專題10函數(shù)的表示法

1、掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法

2、會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)

/--------------[HHHK-

（新知速通J

1、解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

2、列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

3、圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)聯(lián)系

①簡明、全面的概括了變量之間的關(guān)系；①并不是所有的函數(shù)都有解析

②可以通過解析式求出在定義域內(nèi)任意式；

解析法

自變量所對應(yīng)的函數(shù)值；②不能直觀地觀察到函數(shù)的變

解析法、圖象法、

③便于利用解析式研究函數(shù)的性質(zhì)；化規(guī)律；

列表法各有各的優(yōu)

①能直觀、形象地表示自變量的變化情①并不是所有的函數(shù)都能畫出

缺點(diǎn)，面對實(shí)際情

況及相適應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢；圖象；

圖象法境時(shí)，我們要根據(jù)

②可以直接應(yīng)用圖象來研究函數(shù)的性②不能精確地求出某一自變量

不同的需要選擇恰

質(zhì)；相應(yīng)的函數(shù)值；

當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞?/p>

①不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量①不夠全面，只能表示自變量

數(shù).

的值對應(yīng)的函數(shù)值；取較少的有限值的對應(yīng)關(guān)系；

列表法

②不能明顯地展示出因變量隨

自變量變化的規(guī)律；

知識點(diǎn)二：求函數(shù)解析式

1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例等)，可用待定系數(shù)法.

2、換元法：主要用于解決已知/(g(x))這類復(fù)合函數(shù)的解析式，求函數(shù)/(x)的解析式的問題，在使用

換元法時(shí)特別注意，換元必?fù)Q范圍.

3、配湊法：由已知條件/(g(x))=-x),可將/(九)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，

4、方程組(消去)法：主要解決已知“力與/(-%)、f的方程，求了(“解析式。

知識點(diǎn)三：分段函數(shù)

對于函數(shù)y=/(%),若自變量在定義域內(nèi)的在不同范圍取值時(shí)，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也不相同，則稱函數(shù)

y=/(x)叫分段函數(shù).

注：(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，只是自變量在不同范圍取值時(shí)，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同；

(2)在書寫時(shí)要指明各段函數(shù)自變量的取值范圍；

(3)分段函數(shù)的定義域是所以自變量取值區(qū)間的并集.

知識點(diǎn)四：函數(shù)的圖象

1、函數(shù)圖象的平移變換(左"+"右；上“+"下)

①y=/(%).回右.平枝.個(gè)單.位_＞y=/(X_")

②y=/(X)向左平移。"＞。)個(gè)單位＞y=/(%+4)

③y=/(%)回上.平矛秋".＞°)個(gè)單但一＞y=f^+k

@y=/(%)向下平移個(gè)單位＞y=y(x)_k

注：左右平移只能單獨(dú)一個(gè)X加或者減，注意當(dāng)X前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.

2、函數(shù)圖象的對稱變換

(Dy=/(X)的圖象關(guān)于X軸對稱＞y=-/(x)的圖象；

②y=/(x)的圖象_關(guān)于y軸對稱＞y=/(—》)的圖象；

③y=/(X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)y=-f(-X)的圖象；

3、函數(shù)圖象的翻折變換(絕對值變換)

⑦y=/(x)的圖象一強(qiáng)上一＞y=lf(x)l的圖象；

下翻上

(口訣；以1軸為界，保留X軸上方的圖象；將X軸下方的圖象翻折到X軸上方)

②y=/（x）的圖象——~>y=/（Ix|）的圖象

—右翻口左了

（口訣；以,軸為界,去掉y軸左側(cè)的圖象，保留y軸右側(cè)的圖象；將丁軸右側(cè)圖象翻折到y(tǒng)軸左側(cè)；本

質(zhì)是個(gè)偶函數(shù)）

對點(diǎn)

對點(diǎn)集訓(xùn)一：函數(shù)的三種表示法的應(yīng)用

典型例題

例題1.（24-25高一上?北京?期中）設(shè)已知函數(shù)如下表所示：則不等式7?"（力強(qiáng)0的解集為（）

X-2-1012

210-1-2

A.{1,2,0}B.{-1,-2,0}

C.{1,2}D.{-1,-2}

例題2.(24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí))作出下列函數(shù)的圖象：

(l)y=l-x(xeZ);

(2)y=x2-4.r+3,xe[l,3].

例題3.（24-25高一上,全國?課后作業(yè)）某市出租車的計(jì)費(fèi)方式如下：

①3km以內(nèi)（含3km）8.5元；

②3km以上，每增加1km,收費(fèi)增加2元.

某人要去距出發(fā)地8km的地點(diǎn)參加一個(gè)會議，由于時(shí)間比較緊急，因此他選擇打出租車前往.

（1）請寫出票價(jià)）（元）與出租車行駛的路程s（km）之間的函數(shù)解析式；

（2）求此人到達(dá)目的地后需要支付的金額.

精練

1.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）對于函數(shù)y=/（x）,部分X與y的對應(yīng)關(guān)系如下表：

2.（24-25高一上嚀夏銀川?期中）如圖，是函數(shù)y=的圖象上的三點(diǎn)，其中A（1,3）,B（2,1）,C（3,2）,

3.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）某移動公司采用分段計(jì)費(fèi)的方法來計(jì)算話費(fèi)，月通話時(shí)間無（分鐘）與

相應(yīng)話費(fèi)y（元）之間的函數(shù)圖像如圖所示，則》與x之間的函數(shù)關(guān)系式為.

對點(diǎn)集訓(xùn)二：求函數(shù)的解析式--待定系數(shù)法

典型例題

例題1.（24-25高一上?福建福州?期中）若函數(shù)”X）是二次函數(shù)，滿足"0）=2,/（x+2）-/'（x）=4x,則

（）

A.x2+x+2B.x2-2x+2C.x2-x+2D.x2+2x+2

例題2.（24-25高一上?河南新鄉(xiāng)?期中）已知一次函數(shù)y=〃尤）滿足〃x+l）=2/（x）-x,貝（）

A.4B.2C.1D.0

例題3.(24-25高一上?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)是一次函數(shù)，且滿足了(x-l)+/(x)=2x-L

(1)求/'(x)的解析式；

(2)在(1)的條件下，求函數(shù)8(%)=產(chǎn)(司-2〃x)+2的解析式,并求g(7(2))的值.

精練

1.(24-25高一上廣東惠州?階段練習(xí))已知二次函數(shù)“X)滿足〃彳+2)+〃耳=2%2一2,則函數(shù)的

解析式為___________

2.(24-25高一上,河北保定,階段練習(xí))已知“X)是一次函數(shù)，且/(/(x))=9x+4,求/■⑺的解析

式.

3.(2024高三?北京?專題練習(xí))已知了(X)是二次函數(shù),且/(0)=0,f(x+l)=f(x)+x+l,則/'(x)=.

對點(diǎn)集訓(xùn)三：求函數(shù)的解析式-一換元法

典型例題

例題1.(24-25高一上?云南昭通?期中)已知/■(尤=則函數(shù)的解析式為()

A.f(x)=x2-2xB.f(x)=x2

C./(x)=x2+2x(x>-1)D./(x)=x2-2x+2(x>l)

例題2.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃l-x)==-(x/0),則f(x)=()

A2T("。)B"2T(kI)

-(11)(1)

44

c.7~^-1(元#0)D.7~~^7-1(尤41)

(尤T)(尤一1)

精練

1.(24-25高一上?江西撫州?階段練習(xí))已知=則函數(shù)/(x)的值域?yàn)?)

-「3、

A.［l,+oo)B.［萬,+8)C.(-0°,；］

2.(24-25高一上?云南文山?期中)已知函數(shù)一卜5-2,則的解析式為()

A./(x)=x2-2x-lB./(%)=/—2(九wO)

C./(x)=x2—2x—3(x^1)D./(x)=x2—2x—1(x7^1)

3.(24-25高一上?福建泉州?期末)已知貝(1/(2)=

題型四：求函數(shù)的解析式--湊配法

典型例題

例題1.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知/(》-1)=爐-2尤-3,貝!|/(x)=

例題2.(24-25高一上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))已知函數(shù)F(X+1)=2Y+4X+3.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求關(guān)于犬的不等式/(%)-2以＞442+1的解集.(其中。￡區(qū))

精練

1.(24-25高一上?湖北?階段練習(xí))已知/(2)=出，則〃力=()

XX

A.2x-3(xw0)B.2%-3(1。2)

C.2x+3(xwO)D,2x+3(xw2)

2.(24-25高一上?湖南?期中)已知函數(shù)/(3%+l)=6x—4,且/(㈤=8,則m=()

A.2B.7C.25D.44

(24-25高一上?上海,階段練習(xí))已知/gx-l=2x+3,若/⑴=4,貝!|/=

對點(diǎn)集訓(xùn)五：求函數(shù)的解析式--方程組法

典型例題

例題1.(23-24高一上?河南省直轄縣級單位,階段練習(xí))若/(x)對于任意實(shí)數(shù)x都有2/(x)-［曰=2尤+1,

則〃2)=()

例題2.(23-24高一上?江蘇南通?期中)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且滿足了(無)+2/fl=5x+l,

則f(x)的最小值為.

例題3.(23-24高一上?山東青島,期中)⑴已知一次函數(shù)〃X)滿足3〃%+1)-2/(2力=-3%+7,求函

數(shù)的解析式；

⑵已知2〃x)+/=2x+l,求函數(shù)〃x)的解析式.

精練

1.(24-25高一上?云南大理階段練習(xí))若函數(shù)〃x)滿足關(guān)系式〃％)-2〃-*=彳2+%,則〃2)=()

2.(2024高一?全國?專題練習(xí))已知/(司-2/=3x+2,求“X)的表達(dá)式

3.（23-24高一上?天津和平?期中）⑴已知函數(shù)〃x-3）=尤2-以+6,求/（X）的解析式.

（2）已知/（無）+2/（：）=3尤-2,求“X）的解析式.

對點(diǎn)集訓(xùn)六：分段函數(shù)求值

典型例題

例題1.（24-25高一上?貴州畢節(jié)?期末）已知函數(shù)則/（"-!））=（）

A.2B.1C.-1D.0

已知函數(shù)八）十3x（'x二230h<0,則八⑹等于一

例題2.（24-25高一上?江西撫州?期末）

精練

x2,x<0/

1.（24-25高一上?廣東梅州?期末）已知,貝！1//

（x+4%<0

2.（24-25高一上?遼寧丹東?期末）已知函數(shù)〃力=:'八一1）"（3）,則"=

IX+cuc^X2U

x2+1,x<0,

3.（24-25高一上?內(nèi)蒙古包頭?期中）若函數(shù)“尤）=1且/（/（-1））=:，則。=

------,x>0,2

對點(diǎn)集訓(xùn)七：分段函數(shù)圖象

典型例題

例題1.（23-24高一上?云南昭通?期中）在圖中，作出下列函數(shù)的圖象.

->

X

(1)/(X)=A:+1,XG{XGN|-1<X<41；

3-X12,X>0,

⑵已知函數(shù)〃力=2,x=0,

1-2x,x<0.

例題2.（23-24高一上?云南昭通?期中）在下圖中，作出下列函數(shù)的圖象.

—I—I—I-I-I—4——I——I--1--1~>

-5;-4-321;。：1：2\3\4\5x

(1)/(X)=X+1,XGGN|-1<X<41；

3-X2,X>0

(2)/(x)=<2,x=0

1-2x,x<0

精練

2

一,x<0

X

1.(24-25高一上?廣東惠州?期中)已知函數(shù)=.—%,0<x<2

—x2-3x,x>2

：2,

(1)求〃0),/(2),*/⑵)的值;

(2)若/(加)=-1,求"？的值；

(3)作出函數(shù)/(x)的大致圖象，并求x>l時(shí)，的值域.

x+2,x<-2

2.(24-25高一上?天津東麗?期中)/(x)=X2+2X,-2<X<1

2X-1,X>1

(1)作出該函數(shù)的圖象,

(2)求/(〃-3))的值；

⑶若/(a)=3,求實(shí)數(shù)。的值.

3.(24-25高一上?天津和平?期中)已知函數(shù)十)=收：1'一2"產(chǎn)1

[x,l<x<2

(1)求外〃-1)]的值；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=/(x)的圖象；

(3)求關(guān)于x的方程/(力=1的實(shí)數(shù)根.

一、單選題

1c

Y_|________x>2

1.(24-25高一上?云南昭通?期中)已知函數(shù)/■(》)=尤-2'，貝！()

%2+2,x<2

A.1B.2C.3D.4

2.(2025高二上?遼寧?學(xué)業(yè)考試)某盛水容器如圖所示，可看作是上下對稱的兩個(gè)圓臺，如果向該容器內(nèi)

倒水，在任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)所倒水的體積相等,那么該容器內(nèi)的水面高度y與時(shí)間t[t=澗刻恰好倒?jié)M)

3.（24-25高一上?湖北省直轄縣級單位?階段練習(xí)）已知/（?+l）=x+3,則/'（x+1）的解析式為（）.

A.x+4（x>0）B.x2+3（x>0）

C.^2-2X+4（^>1）D,X2+3（X>1）

4.（24-25高一上?吉林四平?期末）已知函數(shù)/（x—3）=f—x+1,貝1）=（）

A.-5B.3C.2D.-1

ox(x+4),%20I-Q

5.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)〃x）=<，若/"（T）］=1,則實(shí)數(shù)。=（）

—4),x<0

B-lD-I

6.（2025高三?全國?專題練習(xí)）將函數(shù)/（%）=卜尤?+1|+2向左、向下分別平移2個(gè)、3個(gè)單位長度，所得

,貝U/(x)=()

B.3Tx用

A?Siri)17

44

8.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)g（x）=4x+l,〃2x+l）=g（x+l）,且〃2）=1,則2的值為（）

A.0B.1C.-1D.2

二、多選題

9.(24-25高一上?廣東佛山?階段練習(xí))已知函數(shù)y=Y-2x+2的值域是［1,2］,則其定義域可能是()

A.[0,1]B.[1,2]C.；,2D.[-1,1]

10.(24-25高一上?湖南?期中)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?。，若VxeD,/(“切=弓則稱為“循環(huán)

函數(shù)”.下列函數(shù)中，為“循環(huán)函數(shù)”的有()

A./(x)=5-xB./(x)=5+x

C./(%)=--D.=

V7xV72x-l

三、填空題

11,(24-25高一下?浙江寧波?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(尤)=［：+2丁》，若貝s.

12.(24-25高一上?黑龍江大慶?期中)定義：國表示不超過x的最大整數(shù)，如［-1.6］=-2,=已

知函