2025北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

一元二次方程章節(jié)綜合（解答題）

一、解答題

1.（2025北京朝陽初三上期末）解方程：x2+2x-l=O.

2.（2025北京朝陽初三上期末）已知關(guān)于x的一元二次方程》2-（〃?_2卜+?-%=0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求m的最小值.

3.（2025北京密云初三上期末）已知方程尤2—3元+機(jī)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）已知方程的一個(gè)根是4,求根的值，并求出方程的另一個(gè)根.

4.（2025北京密云初三上期末）解方程：%2+3%-1=0.

5.（2025北京燕山初三上期末）解方程：f-4x+4=5.

6.（2025北京豐臺初三上期末）造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針和火藥是中圖古代四大發(fā)明.這些發(fā)明對人類文

明發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.某校科技節(jié)活動(dòng)中，計(jì)劃在如圖所示的長100cm,寬40cm的展板上展出介紹

四大發(fā)明的海報(bào)，每輻海報(bào)面積均為640cn?.若展板外沿與海報(bào)之間、相鄰海報(bào)之間均貼有寬度為xcm

7.（2025北京豐臺初三上期末）已知根是方程/一2彳-3=0的一個(gè)根，求代數(shù)式機(jī)（m-2）-5的值.

8.（2025北京東城初三上期末）已知關(guān)于x的一元二次方程^9+如一？4（awO）.

（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

⑵若方程的一個(gè)根是2,求代數(shù)式66+36的值.

9.（2025北京豐臺初三上期末）解方程：?-4%=12

10.（2025北京豐臺初三上期末）已知關(guān)于x的一元二次方程f-2日+左2_i=o.

（1）求證：該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的積為3.求上的值.

2

11.（2025北京海淀初三上期末）解方程：x-4.r-6=0.

12.（2025北京海淀初三上期末）關(guān)于x的一元二次方程/+（7”-3卜+2=0.

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程的實(shí)數(shù)根均為非負(fù)數(shù)，求優(yōu)的取值范圍.

13.（2025北京東城初三上期末）解方程：X2-4X=5.

14.（2025北京西城初三上期末）己知關(guān)于無的方程/-（〃7+4）%+2機(jī)+4=0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：

（2）若方程的一個(gè)根比另一個(gè)根大3,求機(jī)的值.

15.（2025北京門頭溝初三上期末）解方程：X2+2X-3=0.

16.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）已知關(guān)于無的方程2x2+（2m-l）x+m-l=0

（1）求證：方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根毛且玉=2馬+10,求機(jī)的值.

17.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）解方程：%2-6X-3=O；

18.（2025北京大興初三上期末）解方程：Y-6x+4=0.

19.（2025北京西城初三上期末）解方程：x2+4x-1=0.

20.（2025北京門頭溝初三上期末）已知關(guān)于x的一元二次方程V+2x+2左-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根.

（1）求％的取值范圍；

（2）若%為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求左的值.

21.（2025北京燕山初三上期末）解方程：x（x-2）+x-2=0.

參考答案

=—

1.x1——1+V2,x2-1Vz

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可.解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)

用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)，即可求解.

【詳解】爐+2彳一1=。

解:移項(xiàng)得：x2+2x=l

配方得：X2+2X+1=2

即：(X+1)2=2

開方得：x+\=+y[2

...玉=-1+,s/z，x,=-1—^2.

2.⑴見解析；

⑵6.

【分析】(1)先計(jì)算出根的判別式的值得到A=4,則△>(),然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；

(2)先由求根公式得到再=3,%=一，再利用與>。且—>0得相>4,然后根據(jù)今和—都是

正整數(shù)可確定加的值；

此題考查了根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，一元二次方程的解法，正確理

解一元二次方程依2+云+。=0(。工0)根的判別式A=62—4碇，當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；掌握一元二次方程的解法是解題的

關(guān)鍵.

/2\

【詳解】(1)證明：VA=[-(m-2)]2-4^-mJ

=m2—4m+4—m2+4m

=4>0,

...方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

m一2±2

(2)解:*.*X—

2x1

mm-4

2-2

:方程的兩個(gè)根都是正數(shù),

上。且”>。，

解得m>4,

:方程的兩個(gè)根都是正整數(shù),

和三都是正整數(shù),

，m的最小值為6.

9

3.(l)m<-

(2)772=-4,另一個(gè)根是-1

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系.

(1)根據(jù)根的判別式的意義得到△=(-3)2-4加>0,然后解不等式即可；

(2)設(shè)方程的另一個(gè)根為7,利用根與系數(shù)的關(guān)系得4+/=3,中=租,然后解一次方程組即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得公=(一3)2-4〃>0,

Q

解得mV：,

4

Q

???〃？的取值范圍為，"<了；

4

(2)設(shè)方程的另一個(gè)根為f,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得4+r=3,4f=m,

解得t=-l,m=-4,

即方程的另一根是-1.

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵.

用求根公式法解方程即可.

【詳解】解：x1+3x—1=0,

?'?a=l,b=3,c=—l,

.-.Z?2-4ac=32-4xlx(-l)=13,

-3±V13

...x=-------,

2

-3+V13-3-V13

??再=2'x2=2■

5.x,=2+y/5,x2=2-45

【分析】本題考查解一元二次方程，將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，利用公式法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由f一4%+4=5得：x2-4x-i=0

a=l,b=—4,c=-l

/—4ac=16—4xlx(T=20>0

—b±y/b24±^20

Xy—2+A/5,%2=2-A/5.

6.4cm

【分析】本題考查了根據(jù)矩形的面積公式的列一元二次方程解決實(shí)際問題的運(yùn)用及一元二次方程解法的運(yùn)

用.解答時(shí)檢驗(yàn)根是否符合題意是容易被忽略的地方.

設(shè)彩色紙帶的寬為xcm,根據(jù)題目條件由面積公式列出方程，求出其解就可以.

【詳解】解:設(shè)彩色紙帶的寬為xcm,

根據(jù)題意，得(100-5x)(40-2x)=640x4,

解方程，得升=4,%=36(不合題意，舍去).

答：彩色紙帶的寬為4cm.

7.-2

【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值，把》="7代入原方程即可得到答案.

【詳解】解：：加是方程/-2x-3=0的一個(gè)根，

m2—2m-3=0,

m2-2m=3，

m{m-2)-5=m2-2m-5=3-5=-2

故答案為：-2.

8.⑴見解析

(2)3

【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判別式，求代數(shù)式的值等知識，掌握這些知識

是解題的關(guān)鍵.

(1)計(jì)算出一元二次方程的判別式，根據(jù)判別式的符號即可證明；

(2)把方程的根2代入一元二次方程中，得到4/+26-2=0,即有2/+6=1,再整體代入代數(shù)式中即

可求得值.

【詳解】(1)證明：關(guān)于x的一元二次方程為"尤2+法一2=0("0)

貝必=/-4。2x(-2)=b2+8/，

aw0,

??△=b~+>0，

；?方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：?尤=2是關(guān)于x的一元二次方程"尤2+法一2=。(。m。)的一個(gè)根，

/-4a2+2匕-2=0,

即2a2+b^l,

6a2+3b

=3(2/+公

=3x1

=3.

—

9.玉=6,x2—2

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，把方程化為(x-2)2=16,再化為兩個(gè)一次方程，進(jìn)而解方程即

可.

【詳解】解：?二/一4尤=12,

—4尤+4=16,

???(%-2)2=16,

%—2=±4,

..再=6,x?——2.

10.(1)見解析

(2)(=±2

【分析】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式.

(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出A=4>0,進(jìn)而即可證出：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)用根與系數(shù)的關(guān)系列式求得左的值即可.

【詳解】(1)證明：VA=(-2Z:)2-4(A:2-1)=4^2-4^2+4=4>0,

即A>0,

/.該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：設(shè)方程的兩根為。、b,

利用根與系數(shù)的關(guān)系得：ab=k2-l=3,

解得：k=±2.

11.%=2+J10,9=2—110

【分析】此題考查了解一元二次方程.把原方程變形為f-4x=6,兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得

到(X-2)2=10,再開平方即可得到方程的解.

【詳解】解：x2—4x—6=0

x2—4x=6,

貝1|爐-4*+4=6+4,

(了-2『=10,

X—2=±A/TO)

角軍得玉=2+JIU,9=2—JI6,

12.⑴見解析

(2)m<2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，一元一次不等式的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在

于正確的解方程.

(1)根據(jù)A=(m-3)2-4(2-/")=m2-2w?+l=(m-l)220,進(jìn)行作答即可；

(2)由/+(帆—3)x+2=。，解得±=1,x2=2-m,由方程的實(shí)數(shù)根均為非負(fù)數(shù)，可得2-機(jī)20,計(jì)

算求解即可.

【詳解】(1)解：V+(m-3)x+2-m=0,

A=(m—3)2—4(2—m)=m2—2m+l=(m—l)2>0,

，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)角軍：*.*%2+(m一3)%+2—171—0,

1)(x+a—2)—0,

解得，玉=1,x2=2-m,

V該方程的實(shí)數(shù)根均為非負(fù)數(shù)，

2-m>0,

解得，m<2,

???加的取值范圍為機(jī)42.

13.國=-1,入2—5

【分析】本題考查解一元二次方程，直接利用配方法解方程即可.

【詳解】解：X2-4X=5

配方，得%2一4%+4=5+4,

即(無一2)2=9,

開平方，得x-2=±3,

解得占=-1,x2=5.

14.(1)證明見解析

(2)=3或〃z=—3

【分析】此題主要考查了一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系建

立關(guān)于俄的方程解決問題.

(1)利用一元二次方程的根的判別式即可求解；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于機(jī)的方程即可求解.

【詳解】(1)證明：A=(/n+4)2—4X1X(2/77+4)=/n2+8m+16—8m—16=i'll2,

因?yàn)榀焧O,所以ANO,

所以方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)解：解方程，得尤=也+4)±運(yùn)=(-+4)±加，

22

整理，得x=2或%=根+2,

?方程的一個(gè)根比另一個(gè)根大3,根+2—2=3或2-m一2=3,

m=3或根=—3.

15.再=1,x?=—3.

【分析】本題考查解一元二次方程.利用因式分解法解方程即可.

【詳解】解：f+2元一3=0,

因式分解得（xT）（x+3）=0,

:?x—1=0,x+3=0,

解得占=1,%=-3.

16.（1）見解析

⑵-8

【分析】本題考查了解一元二次方程，根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)，能熟記知識點(diǎn)的內(nèi)容是解

此題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)根的判別式先求出“△”的值，再判斷即可；

1

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出%+%二-三'，由再=2々+1°得2々+1。+々=-?*,求出

%=一；1根一IQ從而得出％=-2彳加+1?1，再根據(jù)王々=-m竺-「1列方程求解即可?

36332

【詳解】（1）證明：A=（2帆-l）2—4x2x（m-l）

=4m2—4m+1—8m+8

=4m2-12m+9

=（2m-3）2>0,

所以，方程2d+（2機(jī)—l）x+機(jī)—1=0總有實(shí)數(shù)根；

9m—1

（2）解：由題意得，%+/=———9

又?:X=2x2+10,

._1八2m—I

??2x2+10+%=-----——

36

整理得，W+7/zz-200=0,

25

解得，74=丁，”=-8,

4

25工"+口」＜

當(dāng)加時(shí)，演0,

3432

???/亍不符合題意;

211

當(dāng)初=一8時(shí)，x1=-jx(-8)+y=9>0,

m=-8.

17.石=3+2^/5,x2=3—2^/3

【分析】利用配方法求解即可.

【詳解】解：X2-6X-3=0,

x2—6x=3

X2-6X+9=3+9,即(x-3)2=12,

x—3=±2>/3,

=3+2\[3,X2—3—2^/3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方

法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.

18.玉=3+指，々=3-石

【分析】根據(jù)求根公式進(jìn)行解題.

【詳解】解：尤2_6無+4=0

a=l,b=-6,c=4

.*.△=36-16=20

.6±720

,?X-------

2

玉=3+行，/=3-6

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的求解，屬于簡