2025北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

圓章節(jié)綜合（解答題）

一、解答題

1.（2025北京豐臺初三上期末）下面是小明設(shè)計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

求作：，。的切線，使它經(jīng)過點P.

作法：①作射線PO交（。于A、8兩點；

②以點尸為圓心，以尸O的長為半徑作??；以點。為圓心，以的長為半徑作弧，兩弧相交于點

N；

③連接OAf,ON分別交。于點C,D；

④作直線尸C,PD.

直線PC,PD為所作的切線.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明

證明：連接

在。。中，點A,B,（?在＜。上，

AB=OM,

:.OC=-AB=-OM,

22

:.OC=MC.

PO=PM,

:.PCVOM（）（填推理依據(jù)）.

直線PC是。的切線（）（填推理依據(jù)），

同理可證，直線是C。的切線.

2.（2025北京通州初三上期末）如圖，在A48C中，AB=AC,。是A3的中點，到點。的距離等于

的所有點組成圖形G,圖形G與邊3C交于點。，過點。作DE1AC于點E.

（1）依題意補(bǔ)全圖形，判斷直線OE與圖形G的公共點個數(shù)并加以證明;

（2）C4延長線交圖形G于點孔如果AE=3,AF=4,求。E的長.

3.（2025北京東城初三上期末）如圖，圓形拱門的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，如果。是：。中

弦A5的中點，連接。。并延長交。于點C,并且=CD=2.5m,求的半徑.

4.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）已知：A8是。的直徑，弦00,45垂足為應(yīng)半徑上有兩

點/和N,EN=EM,射線CM,射線CN分別交1O于點尸、X,連接加交C。于點G,過點。

作H尸的平行線I.

（1）證明：直線/是。的切線；

⑵當(dāng)OM=8N時，求/CG5的度數(shù).

5.（2025北京平谷初三上期末）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模

式之先導(dǎo).如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦48長為8米，輪子的半徑AO為5米，求輪子的吃水深

度CD.

6.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）如圖，在。。中，點E是弦C。的中點，過點。，E作直徑A3（AE

>BE）,連接BO,過點C作CP〃8O交A8于點G,交。。于點孔連接AF.求證：AG=AF.

7.（2025北京燕山初三上期末）石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，如圖，一石拱橋的橋頂?shù)剿?/p>

的距離C。為8根，橋拱半徑OC為5帆，求水面寬AB的長度.

8.（2025北京朝陽初三上期末）如圖，在心中，ZOAB=90°,/ABO=30。，C為。2邊的中點,

。經(jīng)過點C,BD與。相切于點。.

⑴求證：AB與，：O相切；

⑵若AB=2,求AD的長.

9.（2025北京順義初三上期末）數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題:

已知：如圖，A2是。的直徑，射線AC交。。于點C.

求作：BC的中點。.

①在射線AC上截取AE,使AE=AB；

②連接8E,交，。于點

所以點。就是所求作的點.

（1）按照小華的作法，補(bǔ)全圖形；

（2）補(bǔ)全下面的證明.

證明：連接AD,

是：。的直徑，

:.ZADB=（）（填推理依據(jù)）.

AB=AE,

ZBAD=ZEAD.

二點。為BC的中點.

10.（2025北京朝陽初三上期末）北京天壇，原名“天地壇”，是中國現(xiàn)存最大的古代祭祀性建筑群.天壇內(nèi)

壇由圜丘、祈谷壇、齋宮三組古建筑群組成，某數(shù)學(xué)興趣小組想測量圜丘壇（圖1）最下層圓形石壇的直

徑，先畫出直徑再直接測量不太可能，先測量周長再計算直徑也比較麻煩，研討后他們自制了一個直角曲

尺，制定了測算方案并畫出了示意圖.

直角曲尺的短邊AC長為0.5m,在測量時，用直角曲尺的長邊貼緊圓形石壇的邊緣，并使短邊AC與

圓形石壇的邊緣接觸，此時長邊A3與圓形石壇的接觸點記為點。，量得AO的長為5.2m,示意圖如圖2

所示.請根據(jù)以上信息計算圜丘壇最下層圓形石壇的直徑.

11.（2025北京大興初三上期末）如圖，AABC是。的內(nèi)接三角形，延長BC至點D,CE平分ZACD交

。于點E,連接AE,BE求證：AE=BE.

D

12.（2025北京昌平初三上期末）如圖,，。是邊長為4的正方形ABCD的外接圓.

DC

（1）求。的半徑；

（2）求圖中陰影部分的扇形面積.

13.（2025北京西城初三上期末）如圖，48是。的直徑，弦CD〃AB,過點。作:Q的切線交AB的延

14.（2025北京密云初三上期末）如圖，48是。的直徑，AC是。的弦，延長BC至。，BC=CD,

過C作CELAD交AD于點

⑴求證：CE是。的切線；

⑵連接8E,若ZECD=30。,DE=1,求8E長.

15.（2025北京密云初三上期末）如圖，是。的直徑，C￡＞是，。的弦，于E.

（1）求證：NCOB=2NBAD；

⑵若CD=8,BE=2,求。的半徑長.

16.（2025北京房山初三上期末）中國扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的一個組成部分，歷來中

2

國有“制扇王國”之稱.如圖，已知折扇的骨柄長為。，折扇扇面的寬度是骨柄長的］,折扇張開的角度為

120°,求折扇的扇面面積.（用含a的代數(shù)式表示）

17.（2025北京門頭溝初三上期末）如圖，在。中，AB是直徑，CD是弦，于點E,

CD=24,BE=8.求：。的半徑.

B

18.（2025北京燕山初三上期末）如圖，A8是。的直徑，過點8作；。的切線點A、C、。分別

為〈。的三等分點，連接AC,AD,DC,延長AD交8河于點E,CD交A3于點R.

⑴求證：CD//BM-

（2）連接OE,若DE=m,求△O8E的面積.

19.（2025北京海淀初三上期末）如圖，在7x7的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形網(wǎng)格的邊長為1,圖中乜”

形的每個頂點均為網(wǎng)格線交點，將空”形繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<180。），頂點A,B的對應(yīng)點分別為

B',線段加的對應(yīng)線段為m

（1）在圖中標(biāo)出點0,并畫出乜“形旋轉(zhuǎn)后所得到的圖形;

（2）?=°；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，點C所經(jīng)過的路徑長為.

20.(2025北京豐臺初三上期末)如圖，是。的直徑，點C在(0上，連接AC,BC.作。D〃AC

⑴求證：BD=CD；

(2)過點。作：。的切線交AC的延長線于點「若CF=1,BC=4.求AC的長.

21.(2025北京海淀初三上期末)如圖，AB,AC分別與＜。相切于B,C兩點，8。的延長線交弦C￡)于

點、E,CE=DE,連接OD.

⑴求證：ZA=ZDOE；

(2)若OD〃AC,。的半徑為2,求A3的長.

22.(2025北京西城初三上期末)己知：如圖1,點A,B在。。上，點P在；。外.

求作：。的切線PC,且切點C在劣弧A3上.

作法：如圖2,

①連接OP；

②作線段。尸的垂直平分線/,交。尸于點M；

③以點M為圓心，的長為半徑畫圓，交劣弧A3于點C；

④畫直線尸C.直線尸。即為所求.

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明.

證明：連接。C.

尸是"的直徑，

ZPCO=。（）（填推理的依據(jù)）.

OCX.PC.

:oc是。的半徑，

???直線PC是。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

23.（2025北京西城初三上期末）如圖，。是AABC的外接圓，粉一個，直徑AC,垂足是E.

A

（1）求證：△ABC是等邊三角形；

⑵若AB=3,求DE的長.

24.（2025北京海淀初三上期末）已知：如圖，AB是。的弦.

求作：。上的點C,使得NABC=45。.

作法：①連接AO并延長交工。于P；

②分別以點A,P為圓心，大于［AP的長為半徑畫弧，兩弧交于點。;

2

③作直線。。交，。于點C—C2,連接BG，8c2.

所以，點C-C,就是所求作的點.

A

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明：

證明：連接A。，PQ.

AQ=PQ,AO^PO,

：.OQ±AP（）（填推理的依據(jù)）.

ZAOC,=ZAOC2=90°.

A,B,G，g都在。上，

.-.ZABC^^ZAOQ,ZABC2=1ZAOC2（）（填推理的依據(jù)）.

ZABCj=ZABC2=45°.

25.（2025北京東城初三上期末）已知：。為△ABC的外接圓，D是BC邊上的一點，連接AE）.

求作：/BEC,使得點E在線段AD上，且NBEC=2NBAC.

作法：

①連接OB,分別作線段02,2c的垂直平分線34,兩直線交于點P;

②以點尸為圓心，PF長為半徑作圓，交線段4）于點E；

③連接BE,CE.

/BEC就是所求作的角.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接OC.

?..點A,B,C在。上，

AZBAC=^ZBOC（）（填推理的依據(jù)）.

?.,點B,O,E,6;在（P上，

NBEC=N_____.

NBEC=2NBAC.

26.（2025北京通州初三上期末）如圖，在△ABC中,AB=AC.

求作：射線AE,使得AE〃BC.

小靖同學(xué)的作法如下：

①以點A為圓心，4B長為半徑畫圓，延長54交A于點。；

②作一ABC的角平分線交〈A于點E；

③作射線AE.

所以射線AE即為所求.

請你依據(jù)小靖同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，完成下列問題：

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明

證明：連接。C,AB=AC,.,.點C在：A上.

BD是，A的直徑，N3C￡>=()(填推理依據(jù))

BE平分/ABC,ZABE=ZCBE.DE=CE，

ZDAE=ZCAE()(填推理依據(jù)).

AD=AC,AE±DC.()(填推理依據(jù))..〔AEaBC.

27.(2025北京三帆中學(xué)初三上期末)下面是某同學(xué)設(shè)計的“過三角形一個頂點作其對邊的平行線”的尺規(guī)

作圖過程.

求作：直線80,使得AC.

作法：如圖2

①分別作線段AG3C的垂直平分線4，4兩直線交于點。；

②以點。為圓心，長為半徑作圓；

③以點A為圓心，長為半徑作弧，交劣弧AB于點D;

④作直線BD.

所以直線5。就是所求作的直線.

根據(jù)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明：連接A￡>,

點A,B,C,。在O上，AD=BC,

二AD=.（）（填推理的依據(jù)）.

:.ZDBA=ZCAB（）（填推理的依據(jù)）.

:.BD//AC.

28.（2025北京通州初三上期末）如圖，，。的直徑AB垂直弦于點E,尸是圓上一點，。是的中

點，連結(jié)CP交于點G,連結(jié)8C.

⑴求證：GE=BE.

⑵若AG=6,BG=4,求CD的長.

29.（2025北京燕山初三上期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系無0y中，點43,3）,點8（4,0）,點C（0,T）.

（1）以點C為中心，把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△A?C；

（2）在（1）中的條件下，

①點A經(jīng)過的路徑A4的長為（結(jié)果保留兀）；

②寫出點9的坐標(biāo)為.

30.（2025北京平谷初三上期末）已知：如圖，AABC中，AB=AC,AB>BC.

求作：線段B。，使得點O在線段AC上，且/C5D=1254C.

作法：①以點A為圓心，A3長為半徑畫圓；

②以點C為圓心，長為半徑畫弧，交（A于點P（不與點B重合）；

③連接3尸交AC于點Z）.線段8D就是所求作的線段.

BC

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接PC.

AB=AC,

.?.點C在A上.

「點尸在A上，

:.ZCPB=-ZBAC（_________）（填推理的依據(jù)）.

2

BC=PC,

:.NCBD=.

:.ZCBD^-ZBAC.

2

31.（2025北京燕山初三上期末）下面是小石設(shè)計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.

已知：如圖1,0。及。。上一點尸.

求作：直線PN,使得PN與0。相切.

作法：如圖2,

①作射線OP;

②在。。外取一點Q（點Q不在射線OP上），以Q為圓心，QP為半徑作圓，OQ與射線OP交于另一點

M；

③連接MQ并延長交。Q于點N；

④作直線PN.

所以直線PN即為所求作直線.

根據(jù)小石設(shè)計的尺規(guī)作圖的過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：是。。的直徑，

:.NMPN=。（）（填推理的依據(jù)）.

OPLPN.

又???。2是。。的半徑，

PN是。。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

Q.

V7VJ

圖1圖2

32.（2025北京昌平初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。的半徑為1,對于平面上的點N和M給

出如下定義：若在上能找到一點尸，使得NM=k」NP（左為常數(shù)），J.ZPAM=a（0<a<180°）,則

稱點M是。關(guān)于點N的的a）關(guān)聯(lián)點.

（1）已知點4（3,3）.

①點3（4,0）,C（6,l）,D（l,6）中，是。關(guān)于點4（1,90。）關(guān)聯(lián)點的是；

②若點E（a,b）是,：。關(guān)于點A的（2,90。）關(guān)聯(lián)點，則6的取值范圍是；

（2）點/（小乂）是直線>上一點，點6是〈。關(guān)于點尸的（3,45。）關(guān)聯(lián)點，若存在點G在直線》=-2

上，求點尸橫坐標(biāo)看的取值范圍.

33.（2025北京門頭溝初三上期末）下面是圓周角定理的證明過程，選擇情況2或情況3,補(bǔ)全該情況的證

明過程.

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

已知：在1。中，8c所對的圓周角為/BAC,圓心角為/BOC.

求證：ZBAC=-ZBOC.

2

證明：情況1：如圖1,當(dāng)點。在/BAC的一邊上時：

OA=OC,

/.ZA=ZC.

ZBOC=ZA+ZC,

...ZBOC=2ZA.

情況2：如圖2,當(dāng)點。在/BAC的內(nèi)部時:

情況3：如圖3,當(dāng)點。在/BAC的外部時:

34.（2025北京門頭溝初三上期末）如圖1,平面中的線段A3和直線A8外一點P,對于P,A,B三點確

定的圓，如果所對的弧為優(yōu)弧，我們就稱點尸為線段A3的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點”.

（D如圖2,已知點0（0,0）,C（2,0）.

①在點片（1,1）,￡（2,1）,6［，一￡|中，是線段℃的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點”的是」

②如果直線，=-工+》上存在線段OC的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點”，直接寫出6的取值范圍.

（2）如圖3,已知點0（2,2）,E（2,-2）,F（-2,2）,M（a,0）,N（a+l,0）,如果在..DEF邊上存在線段MN

的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點”，直接寫出。的取值范圍.

35.（2025北京西城初三上期末）給定圓C和直線/,過圓C上一點尸作尸直線/于點直線產(chǎn)”與

圓C的另一個交點記為Q,將稱為點尸關(guān)于直線/的特征值.特別地，當(dāng)點H與點P或。重合時，

點尸關(guān)于直線/的特征值為0；當(dāng)點尸和。重合時，點尸關(guān)于直線/的特征值為PH?.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

⑴圓M是以點”（1,3）為圓心，2為半徑的圓，

①若點尸的坐標(biāo)是（3,3）,則它關(guān)于y軸的特征值是：；

②點T是圓M上一動點，將點T關(guān)于x軸的特征值記為人貝曠的取值范圍是；

（2）已知圓。的半徑為2,直線/?=履+3（左＞0）,若圓。上存在關(guān)于直線/的特征值是3的點，直接寫出上

的取值范圍.

36.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點T&0）,eT的半徑為1,它的一

條弦作兩次變換：關(guān)于點M作中心對稱后得到線段MP,關(guān)于點N作中心對稱后得到線段NQ.我們

稱點尸、。為eT的對稱點，稱線段尸。為eT的對稱弦.

(1)如圖，點A,B,C,D的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

①在線段A3,AD,CB,C。中，。的對稱弦是；

②若線段AC上的點都是eT的對稱點，求方的取值范圍；

⑵若。的對稱弦尸。過點。,0),直線y=+6與線段尸。有公共點，6的取值范圍是

Ri

D

參考答案

1.（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查切線的判定，等腰三角形三線合一，關(guān)鍵是通過作圖構(gòu)造等腰三角形和三線合一.

（1）根據(jù)要求即可畫出圖形即可；

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一即可解決問題.

在:，0中，點A,B,C在。上，

AB=OM,

:.OC=-AB=-OM,

22

;.OC=MC.

PO=PM,

:.PC±OM（在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合）.

.?.直線PC是O的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線）

同理可證，直線PD是（。的切線.

故答案為：在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合，經(jīng)過半徑的外

端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線.

2.（1）補(bǔ)全圖形見解析，直線DE與圖形G（:。）只有一個公共點，或直線DE與：。相切，證明見解析

⑵。E=

【分析】本題考查了圓的切線證明、垂徑定理、勾股定理等知識點，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

(1)由題意得圖形G是以點。為圓心，為半徑的圓；連接0。，可證直線DE與I。相切;

2

(2)過點。作OGLAF于點G.可得AG=^-AF=2,推出四邊形OOGE是矩形；根據(jù)

2

OG2=OA2-AG2=52-22=21,即可求解；

【詳解】(1)解：補(bǔ)全圖形；

結(jié)論：直線DE與圖形G(QO)只有一個公共點，或直線QE與。相切

證明：連接0。，

,?0B=0D,

：.ZBD0=ZB,

*.?AB=AC,

：.ZC=ZB,NBDO=NC,

：.DO//CA,

,：DE.LAC,

：.DO1,DE,

:點。在圖形G((0)上，

.??直線DE與圖形G(()只有一個公共點.

(2)解：過點。作OGLAF于點G.

?.AG=-AF=2

2

:DEJ.AC,DOLDE,

.??四邊形。OGE是矩形，

ADO=EG=5,DE=OG,

在RtOG4中，OA=DO=5,

/.OG2=O^-AG2=52-22=21,

OG=V21(舍負(fù))，

3.1.3m

【分析】本題考查了垂徑定理的推論與勾股定理；連接Q4,并設(shè)圓的半徑為廣；由垂徑定理推論得

AD=^AB=0.5m,O￡?=(2.5-r)m；在Rt^OAD中，利用勾股定理建立方程即可求得半徑.

【詳解】解：如圖，連接。4,設(shè)圓的半徑為r；

是。中弦A3的中點，

AD=-AB=0.5m,ODYAB-,

2

OD-(2.5-r)m,

...在RtAQW中，由勾股定理得：0.52+(2.5-r)2=r2,

解得：r=1.3；

答：。的半徑為1.3m.

4.(1)證明見解析

(2)60°

【分析】對于(1),根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得CN=C0,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得

ZNCE=ZMCE,進(jìn)而得出/"OD=/FOD,然后根據(jù)C歸=。尸，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得

即可得出NODP=90。，接下來答案可證；

對于(2),連接80,先根據(jù)=證明0E=3E,可得口。皮)是等邊三角形，可知/。。3=60。，再根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/ODE=30。，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得NODP=90。，可求出N￡DP=60。，則結(jié)論可

證.

【詳解】(1)如圖所示，標(biāo)注兩點，連接尸,。以，

?/CD±AB,EM=EN,

：.CD是的垂直平分線，

CN=CM,

：.NNCE=NMCE.

?：ZHOD=2NNCE,ZFOD=2ZMCE,

/.ZHOD=ZFOD.

'：OH=OF,

：.0D1FH,

即/O狂=90°.

,/DP//HF,

ZODP=90°,

?「OD是。的半徑，

???直線/是，：。的切線;

(2)連接班),

,.?OM=BN,EN=EM,

：.OM-EM=BN-EN,

即OE=BE.

■:CDLOB,

:.OD=BD.

?：OB=OD,

：.OB=OD=BD,

即405。是等邊三角形，

JZODB=60°,

：.ZODE=3Q°.

??,直線/是，：。的切線，

???ZODP=90°,

：.ZEDP=60°f

?:DP//HF,

??.ZCGF=ZCDP=60°.

【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的

性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.輪子的吃水深度CD=2米

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等知識點，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得ODLAB,Q4=OC=5米，則4。=2。=；42=4米，在RAOD中，運用勾股定理可得

OD=3米，然后根據(jù)CD=OC—OD即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，OD1AB,Q4=OC=5米，

AAD=BD=-AB=-x8=4（米），

22

在RfAOD中，OD=>JOA2-AD2=y/52-42=3（米），

:.CD=OC—OD=5—3=2（米），

二輪子的吃水深度CD=2米.

6.見解析

【分析】由題意易得A5d_CZ）,AD=ACf則有NB=",由平行線的性質(zhì)可得NAG尸=NB,然后可得

ZAGF=ZF,進(jìn)而問題可求證.

【詳解】證明：TAB為。。的直徑，點E是弦CO的中點，

：.AB1,CD,

***AD=AC，

:.ZB=NF,

,:CF〃BD,

：.ZAGF=NB,

：.ZAGF=ZF,

：.AG=AF,

【點睛】本題主要考查垂徑定理、平行線的性質(zhì)及圓周角定理，熟練掌握垂徑定理、平行線的性質(zhì)及圓周

角定理是解題的關(guān)鍵.

7.8m

【分析】連接根據(jù)垂徑定理可知在出△AOO中，利用勾股定理即可求出A。的長，

進(jìn)而可得出A8的長，此題得解.

【詳解】解:連接。4如圖所示.

'：CD±AB,

.'.AD=BD=^AB,

在Rd中，0A=0C=5m,OD=CD-OC=3m,ZADO=90°,

?<-J。1-OU=4m,

：.AB=2AD=8m.

【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，利用勾股定理求出的長度是解題的關(guān)鍵.

8.⑴見解析

⑵2

【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)在H043中，ZOAB=90°,/ABO=30。，得到04=^02,由C為02邊的中點，求得

2

OC=goB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到結(jié)論；

(2)連接0。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到鉆=BD,證明.AB。-DBO(SSS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

NDBO=/ABO=30。，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在咫QW中，ZOAB=90°,ZABO^30°,

:.OA=-OB,

2

C為02邊的中點，

OC=-OB,

2

:.OA=OC,

.：Q4是。的半徑，

與。相切；

(2)解：連接OD,

*/BD與：O相切于點。，與(0相切,

AB=BD,

在與中，

OA=0D

<AB=BD,

OB=OB

ABO^DBO(SSS),

:.ZDBO=ZABO=30°,

/.ZABD=60°,

:.^ABD是等邊三角形,

:.AD=AB^2.

9.⑴見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.也考查了線段垂直平分線

的性質(zhì).也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和圓周角定理.

（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；

（2）連接A。，根據(jù)圓周角定理的推論NAD3=90。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/班,所

以BD=CD-

,?,AB是,。的直徑，

AZADB=90°（直徑所對的圓周角為直角），

,/AB=AE,

：./BAD=/FAD,

：?BD=CD，

點。為的中點.

故答案為：90°,直徑所對的圓周角為直角，BD=CD-

10.54.58m

【分析】本題考查圓切線的實際應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握圓切線性質(zhì)，勾股定理解解三

角形.

如圖，連接OD,過點C作CTL8于點，設(shè)OD=OC=rm,利用勾股定理構(gòu)建方程求解.

是l。的切線,

:.OD±AB,

,?ACA.AB,

ZCTD=ZCAD=ZADT=90,

，四邊形ADTC是矩形，

：.CT=AD=5.2,DT=AC=0.5,

在RtZ^OCT中，OC2=OT2+CT2,

r2=(r-0.5)2+5.22,

解得r=27.29.

所以圓形石壇的直徑27.29x2=54.58(m).

11.見解析

【分析】首先根據(jù)圓周角定理可得：ZACE^ZABE,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)可得：

/E4B+NECB=180。，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義可得：ZDCE+NECB=18。。,根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得：

ZEAB^ZDCE,等量代換可證=根據(jù)等角對等邊可證AE=BE.

【詳解】證明：CE平分ZACD,

：.ZACE=ZDCE,

根據(jù)圓周角定理得：ZACE^ZABE,

:.ZABE^ZDCE,

四邊形ABCE為，。的內(nèi)接四邊形，

.-.ZE4B+ZECB=18O0,

ZDCE+ZECB=180°,

:.NEAB=/DCE,

:.ZABE=ZEAB,

AE=BE.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義.解

決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的性質(zhì)得到角之間的關(guān)系，利用角之間的關(guān)系得到邊之間的關(guān)系.

12.⑴20;

(2)271.

【分析】(1)由。是邊長為4的正方形A2CD的外接圓，則NCOD=90。，然后用勾股定理即可求解；

(2)由扇形的面積公式即可求解；

本題考查了正多邊形和圓，扇形的面積公式，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：：正方形ASCD,

360°

??.ZCOD=——=90。，

4

又,:OD=OC,

在RtAODC中，+OD2=CD?,

/.OC2+OC2=42,即2OC2=16，

OC=2&(負(fù)值舍去)；

(2)解：由(1)得：ZCOD^90°,OC=20,

._n-7t-r2_90-7C-(2A/2)2_

??3扇形。c?==一疏—=2兀,

13.(1)證明見解析

⑵CD=g

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

(1)作CD于點尸，連接OC,OD,先由平行的性質(zhì)易得NDO產(chǎn)+NDOE=90。，再由切線的性質(zhì)

得ODJ.DE,進(jìn)而得NE+"OE=90。，即可得NE=NOO尸，再由垂徑定理和圓周角定理可得

ZDOF=-ZDOC,ZCBD=-ZDOC,繼而可得結(jié)論；

22

(2)作￡>GJ_AE于點G,設(shè)，：0的半徑為小則。4=OD=r,OE=8-r,由勾股定理列方程得

/+7=(8-rf,解方程得r=3,進(jìn)而可得OE、。廠的值，再由勾股定理可得。尸的值，最后由

CD=2D尸可得答案.

【詳解】(1)證明：作Ob_LC。于點尸，連接OC,OD,如圖1,

圖I

ZDFO=90°,

,/CD//AB,

：.ZDFO+ZEOF=180°,

NEO尸=90°,

ZDOF+ZDOE=90°,

；DE是。的切線，。是切點,

ODIDE,

：.ZE+ZDOE=90°,

：.ZE=ZDOF,

'：OC=OD,

：.ZDOF=-ZDOC,

"：ZCBD=~ZDOC,

2

:.ZDOF=ZCBD,

:.ZE=ZCBD；

（2）解：作ZX7LAE于點G,如圖2

圖2

VCD//AB,OFLCD于點、F,

：.DG1CD,OFLAE,

四邊形OfU。為矩形，

DG=OF,

設(shè)。，。的半徑為「，貝!jQ4=OD=r,

,?AE=8,

OE=8-r,

:在RtZ\ODE中，NODE=90°,DE=4,

：.r+42=（8-r）2,

解得r=3,

OE=5,

,：S=-ODDE=-GDOE,

OnDnEF22

...在RtaDR?中，DF=^OD1-OF-=|,

1Q

CD=2DF=—.

5

14.（1）見解析

⑵如

【分析】（1）連接。C,根據(jù)三角形中位線定理得到OC〃AD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OCLCE,根據(jù)切

線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)AD交。于連接根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到"=60。，根據(jù)圓周角定理得到

ACA.BD,推出ABD是等邊三角形，得到A5=AD=3C,=60。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

CD=2DE=2,根據(jù)勾股定理得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接OC,

A

R

AO=BO,BC=CD,

是.A5D的中位線

，OC//AD,

CE1AD,

OCVCE,

OC是。的半徑，

?,.CE是。的切線；

(2)解：設(shè)AD交于〃，連接

CE1AD,

/.ZCED=90°,

NDC￡=30。，

「.ZD=60。，

AB是:。的直徑，

/.AC1BD.

BC=CD,

:.AB=AD,

「.一ABD是等邊三角形，

.\AB=AD=BC,ZBAD=60°,

ZCED=90°,ZDCE=30。,DE=1,

:.CD=2DE=2,

:.AB=AD=BD=4,

AB=BD,BH工AD,

:.AH=DH=-AD=2,

BH=1AB?—AH?=273

HE=DH-DE=1,

BE=yjBH2+HE2=A/13?

15.(1)見詳解

(2)5

【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助

線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OD,利用垂徑定理可得：BC=BD，從而可得“OB=4003,然后利用圓周角定理可得：

NDOB=2NDAB,從而可得NCOS=2NZMB,即可解答；

(2)利用垂徑定理可得：CE=DE=4,然后設(shè)。的半徑為r,在RfOCE中，利用勾股定理進(jìn)行計算

即可解答.

【詳解】(1)證明：連接OD,

?直徑AB_LCD,

?"-BC=BD，

：.ZCOB=ZDOB,

'：ZDOB=2NDAB,

：.NCOB=2NDAB；

(2)解：?：AB±CD,

:.CE=DE=-CD=4,

2

設(shè),。的半徑為「，

在RtOCE中,OC2=CE-+OE-,

r2=42+(r-2)2,

解得：r=5,

的半徑長為5.

【分析】本題考查列代數(shù)式，扇形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

根據(jù)圖形可知：折扇的扇面面積=大扇形的面積-小扇形的面積，然后代入數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】解：由圖可得，折扇的扇面面積為：120萬/120萬卜一

360360

12

2Ji--a

_7ia9

3

_971a27ia2

~Z127

8?〃2

27

17.13

【分析】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此

題的關(guān)鍵.

連接OC,設(shè)。的半徑為r,則OE=r-8,根據(jù)垂徑定理可求出CE,再根據(jù)勾股定理得到關(guān)于廠的方

程，求出即可.

【詳解】解：如圖，連結(jié)OC,

2

設(shè)。，。的半徑為r,貝！JOE=r—8,

在Rt^COE中，ZOEC=90°,

由勾股定理得CE2+OE2=OC2,

：.122+(r-8)2=r2,

解得廠=13,

；?)。的半徑為13.

18.(1)見解析

(2)SAOBE=舟

【分析】本題主要考查了垂直平分線的判定、三角形的外心、圓切線的性質(zhì)、平行線的判定，等邊三角形

的判定與性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角、勾股定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點推

理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三等分點，得出AOuOCuAC，ACD內(nèi)接于。，推出AD=OC=AC,點。是ACD的外

心，得出ABLCD,根據(jù)切線的性質(zhì)，得出3EJLAB,根據(jù)“同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線

平行”，即可得證CD〃BAf；

(2)連接。3,由(1)得AD=OC=AC,ABVCD,BEVAB,得出?ACD是等邊三角形，

ZABE=90°,得出NC4￡>=60。，計算出角度NEAB=30。，ZA￡B=60°,根據(jù)“直徑所對的圓周角是直

角”，得出乙M?=/BDE=90。，求出"3E=30。，根據(jù)“30。角所對的直角邊是斜邊的一半”，結(jié)合勾股

定理，推出鹿二？%,08=后〃，根據(jù)三角形面積公式，計算SOBE=gxBExO8,得出答案即可.

【詳解】(1)證明：：點A、C、。為：O的三等分點，

AD=DC=AC<AC￡>內(nèi)接于￡。，

9=DC=AC,點。是,,ACD的外心，

.?.點A、。在線段C。的垂直平分線上，

ABLCD,

:過點8作O的切線

，BE±AB,

：.CD〃BM；

(2)解：如圖，連接D8,

:由（1）得：AD=DC=AC,ABVCD,BEVAB,

,ACD是等邊三角形，ZABE=90°,

AZG4D=60°,N￡/8=*4C4O=，X60°=30°，

ZA￡B=90°-30°=60°,

「AB是：，。的直徑，

，ZADB=NBDE=90。,

:.4DBE=%。-Z/l￡5=30o，

又■:DE=m,

，BE=2DE=2m,BD=ylBE2-DE2==可,

又：在RtZXAZ陽中，ZZMB=30°,

??AB=2BD=2@rn>OB=-AB=\[?>m,

11

1l

???在RtO5E中，SCRF=—xBExOB=—x2mx<3m=y]3m.

22

19.⑴見解析

(2)90

⑶萬

【分析】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，求弧長.

(1)線段A4'和82的中垂線的交點即為點。，再確定點C'的位置，最后連線即可得“?！涡D(zhuǎn)后所得到

的圖形；

(2)由(1)中的圖示可得夕=90。；

(3)點C所經(jīng)過的路徑長是以O(shè)C為半徑，圓心角為90度的弧長，根據(jù)弧長公式計算即可.

【詳解】(1)解：如圖，線段AA'和88'的中垂線的交點即為點。，

乜”形旋轉(zhuǎn)后所得到的圖形如圖所示；

(2)解：由(1)中的圖示可得&=90。，

故答案為：90；

(3)解：點C所經(jīng)過的路徑長是以O(shè)C為半徑，圓心角為90度的弧長，

由題意得OC=2,

.??點C所經(jīng)過的路徑長=把*=支,

180

故答案為：乃.

20.(1)見解析

(2)3

【分析】(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，平行線的性質(zhì)可得出6?1BC,然后根據(jù)垂徑定理即可得

證；

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)以及(1)的結(jié)論可證明四邊形CEDE是矩形，則￡>E=CF=1,根據(jù)垂徑定理得出

BE=CE=aBC=2,在RtBOE中,根據(jù)勾股定理求出OE,然后根據(jù)三角形中位線定理求解即可.

【詳解】(1)證明：:AB是：。的直徑，

/.ZC=90°,

OD//AC,

：.ZOEB=ZC=90°,

OD工BC,

：?BD=CD；

V。的切線，

，ODA.DF,

又ODLBC,NBCF=180°-ZACB=90°,

.?.四邊形CEDE是矩形，

，DE=CF=1,

?/OD±BC,BC=4,

BE=CE=-BC=2,

2

在RtBOE中，BO2=OE2+BE2,

3+1）2=O￡2+22,

3

解得OE=],

VBO=AO,BE=CE,

：.AC=2OE=3.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌

握上述知識并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

21.⑴見解析

⑵2+2忘

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì).

（1）連接CO,由切線的性質(zhì)得NO84+/OC4=180。，再由四邊形內(nèi)角和得NA+N8OC=180。，由平角

的性質(zhì)得NCOE+/3OC=180。，進(jìn)而得/COE=NA,再由垂徑定理得NCOE=NOOE,繼而可得結(jié)論；

（2）過點C作。/居于點M,先由已知得四邊形CEBM是矩形，進(jìn)而得CM=BE,BM=CE,

CE//AB,結(jié)合（1）易得。&）是等腰直角三角形，進(jìn)而可得40=。0=3片=2+忘，

BM=CE=&,,再由=+即可得出答案.

【詳解】（1）證明：如圖，連接CO,

B

A

vAB,AC分別與3。相切于3,C兩點，

；?OC_LAC,OB1AB,

：.ZOBA+ZOG4=180°,

JZA+ZBOC=180°,

又「ZCOE+ZBOC=180°,

???ZCOE=ZAf

?：CE=DE,OC=OD,

C.OEVCD,OE平分4OD,

JZCOE=ZDOE,

：.ZA=ZDOE；

（2）解：如圖，過點。作，4?于點M,

VOB1AB,OELCD,CMVAB,

???ZCMB=ZBME=ZBEC=ZECM=90°,

???四邊形CEBM是矩形，

：?CM=BE,BM=CE,CE//AB,

??.ZA+ZACE=180°,

*：OD//AC,

：.NACD+/QDC=180。，

???ZA=ZODC,

由（1）得NA=NDO石，

/ODE=/DOE,

：.OE=DE,

.??西）是等腰直角三角形，

JZODE=/DOE=ZA=45°f

/ACM=45°,

：.AM=CM,

,：。的半徑為2,即0D=08=2,

OE=ED=CE=41,

:?AM=CM=BE=2+拒,BM=CE=母,

AB=AM+BM=2+2。

22.⑴圖見解析

（2）90,直徑所對的圓周角是直角，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【分析】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、圓周角定理、圓的切線的判定定理，熟練掌握圓的切線

的判定定理是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題中的作法步驟：根據(jù)線段垂直平分線和圓的畫法即可得；

（2）先根據(jù)圓周角定理可得/PCO=90。，再根據(jù)圓的切線的判定定理即可得證.

【詳解】（1）解：使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形如下：

是M的直徑，

:.NPCO=90°（直徑所對的圓周角是直角）.

/.OCLPC.

。是。的半徑，

故答案為：90,直徑所對的圓周角是直角，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

23.⑴證明見解析

（2）Z）E=—

2

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出AB=C8,結(jié)合已知以及弧、弦的關(guān)系可得出AB=3C=AC,即可得證;

13

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和垂徑定理、圓周角定理等可求出4￡=彳4?=彳，NAD3=NACB=60。，根

22

據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)得出=然后在RtADE中根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：???直徑3D_LAC,垂足是E,

?**AB=CB

,,尸、尸、

?AB-AC^

?*-AB=BC=AC^

：.AB=BC=AC

「?△ABC是等邊三角形.

（2）解：連接AO,如圖.

AZAC?=60°,AC=AB=3.

??,直徑垂足是￡,

13

：.ZAED=90°,AE=-AC=~.

22

9

：ZADB=ZACB=60°9

???在RtZXAED中，NEW=30°.

DE=-AD.

2

222

由勾股定理得AD^AE+DE,即（2￡>E）2=+DE2,

解得由巨

2

【點睛】本題考查了垂徑定理，弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等，

熟練掌握上述知識并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

24.⑴見解析

（2）三線合一，圓周角定理

【分析】此題考查了尺規(guī)作圖，等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知

識點.

（1）根據(jù)題干中的作圖方法作圖即可；

（2）首先由三線合一得到LAP,然后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】（1）如圖所示，點C-即為所求.

AQ=PQ,AO=PO,

..OQ1AP（三線合一）（填推理的