§8.3圓的方程

【考試要求】1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程.

2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.

【知識梳理】

1.圓的定義和圓的方程

定義平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓

圓心cm,加

標準(x—a)2-\~(y—Z7)2=/(r>0)

半徑為二

方程圓心《一冬一f)

jr+y2+Dx+Ey+F=0

一般

(D2+E2~4F>Q)半徑r—^\lD2+E2—4F

2.點與圓的位置關系

平面上的一點M(xo，yo)與圓C：(x—a)2+(j—6)2=^之間存在著下列關系：

(1)帆在圓外,即(項一4+.一產在圓外；

22

(2)|MC|=r^M在圓上，即(無o-dy+Go—b)=i■妗M在圓上；

M在圓內,即(尤o—aP+Cvo—6)2<戶0〃在圓內.

【常用結論】

1.以A(xi，yi),B(X2,>2)為直徑端點的圓的方程為(X—X1)(X—無2)+。-—>2)=0.

2.圓心在過切點且與切線垂直的直線上.

3.圓心在任一弦的垂直平分線上.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(V)

(2)。-2)2+。+1)2=/3/0)表示以(2』)為圓心，。為半徑的圓.(X)

(3)方程A^+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F^0表示圓的充要條件是A=CW0,8=0,Z)2+E2-

4AF>0.(V)

(4)若點M(xo,yo)在圓f+y+Dr+Ey+f^O夕卜，則焉+yW+Z)xo+Eyo+QO.(-J)

【教材改編題】

1.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()

A.(x-l)2+(j-l)2=l

B.Q+1)2+3+1)2=1

C.(x+1)2+8+1)2=2

D.(X-1)2+(J-1)2=2

答案D

解析因為圓心為(1,1)且過原點，所以該圓的半徑廠=產可=也，則該圓的方程為(X—

+(廠H

2.若曲線C：r+V+Z辦一4沖一10。=0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(—2,0)

B.(—8,-2)U(0,+8)

C.[-2,0]

D.(—8,-2]U[0,+8)

答案B

解析由f+V+Zax—day—10a=0,

得(x+a)2+(j—2a)2=542+10a,

由該曲線表示圓，可知5a2+10a>0,解得a>0或a<—2.

3.(多選)下列各點中，在圓l)2+(y+2)2=25的內部的是()

A.(0,2)B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

答案AD

解析由(0—1)2+(2+2)2<25知(0,2)在圓內；由(3—1>+(3+2)2>25知(3,3)在圓外；由(一2

-1)2+(2+2)2=25知(一2,2)在圓上，由(4一1)2+(1+2)2<25知(4,1)在圓內.

題型一圓的方程

例1(1)(2022.全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為

答案(尤—2)2+(y—3尸=13或(X—2)2+(J—1)2=5或G-§2+(y—g)2=系或(尤_|)+(丫-

169

=石

解析依題意設圓的方程為X2+)?+m+4+/=0，其中。2+E2-4Q0.

若過(0,0),(4,0),(-1,1),

>=0,

貝M16+4。+歹=0,

l+1-D+E+F^O,

1=0,

解得<。=—4,滿足。2+￡2-4/>0,

上=-6,

所以圓的方程為/+;/—4x—6y=0,

即(x—2)2+(y—3)2=13；

若過(0,0),(4,0),(4,2),

F=0,

則116+40+尸=0,

.16+4+4D+2E+F=0,

1=0,

解得<￡>=-4,滿足D2+E2-4F>0,

、E=-2,

所以圓的方程為f+尸一4x—2y=0,

即(L2)2+(y-])2=5;

若過(0,0),(4,2),(-1,1),

了=0,

則(l+l-Z)+￡+F=0,

,16+4+4D+2E+F=0,

了=0,

。=—當

解得3，滿足。2+￡2-4QO,

814

所以圓的方程為『+9一|x—最=0,

即[一3+(廠3若;

若過(一1,1)，(4,0),(4,2),

l+l-￡>+￡+F=0,

則116+40+產=0,

.16+4+4O+2E+/=0,

二16

一亍

22

解得qn__i6滿足D+E-4f>0,

"一―5'

、E——2,

所以圓的方程為

2I216-16c

x2+y2—^x—2y--^-=0,

即(L|)2+G-1)2=169

Is-

(2)(2022?全國甲卷)設點M在直線2x+y—1=0上，點(3,0)和(0,1)均在。M上，則。M的方程

為.

答案(x—l)2+(y+1>=5

解析方法一設。M的方程為(X—〃)2+(y—/?)2=已

2a~\-b—1=0,

貝((3—〃)2+廿=戶,

、/+(1—6)2=於,

a=1,

解得b=—1，

、，=5,

，。用的方程為(x—1)2+。+1)2=5.

方法二設。M的方程為x1+y2+Dx+Ey+F^0(b2+E2-4F>Q),

'D=-2,

解得E=2,

9+3￡>+F=0,

斤一3,

、l+E+F=0,

，。知的方程為xi+y2-2x+2y-3^Q,即(無一1)2+(丫+1)2=5.

方法三設4(3,0),2(0,1),。/的半徑為r,

1_Q1(3]、

則心B=襁｝=—1,A8的中點坐標為弓，2

：.AB的垂直平分線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-4=0.

3x—y—4=0,x=l,

聯(lián)立2葉廠1=。，解得

)=一1，

-1),

z2=|AM|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5,

；.C)M的方程為(x—l)2+(y+l)2=5.

思維升華求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程.

⑵待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a,b,r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于。，E,尸的方程組，進而求出。，E,尸的值.

跟蹤訓練1(1)圓心在y軸上，半徑長為1,且過點A(l,2)的圓的方程是()

A.f+Q—2>=1

B./+(y+2)2=l

C.(x—1)2+&-3)2=1

D.X2+(J-3)2=4

答案A

解析根據(jù)題意可設圓的方程為好+。―6)2=1,因為圓過點4(1,2),所以『十(2—b)2=1,

解得6=2,所以所求圓的方程為/+(y—2)2=1.

(2)若圓C經過坐標原點，且圓心在直線y=—2x+3上運動，當半徑最小時，圓的方程為

答案a

解析設圓心坐標為(a,—2a+3),則圓的半徑廠=叱4-0)2+(—24+3—0)2=75〃-12々+9

當時，rmin=^^.

故所求圓的方程為(X—鼾+Q—1)2=￡.

題型二與圓有關的軌跡問題

例2已知RtZXABC的斜邊為且4(一1,0),8(3,0).求：

(1)直角頂點C的軌跡方程；

(2)直角邊8c的中點M的軌跡方程.

解(1)方法一設C(x,y),因為A,B,C三點不共線，所以yWO.

因為AC_LBC,且BC,AC斜率均存在，

所以kAC.kBC=~~1,

又融c=#T'y

%—3

所以卡告=f

化簡得f+y2—2x—3=0.

因此，直角頂點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0Cy#0).

方法二設A8的中點為。，由中點坐標公式得。(1,0),由直角三角形的性質知|8|=448|

=2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以。(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共

線，所以應除去與x軸的交點).

所以直角頂點C的軌跡方程為(X—l)2+y2=4(yW0).

(2)設MQ,y),C(xo,yo),

因為8(3,0),且M是線段BC的中點，

所以由中點坐標公式得x=^U，＞=空，

所以xo=2無-3,yo=2y.

由(1)知，點C的軌跡方程為

(X—l)2+/=4(y7^0),

將xo=2x-3,yo=2y代入得

(2x~4)2+(2y)2=4,

即(x—2)2+y2=](y/0).

因此動點M的軌跡方程為

(x—2)2+y2—l(y^0).

思維升華求與圓有關的軌跡問題的常用方法

(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

(3)相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式.

跟蹤訓練2(2023?宜昌模擬)已知定點M(l,0),N(2,0),動點尸滿足|PN=g|PM|.

⑴求動點P的軌跡C的方程；

(2)已知點8(6,0),點A在軌跡C上運動，求線段A8上靠近點8的三等分點。的軌跡方程.

解(1)設動點P的坐標為(無，》),

因為M(l,0),N(2,0),且|PN|=W|PM|,

所以y(X—2)2+y2=^N(x—l)2+y2,

整理得＜+尸=2,

所以動點P的軌跡C的方程為x2+y2=2.

⑵設點。的坐標為(x,y),點A的坐標為(XA,yA),

因為0是線段AB上靠近點2的三等分點，

所以AQ=2Q3,即(x—尤4,y—西)=2(6—x,—y),

XA=3X—12,

解得

、＜=3丁，

又點A在軌跡。上運動，

由⑴有(3尤一12)2+(3y＞=2,

2

化簡得(x—4)2+y2=*

2

即點。的軌跡方程為(X—4)2+尸=告

題型三與圓有關的最值問題

命題點1利用幾何性質求最值

例3(2022?泉州模擬)已知實數(shù)x,y滿足方程r+廿一4x+l=0.求：

(11的最大值和最小值；

(2)y—尤的最小值；

(3)$+y2的最大值和最小值.

解(1)如圖，方程V+V-?+lnO表示以點(2,0)為圓心，下為半徑的圓.

設?=鼠即>="，則圓心(2,0)到直線y=丘的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、

最小值.

由77魯言=小，解得標=3,

%min——?

?,4max—，

，Omax=V^

(2)設y—x=。，則y=x+b,當且僅當直線y=x+Z?與圓相切于第四象限時，截距Z?取最小值,

由點到直線的距離公式，得即6=—2或，

故(j-X)min=-2~\[6.

(3)f+y2是圓上點與原點的距離的平方，設圓與x軸相交于點8和C'(點8在點C'左側),

貝Mf+jdmaxUlOC'|2=(2+5)2=7+4小，(V+^minTOBFuQ—步產=7—4仍.

命題點2利用函數(shù)求最值

例4(2023?湘潭質檢)設點尸(x,y)是圓3>=1上的動點，定點4(2,0),8(—2,0).則

麗?港的最大值為

答案12

解析由題意，得B4=(2—x,—y),

PB=(一2—x,—y),

所以說.西=/+y2-4,

由于點P(x,y)是圓上的點，故其坐標滿足方程

f+(y—3產=1,

故—=—(y—3>+1,

所以讀.沌=一。-3)2+1+/-4

=6y—12.

易知2WyW4,所以當y=4時，麗?麗的值最大，最大值為6X4—12=12.

延伸探究若將本例改為“設點P(x,y)是圓(無一3>+y2=4上的動點，定點A(0,2),8(0,

-2)”，貝日麗+麗|的最大值為.

答案10

解析由題意，知必=(—x,2—y),

尸8=(一無，—2—y),

所以說+西=(-2x,-2y),

由于點尸(x,y)是圓上的點，

故其坐標滿足方程(x—3)2+>2=4,

故丁=一(尤一3>+4,

所以|麗+麗|=^4^+4/=2^6x~5.

由圓的方程(x—3>+y2=4,易知1WXW5,

所以當x=5時，|以+西|的值最大，最大值為2義可6><5—5=10.

思維升華與圓有關的最值問題的求解方法

(1)借助幾何性質求最值：形如t=a.x+by,(無一a)2+(j—bp形式的最值問題.

(2)建立函數(shù)關系式求最值：列出關于所求目標式子的函數(shù)關系式，然后根據(jù)關系式的特征選

用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.

(3)求解形如|PM+|PN|(其中M,N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：

①“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和

轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.

跟蹤訓練3(1)設尸(x,y)是圓(x—2)2+丁=1上的任意一點，則(尤一5)2+。+4)2的最大值是

()

A.6B.25C.26D.36

答案D

解析(無一5>+(y+4)2表示點P(x,y)到(5,-4)的距離的平方，

P(x,y)是圓(x—2)2+y2=l上的任意一點，

；.(x—5>+(y+4)2的最大值為圓心(2,0)到(5,—4)的距離與半徑之和的平方，

即Kx—5)2+(y+4)2]max=[=(2—5)2+(0+4)2+1]2=36.

(2)若點P(x,y)在圓r+產一2x—2y+l=0上，則卡的最大值為

4

宏安—

口水3

解析圓，+y2—2x—2y+l=0可化為(%—1)2+。一1)2=1,圓心為(1,1),半徑為1,

表示圓上的點(%,y)與點(一1,0)連線的斜率,

設過點(一1,0)的圓的切線斜率為k,

則圓的切線方程為y—0=k(x-\-1),即日一y+攵=0,

由圓心到切線的距離等于半徑，

可得不普二

1,

4

解得k=0或k=y

所以4,即奈v的最大值再4

課時精練

國基礎保分練

1.(2023?六安模擬)圓心為(1,-2),半徑為3的圓的方程是()

A.(X+1)*12+(J-2)2=9B.(X-1)2+CV+2)2=3

C.(X+1)2+(J-2)2=3D.(x-l)2+(y+2)2=9

答案D

解析因為圓心為(1,-2),半徑為3,

所以圓的方程為(x—l)2+(y+2)2=9.

2.(2023?寧德模擬)已知點Af(3,1)在圓C：-+y2—2x+4y+24+4=0外，則上的取值范圍為

()

A.~6<k<^B.左<——6或

C.k>~6D.k<^

答案A

解析,**圓C：f+V—2x+4y+2Z+4=0,

?,?圓C的標準方程為(x—l)2+(y+2)2=l-2左，

圓心坐標為(1,-2),半徑r=41—24.

若點M(3,l)在圓C：f+y2—2x+4y+2bH4=0外，則滿足7(3—1)2+(1+2)2k1一2鼠且1

—2k>Q,即13>1—2左且即一6<k<^.

3.若△AO8的三個頂點坐標分別為A(2,0),8(0,—4),0(0,0),則△A08外接圓的圓心坐

標為()

A.(1,-1)B.(-1,-2)

C.(1,-2)D.(-2,1)

答案C

解析由題意得△A08是直角三角形，且NAOB=90。.

所以AAOB的外接圓的圓心就是線段A8的中點，

設圓心坐標為(x,y),

由中點坐標公式得苫2=+￡0?=1,y=0—=4=—2.

故所求圓心坐標為(1,-2).

4.圓C：V+F—2x—3=0關于直線/：y=x對稱的圓的方程為()

A.f+y2—2y—3=0B.爐+尸一2y—15=0

C.爐+/+2丫-3=0D.x2+y2+2j-15=0

答案A

解析由題意，得圓C：(x—l>+y2=4的圓心為(1,0),半徑為2,

故其關于直線/：y=x對稱的圓的圓心為(0,1),半徑為2,

故對稱圓的方程為f+(y—1)2=4,

即x2+y2—2y—3=0.

5.點N是圓d+V+fcc+Zy—4=0上的不同兩點，且點M,N關于直線/：x~y+l=0

對稱，則該圓的半徑等于()

A.2吸B.y[2C.3D.9

答案C

解析圓f+y2+履+2廠4=0的標準方程為Q+號)2+&+1)2=5+與，

則圓心坐標為(一號，一1),半徑為廠=寸5+號,

因為點M,N在圓2y—4=0上，且點M,N關于直線/：x—y+l=0對稱，

所以直線/：x—y+l=0經過圓心，

k

所以一1+1+1=0,解得％=4.

所以圓的半徑廠=、斤百=3.

6.自圓C：(x—3)2+CV+4)2=4外一點尸引該圓的一條切線，切點為。，PQ的長度等于點尸

到原點。的距離，則點尸的軌跡方程為()

A.8x—6y—21=0B.8x+6y—21=0

C.6尤+8y—21=0D.6x—8y—21=0

答案D

解析由題意得，圓心C的坐標為(3,-4),半徑廠=2,如圖所示.

設尸(血，州)，由題意可知|PQ|=|PO|,且PQ_LCQ,所以|POF+，=|PCF，所以君+認+4=(無0

22

-3)+(y0+4),

即6xo-8yo-21=O,結合選項知D符合題意.

7.已知aGR,方程序^2+(4+2)丫2+4工+8丫+5a=0表示圓，則圓心坐標為,半徑

為.

答案(-2,-4)5

解析由圓的一般方程的形式知，a+2=a2,解得。=2或a=—1.

當。=2時，該方程可化為f+y2+x+2y+,=0,

VD2+E2-4F=12+22-4X|<0,

：.a=2不符合題意；

當a=—1時，方程可化為/+》2+4彳+8>-5=0,

即(X+2)2+G+4)2=25,

圓心坐標為(-2,-4),半徑為5.

8.已知等腰△ABC,其中頂點A的坐標為(0,0),底邊的一個端點8的坐標為(1,1),則另一個

端點C的軌跡方程為.

答案f+yZuZl除去點(1,1)和點(一1,-1))

解析設C(x,y),根據(jù)在等腰AABC中|AB|=|AC|,可得Q—。>+8—0)2=(l—Op+Q—0)2,

即/+產2.

考慮到A,B,C三點要構成三角形，因此點C不能為(1,1)和(一1,-1).

所以點C的軌跡方程為記+產=2(除去點(1,1)和點(一1,-1)).

9.已知圓心為C的圓經過點4(1,1)和點8(2,-2),且圓心C在直線/：x—y+l=0上.線

段的端點尸的坐標是(5,0),端點。在圓C上運動，求線段尸。的中點M的軌跡方程.

解設點。為線段的中點，直線加為線段的垂直平分線，則一，.

又心8=—3,所以3=；,

所以直線m的方程為X—3y—3=0.

fx—33；—3=0,

由「八得圓心C(—3,-2),

[%—y+l=0,

則半徑r=\CA\=^(-3-1)2+(-2-1)2=5,

所以圓。的方程為(x+3)2+(y+2)2=25.

設點M>,y),2(xo,yo).

因為點尸的坐標為(5,0),

「xo+5

I尸2，

1%o=2x5,

即

州+0

又點0(X0,州)在圓C：(尤+3)2+(y+2)2=25上運動，所以(沖+3)2+(泗+2)2=25,

即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25.

整理得(X—l)2+(y+l)2=亨95.

即所求線段P。的中點M的軌跡方程為(x—l)2+(y+l)2=奇2s.

10.已知圓Ci經過點A(l,3)和8(2,4),圓心在直線2x—y—1=0上.

⑴求圓Ci的方程；

(2)若M,N分別是圓G和圓C2：(X+3)2+(J+4)2=9上的點，點P是直線x+y=0上的點,

求1PM+|對的最小值，以及此時點尸的坐標.

解(1)由題意知的中點坐標為習，

4-3

左AB=2一]=1，

：.AB的垂直平分線為尸5一尤,

y=5-尤，

聯(lián)立

y—2x—l,

x—1,

解得

)=3,

即圓Ci的圓心坐標為(2,3),半徑r=l,

其方程為(x—2)2+。-3)2=1.

(2)注意到點G(2,3)和點C2(-3,—4)在直線尤+y=0的兩側,

直線x+y=0與兩圓分別相離，如圖所示.

.?.|PM+|PN2|PC1|—1+|PC2|一32|C1C2|-4=取一4,

當且僅當M,N,P在線段C1C2上時取等號,

此時點尸為直線CC2與x+y=O的交點，

過Ci,。2的直線方程為7x—5y+l=0,

1

x+y=O,

聯(lián)立,71y+l=。，解得

1

產百

二點P的坐標為（一擊,總.

合提升練

33

11.若直線初一K一6=0（。>0,6>0）始終平分圓f+y2—4x+4y=0的周長，貝%+石的最小值

為（）

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析圓/+產一4x+4y=0,即（九一2）2+（y+2）2=8,圓心為（2,—2）,依題意，點（2,—2）

在直線ax—by—6=0上，

則有2〃一（一2）6—6=0,整理得〃+b=3,而〃>0,Z?>0,

于是得1+A（"爆++注2+2邸|=4,當且僅當『6=|時取"=”，

所以3力3押最小值為4.

12.（多選）已知圓爐十9一2x—4y+a—5=