2025年湖南省初中考試

數(shù)學(xué)

—.選擇題（共10小題）

1.下列四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.3.5B.V2C.0D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)比較大小，掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法是關(guān)鍵.

根據(jù)零大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于零，比較各數(shù)的大小，先排除負(fù)數(shù)與零，再比較正數(shù)的大小.

【詳解】解：1.確定數(shù)的正負(fù)性：

D選項(xiàng)為-1,是負(fù)數(shù)；C選項(xiàng)為0,非正非負(fù)；A選項(xiàng)3.5和B選項(xiàng)也均為正數(shù)，

負(fù)數(shù)一定小于非負(fù)數(shù)，則D和C均小于A和B,

2.比較正數(shù)的大?。?/p>

V2?1.414>顯然3.5>1.414,

故A選項(xiàng)3.5大于B選項(xiàng)72，

故選：A.

2.武術(shù)是我國傳統(tǒng)的體育項(xiàng)目.下列武術(shù)動(dòng)作圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

大*卡*

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義.

如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.根據(jù)軸

對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一分析判斷即可.

【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意;

D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

3.某校開展了五類社團(tuán)活動(dòng)：舞蹈、籃球、口風(fēng)琴、攝影、戲劇，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一類社團(tuán)活動(dòng)進(jìn)行展示,

則抽中戲劇類社團(tuán)活動(dòng)的概率是（）

2111

A.—B.—C.—D.一

5345

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查概率公式的計(jì)算，掌握其概率的計(jì)算是關(guān)鍵.

根據(jù)概率的基本公式，計(jì)算抽中戲劇類社團(tuán)的概率.

【詳解】解：共有5類社團(tuán)活動(dòng)（舞蹈、籃球、口風(fēng)琴、攝影、戲?。?，每類被抽中的可能性相等，抽中戲

劇類社團(tuán)屬于其中1種可能結(jié)果，

，概率為成功事件數(shù)除以總事件數(shù)，即：概率=抽中嚕埋吉果數(shù)=?

總結(jié)果數(shù)5

故選：D.

4.計(jì)算的結(jié)果是（）

A.2/B.a1C.2/D.?12

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查同底數(shù)幕相乘的運(yùn)算規(guī)則，掌握其運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

根據(jù)同底數(shù)嘉相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)同底數(shù)幕相乘的法則，底數(shù)不變，指數(shù)相加，

-?4=產(chǎn)4=a1，

故選：B.

12

5.將分式方程上=去分母后得到的整式方程為（）

xx+1

A.x+l=2xB,x+2=lC.l=2xD.x=2（x+l）

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求

解.

將分式方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母，消去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程.

【詳解】解：上1=2

xx+1

方程兩邊同時(shí)乘以x(x+l),得：x+l=2x.

故選：A.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)p(-3,2)向右平移3個(gè)單位長度到4處，則點(diǎn)4的坐標(biāo)為()

A.(-6,2)B,(0,2)C.(-3,5)D.(-3,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查點(diǎn)的平移，掌握平移規(guī)律是關(guān)鍵.

根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移規(guī)律，向右平移時(shí)橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)不變，即可解題.

【詳解】解：點(diǎn)？(-3,2)向右平移3個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)-3需加3,即-3+3=0,縱坐標(biāo)2保持不變，

平移后的點(diǎn)4坐標(biāo)為(0,2),

故選：B.

7.下列調(diào)查中，適合采用全面調(diào)查的是()

A.了解某班同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績B.了解夏季冷飲市場上冰激凌的質(zhì)量情況

C.了解全國中學(xué)生的身高狀況D.了解某批次汽車的抗撞擊能力

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的適用情況.

全面調(diào)查適用于范圍小、精確度要求高或破壞性小的調(diào)查；抽樣調(diào)查適用于范圍大、具有破壞性或無法全

面調(diào)查的情況.

【詳解】解：選項(xiàng)A：某班同學(xué)人數(shù)有限，進(jìn)行全面調(diào)查容易實(shí)施且能準(zhǔn)確獲取每位同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績，適

合全面調(diào)查，符合題意；

選項(xiàng)B：夏季冷飲市場冰激凌數(shù)量龐大，全面調(diào)查成本過高，且檢測可能破壞產(chǎn)品，適合抽樣調(diào)查，不符

合題意；

選項(xiàng)C：全國中學(xué)生人數(shù)極多，全面調(diào)查耗費(fèi)資源巨大，通常采用抽樣調(diào)查，不符合題意；

選項(xiàng)D：檢測汽車抗撞擊能力會(huì)破壞被測車輛，無法對(duì)所有汽車進(jìn)行測試，必須采用抽樣調(diào)查，不符合題

思；

故選：A.

8.如圖，在四邊形48CD中，對(duì)角線NC與AD互相垂直平分，AB=3,則四邊形48CD的周長為（

B

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì).

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得四邊形的四條邊長相等，代入已知邊長，計(jì)算周長即可.

【詳解】解：???在四邊形4BCD中，對(duì)角線ZC與8?；ハ啻怪逼椒?，

AB=AD,CB=CD,BA=BC,

BC=CD=D4=AB,

?：AB=3,

：.四邊形ABCD的周長為3x4=12,

故選：C.

2

9.對(duì)于反比例函數(shù)^=—,下列結(jié)論正確的是（）

x

A.在（2,2）在該函數(shù)的圖象上

B.該函數(shù)的圖象分別位于第二、第四象限

c.當(dāng)x<o時(shí)，了隨x的增大而增大

D.當(dāng)x〉0時(shí)，y隨x的增大而減小

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可，熟練掌

握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A、當(dāng)x=2時(shí)，>=1,所以點(diǎn)（2,1）在它的圖象上，故選項(xiàng)不符合題意;

2

B、由丫=—可知2>0,它的圖象在第一、三象限，故選項(xiàng)不符合題意；

x

c、當(dāng)x<o時(shí)，了隨x的增大而減小，故選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)x〉o時(shí)，y隨尤的增大而減小，故符合題意；

故選：D.

10.如圖，北京市某處A位于北緯40。（即44。。=40。），東經(jīng)116°,三沙市海域某處3位于北緯15°（即

ZSC>C=15°）,東經(jīng)116°；設(shè)地球的半徑約為R千米，則在東經(jīng)116°所在經(jīng)線圈上的點(diǎn)A和點(diǎn)3之間的

劣弧長約為（）

4/（北緯40°.東經(jīng)116°）

北緯15°.東掙116。）

A.—7iT?（千米）B.—TIT?（千米）

7212

C.—HR（千米）D.—nR（千米）

369

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了求弧長，根據(jù)題意求出NZ03的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求解即可.

【詳解】解；由題意得，ZAOB=ZAOC-ZBOC=25°,

劣弧AB的長為—=妙氏千米，

18036

故選：C.

二.填空題（共8小題）

11.如圖，一條排水管連續(xù)兩次轉(zhuǎn)彎后又回到與原來相同的方向，若第一次轉(zhuǎn)彎時(shí)NC4B=145。，則

NABD=

A-/）

【答案】145°

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，運(yùn)用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵.

根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解.

【詳解】解：由題意得ZC〃班，ZCAB=145°,

ZABD=ZCAB=145°，

故答案為：145°.

12.化間J12=-

【答案】2G

【解析】

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，利用二次根式性質(zhì)化簡即可.

【詳解】解：V12=73^4=273-

故答案為：2JL

13.因式分解：a2+\3a=.

【答案】a(a+13)

【解析】

【分析】本題主要考查了分解因式，直接提取公因式a進(jìn)行分解因式即可.

【詳解】解：a，+13a=a(a+13),

故答案為：a(a+13).

14.約分：生上=；

【答案】%2

【解析】

【分析】此題考查約分的定義，熟記定義、正確確定分子與分母的公因式是解題的關(guān)鍵.

直接約去分子與分母的公因式即可.

3

【詳解】解：

肛

故答案為：X2.

15.甲、乙兩人在一次100米賽跑比賽中，路程s(米)與時(shí)間〃秒)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，填(“甲

或“乙”)先到終點(diǎn)：

【解析】

【分析】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.

從函數(shù)圖象可知甲乙跑完全程的時(shí)間，即可確定答案.

【詳解】解：根據(jù)圖象可得甲到達(dá)終點(diǎn)用時(shí)12秒，乙到達(dá)終點(diǎn)用時(shí)14秒，

.?.甲先到達(dá)終點(diǎn)，

故答案為：甲.

16.如圖，在VZ8C中，8C=6,點(diǎn)E是ZC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于工/8的長為半徑

2

畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N,直線MN交4B于點(diǎn)、D,連接。E，則DE的長是.

【解析】

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖，三角形中位線定理，由作圖方法可得"N垂

直平分48,則點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，據(jù)此可證明DE是V4BC的中位線，則可得到。E==3.

2

【詳解】解：由作圖方法可得"N垂直平分48,

:.點(diǎn)、D為AB的中點(diǎn)，

又：點(diǎn)E是/C的中點(diǎn)，

.?.￡>￡是VN8C的中位線，

DE=—8C=—x6=3,

22

故答案為：3.

17.如圖，左圖為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，右圖為其窗框的示意圖，多邊形4BCD所為正八邊形，連接

AC,BD，AC與BD交于點(diǎn)M,ZAMB=°.

AH

【答案】45

【解析】

【分析】本題主要考查了正多邊形內(nèi)角問題，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根

據(jù)正多邊形內(nèi)角計(jì)算公式求出NA8C=/8CD=135°，再根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出

ZBCA,NCS。的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：：八邊形4BCD斯是正八邊形，

180°x（8-2）

/.ZABC=ZBCD=------——^=135°,AB=BC=CD,

8

：.ZBCA=ZBAC=^^=2^

同理可得NCBD=22.5°,

ZAMB=ZCBD+ZBCA=45°,

故答案為：45.

18.已知，a,b,c是VZ8C的三條邊長，記/=,其中左為整數(shù).

（1）若三角形為等邊三角形，貝!U=；

（2）下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確的結(jié)論）

①若左=2,t=l,則V48c為直角三角形

②若左=1,a=—b+2,c=l,則

2

③若左=1,a,b,C為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，且。<b<c,則滿足條件的V48c的個(gè)數(shù)為7

3

【答案】①.2②.①②##②①

【解析】

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式組，三角形三邊的關(guān)系，等邊三角形的性

質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得a=6=c,據(jù)此求解即可；

（2）當(dāng)左=2,/=1時(shí)，可證明/+〃=02,由勾股定理的逆定理可判斷①；當(dāng)k=l,a=-b+2,c=l

2

a-b+2-b<\b--b-2<l

時(shí)，可得/=—b+2；當(dāng)時(shí)，可得■；，當(dāng)。<b時(shí)，可得，,則可求出

2

-b+2>b-b+2<b

1212

2<b<6,據(jù)此求出/的取值范圍即可判斷②；當(dāng)左=1時(shí)，則/=則可得到根據(jù)題意

c3

不妨設(shè)c=〃+2,則剩下兩個(gè)數(shù)分別為〃，n+1（〃為正整數(shù)），貝何得〃+2<〃+〃+1?〃+2）,解不

等式組求出整數(shù)n即可判斷③.

【詳解】解：（1）?：a,b,。是V48C的三條邊長，且V48c是等邊三角形，

??ci—b—c,

=心+心

=1+1

=2,

故答案為；2；

???V/5C為直角三角形，故①正確;

②當(dāng)左=1,a=—b+2,c=l時(shí)，

2

一6+2入2

2—+”為+2；

112

當(dāng)a26時(shí),

a-b<c,

-b+2-b<l

.2

-b+2>b

[2

，2<6<4；

當(dāng)a<6時(shí)，

b-a<c,

b--b-2<l

2

-b+2<b

2

「?4<b<6,

2<Z?<6；

3

???，=—b+2,

2

?,"隨6的增大而增大，

當(dāng)6=2時(shí)，，=5,

當(dāng)6=6時(shí)，t=\\,

/.5<Z<11,故②正確;

③當(dāng)左=1時(shí)，貝！!/=2a+b

5

3

.a+b5

??V一,

c3

**?a+b4—c；

3

???a、b、。是三個(gè)相鄰的正整數(shù)，a<b<c,

???不妨設(shè)。=〃+2,則剩下兩個(gè)數(shù)分別為〃，〃+1〃為正整數(shù)）,

c<a+b<-c,

3

"+2<72+"+1<-(〃+2),

解得1<?<7,

符合題意的”的值有2、3、4、5、6、7,共6個(gè)，

???符合題意的。、b、c的取值一共有6組，

滿足條件的V4BC的個(gè)數(shù)為6,故③錯(cuò)誤；

故答案為：①②.

三.解答題(共8小題)

19.計(jì)算：(-2025)°+|-l|-tan45°.

【答案】1

【解析】

【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)幕，先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再計(jì)算零指數(shù)幕和

絕對(duì)值，最后計(jì)算加減法即可得到答案.

【詳解】解：(-2025)°+|-l|-tan45°

=1+1-1

二1.

20.先化簡，再求值：(尤+2)(x-2)+x(l-尤)，其中x=6.

【答案】x-4,2

【解析】

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

分別利用平方差公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并，然后代入求值即可.

【詳解】解：(x+2)(x-2)+x(l-x)

=x~-4+x—

=x-4,

當(dāng)％=6時(shí)，原式6-4=2.

21.如圖，VZBC的頂點(diǎn)A,。在OO上，圓心。在邊43上，ZACB=120°,5C與O。相切與點(diǎn)C,

連接OC.

c

(1)求NZCO的度數(shù)；

(2)求證：AC=BC.

【答案】(1)30°

(2)見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

(1)由切線的性質(zhì)得到NOCB=90。，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案；

(2)由等邊對(duì)等角得到N04C=N/CO=3O°,再由三角形內(nèi)角和定理可得N5=30°,則可證明

ZA=ZB,進(jìn)而可證明ZC=5C.

【小問1詳解】

解：與。。相切與點(diǎn)C,

OC1BC,

：.ZOCB=90°,

■：ZACB=120°,

：.ZACO=ZACB—ZOCB=120°-90°=30°;

【小問2詳解】

證明：VOA=OC,

ZOAC=ZACO=30°,

'：ZACB=120°,ZA+ZB+ZACB=180°,

：.ZB=30°,

ZA=ZB,

：.AC=BC.

22.同學(xué)們準(zhǔn)備在勞動(dòng)課上制作艾草香包，需購買A,3兩種香料.已知A種材料的單價(jià)比8種材料的單價(jià)

多3元，且購買4件A種材料與購買6件3種材料的費(fèi)用相等.

(1)求A種材料和B種材料的單價(jià)；

(2)若需購買A種材料和8種材料共50件，且總費(fèi)用不超過360元，則最多能購買A種材料多少件？

【答案】（1）/種材料的單價(jià)為9元，8種材料的單價(jià)為6元；

（2）最多能購買A種材料20件.

【解析】

【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用.

（1）設(shè)/種材料的單價(jià)為x元，2種材料的單價(jià)為y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)最多可以購買A種材料加件，則購買8種材料（50-加）件，根據(jù)題意列出不等式求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)/種材料的單價(jià)為龍?jiān)?種材料的單價(jià)為y元，

x-y=3

依題意＜）,,

4x=6y

x=9

解得《,，

y=6

答:4種材料的單價(jià)為9元，5種材料的單價(jià)為6元；

【小問2詳解】

解：設(shè)最多可以購買A種材料加件，則購買B種材料（50-〃。件，

依題意得：9加+6（50-加）＜360.

解得加W20.

：.m的最大值為20.

答：最多能購買A種材料20件.

23.為了解某校七、八年級(jí)學(xué)生在某段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)（單位：次）的情況，從這兩個(gè)年級(jí)中各隨

機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.已知這兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)均為200人.

對(duì)抽取的七年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

同時(shí)對(duì)抽取的八年級(jí)學(xué)生的調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行如下統(tǒng)計(jì)分析.

【收集數(shù)據(jù)】從八年級(jí)抽取的學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)如下:

98610887367

7584857686

【整理數(shù)據(jù)】結(jié)果如表:

頻

次數(shù)X分組畫記

數(shù)

2<x<4T2

4<x<6正一6

6<x<8正正10

8<x<10

【分析數(shù)據(jù)】數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6.8,方差是2.76.

【解決問題】答下列問題：

（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖；

（2）請(qǐng)估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)超過6次的人數(shù)；

（3）請(qǐng)從平均數(shù)、方差兩個(gè)量中任選一個(gè)，比較該校七、八年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)的情

況.

【答案】（1）見解析（2）120人

（3）見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，方差與平均數(shù)，正確理解題意

是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)每個(gè)年級(jí)參與調(diào)查的人數(shù)都為20人，可求出8<x<10這一組的頻數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表即

可；

（2）用200乘以樣本中該校八年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)超過6次的人數(shù)占比即可得到答案;

（3）根據(jù)題意可得八年級(jí)的平均數(shù)大于七年級(jí)的平均數(shù)，據(jù)此可得答案.

【小問1詳解】

解：由題意得，8<x?10這一組的頻數(shù)為20—2—6—10=2,

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表如下：

畫頻

次數(shù)X分組

記數(shù)

2<x<4T2

正

4<x<66

正

6<x<810

正

8<x<10T2

頻數(shù)

【小問2詳解】

46810次數(shù)，次

解:200x1^=120A,

20

答:估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)超過6次的人數(shù)為120人;

【小問3詳解】

解；由題意得，七年級(jí)的平均數(shù)為6.2,八年級(jí)的平均數(shù)為6.8,

V6.8>6.2,

七年級(jí)學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)比八年級(jí)學(xué)生的少.

24.如圖，某處有一個(gè)晾衣裝置，固定立柱4B和CD分別垂直地面水平線/于點(diǎn)3,D,48=19分米，

CD>4B.在點(diǎn)A,C之間的晾衣繩上有固定掛鉤E,/￡=13分米，一件連衣裙W掛在點(diǎn)E處（點(diǎn)M

與點(diǎn)E重合），且直線

（1）如圖1,當(dāng)該連衣裙下端點(diǎn)N剛好接觸到地面水平線/時(shí)，點(diǎn)E到直線48的距離EG等于12分米，

求該連衣裙"N的長度；

（2）如圖2,未避免該連衣裙接觸到地面，在另一端固定掛鉤/處再掛一條長褲（點(diǎn)尸在點(diǎn)E的右側(cè)），

若NBAE=76.1。,求此時(shí)該連衣裙下端N點(diǎn)到地面水平線/的距離約為多少分米？（結(jié)果保留整數(shù)，參

考數(shù)據(jù)：sin76.1°?0.97,cos76.1°?0.24,tan76.1°?4.04）

【答案】（1）14分米

（2）2分米

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造

直角三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）可證明四邊形BNEG是矩形，得到￡N=BG；在RtZk/EG中，利用勾股定理求出ZG的長，進(jìn)而

求出的長即可得到答案；

（2）過點(diǎn)E作瓦7，48于延長￡N交AD于7,則四邊形BTEH是矩形,可得ET=BH；解^t^AEH

求出Z笈的長，進(jìn)而求出88的長，據(jù)此求出NT的長即可得到答案.

【小問1詳解】

解：VEGLAB,ABLBD,ENLBD,

...四邊形BNEG是矩形，

EN=BG；

在Rt^ZEG中，/￡=13分米，EG=12分米，

AG=VAE2—EG2=V132—122=5分米，

8G=/5—ZG=14分米，

￡N=14分米，

答：該連衣裙兒W的長度為14分米；

【小問2詳解】

如圖所示，過點(diǎn)￡作￡笈，48于〃，延長EN交BD于T,

..?四邊形8加/是矩形，

，ET=BH；

在中，/￡=13分米，ZHAE=76A°,cos76.1°~0.24,

AH=AE-cosAHAE=13xcos76.1°它13x0.24=3.12分米，

?.?48=19分米，

:.BH=48—4H=15.88分米,

￡T=15.88分米，

?.?￡N=14分米，

，NT=￡T—￡N=15.88—14=1.8822分米；

答：此時(shí)該連衣裙下端N點(diǎn)到地面水平線/的距離約為2分米.

25.【問題背景】

如圖1,在平行四邊形紙片48CD中，過點(diǎn)8作直線/_LCD于點(diǎn)￡,沿直線/將紙片剪開，得到△8。1耳

現(xiàn)將三角形紙片B￡Ei和四邊形紙片ABED進(jìn)行如下操作（以下操作均能實(shí)現(xiàn)）

①將三角形紙片BiGEi置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與與點(diǎn)8重合，點(diǎn)用在線段48上，延長

交線段4D于點(diǎn)E,如圖3所示；

②連接CG，過點(diǎn)C作直線CN_LCD交射線Eg于點(diǎn)N,如圖4所示；

③在邊48上取一點(diǎn)G,分別連接AD,DG,FG,如圖5所示.

【問題解決】

請(qǐng)解決下列問題：

(1)如圖3,填空：ZA+ZABF=°；

(2)如圖4,求證：△CNM也△GEi〃；

(3)如圖5.若AB=2AD=2幣AF，ZAGD=60°,求證：FG//BD.

【答案】(1)90(2)證明過程見詳解(3)證明過程見詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到A=根據(jù)題意得到N5￡C=/8￡D=90。，

ZCBE+ZC=90°,ZABF=ZCBE,由此即可求解；

(2)根據(jù)題意得到ZABE=ZBEC=90°,BE=BE^BC=BQ,EC=Eg,ABEE1是等腰直角三角

形，則ZBEEl=NBE[E=45°,ACNE=45°=ZCEN,CN=Gg,再證明qg||CN,則

NC[E[M=NCNM,且NC[ME[=NCMN,由此即可求解；

(3)根據(jù)題意，設(shè)/尸=a,則AD=BC=5a=BCi，AB=25a,在/中，

2

sinZABF==—~^=—^==>BF=\JAB~-AF~=Al(2s/7a]-a=3y/3a>

AB2后a2"14\\)

APAi

tanZABF==—==一產(chǎn)=——,如圖所示，過點(diǎn)F作FH上4B于點(diǎn)H,過點(diǎn)。作Z)K_L45于

BF3y/3a3V39

點(diǎn)K,用得FH=￡^巴,AH;員,QK=旭，AK=',DK=3。，

141422加丁一萬

CL3d

AG=AK+KG=-+—=2a,可證△//GSA/QB,得到44用=//￡歸，即可求解.

22

【小問1詳解】

解：?.?四邊形48CD是平行四邊形，

AB\\CD,ZA=ZC,

:直線/LCD,

NBEC=/BED=90°,

NCBE+NC=90。,

:將三角形紙片BiGg置于四邊形紙片4BED內(nèi)部，使得點(diǎn)與與點(diǎn)8重合，點(diǎn)用在線段48上，延長

交線段4D于點(diǎn)E,

ZABF=Z.CBE,

ZA+ZABF=ZC+ZCBE=90°,

故答案為：90；

【小問2詳解】

證明：根據(jù)題意，NBEC=NBED=90。,AB\\DC,

：.ZABE=ZBEC=90°,

..?將三角形紙片與G片置于四邊形紙片4BED內(nèi)部，使得點(diǎn)與與點(diǎn)B重合，點(diǎn)g在線段48上，延長

交線段于點(diǎn)尸，

:.ABECJBEG,

：.BE=BEVBC=BC],EC=E￡,

ABEE1是等腰直角三角形，

/.NBEE]=NBE]E=45°,

/.ZCEN=180°-NBEE廠ZBEC=180°-45°-90°=45°,

?.?直線CN_LCD,即N￡CN=90。，

/CNE=45。=/CEN,

：.CE=CN,

：.CN=Ci4,

?:NBEG=90°,點(diǎn)E[在線段AB上，

AB±C?,

AB^CD,CNLCD,

：.Cg||CN,

NCRM=NCNM,且ZCAME}=ZCMN,

AACNM^C^M(AAS)；

【小問3詳解】

解：'：ZA+ZABF=90°,

BFLAD,

AB=2AD=lyJlAF，

，設(shè)/尸=a,則AD=BC=ga=BQ,AB=277a,

2

在RtAABF中,sinNABF==—=—尸=，BF=VAB—AF~=sl(2y/7aY—cr=3也a，

AB25a2近142)

……l4Fa1V3

??tanNABF=--=--j=—=—產(chǎn)=—，

BF3y/3a.3V39

如圖所示，過點(diǎn)尸作切，48于點(diǎn)a,過點(diǎn)。作。K,48于點(diǎn)K,

：.FH\\DK,sinNHBF=sin/ABF=——

BF工即瑞a=*

解得，切=豆巫，

14

?/N4+ZABF=90°=ZA+AAFH,

二NAFH=ZABF，

.?/口?/R口AHy/1nny/l

??sinZAAJ7FH=sinZAABF=---=—，即----二---，

AF14a14

解得，AH=—

14

?：FH\\DK,

3A/216Zy/la

.AFFHAH口口

-----,即a1414

??茄~~DKAK

kDK一AK

蟲，AK=L

解得，DK=

22

DKLAB,ZAGD=60°,

tanNAGD=tan600=——=G

KG

：，KG=^~3a,

T

AG=AK+KG=-+-=2a,

22

.AFa41AG2a近AFAG「，，，，

----，即Bn----二----，且Z,A—Z.A，

,?-go-7"-26a7ADAB

AAFGSAADB,

ZAFG=ZADB,

：.FG\\BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的計(jì)算，相似三角形的判定

和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵.

26.如圖，已知二次函數(shù)＞=ar(x—4)(a/0)的圖象過點(diǎn)4(2,2),連接。4點(diǎn)「(國,凹)，Q(x2,y2),

尺(￡,%),是此二次函數(shù)圖象上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且0＜匕＜玉＜超＜2，過點(diǎn)尸作必〃》軸交線段。4于

點(diǎn)、B.

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1,點(diǎn)C、。在線段。4上，且直線。。、跖都平行于y軸，請(qǐng)你從下列兩個(gè)命題中選擇一個(gè)

進(jìn)行解答：

①當(dāng)PB>QC時(shí)，求證：Xj+x2>2；

②當(dāng)必〉RD時(shí)，求證：%1+x3<2；

31

（3）如圖，若馬二,七，x3=-xr延長尸2交x軸于點(diǎn)T,射線。7、徵分別與了軸交于點(diǎn)Q1,Rv

連接AP,分別在射線/T、x軸上取點(diǎn)M、N（點(diǎn)N在點(diǎn)T的右側(cè)）,且ZAMN=NPAO,MN=2^■.記

t=RQ「ON,試探究：當(dāng)事為何值時(shí)，/有最大值？并求出/的最大值.

-1

【答案】（1）y——x9+2x

2

（2）見解析（3）x=9時(shí)，，的最大值為史

55

【解析】

【分析】⑴將/（2,2）代入〉=依（》-4）,待定系數(shù)法求解析式，即可求解；

（2）根據(jù)題意得出尸8=[—+2xJ—$=一萬%：+X],QC=+x2,RD=——+x3,①當(dāng)

PB>QC時(shí)，—gx；+X]〉一；*+々，因式分解得出（X]—工2）（玉+/—2）<0,根據(jù)%/<0得出

Xj+x2>2；②當(dāng)PB>RD時(shí),〉一（后+》3，因式分解得出（芯―七乂%+m―2）<0,根據(jù)

%1—％3>。，得出國+&<2；

（3）延長/P交V軸于點(diǎn)S,過點(diǎn)良。分別作X軸的垂線，垂足分別為上,J,證明

△Q"SAQ]T。，得出"0]=。4+?！鉣=2應(yīng)+2QJ=—gx；+8X],進(jìn)而證明ACMT絲AQ4S（SAS）,

得出NP40=NT40,結(jié)合