蘇州市2024-2025學(xué)年第二學(xué)期初二數(shù)學(xué)期末模擬卷（三）

（范圍：八下全冊+九年級（一元二次方程+相似）考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：130分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史源遠(yuǎn)流長，曾誕生了很多偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).下列與我國古代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)相關(guān)的圖

形中，既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形的是（）

楊輝三角洛書

3.下列事件中，屬于必然事件的是（

A.拋一枚硬幣，正面朝上B.明天天晴

C.若。是實(shí)數(shù)，則/>（）D.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180。

4.下列運(yùn)算正確的是（）

B.原;6=3

C.=15D.#+石=26

5.用配方法解一元二次方程X2-6X-7=0，配方正確的是（）

A.（x-3）2=16B.（尤+3）2=16C.（x-3）2=2D.（x+3）2=2

2

6.下列關(guān)于反比例函的圖象與性質(zhì)的說法中，正確的是（）

X

A.圖象關(guān)于y軸對稱B.當(dāng)x>0時(shí)，》隨龍的增大而減少

C.圖象位于第二、四象限D(zhuǎn).當(dāng)無<1時(shí)，則y<-2

7.已知：如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)￡為上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、。重合），連接CE.

求作：點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸在2C上，且/尸||C￡.

甲、乙、丙三名同學(xué)的尺規(guī)作圖方法如下：

甲：以點(diǎn)C為圓心，/E的長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)、F,連接4尸；

乙：以點(diǎn)A為圓心，CE的長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)、F,連接4尸；

1/32

丙：以點(diǎn)8為圓心，DE的長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)、F,連接/尸.

上述三名同學(xué)的作法一定正確的是（）

A.甲、乙B.乙、丙C.甲、丙D.甲、乙、丙

8.如圖，在平行四邊形/BCD中，AB=AC,點(diǎn)E是ZC上的點(diǎn)且CE=2/E,延長3c至點(diǎn)尸使8E=的，

連接也并延長交22于點(diǎn)“交C￡>于點(diǎn)G,48=9,則CG的長為（）

A.2B.3C.-7D.5Y

44

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.若代數(shù)式正與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

】。.若分式六的值為2,則好一.

11.有如下調(diào)查：①了解北京市每天的流動人口數(shù)量；②了解某班學(xué)生視力情況；③調(diào)查某批次汽車的抗

撞擊能力；④選出某班長跑最快的學(xué)生參加全校比賽.以上調(diào)查適宜抽樣調(diào)查的是.（填序號）

12.如圖，該圖形繞其中心O旋轉(zhuǎn)能與其自身完全重合，則其旋轉(zhuǎn)角最小為度.

13.若。，b是一元二次方程X2-5X-3=0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a2+5b的值為

14.已知反比例函數(shù)弘=:的圖象與正比例函數(shù)%="的圖象交于點(diǎn)/（L2）和點(diǎn)8,如圖.當(dāng)%>%時(shí),

自變量x的取值范圍是

15.科學(xué)課上，某同學(xué)用自制密度計(jì)測量液體的密度.密度計(jì)懸浮在不同的液體中時(shí)，浸在液體中的高度〃

（單位：cm）是液體的密度0（單位：g/cm3）的反比例函數(shù)，當(dāng)密度計(jì)懸浮在密度為lg/cn?的水中時(shí),

2/32

//=18cm.當(dāng)該密度計(jì)懸浮在另一種液體中時(shí)，h=20cm,則該液體的密度P為g/cm3.

16.如圖，在菱形紙片ABCD中，8C=4百+4,N8=60。，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)8落在CA邊上的點(diǎn)P處.折

痕為MN,點(diǎn)、M、N分別在8C、48上，若PNLAB,則折痕的長為.

三、解答題：本題共11小題，共82分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（6分）計(jì)算：

（l）V6xV2+V3；

⑵（26+3回（26-3⑹-（囪-廳

1-3r1

18.（6分）（1）解方程：--=2+--

x-44-x

（2）解方程：x（3x-4）=7-8x

19.（6分）2024年10月教育部辦公廳下發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)規(guī)范漢字書寫教育的通知

某校為落實(shí)這一通知，組織開展了漢字書寫大賽，同學(xué)們踴躍參加，王老師隨機(jī)調(diào)查了部分

參加漢字書寫大賽的學(xué)生成績，成績由分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級，并將調(diào)查結(jié)果繪

制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖.

請根據(jù)已知信息，解答下列問題：

（1）條形統(tǒng)計(jì)圖中機(jī)=.

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“不及格”的扇形的圓心角度數(shù)為度.

（3）若該校共有240名同學(xué)參加了漢字書寫大賽，請你估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).

20.（6分）如圖，在平行四邊形A8CD中，對角線/C,BD交于點(diǎn)、O,過點(diǎn)/作/EL8C于點(diǎn)￡,延長BC

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到點(diǎn)凡使CF=BE,連接。廠.

(1)求證：四邊形/￡1尸E是矩形；

(2)連接。尸，若40=9,EC=6,ZBAE=30°,求。尸的長度.

21.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程，-2(〃2-1卜+療一5=0.

(1)當(dāng)方程有兩個實(shí)數(shù)根時(shí)，求切的取值范圍.

(2)當(dāng)方程的兩個根匹、％滿足才+考=西9+12時(shí)，求切的值.

22.(8分)為弘揚(yáng)開州舉子園文化，某紀(jì)念品店最初用750元購進(jìn)了“文峰塔”主題文創(chuàng)筆記本，很快銷售

完.該紀(jì)念品店又用1800元購進(jìn)了第二批該款筆記本，由于供貨緊張，每本筆記本的進(jìn)貨價(jià)比第一次多1

元，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍.

(1)該專賣店購進(jìn)的第一批書簽每份的進(jìn)價(jià)是多少元？

(2)如果兩批筆記本按相同的標(biāo)價(jià)銷售，要使兩批筆記本全部售完后利潤不低于1050元，那么每份筆記本的

標(biāo)價(jià)至少是多少元？

23.(4分)如圖，在正方形/BCD中，點(diǎn)尸是8C邊上一點(diǎn)，連接4尸，以4尸為對角線作正方形4EFG,連

接/C、DG,求證：AAFCS"GD.

24.(8分)如圖，正比例函數(shù)y=的圖象與反比例函數(shù)y=5的圖象的一個交點(diǎn)是點(diǎn)尸(3,〃)在

k

直線上，過點(diǎn)尸作y軸的平行線，交y=2的圖象于點(diǎn)。.

(1)求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求AOP。的面積.

4/32

25.(10分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，丫/8。各頂點(diǎn)坐標(biāo)為/(-3,-1)、5(-2,-3),C(-l,-2).

(1)作出VABC關(guān)于J軸對稱的△44。；

⑵以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限作出V/8C的位似△4與G,使VABC與△4與仁的位似比為1:2；

(3)利用無刻度直尺在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)找一個整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))P,使得尸4=尸。2,并寫出

點(diǎn)尸的坐標(biāo).

26.(11分)幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對象之一，圖形的形狀、大小和位置是幾何中研究的主要內(nèi)容，平

面幾何中，平移、翻折、旋轉(zhuǎn)是常見的圖形變換.鹿鳴學(xué)堂數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的

相關(guān)內(nèi)容后，進(jìn)一步探究反比例函數(shù)>的圖象的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的相關(guān)問題，過程如下：

(2)如圖2,將反比例函數(shù)y=9(x>0)的圖象繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)尸為旋轉(zhuǎn)后圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)

P作直線y=gx的垂線，垂足是X,若=求PH的值；

⑶如圖3所示，反比例函數(shù)y=，(x>0)的圖象沿直線>=T+6(6W2指)翻折得到新圖象.若直線y=X+1

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與兩條曲線交于E、F,直線y=x-l與兩條曲線交于G、H,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)￡、F、G、H四個點(diǎn)組成的四邊形

是矩形，當(dāng)這個矩形的面積是4時(shí)，直接寫出6的值.

27.(11分)綜合與實(shí)踐

學(xué)習(xí)了平行四邊形的相關(guān)知識之后，李老師帶領(lǐng)同學(xué)們上了一節(jié)“平行四邊形紙片的折疊”實(shí)踐探究課程，同

學(xué)們分三個小組進(jìn)行探究活動.

勤學(xué)小組的探究：我們將如圖(1)所示的平行四邊形紙片28。沿過點(diǎn)8的直線折疊，折痕交于點(diǎn)E,

點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為F,延長所交3C于點(diǎn)G.

創(chuàng)新小組的探究：我們將如圖(2)所示的平行四邊形紙片沿過點(diǎn)3的直線折疊，折痕交于點(diǎn)E,

點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在AD的中點(diǎn)。處.

(2)任務(wù)2：猜想與驗(yàn)證.

猜想/E,OE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

開拓小組的探究：我們將如圖(3)所示的平行四邊形紙片/BCD(.AB=6,44=60。)沿過

點(diǎn)3的直線折疊，折痕交/D于點(diǎn)E,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為尸,直線5P與直線4D交于點(diǎn)M,直線EF與直線

BC交于點(diǎn)、N.

(3)任務(wù)3：求兩線段的比值.

過點(diǎn)B作3尸，/。于點(diǎn)尸，若EP=2,請直接寫出空的值.

BN

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答案與解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史源遠(yuǎn)流長，曾誕生了很多偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).下列與我國古代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)相關(guān)的圖

形中，既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形的是（）

楊輝三角趙爽弦圖割圓術(shù)示意圖

【答案】B

【分析】本題考查了軸對稱圖形“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個

圖形叫做軸對稱圖形”和中心對稱圖形“在平面內(nèi)，把一個圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一

個圖形重合，那么這兩個圖形互為中心對稱圖形”，熟記中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義是解題關(guān)

鍵.根據(jù)軸對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；

B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，則此項(xiàng)符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；

D、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

2.下列分式與二°相等的是（）

x-y

【答案】B

【分析】本題考查了分式的化簡，根據(jù)分式化簡判斷即可，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

故選：B.

3.下列事件中，屬于必然事件的是（）

A,拋一枚硬幣，正面朝上B.明天天晴

C.若。是實(shí)數(shù)，則/>0D.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180。

【答案】D

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【分析】本題考查了隨機(jī)事件和必然事件的定義，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)隨機(jī)事件和必然事件的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、拋一枚硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，故A選項(xiàng)不符合題意；

B、明天天晴，是隨機(jī)事件，故B選項(xiàng)不符合題意；

C、若。是實(shí)數(shù)，則/>o,是隨機(jī)事件，故C選項(xiàng)不符合題意；

D、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180。，是必然事件，故D選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

4.下列運(yùn)算正確的是()

A.^(-3)2=-3B.VTS-A/2=3

C.73x75=15D.V5+V3=272

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減運(yùn)算、二次根式的乘法運(yùn)算等知識點(diǎn)，正確化

簡二次根式是解題的關(guān)鍵.

利用二次根式的性質(zhì)、二次根式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、幾獷=3,故計(jì)算錯誤，不符合題意；

B、V184-72=79=3,故計(jì)算正確，符合題意;

C、V3xV5=V15,故計(jì)算錯誤，不符合題意;

D、行與百不能合并，故計(jì)算錯誤，不符合題意;

故選：B.

5.用配方法解一元二次方程X2-6X-7=0，配方正確的是()

A.(x-3)2=16B.(x+3)2=16C.(x-3『=2D.(x+3)?=2

【答案】A

【分析】本題主要考查了配方法，靈活運(yùn)用完全平方公式成為解題的關(guān)鍵.

直接根據(jù)配方法變形即可解答.

【詳解】解：X2-6X=1

6x+9=7+9

(x-3)2=16.

8/32

故選A.

2

6.下列關(guān)于反比例函y=--的圖象與性質(zhì)的說法中，正確的是（）

尤

A.圖象關(guān)于y軸對稱B.當(dāng)x>0時(shí)，>隨X的增大而減少

C.圖象位于第二、四象限D(zhuǎn).當(dāng)x<l時(shí)，則夕<-2

【答案】c

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可，掌握反比例

函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)不符合題意；

B、C、'：k=-2<0,

...圖象在二、四象限，

.?.當(dāng)x>0時(shí)，了隨尤的增大而增大，故B選項(xiàng)不符合題意，C選項(xiàng)符合題意；

D、當(dāng)x<l時(shí)，需分情況討論：

當(dāng)0<x<l,y<-2,

當(dāng)x<0時(shí)，y>-2,

.,.當(dāng)x<l時(shí)，V不一定小于-2,故D選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

7.已知：如圖，四邊形/2CO是平行四邊形，點(diǎn)E為上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、。重合），連接CE.

求作：點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸在8C上，且“尸||CE.

甲、乙、丙三名同學(xué)的尺規(guī)作圖方法如下：

甲：以點(diǎn)C為圓心，/E的長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)、F,連接/尸；

乙：以點(diǎn)A為圓心，CE的長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)、F,連接4尸；

丙：以點(diǎn)8為圓心，DE的長為半徑畫弧，交.BC于點(diǎn)、F,連接/尸.

上述三名同學(xué)的作法一定正確的是（）

A.甲、乙B.乙、丙C.甲、丙D.甲、乙、丙

【答案】C

【分析】本題考查了基本的尺規(guī)作圖，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理.

9/32

結(jié)合基本的尺規(guī)操作，利用平行四邊形的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行判定即可.

【詳解】解：

甲：如圖所示，此時(shí)NE=CF,4E〃CF,

四邊形AFCE是平行四邊形，

AF//CE,

故甲作法正確，符合題意；

四邊形N&CE不是平行四邊形,

AF2與CE不平行,

故乙作法錯誤，不符合題意;

丙：如圖所示，此時(shí)段'=Z）E,

BC-BF=AD-DE,

即AE=CF,AE//CF,

二四邊形NFCE是平行四邊形，

AF//CE,

故丙作法正確，符合題意；

故選：C.

8.如圖，在平行四邊形中，/8=NC,點(diǎn)￡是/C上的點(diǎn)且C￡=2NE,延長BC至點(diǎn)、F使BE=EF,

連接也并延長交于點(diǎn)//交CD于點(diǎn)G,/8=9,則CG的長為（）

10/32

4D

BCF

75rr

A.2B.3C.-D.73

44

【答案】A

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，通過作輔助線構(gòu)

造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

作/ML3c于點(diǎn)河，ENLBC于HN,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得=

2

BN=FN=^BF,再證明AECNSA/CM,推出==|=進(jìn)而證明A〃5FSAGCF,

AHBFS^GCF,推出防'=4CG,AH=-CG,根據(jù)NH+瓦7=N8即可求解.

2

【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)“，ENLBC于點(diǎn)、N,

A__________D

\AB=9,

8MNC"

/.AC=9,

vCE=2AE,CE+AE=AC,

/.AE=—AC=3,CE=2AE=6,

3

vAB=AC,AMLBC,

：.BM=CM=-BC

2f

同理，??,BE=EF,ENIBC,

BN=FN=-BF,

2

vZENC=ZAMC=90°,ZECN=ZACM,

AECNS八ACM,

.CNCE_6_2

11/32

設(shè)CN=2x,CM=3x,

：.MN=CM—CN=x,BM=CM=3x,

/.FN=BN=BM+MN=3x+x=4x,

BF=BN+FN=8x,CF=BF-BM-CM=8x-3x-3x=2x,

?CF_2x_1

.?麗一五Y'

;平行四邊形NBC。中，AB//CD,

4HBF=/GCF,

又???AHFB=ZGFC,

二.AHBFS^GCF,

.CGCF

.?南一而y

??.BH=4CG,

???AH//CG,

/.ZHAE=ZGCE,ZAHE=ZCGE,

?4?AHAES&GCE,

.CGCE、

..-----------2,

AHAE

AH=-CG,

2

?「AH+BH=AB,

/.-CG+4CG=9,

2

CG=2,

故選A.

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.若代數(shù)式后與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

【答案】x>2

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件.先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x

的取值范圍即可.

【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

??x—220,

12/32

解得x>2.

故答案為：x>2.

10.若分式二的值為2,則。=.

【答案】-2

【分析】本題考查了解分式方程，根據(jù)題意列出方程，進(jìn)而解分式方程即可求解，掌握解分式方程的步驟

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得，，；=2,

方程兩邊乘以°+1,得”=2（a+l）,

解得a--2,

檢驗(yàn)：當(dāng)。=-2時(shí)，。+1=-2+1=-120,

q=是原方程的解，

故答案為：-2.

11.有如下調(diào)查：①了解北京市每天的流動人口數(shù)量；②了解某班學(xué)生視力情況；③調(diào)查某批次汽車的抗

撞擊能力；④選出某班長跑最快的學(xué)生參加全校比賽.以上調(diào)查適宜抽樣調(diào)查的是.（填序號）

【答案】①③/③①

【分析】本題考查全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，當(dāng)在要求精確，難度相對不大，實(shí)驗(yàn)無破壞性的情況下應(yīng)選擇全

面調(diào)查；當(dāng)考查對象很多或考查會造成破壞，以及考查經(jīng)費(fèi)和時(shí)間都有限時(shí)，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查.

【詳解】解：①了解北京市每天的流動人口數(shù)量，成本高，適合抽樣調(diào)查；

②了解某班學(xué)生視力情況，涉及人數(shù)較少，適合全面調(diào)查；

③調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力，危險(xiǎn)性大，成本高，故適合抽樣調(diào)查；

④選出某班長跑最快的學(xué)生參加全校比賽，涉及人數(shù)較少，適合全面調(diào)查.

故答案為：①③

12.如圖，該圖形繞其中心。旋轉(zhuǎn)能與其自身完全重合，則其旋轉(zhuǎn)角最小為度.

【答案】72

13/32

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，根據(jù)已知圖形得出最小旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是解題關(guān)鍵.

觀察圖形可得，圖形由五個形狀相同的部分組成，從而能計(jì)算出旋轉(zhuǎn)角度即可.

【詳解】解：圖形可看作由一個基本圖形旋轉(zhuǎn)5次所組成，故最小旋轉(zhuǎn)角為360。+5=72。.

故答案為：72.

13.若a,6是一元二次方程尤2-5x-3=0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式/+5b的值為.

【答案】28

【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握并能靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

由。，6是一元二次方程，-5x-3=0的兩個實(shí)數(shù)根，貝1］。+6=5、。6=-3、/_5"3=0代入

/+56=5。+3+56=5（。+6）+3,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：方是一元二次方程--5x-3=0的兩個實(shí)數(shù)根，

??。+6=5、cib——3、a—5a—3—0,

a1=5a+3

a2+5b

=5。+3+56

=5（a+6）+3

=5x5+3

=28.

故答案為：28.

14.已知反比例函數(shù)乂=:的圖象與正比例函數(shù)%="的圖象交于點(diǎn)/（1,2）和點(diǎn)8,如圖.當(dāng)%時(shí),

【分析】本題考查的是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，先利用對稱性求解8（-1,-2）,再結(jié)合圖象可得答

14/32

案.

【詳解】解：：反比例函數(shù)必=：的圖象與正比例函數(shù)為=6的圖象交于點(diǎn)”（1,2）和點(diǎn)3,

根據(jù)圖象得：當(dāng)弘>外時(shí)的變量x的取值范圍為：0<x<l或x<7.

故答案為：0<x<l或》<-1.

15.科學(xué)課上，某同學(xué)用自制密度計(jì)測量液體的密度.密度計(jì)懸浮在不同的液體中時(shí)，浸在液體中的高度〃

（單位：cm）是液體的密度0（單位：g/cm3）的反比例函數(shù)，當(dāng)密度計(jì)懸浮在密度為Ig/cn?的水中時(shí),

A-18cm.當(dāng)該密度計(jì)懸浮在另一種液體中時(shí)，h=20cm,則該液體的密度P為g/cm3.

【分析】此題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用.由題意可得，設(shè)九=&,把。=1,〃=18代入解析式，求得再關(guān)于

P

夕的函數(shù)解析式；把力=20cm代入（1）中的解析式，求解即可.

【詳解】解：設(shè)“關(guān)于。的函數(shù)解析式為〃=&,

P

把夕=1,%=18代入解析式，得左=1x18=18.

18

???〃關(guān)于夕的函數(shù)解析式為，=一.

P

1Q1Q

把〃=20代入〃一，得20=一.

PP

解得：0=0.9.

答：該液體的密度。為0.9g/cn?.

故答案為：0.9.

16.如圖，在菱形紙片ABCD中，8C=4百+4,N8=60。，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)3落在C。邊上的點(diǎn)P處.折

痕為點(diǎn)W、N分別在8C、AB上，若PN工AB,則折痕的長為.

15/32

AD

【答案】6收

【分析】過點(diǎn)于點(diǎn)過點(diǎn)P作尸歹，3C的延長線于點(diǎn)尸，根據(jù)含30度角的直角三角形可得

PC=2CF,PF=^CF,由折疊的性質(zhì)可知，/BNM=/PNM,BM=PM,/B=/NPM=60。,由四邊形內(nèi)

角和推出/尸MF=30。，從而得到〃P=2后才，MF=3CF,求出。尸=2,再根據(jù)30度角的直角三角形，得

到6￡=2百，ME=6,最后證明出△腔N是等腰直角三角形，即可求出折痕的長.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)于點(diǎn)過點(diǎn)尸作尸尸，5C的延長線于點(diǎn)歹，

/.AB//CD,

NB=/DCF=60°,

Z.CPF=30°,

/.PC=2CF,PF=y]PC2-CF2=43CF^

由折疊的性質(zhì)可知，/BNM=/PNM,BM=PM,/B=NNPM=60。，

???PN上AB,

NBNP=90°,

ZBNM=ZPNM=45°,

???/B+/BNP+/NPM+/BMP=360°,

ZBMP=150°f

ZPMF=30°,

MP=2PF=2V3CF，MF=百尸尸=3CF，

:.MB=2辰F,MC=2CF,

:.BC=(2m+】CF,

16/32

???8c=4e+4=2(26+2),

CF=2,

MB=473，

ZB=60°,ZBEM=90°,

；.NBME=3Q0,

:.BE=；BM=2杷,ME=43BE=6,

ZBNM=45°,ZMEN=90°,

:aMEN是等腰直角三角形，

:.EN=EM=6,

MN=\lEN2+EM2=672，

故答案為：6板.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和

性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和等知識，正確作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

三、解答題：本題共11小題，共82分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(6分)計(jì)算：

(l)V6xV2+V3;

⑵(20+3亞)(20-3收)-(泰-Ip

【答案】(1)373

(2)-12+2A/5

【分析】本題主要考查了二次根式的運(yùn)算，

對于(1),先計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的加法；

對于(2),先根據(jù)平方差公式和完全平方公式計(jì)算，再計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：原式=屈+百=2百+百=3百；............................3分

(2)解：原式=(2^)2-(3e)2-(5-2石+1)

=12-18-6+275

=-12+275................................6分

17/32

i-3YI

18.（6分）（1）解方程：--=2+--

x-44-x

【答案】x=2

【分析】此題考查了解分式方程.分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢

驗(yàn)即可得到分式方程的解.

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘（x-4）,去分母得，

1-3x=2（x-4）-1,

解得x=2,

檢驗(yàn)：把尤=2代入x-4,得2-4=-2片0,

所以，原分式方程的解為x=2.............................................................3分

（2）解方程:x（3x-4）=7-8x

7

［答案］玉=-§，苫2=］

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先把原方程互為一般式，再把方程左邊利用十字相乘法分解因

式，進(jìn)而解方程即可得到答案.

【詳解】解：：x（3x-4）=7-8x,

??3k—4x+8x—7=0,

/.3x2+4x-7=0.

.*.（3x+7）（x-l）=0,

3x+7=0或x-1=0,

7

解得國=-§，x2=1.............................................................6分

19.（6分）2024年10月教育部辦公廳下發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)規(guī)范漢字書寫教育的通知》

某校為落實(shí)這一通知，組織開展了漢字書寫大賽，同學(xué)們踴躍參加，王老師隨機(jī)調(diào)查了部分

參加漢字書寫大賽的學(xué)生成績，成績由分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級，并將調(diào)查結(jié)果繪

制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖.

請根據(jù)已知信息，解答下列問題：

18/32

優(yōu)兗艮好及格小及格等級

(1)條形統(tǒng)計(jì)圖中機(jī)=.

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“不及格”的扇形的圓心角度數(shù)為度.

(3)若該校共有240名同學(xué)參加了漢字書寫大賽，請你估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).

【答案】(1)20

(2)24

(3)估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生有48人

【分析】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應(yīng)用，從統(tǒng)計(jì)圖中有效的獲取信息，是解題的關(guān)鍵：

(1)用良好的人數(shù)除以所占的比例求出總?cè)藬?shù)，再利用總?cè)藬?shù)減去其他的人數(shù)求出加的值即可;

(2)用360度乘以不及格人數(shù)所占的比例，計(jì)算即可;

(3)利用樣本估計(jì)總體的思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：24^40%=60(人)；

m=60-12-24-4=20；

故答案為：20；........................................................2分

4

(2)360按一=24；

60

故答案為：24；........................................................4分

12

(3)240x—=48(人)；

答：估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生有48人..............................6分

20.(6分)如圖，在平行四邊形A8CD中，對角線/C,BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)/作/EL8C于點(diǎn)E,延長BC

到點(diǎn)凡使CF=BE,連接。尸.

(1)求證：四邊形ND尸E是矩形;

19/32

(2)連接O尸，若4D=9,EC=6,ZBAE=30°,求。尸的長度.

【答案】(1)見解析

⑵誣

2

【分析】(1)由平行四邊形性質(zhì)得到N3〃DC且/8=DC,由平行線的性質(zhì)得到N4BE=/DCF,根據(jù)三

角形的判定可證得A/BE也ADC尸(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得到4E=DF,ZAEB=ZDFC=90°,可得

NE〃。尸，根據(jù)矩形的判定即可得到結(jié)論；

(2)由矩形的性質(zhì)得到即=9,進(jìn)而求得8E=B=3,BF=\2,由勾股定理可求得。尸=36，

BD=3M,由平行四邊形性質(zhì)得08=。。，由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???在平行四邊形N3CD中，

/.ABIIDC且AB=DC,

：.ZABE=ZDCF,

在八ABE和ADCF中，

AB=DC

</ABE=/DCF,

BE=CF

:.AABERDCF(SAS),

JAE=DF,ZAEB=ZDFC=90°,

???AE//DF,

???四邊形4。也是矩形；..........................3分

(2)解：由(1)知：四邊形也是矩形，

:?EF=AD=9,DF=AE,

???EC=6,

:?BE=CF=3,

：.BF=12,

在中，NBAE=30。,NAEB=90。，

：.AB=2BE=6,

DF=AE=yjAB2-BE2=A/62-32=3百，

.?.在RUFD中8。=y/BF2+DF2=3M，

20/32

?.?四邊形N3C。是平行四邊形,

/.OB=OD,

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等

知識；正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

21.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2(w-l)x+/-5=0.

(1)當(dāng)方程有兩個實(shí)數(shù)根時(shí)，求加的取值范圍.

(2)當(dāng)方程的兩個根玉、%滿足工；+*=玉%+12時(shí)，求力的值.

【答案】(1)加43

(2)m=1

【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，掌握以上知識計(jì)算是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)方程有兩個實(shí)數(shù)根得到△=[-2(加-1)]?—4(/-5”0,由此即可求解；

(2)根據(jù)題意方程的兩個根再、々得到，西+迎=2(加-1)/外=/-5,結(jié)合完全平方公式的變形得到

2

%：+/2=(/+X2)-2X1X2,代入計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解：關(guān)于X的一元二次方程2(加-1卜+加2—5=0,方程有兩個實(shí)數(shù)根,

???A=[-2(m-l)]2-4(m2-5)>0,

整理得，8m<24,

解得，m<3；.........................................................3分

(2)解：方程12—2(m—l)x+加2_5=0的兩個根再、x2,

2

再+x2=2（m-l）,x1x2=m-5,

22

+x2）-2x^2=x1x2+12,整理得，（再+x2）一3再入2=12,

A[2（m-l）]2-3（m2-5）=12,

整理得，加2一8加+7=0,

21/32

解得，W1=1,m2=7,

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，x2-4-Q>

解得，-^1=-2,X2=2,符合題意;

當(dāng)冽=7時(shí)，X2-12X+44=0,

VA=(-12)2-4x44=144-176=-32<0,

???原方程無實(shí)數(shù),

:.m=7舍去，

.*.m=l............................................................6分

22.（8分）為弘揚(yáng)開州舉子園文化，某紀(jì)念品店最初用750元購進(jìn)了“文峰塔”主題文創(chuàng)筆記本，很快銷售

完.該紀(jì)念品店又用1800元購進(jìn)了第二批該款筆記本，由于供貨緊張，每本筆記本的進(jìn)貨價(jià)比第一次多1

元，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍.

（1）該專賣店購進(jìn)的第一批書簽每份的進(jìn)價(jià)是多少元？

（2）如果兩批筆記本按相同的標(biāo)價(jià)銷售，要使兩批筆記本全部售完后利潤不低于1050元，那么每份筆記本的

標(biāo)價(jià)至少是多少元？

【答案】（1）專賣店購進(jìn)的第一批筆記本每份的進(jìn)價(jià)是5元

（2）每份筆記本的標(biāo)價(jià)至少是8元

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確

列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

（1）設(shè)該專賣店購進(jìn)的第一批筆記本每份的進(jìn)價(jià)是x元，則第二批筆記本每份的進(jìn)價(jià)是（x+1）元，根據(jù)某紀(jì)

念品店最初用750元購進(jìn)了“文峰塔”主題文創(chuàng)筆記本，很快銷售完.該紀(jì)念品店又用1800元購進(jìn)了第二批

該款筆記本，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可；

（2）設(shè)每份筆記本的標(biāo)價(jià)是V元，根據(jù)某紀(jì)念品店最初用750元購進(jìn)了“文峰塔”主題文創(chuàng)筆記本，很快銷

售完.該紀(jì)念品店又用1800元購進(jìn)了第二批該款筆記本，兩批筆記本按相同的標(biāo)價(jià)銷售，要使兩批筆記本

全部售完后利潤不低于1050元，結(jié)合（1）的結(jié)論，列出一元一次不等式，解不等式即可.

【詳解】（1）解：設(shè)該專賣店購進(jìn)的第一批筆記本每份的進(jìn)價(jià)是x元，則第二批筆記本每份的進(jìn)價(jià)是（x+1）元,

解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=5是原分式方程的解，且符合題意,

22/32

答：該專賣店購進(jìn)的第一批筆記本每本的進(jìn)價(jià)是5元；..........................4分

（2）解：設(shè)每份筆記本的標(biāo)價(jià)是了元，

第二批筆記本每份的進(jìn)價(jià)為：5+1=6（元），

由題意得：？M（y-5）+"*（y-6）2iO5O,

56

解得："8,

答：每份筆記本的標(biāo)價(jià)至少是8元..............................8分

23.（4分）如圖，在正方形/BCD中，點(diǎn)尸是8C邊上一點(diǎn)，連接/尸，以4尸為對角線作正方形4EFG,連

接/C、DG,求證：AAFCS^AGD.

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，

先根據(jù)正方形的性質(zhì)得△NDC和44G廠都是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得

NDAC=/GAF=45。，—=—=—,然后根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

ACAF2

【詳解】證明：4尸分別是正方形N8CA和正方形/跳。的對角線，

???AADC和44G廠都是等腰直角三角形，

：.ZDAC=ZGAF=45°,—=—=

ACAF2

ZDAG+ZCAG=ZCAF+ZCAG,

ZDAG=ZCAF,

VAFC冰AGD..............................4分

24.（8分）如圖，正比例函數(shù)y=的圖象與反比例函數(shù)y=5的圖象的一個交點(diǎn)是/（私1）.點(diǎn)尸（3,〃）在

k

直線上，過點(diǎn)尸作y軸的平行線，交y=2的圖象于點(diǎn)。.

23/32

(1)求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求A。尸。的面積.

2

【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為歹=-4

x

Q)H)PQ面積為:

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式，坐標(biāo)與圖形，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的

表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.

(1)利用正比例函數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的表達(dá)式即可求解；

(2)分別求出尸、。的坐標(biāo)，得到尸。的長度，再根據(jù)坐標(biāo)與圖形以及三角形的面積公式計(jì)算，即可求解.

【詳解】(1)解：把力(加,1)代入了=一；》得，m=-2,

-2,1),

把/(_2,1)代入夕=勺得，k=-2,

X

2

.??反比例函數(shù)的表達(dá)式為>=-4;........................................................4分

13

(2)把尸(3,〃)代入y=--x中，得〃=一大，

22

?.■P0〃y軸，

...點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為3

22

把x=3代入y=—,得y=—,

x3

1<2315

^OPQ面積為卜1+萬卜3=-.............................................................8分

25.(10分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，V45。各頂點(diǎn)坐標(biāo)為力(-3,-1)、5(-2,-3).C(-l,-2).

24/32

（i）作出vABC關(guān)于y軸對稱的△44a；

⑵以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限作出V/8C的位似△4與G,使VABC與△4鳥。2的位似比為1:2；

（3）利用無刻度直尺在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)找一個整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）P,使得尸4=尸G，并寫出

點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）作圖見解析；

（2）作圖見解析；

⑶點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,1）（答案不唯一）.

【分析】本題考查了作圖一軸對稱、位似、作垂線，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

（1）利用關(guān)于V軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特性得到4（3,-1）、耳（2,-3）、G（l,-2）,然后連線即可；

（2）把48、C點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以-2,得到4（6」）、員（4,6）、C2（2,4）,然后連線即可；

（3）作出4c2垂直平分線即可.

【詳解】（1）解:如圖，△44G即為所求；

25/32

(2)解：如上圖，即為所求；............................6分

(3)如上圖，點(diǎn)尸坐標(biāo)為(0,1).............................................................10分

26.(11分)幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對象之一，圖形的形狀、大小和位置是幾何中研究的主要內(nèi)容，平

面幾何中，平移、翻折、旋轉(zhuǎn)是常見的圖形變換.鹿鳴學(xué)堂數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的

X

(2)如圖2,將反比例函數(shù)y=￡(x>0)的圖象繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)尸為旋轉(zhuǎn)后圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)

X

尸作直線了=的垂線，垂足是〃，若OP二岳,求的值；

(3)如圖3所示，反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象沿直線y=-x+6("2灰)翻折得到新圖象.若直線y=x+l

與兩條曲線交于￡、F,直線y=x-l與兩條曲線交于G、H,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)E、F、G、X四個點(diǎn)組成的四邊形

是矩形，當(dāng)這個矩形的面積是4時(shí)，直接寫出6的值.

【答案】(1)(0,2)

(2)2或3

26/32

（3）7或3

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律“左加右減，上加下減”得到平移后的函數(shù)解析式，進(jìn)而求解即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P為點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)前的圖象上的對應(yīng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸發(fā)軸于則OP=OP=g,設(shè)點(diǎn)尸'坐

標(biāo)為（凡6）,則仍=6①，/+/=13②,解得。=3,b=2或。=2,b=3,則尸7r=2或尸歸"=3；證明直線

了=gx與x軸的夾角為30。；證明APOH0AP'OH'（AAS）得到PH=PH即可求解；

（3）聯(lián)立方程組求得G（3,2）,F（2,3）,進(jìn)而求得尸G=0，根據(jù)矩形性質(zhì)求得=40，分當(dāng)點(diǎn)女在

點(diǎn)G右上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)〃在點(diǎn)G左下方時(shí)兩種情況求得點(diǎn)”坐標(biāo)，進(jìn)而利用矩形的性質(zhì)求得對角線的交點(diǎn)坐

標(biāo)，進(jìn)而可求解.

【詳解】（1）解：???將反比例函數(shù)丁=9的圖象向左平移3個單位，

平移后的函數(shù)解析式為V=-1,

x+3

?.?當(dāng)x=0時(shí)，y=|=2,

二平移后的圖象與〉軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0,2）；.........................................................3分

（2）解：設(shè)點(diǎn)P為點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)前的圖象上的對應(yīng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸及軸于7T,如圖，

圖2

則OP=OP=jm,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（見6）,

則〃6=6①，/+/=]3②，

解得。=3,6=2或〃=2,6=3,

則尸7r=2或P7T=3；

如圖，在直線y=取一點(diǎn)7（3,百），過T作