上海奉賢?期末)用配方法解方程/一4元+2=0,下列配方正確的是()

A.(%-2)2=6B.(x+2『=6C.(X-2)2=2D.(x+2)2=2

【答案】C

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法

【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

先把常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊，等號兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，最后配方即可.

【詳解】解:X2-4X+2=0,

尤2-4x=-2,

x2—4.r+4=—2+4,

(尤-2丫=2,

故選：C.

例題3.(24-25八年級上?上海奉賢?期末)解方程：4(l-x)-x(x+4)=0.

【答案】占="4+2若，X2=-4-2^

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法,

公式法，因式分解法等.

首先將方程整理成一般式，然后利用配方法解一元二次方程即可.

【詳角到解：4(1一x)-x(x+4)=0

4—4x—x2-4x=0

x2+8x-4=0

x2+8x=4

x2+8x4-16=4+16

(X+4)2=20

x+4=±2&

解得玉=T+2遙，9=T-2遙.

例題4.(24-25九年級上?江蘇南京?期末)解方程一一以-3=0.

【答案】占=2+^/7,Xj=2—V7

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法

【分析】本題考查了解一元二次方程.配方法解一元二次方程，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù).

【詳解】解：移項(xiàng)，得f—以=3,

配方，得％2_以+4=3+4,即（x-2）2=7,.

開平方9得％-2=±\/7*

移項(xiàng)，得石=2+V7,%=2—y/l.

精練

1.（24-25九年級上?湖南永州?期末）用配方法解一元二次方程./_以-1=0配方后得到的方程是（）

A.（尤-盯=5B.（x-2）2=9

C.（X-2）2=5D.（X-4）2=9

【答案】C

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法

【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，把原式變形為￡_4x+22=1+22,即可得到（X-2）2=5.

【詳解】解：X2-4X-1=0

x2-4x=l

貝DY—4元+2?=1+22

得到（x-2）2=5,

故選：C.

2.（24-25九年級上?湖南衡陽?階段練習(xí)）用配方法解方程爐+4犬+1=0,經(jīng)過配方，得到（）

A.（尤+2）2=5B.（無一2）2=5C.（X—2）2=3D.（x+2）2=3

【答案】D

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法

【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確使用.選擇用配方法解一元二

次方程時，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).據(jù)此求解即可.

【詳解】解：原方程移項(xiàng)得：/+4元=一1,

J+4x+4=—1+4,

/.（x+2）2=3.

故選：D.

3.（24-25九年級上,四川成都?期末）用配方法解方程/一12%=5,下列配方正確的是（）

A.（無一6）2=11B.（無一6）2=41C.（x+6『=41口.（尤+6）2=11

【答案】B

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法

【分析】此題考查了配方法解一元二次方程.把方程變形為f-12元+6?=5+6?,即可得到答案.

【詳解】解：x2-12x=5

X2-12X+62=5+62,

???(x-6)2=41

故選：B

4.(24-25九年級上,河北保定?期末)用配方法解方程尤2+1=8X，變形后的結(jié)果正確的是()

A.(X+4)2=15B.(x+4)2=17C.(x-4)2=15D.(%-4)2=17

【答案】C

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法

【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時加上一次

項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方即可得到答案.

【詳解】解：x2+l=Sx,

移項(xiàng)得：x2-8^=-1?

配方，得：x2-8x+42=-1+42,

即(X-4)2=15,

故選：C.

角度3:因式分解法

典型例題

例題1.(24-25九年級上?廣東惠州?期末)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋喝?3》-4=0

【答案】占=-4,尤2=1

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可.

【詳解】解：?.?x2+3x-4=0,

.,.(x+4)(x-l)=0,

，x+4=0或x-l=O,

解得％=-4,x2=1；

例題2.(24-25九年級上?全國?期末)解方程：

(l)x(x-4)=2x-8

(2)尤2+4元一5=0

【答案】(1)占=2,X2=4

(2)元1=],9=_5

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，解題方法多樣，關(guān)鍵在于熟練掌握解一元二次方程的步驟，

第(1)題要特別注意先進(jìn)行移項(xiàng)使方程右邊為零.

(1)先移項(xiàng)，使方程右邊為零，然后將方程左邊進(jìn)行因式分解，使分解后的兩個一次因式分別為零，即可

解答；

(2)根據(jù)因式分解法即可求解.

【詳解】(1)解：,.,x(x-4)=2x-8,

JC—4x=2x—8,

尤2—6元+8=0,

.'.(x-2)(x-4)=0,

令x-2=0或x-4=0,

解得:匕=2,x2=4；

2

⑵解：VX+4X-5=0>

/.(x-l)(x+5)=0,

令九一1=0或x+5=0,

解得：石=1,x2=-5.

例題3.(2025?湖北恩施?一模)解下列方程：

⑴％2_2%_4=0；

(2)3X(A:-1)=2(X-1).

【答案】(1)玉=，，&=甘

2

(2)%=1,x2=—.

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)運(yùn)用配方法進(jìn)行解方程，即可作答.

(2)先移項(xiàng)，再運(yùn)用因式分解法進(jìn)行解方程，即可作答.

【詳解】⑴解：三_2>4=0

移項(xiàng)得/-2x=4,

配方得，一2x+l=4+1

(1)2=5

x—1=±A/5>

(2)解：3x(%—1)=2(%—1),

3x(%—1)—2(%—1)=0,

(%-1)(3%-2)=0,

2

丁?石=1,X2=~-

例題4,(23-24九年級上廣西河池?期末)解方程：(x+2)2=3(%+2),

【答案】占=-2,%=1

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式

法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關(guān)鍵.

移項(xiàng)后用因式分解法求解即可.

【詳解】解：原方程可變形為(x+2)2-3(x+2)=0,

(x+2)(x-1)=0,

???x+2=0或x-l=0,

/.玉=-2,x2=1.

精練

1.(2025?福建泉州?模擬預(yù)測)解方程:X2+2X-3=0

【答案】為=-3,x2=1

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

利用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】解：V+2x-3=0,

分解因式，得：(尤+3)(尤-1)=0,

x+3=0或x—1=0,

解得:為=-3,x2=l.

2.(24-25九年級上?江蘇常州?期末)解下列方程：

(1)%2-4%-21=0；

(2)尤(x-4)+2(x-4)=0；

(3)(2x+1)(x-3)=-6.

【答案】(1)再=7,馬=一3

(2)項(xiàng)=4,x2=-2

3

⑶%=—,x2=1

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程■因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這

種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

(1)先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為％-7=0或x+3=0,然后解兩個一次方程即可；

(2)先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為％-4=0或兄+2=0,然后解兩個一次方程即可；

(3)先把方程化為一般式，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為2%-3=0或1-1=0,然后解兩個一次方程即

可.

【詳解】(1)解：X2-4X-21=0,

(%—7)(x+3)=0,

?,?X-7=0或x+3=0,

??%]—7,%?=-3；

(2)解：x(x-4)+2(x-4)=0,

(x-4)(x+2)=0,

'一4=0或％+2=0,

??石—4,%2=—2；

(3)解：方程(2%+l)(x—3)=d化為一般式為2d—5%+3=0,

???(2%—3)(%—1)=0,

2彳-3=0或x-l=0,

._3

??丹-5,無2_1■

3.(24-25九年級上?江西贛州?期末)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

(l)x2+x-l=0

(2)-2)+x-2=0

【答案】(1)為=勺，x2=^^

(2)玉=2,x2=—1

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了一元二次方程的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法；

(1)根據(jù)配方法，得(x+g)=：，從而完成求解；

(2)先去括號，再根據(jù)因式分解法求解一元二次方程即可得到答案.

【詳解】(1)X2+X-1=Q

75-1-75-1

/.玉=一--,x2=——-——

（2）x{^x-2）+X-2=0

X2—2x+x—2=0

?**x2-x—2=0

/.（x-2）（x+l）=0

/.%=2,x2=-1.

4.（24-25九年級上?福建漳州?期中）解下列方程：

（1）X2-2X-3=0

（2）（1+A：）2+2=3（X+1）

【答案】（1）%=3,無2=-1

(2)占=0,x2=1

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法,

公式法，因式分解法等.

(1)利用因式分解法解一元二次方程即可；

(2)移項(xiàng)，然后把(x+1)看成整體利用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：/一2萬一3=0,

(x-3)(x+l)=0,

x—3=0或x+1=0,

解得玉=3,x2=—1；

⑵解:(1+X)2+2=3(JC+1),

(x+lf-3(x+l)+2=0,

(x+l-l)(x+l-2)=0,

x(x-l)=O,

%=0或%-1=0;

解得％=0,%=1.

角度4:利用求根公式求解

典型例題

例題1.(2024?吉林長春?模擬預(yù)測)解方程：無2_5彳+3=0.

【知識點(diǎn)】公式法解一元二次方程

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用公式法解一元二次方程.

【詳解】解:X2-5X+3=0,

?tz—1,Z?——5,c=3,

AA=Z?2-46ZC=25-12=13>0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

—b±y/b2—4QC5±V13

X=------------------=---------9

2a2

5+7135-713

Xt—fX、—■

22

例題2.(24-25九年級下?甘肅張掖?開學(xué)考試)解方程：

(1)/一7了+12=0

(2)(x+2)(x+3)=l

【答案】。)占=4,%2=3；

zo?—5+A/5—5—s/5

(2)%=---,%2=--—■

【知識點(diǎn)】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程公式法，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的

方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

(1)利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x-4=0或x-3=0,然后解兩個一次方程即可；

(2)整理后，利用公式法解方程即可.

【詳解】⑴解：因式分解可得，(x-3)(x-4)=0,

即x-4=0或x-3=0,

解得：玉=4,x2=3；

(2)解：整理得爐+5x+5=0,

a=l,Z?—5*c=5,

A=52-4xlx5=5>0,

.-5±A/5

??x二------,

2

.—5+A/5—5—A/5

??無i=2，x-=2'

例題3.(24-25九年級上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí))解方程：

(l)9(y+4)2-49=0

(2)x(2x-3)=4x-6

(3)9%2+6%-1=0

(4)3%2+%-5=0

【答案】(I)M=-5(%=-1?0

3

(2)%=2,無2=2

-1+V2-1-^2

(3)x

1=3-、3-

⑷x_T+府_-1-V61

A|一,人2—,

66

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——直接開平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因

式分解法解一元二次方程

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的常用方法，如：直接開

方法、配方法、公式法、因式分解法等.

（1）將原方程整理為（y+4）02=4Q],利用直接開方法求解即可；

⑵將原方程整理為（2x-3）（x-2）=0,然后利用因式分解法求解即可；

（3）將原方程配方為（3x+iy=2,利用配方法求解即可；

（4）利用公式法求解該方程即可.

【詳解】（1）解：9（y+4）z=49,

7

丁+4=±§，

519

y二一，%=_了

3

（2）解：x（2x-3）=4x-6,

x（2x-3）-2（2%-3）—0

（2x-3）（x-2）=0,

?**2x—3=0或九—2=0,

._3_一

??玉一展9-2,

（3）解:9x2+6x-l=0,

9%2+6x+1=2,

（3X+1）2=2,

3x+l=+V29

-1+后-1-板.

，

^―/=3

（4）解：3爐+%_5=0,

???△=/-4改=儼—4x3x（—5）=61>0,

.-b+yjb1-4ac—l±y/61

,?x=------------------=-----------，

2a6

.-1+府-1-761

??Xi—,X、—■

?6-6

例題4.（24-25九年級下?內(nèi)蒙古通遼?開學(xué)考試）解下列方程：

（l）3x（x+2）=4x+8

⑵3d+4x-l=0

4

【答案】（D占=一2,x2=-

⑵-2+A/7—2—5/7

（2）玉=—-->無2=——

【知識點(diǎn)】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法,

公式法，因式分解法等.

（1）移項(xiàng)，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】⑴解3龍（x+2）=4x+8

3x（x+2）=4（x+2）

3X(X+2)-4(X+2)=0

(x+2)(3x-4)=0

兄+2=0或3%—4=0

4

解得玉=-2,x2=—;

(2)3X2+4X-1=0

々=3,b=4,c=—l

△=42-4x3x(-1)=28

.-4±V28-4±2A/7-2±V7

,?x=------------=-

2x32x3—3

解得％二二±立，-2-A/7

313■

精練

1.(24-25九年級上?山西晉中?期末)解方程：

(1)X2+8X+12=0；

(2)x(x+2)=3x+6.

【答案】(1)占=-6,X2=-2

(2)%=-2,%2=3

【知識點(diǎn)】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程

【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，并適當(dāng)選用是解題的關(guān)鍵.

(1)利用配方法或公式法解一元二次方程即可；

(2)先化簡為一般式，再利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：Y+8X+12=O,

移項(xiàng)，得：x?+8x=-12,

配方，得：/+8犬+16=-12+16,

即(X+4)2=4,

直接開平方，得：x+4=±2,

%=7-2=-6或》=-^4+2=-2,

方程的解為：網(wǎng)=-6,無2=-2；

(2)解：X(%+2)=3X+6,

化簡得：x2-x-6-O,

???a=l,b=-l,c=-6,A=(-l)2-4xlx(-6)=25,

.—1)±^251±5

**x——,

2x12

.1-5…1+5&

??x=---=-2或％=----=3,

22

?.?方程的解為：石=—2,%=3.

2.(24-25九年級上?河南南陽?期末)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?/p>

(1)X2=2x9

(2)x2-l=4x.

【答案】(1)再=0,%=2；

(2)%|=2+y[5f%2—2—5/5.

【知識點(diǎn)】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法,

公式法，因式分解法等.

(1)移項(xiàng)，然后利用直接開方法解一元二次方程即可；

(2)移項(xiàng)，然后利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：*=2%,

%2—2x=0,

x(x-2)=0,

x=0或％—2=0,

所以玉=0,%=2;

(2)解：x2-1=4%,

x2-4x-l=0,

a=1,b=c=-l,

：.A=(-4)2-4xlx(-l)=20,

...x=4±2石=2土石,

2x1

二.％—2+,\/5fx2=2-■

3.(24-25九年級上?陜西榆林期末)解方程：(2x+3)(x-1)=6.

「登安】—1+，73—1—,\/73

LJX,—,—

14~4

【知識點(diǎn)】公式法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選取解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵；先

把方程整理為一般形式：2d+x-9=0,利用公式法求解即可.

【詳解】解：原方程整理為:2/+》-9=0,

A=l2-4x2x(-9)=73>0,

.-1±V73-l±5/73

??九二-------=--------，

2x24

Hn-1+V73-1-V73

RP玉=-------,x2=----------.

4.(24-25九年級上?黑龍江齊齊哈爾?期末)解方程

(1)X2+4X+3=0；

⑵3尤2-5》-8=0.

【答案】(1)%=-1,X2=-3

8

(2)玉=§,x2=-1

【知識點(diǎn)】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法,

因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法.

(1)利用因式分解法解一元二次方程即可.

(2)利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：(x+l)(x+3)=。.

%=-1,X2=-3；

(2)解：：a=3,b——5,c=-8,

.-.A=(-5)2-4X3X(-8)=121>0,

_-(-5)17121_5±11

??X——9

角度5:換元法求解

典型例題

例題1.(24-25九年級上?全國?期中)若(a?+⑹-2(/+戶>3=0則代數(shù)式/+〃的值為()

A.—1或3B.1或一3C.-1D.3

【答案】D

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程、換元法解一元二次方程

【分析