2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期末必刷?？碱}之切線

長定理

一.選擇題（共7小題）

1.（2022秋?金東區(qū)期末）如圖，O。是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)。、E分別為邊A3、AC上的點(diǎn)，且DE為

O。的切線，若△ABC的周長為25,的長是9,則△&￡>￡的周長是（）

A.7B.8C.9D.16

2.（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖，PA,PB分別切。。于點(diǎn)A,B,CO切。。于點(diǎn)E,且分別交融,

PB于點(diǎn)C,D,若P4=6,則△PC。的周長為（）

A.5B.7C.12D.10

3.（2022秋?江門期末）如圖所示，尸是OO外一點(diǎn)，PA,PB分別和OO切于A,8兩點(diǎn)，C是油上任意

一點(diǎn)，過C作。O的切線分別交B4,PB于D,E.若的周長為12,則孫的長為（）

A.12B.6C.8D.4

4.（2021秋?滄州期末）如圖，O。為△ABC的內(nèi)切圓，AC=10,AB=8,BC=9,點(diǎn)。，E分別為BC,

AC上的點(diǎn)，且QE為。。的切線，則的周長為（)

A

/1?1/X

Bnc

A.9B.7C.11D.8

5.（2021秋?莆田期末）如圖，AB.AC,5。分別切。。于點(diǎn)尸、。、D.若AB=5,AC=3,則的長

是（）

C

BD

A.4B.3C.2D.1

6.（2020秋?樊城區(qū)期末）如圖，PA,切。。于A、8兩點(diǎn),CD切。。于點(diǎn)交B4,于C,D.若

△PCD的周長等于3,則小的值是（）

3213

A.-B.-C.—D.—

2324

7.（2020秋?鄒城市期末）如圖,直線A3、BC、CD分別與。。相切于E、F、G,且AB〃C￡>,若。8=

6cm,OC=8cmf則3E+CG的長等于（）

75<77?

A.13B.12C.11D.10

二.填空題（共5小題）

8.（2025?深圳一模）如圖，。。是四邊形48C。的內(nèi)切圓,連接04、OB、OC、OD.若NAOB=108°,

則/CO。的度數(shù)是

D

9.（2024秋?東莞市校級期中）如圖，。。與△ABC的邊43、AC.BC分別相切于點(diǎn)。、E、F,如果A8

=4,AC=5,AD=1,那么BC的長為.

10.（2024?涼州區(qū)三模）如圖，PA,分別切。。于點(diǎn)A,8,點(diǎn)C是上一點(diǎn)，過C作。。的切線,

交RI,PB于點(diǎn)、D,E,若必=6C7W,則△P￡>￡1的周長是.cm.

E'、

H.（2023秋?濱城區(qū)期中）如圖，。。內(nèi)切于正方形ABC。，。為圓心，作NMON=90°,其兩邊分別交

BC,CD于點(diǎn)、N,M,若CM+CN=10,則。。的面積為

四邊形A8CD是O。的外切四邊形，且A8=9,CD^15,則四邊形ABC。

的周長為

D

13.(2022春?東源縣校級期中)如圖，PA,尸8分別與。。相切于點(diǎn)A,B,AC為弦，BC為O。的直徑,

若NP=60°,PB=2cm.

(1)求證：△鞏8是等邊三角形；

(2)求AC的長.

14.(2018秋?研□區(qū)期末)如圖，A8為直徑，PA.PC分別與。。相切于點(diǎn)A、C,PQ±PA,PQ交

OC的延長線于點(diǎn)Q.

(1)求證：OQ=PQ；

(2)連BC并延長交尸。于點(diǎn)D,PA=AB,且CQ=6,求3。的長.

O

15.(2015秋?揚(yáng)州校級月考)如圖，ZAPB=52°,PA,PB、OE都為的切線，切點(diǎn)分別為A、B、F,

且B4=6.

(1)求△尸DE的周長;

(2)求/。?！甑亩葦?shù).

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期末必刷常考題之切線

長定理

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號(hào)1234567

答案ACBCCAD

選擇題（共7小題）

1.（2022秋?金東區(qū)期末）如圖，。。是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)。、￡分別為邊A3、AC上的點(diǎn)，且。E為

O。的切線，若△ABC的周長為25,8c的長是9,則△AOE的周長是（）

A.7B.8C.9D.16

【考點(diǎn)】切線長定理.

【答案】A

【分析】根據(jù)切線長定理，可得BI=BG,CI=CH,DG=DF,EF=EH,貝UC^ADE=AD+AE+DE=

AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=C^ABC-(BG+CH+BC),據(jù)止匕即可求角電

【解答】解：:AB、AC、BC、DE都和相切,

：.BI=BG,CI=CH,DG=DF,EF=EH.

：.BG+CH=BI+C1=BC=9,

/.C^ADE=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=C^ABC-(BG+EH+BC)=25-2

X9=7.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了切線長定理，理解定理，找出圖形中存在的相等的線段是關(guān)鍵.

2.（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖，PA,PB分別切于點(diǎn)A,B,CO切于點(diǎn)E,且分別交融,

PB于點(diǎn)C,D,若B4=6,則△PC。的周長為（）

C.12D.10

【考點(diǎn)】切線長定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)切線長定理得到PB=M=6,CA=CE,DB=DE,再根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到

答案.

【解答】解：：必，P8分別切。。于點(diǎn)A,B,。切。。于點(diǎn)E,PA=6,

；.PB=E4=6,CA=CE,DB=DE,

：.APCD的周長=PC+CE+PO+￡>E=PC+CA+PZ)+r(B=E4+PB=12,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是切線長定理，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等.

3.（2022秋?江門期末）如圖所示，P是。。外一點(diǎn)，PA,尸2分別和。。切于A,3兩點(diǎn)，C是程上任意

一點(diǎn)，過C作。0的切線分別交B4,PB于D,E.若△2￡>￡的周長為12,則加的長為（）

6C.8D.4

【考點(diǎn)】切線長定理.

【答案】B

【分析】由出，PB分別和。。切于A,8兩點(diǎn)與ZJE是。。的切線，根據(jù)切線長定理，即可得抬=尸8,

DA=DC,EB=EC,又由△產(chǎn)口￡的周長為12,易求得必+PB=12,則可求得答案.

【解答】解：：小，尸8分別和O。切于A,B兩點(diǎn)，

C.PA^PB,

：。后是。0的切線，

：.DA=DC,EB=EC,

?.?△PDE的周長為12,

即PD+DE+PE^PD+DC+EC+PE^PD+AD+EB+PE^PA+PB^IPA=12,

：.PA^6.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了切線長定理.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用切線長定理，注意數(shù)形結(jié)合思

想與整體思想的應(yīng)用.

4.（2021秋?滄州期末）如圖，。。為△ABC的內(nèi)切圓，AC=10,A8=8,BC=9,點(diǎn)、D,E分別為BC,

AC上的點(diǎn)，且。E為。。的切線，則△（7￡>￡的周長為（）

【考點(diǎn)】切線長定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【答案】C

【分析】設(shè)AB,AC,BC,和圓的切點(diǎn)分別是尸，N,M,0.根據(jù)切線長定理得到NC=MC,QE

=DQ.所以三角形CDE的周長即是CM+CN的值，再進(jìn)一步根據(jù)切線長定理由三角形ABC的三邊進(jìn)

行求解即可.

【解答】解：設(shè)AB,AC,BC,OE和圓的切點(diǎn)分別是P,N,M,Q,CM=x，根據(jù)切線長定理，得

CN=CM=x,BM=BP=9-x,AN^AP^IO-x.

貝ij有9-x+10-x=8,

解得：x=5.5.

所以△（7￡）￡的周長=C￡）+CE+2E+r）Q=2x=ll.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要是考查了切線長定理.要掌握圓中的有關(guān)定理，才能靈活解題.

5.（2021秋?莆田期末）如圖，AB.AC、8。分別切于點(diǎn)P、C、D.若AB=5,AC=3,則8。的長

是（）

A.4B.3C.2D.1

【考點(diǎn)】切線長定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】C

【分析】由于A3、AC、8。是。。的切線，則AC=AP,BP=BD,求出8尸的長即可求出20的長.

【解答】解：：AC、AP為。。的切線，

：.AC=AP=3,

,:BP、80為。。的切線，

:.BP=BD,

:.BD=PB=AB-AP=5-3=2.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了切線長定理，兩次運(yùn)用切線長定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2020秋?樊城區(qū)期末）如圖，PA,切。。于A、B兩點(diǎn)，C￡＞切于點(diǎn)E,交B4,PB于C,D.若

叢PCD的周長等于3,則總的值是（）

c

iEO

3213

--C--

A.2B.32D.4

【考點(diǎn)】切線長定理.

【答案】A

【分析】直接利用切線長定理得出AC=EC,DE=DB,PA=PB,進(jìn)而求出外的長.

【解答】解：：出，P8切。。于A、B兩點(diǎn),C。切于點(diǎn)E,交朋，PB于C,D,

：.AC=EC,DE=DB,PA=PB

■:/XPCD的周長等于3,

：.PA+PB=3,

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了切線長定理，熟練應(yīng)用切線長定理是解題關(guān)鍵.

7.（2020秋?鄒城市期末）如圖，直線A3、BC、分別與O。相切于E、F、G,且AB〃C￡>,若02=

6cm,OC^cm,則3E+CG的長等于（）

A.13B.12C.11D.10

【考點(diǎn)】切線長定理；勾股定理.

【專題】空間觀念；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及切線長定理，即可證明/BOC=90°,再根據(jù)勾股定理即可求得8C的

長，再結(jié)合切線長定理即可求解.

【解答】解：

ZABC+ZBCZ)=180°,

；CD、BC,AB分別與O。相切于G、F、E,

11

：.ZOBC=^ZABC,ZOCB=^ZBCD,BE=BF,CG=CF,

：.ZOBC+ZOCB=90°,

：.ZBOC^90°,

：.BC=y/OB2+OC2=10,

；.BE+CG=10(cm).

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要是考查了切線長定理.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，且圓心和這

點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.

二.填空題(共5小題)

8.(2025?深圳一模)如圖，是四邊形A8CD的內(nèi)切圓，連接。4、OB、OC、OD.若NAOB=108

則NC。。的度數(shù)是72°.

【考點(diǎn)】切線長定理；多邊形內(nèi)角與外角；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圖形的全等；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用切線的性質(zhì)定理結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)得出/2+N3=/DOC=72°.

【解答】解：如圖所示：連接圓心與各切點(diǎn)，

在RtADEO和RtADFO中｛器：器，

ARtADEO^RtADFO(HL),

；.N1=N2,

同理可得：RtAAFO^RtAAMO,R"M0冬RtABNO,RtACEO^RtACNO,

；./3=/4,Z5=Z7,/6=N8,

.?.Z5+Z6=Z7+Z8=108°,

.?.2/2+2/3=360°-2X108°，

.,.N2+N3=NZ)OC=72°.

故答案為：72°.

【點(diǎn)評】此題主要考查了切線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確應(yīng)用切線的性質(zhì)定理是解題

關(guān)鍵.

9.（2024秋?東莞市校級期中）如圖，與△ABC的邊43、AC.BC分別相切于點(diǎn)。、E、F,如果A8

=4,AC=5,AD=1,那么BC的長為7.

【考點(diǎn)】切線長定理.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由切線長定理得AO=AE,BD=BF,CE=CR根據(jù)已知條件，先求出8。，即的長，再

求出CE=4,即CF的長，求和即可.

【解答】解：AC,BC都是。。的切線，

：.AD=AE,BD=BF,CE=CF,

VAB=4,AC=5,AD=1,

：.AE=1,BD=3,CE=CF=4,

:.BC=BF+CF=3+4=1.

【點(diǎn)評】本題考查的是切線長定理，分析圖形時(shí)關(guān)鍵是要仔細(xì)探索，找出圖形的各對相等切線長.

10.（2024?涼州區(qū)三模）如圖，PA,PB分別切。。于點(diǎn)A,2,點(diǎn)C是上一點(diǎn)，過C作。。的切線，

交B4,PB于點(diǎn)D,E,若m=6c%,則△2￡>￡1的周長是12cm.

【考點(diǎn)】切線長定理.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)切線長定理將△「口￡的周長轉(zhuǎn)化為切線長即可.

【解答】解：根據(jù)切線長定理得：AD=CD,BE=CE,PA^PB,則△f￡周的周長=2B4=12c〃z.

【點(diǎn)評】此題主要考查切線長定理的運(yùn)用能力.

H.(2023秋?濱城區(qū)期中)如圖，。。內(nèi)切于正方形ABC。，。為圓心，作/MON=90°,其兩邊分別交

BC,CD于點(diǎn)、N,M,若CM+CN=10,則。。的面積為25TT.

【考點(diǎn)】切線長定理；正方形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】25n

【分析】設(shè)O。與正方形ABC。的邊CD切于E,與3c切于尸，連接OE,OF,得到四邊形。ECF是

正方形，求得CF=CE=OE=OF,/OEM=/OFN=NEOF=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM

=NF,得到。E=5,進(jìn)而求出。。的面積.

【解答】解：設(shè)OO與正方形A8CD的邊C。切于E,與8C切于「

連接。E,OF,

則四邊形OECF是正方形，

:.CF=CE=OE=OF,/OEM=NOFN=NEOF=90°,

:/MON=90°,

：./EOM=ZFON,

MOEM咨4OFN(ASA),

:.EM=NF,

，CM+CN=CE+CF=10,

；.OE=5,

的面積為25m

故答案為：251T.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?白銀模擬）如圖，四邊形A8CZ）是。。的外切四邊形，且A8=9,CD=15,貝U四邊形ABC。

的周長為48.

【考點(diǎn)】切線長定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】48.

【分析】根據(jù)切線長定理得到AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,得到AD+BC=AB+CD=24,

根據(jù)四邊形的周長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：：四邊形ABC。是。。的外切四邊形，

J.AE^AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,

：.AD+BC=AB+CD=24,

：.四邊形ABCD的周長=AD+BC+AB+CD=24+24=48,

故答案為：48.

【點(diǎn)評】本題考查的是切線長定理，掌握從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共3小題)

13.(2022春?東源縣校級期中)如圖，PA,尸8分別與相切于點(diǎn)A,B,AC為弦，BC為。。的直徑,

若NP=60°,PB=2cm.

(1)求證：是等邊三角形；

(2)求AC的長.

【考點(diǎn)】切線長定理；解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；解直角三角形及其應(yīng)

用；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由切線長定理可得出=尸8,且NP=60°,可得是等邊三角形；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)可得尸8=A8=2c機(jī)，ZPBA=6Q°,由圓周角定理和切線的性質(zhì)可得/CAB

=90°,ZPBC=90°,由銳角三角函數(shù)可求AC的長，

【解答】解：(1)：出，PB分別與相切于點(diǎn)A,B,

：.PA=PB,且/尸=60°,

:ZNB是等邊三角形；

(2)..,△P42是等邊三角形；

：.PB=AB=2cm,ZPBA=60°,

是直徑，尸3是。。切線，

：.ZCAB=90°,ZFBC=90°,

ZABC=30°,

./.cAC-\[3

??tan^ABC=

；.AC=2X^=竽cm.

【點(diǎn)評】本題考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

靈活運(yùn)用這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

14.(2018秋?研□區(qū)期末)如圖，AB為O。直徑，B4、PC分別與O。相切于點(diǎn)A、C,PQ±PA,PQ交

OC的延長線于點(diǎn)Q.

(1)求證：。。=尸。；

(2)連BC并延長交PQ于點(diǎn)。，PA=AB,且CQ=6,求8。的長.

O

【考點(diǎn)】切線長定理；勾股定理；圓周角定理；切線的性質(zhì).

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)欲證明OQ=PQ,只要證明/。。尸=/。尸。即可；

(2)設(shè)OA=r.在Rt^PCQ中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出r,再證明四邊形。陽8是平行四邊形,

求出。尸即可解決問題；

【解答】(1)證明：連接OP.

:以、PC分別與。。相切于點(diǎn)A,C,

：.PA=PC,OALPA,

：OA=OC,OP=OP,

必也△OPCCSSS),

：.NAOP=ZPOC,

?/QP±PA,

：.QP//BA,

：.ZQPO=ZAOP,

：.ZQOP=ZQPO,

：.OQ=PQ.

(2)設(shè)OA=r.

°：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

丁OB//QD,

：.ZQDC=ZB,

9：ZOCB=ZQCD,

：.ZQCD=ZQDC.

：.QC=QD=6,VQO=QP,

：.OC=DP=r,

丁尸。是OO的切線，

???OC.LPC,

：.ZOCP=ZPCQ=90°,

在RtAPce中,pe2=pc2+ec2,

???(6+r)2=62+(2r)2,

r=4或0(舍棄)，

???OP=V42+82=4V5,

?：OB=PD,OB//PD,

???四邊形OBDP是平行四邊形，

：.BD=OP=4y/5.

O

【點(diǎn)評】本題考查切線長定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于

中考?？碱}型.

15.(2015秋?揚(yáng)州校級月考)如圖，NAPB=52°,B4、PB、都為。。的切線，切點(diǎn)分別為A、B、F,

且PA=6.

(1)求△?￡>￡1的周長；

(2)求/的度數(shù).

【考點(diǎn)】切線長定理.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)切線長定理得到D4=OF,EB=EF,PA=PB=6,于是得至UOE=D4+E8,即可得到

結(jié)論；

11

⑵根據(jù)切線的性質(zhì)得至I」OB_LPB，OA±PA,/BOE=NFOE=三/BOF,ZFOD=ZAOD=^ZAOF,

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到/AO8=360°-90°-90°-52°=128°,即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)：出、PB、OE都為。。的切線，

:.DA=DF,EB=EF,B4=PB=6,

:.DE=DA+EB,

：.PE+PD+DE=PA+PB=12,

即的周長為12；

(2)連接OR

,：PA,PB、分別切。。于A、B、F三點(diǎn),

1I

AOBLPB,OALPA,ZBOE=ZFOE=^ZBOF,ZFOD=ZAOD=^ZAOF,

VZAPS=52",

AZAOB=360°-90°-90°-52°=128°,

ii

ZDOE=ZFOE+ZFOD=CZBOF+ZAOF^)=^ZBOA=64°.

【點(diǎn)評】主要考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔

助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷.

考點(diǎn)卡片

1.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為C,那么屋+戶=,2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

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(3)勾股定理公式/+62=02的變形有：a=Vc—b,b=7c2—a?及c=7a2+—

(4)由于『+廿=02>/,所以c>a,同理c>"即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

2.多邊形內(nèi)角與外角

(1)多邊形內(nèi)角和定理：(〃-2)780°且〃為整數(shù))

此公式推導(dǎo)的基本方法是從“邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出(n-3)條對角線，將“邊形分割為(”-2)個(gè)三

角形，這(〃-2)個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是〃邊形的內(nèi)角和.除此方法之和還有其他幾種方法，但

這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法.

(2)多邊形的外角和等于360。.

①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角,無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°.

②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和=180°n-(n-2)-180°=360°.

3.正方形的性質(zhì)

(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

(2)正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且