2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之切

線

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?平房區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC^BC,以AB上一點(diǎn)。為圓心，04為半徑的圓與BC相

切于點(diǎn)C,若BC=4b，則。。的半徑為（）

A.4B.3C.3V3D.2百

2.（2025?洛陽(yáng)二模）如圖，A8為。。的直徑，PB,PC分別與相切于點(diǎn)8,C,過(guò)點(diǎn)C作的垂線,

垂足為E,交O。于點(diǎn)D若CD=PB=2陋,則。。的半徑長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2025??？谝荒＃┤鐖D，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，ZA=116°,過(guò)點(diǎn)C作。O的切線CQ交8。

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則的度數(shù)為（）

4.（2025?東莞市二模）如圖，AB.AC,2。是O。的切線，切點(diǎn)分別是P、C、D.若42=10,AC=6,

則BD的長(zhǎng)是（）

c

A.3B.4C.5D.6

5.（2025?甌海區(qū)二模）如圖，A8是。。的切線，C為切點(diǎn)，連接A。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，連接CD若

6.（2025?龍灣區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB=AC,tanB=2.以AB為直徑畫半圓O,交BC于點(diǎn)D

過(guò)點(diǎn)。作半圓。的切線交AC于點(diǎn)E,若。E=4,則AB的長(zhǎng)為（）

A.8B.4V5C.4A/6D.10

7.（2024秋?太和縣期末）如圖，OO是四邊形ABC。的內(nèi)切圓，若AZ）=10,BC=12,則四邊形ABC。

填空題（共5小題）

8.（2025?南崗區(qū)模擬）如圖，AB與。。相切于點(diǎn)A,連接OA,點(diǎn)C在上，連接BC并延長(zhǎng)BC交。。

于點(diǎn)。，連接。。，若NAOC=80°，ZDOC=40°，則N8=度.

9.（2025?沛縣二模）如圖，A8是。。的直徑，陰切于點(diǎn)A,線段P。交。。于點(diǎn)C,連接3c.若/尸=

10.（2025春?大足區(qū)期中）如圖，ZVIBC內(nèi)接于OO,孫是OO的切線，A為切點(diǎn)，PC交。。與點(diǎn)。.若

PD=4,貝UPC,AC=

11.（2025?溫嶺市二模）如圖，RtAABC,/A8C=90°,點(diǎn)。在8c上，以點(diǎn)O為圓心08為半徑的。。

與AC相切于點(diǎn)。，連結(jié)A。，若乙4。2=70°,則NC的度數(shù)為

12.（2025?文成縣二模）如圖，A8是半圓。的直徑，C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，。與半圓相切于點(diǎn)。，若

三.解答題（共3小題）

13.(2025?廬江縣二模)如圖，為。。的直徑，BC為。。的切線，連接AC交。。于點(diǎn)。，DH±AB

于點(diǎn)H,E是劭的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)R交DH,于點(diǎn)M,N.

(1)求證：DM=DN；

(2)AO=4,BD=3,求EF的長(zhǎng).

A

14.(2024秋?海港區(qū)期末)如圖，AB為半圓。的直徑，點(diǎn)尸在半圓上，連接。孔點(diǎn)尸在A8的延長(zhǎng)線

上，PC與半圓相切于點(diǎn)C,與。尸的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)。.連接AC與。F相交于點(diǎn)E,OD±AB.

(1)求證：DC=DE；

(2)若。4=2?！?DF=2,求尸。的長(zhǎng).

D

15.(2025?陽(yáng)新縣模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC,。在AB上，以。為圓心，03為半徑的圓與AC

相切于點(diǎn)尸，交于點(diǎn)。，交A8于點(diǎn)G,過(guò)。作。EJ_AC,垂足為E.

(1)與。。有什么位置關(guān)系，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并證明；

(2)若。。的半徑長(zhǎng)為3,AF=4,求CE的長(zhǎng).

E

Rn

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級(jí)期末必刷常考題之切

線

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號(hào)1234567

答案ABBBCDD

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?平房區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC=BC,以A8上一點(diǎn)。為圓心，0A為半徑的圓與BC相

切于點(diǎn)C,若8。=4值，則。。的半徑為（）

A.4B.3C.3V3D.2百

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】A

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到0CL2C,根據(jù)圓周角定理得到NBOC=2/A,求出NB=30°,

再根據(jù)正切的定義計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接OC,

是。。的切線，

：.OC±BC,

：.ZBOC+ZA=9Q°,

\'AC=BC,

：.ZA=ZB,

由圓周角定理得：/BOC=2/A,

：.ZB=30°,

；.OC=BC?tanB=4V5X苧=4,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?洛陽(yáng)二模）如圖，為。。的直徑，PB,PC分別與相切于點(diǎn)8,C,過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，

垂足為E,交。。于點(diǎn)D若CD=PB=2網(wǎng),則。。的半徑長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】B

【分析】連接OD、BD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PC=PB=25根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出

BD,根據(jù)勾股定理求出8E,再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接O。、BD,

,:PB,尸C分別與。。相切于點(diǎn)8,C,

:.PC=PB=2W，ABLPB,

'JABLCD,

：.CD//PB,

,:CD=PB,

四邊形CPBD為平行四邊形，

：.BD=PC=243,

"CABLCD,

1

：.DE=專CD=V3,

由勾股定理得：BE=7BD2-DE?=J（2百尸-（百￥=3,

在RtZVDOE1中，OD2=OE2+DE，即。。2=（3-。。）2+（V3）2,

解得：OD=2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

3.（2025??？谝荒＃┤鐖D，△A8C是。。的內(nèi)接三角形，ZA=116°,過(guò)點(diǎn)C作。。的切線CO交8。

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則的度數(shù)為（）

A.36°B.38°C.40°D.42°

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】連接OC,設(shè)DB交O。于點(diǎn)連接CM,切線的性質(zhì)，得到/08=90°,圓內(nèi)接四邊形

的性質(zhì)結(jié)合等邊對(duì)等角，求出NOMC,Z0CM的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系和三角形的外角的性質(zhì)，

進(jìn)行求解即可.

【解答】解：連接OC,設(shè)。B交。。于點(diǎn)連接CM,貝U：OC=OM,

A

D\OMD

由題意可得：/0CD=9U°,

VZA=116°,

：.ZOMC=180°-116°=64°,

???OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC=64°,

：.ZMCD=ZOCD-ZOCM=90°-64°=26°,

ZBMC=ZMCD+ZD,

：.ZD=64°-26°=38°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

4.（2025?東莞市二模）如圖，AB,AC,8。是。。的切線，切點(diǎn)分別是尸、。、D.若A5=10,AC=6,

則BD的長(zhǎng)是（）

A.3B.4C.5D.6

【考點(diǎn)】切線長(zhǎng)定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】B

【分析】由于AB、AC,3。是。。的切線，貝IJAC=AP,BP=BD,求出5P的長(zhǎng)即可求出的長(zhǎng).

【解答】解：〈AC、AP為。0的切線，

.\AC=AP=6,

,：BP,8。為。。的切線，

：.BP=BD,

:.BD=PB=AB-AP=10-6=4.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理，兩次運(yùn)用切線長(zhǎng)定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?甌海區(qū)二模）如圖，A8是O。的切線，C為切點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，連接CZX若

NA=24°,則/。的度數(shù)為（）

A.24°B.30°C.33D.36°

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到乙4。。=90°,求得NAOC=90°-24°=66°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：TAB是。。的切線，

AZACO=90°,

VZA=24°,

AZAOC=90°-24°=66°,

"：OC=OD,

：.ZD=ZOCD,

,：ZAOC^ZD+ZOCD,

i

：.ZD=^/-AOC=33",

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?龍灣區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB^AC,tanB=2.以A8為直徑畫半圓O,交BC于點(diǎn)、D,

過(guò)點(diǎn)D作半圓。的切線交AC于點(diǎn)E,若DE=4,則AB的長(zhǎng)為（）

C

E,

AoB

A.8B.4V5C.4A/6D.10

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】D

【分析】連結(jié)AD,如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到。根據(jù)圓周角定理得到NAD8=90°,

再證明為△ABC的中位線得到AC,所以/A￡B=90°,接著在RtZXCOE中利用正切的定義

求出CE=2,則利用勾股定理可計(jì)算出C￡>=2遮，然后再在RtaACD中利用正切的定義求A。，最后

利用勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)即可.

【解答】解：連結(jié)0D、AD,如圖，

為半圓。的切線，

C.0DLDE,

'：AB為直徑，

AZAZ)B=90°,

'：AB=AC,

:.BD=CD,/C=NB,

"：OA^OB,

：.OD為△ABC的中位線，

J.OD//AC,

：.ZAED=9Q°,

在RtZkCDE中，：tanC=器=tanB=2,

1

：.CE=^DE=2f

：.CD=V22+42=2V5,

An

在RtZ\ACZ)中，VtanC==2,

.,.AO=2Cr)=4曲,

.?.AC=J(2通尸+(4逐尸=10,

.?.AB=10.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了等腰三角形的性質(zhì)和解直

角三角形.

7.(2024秋?太和縣期末)如圖，OO是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，若A￡)=10,BC=\2,則四邊形ABC/)

【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；切線長(zhǎng)定理.

【專題】運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為E,F,G,H,連接。E,OF,OG,OH,根據(jù)四邊形ABC。是。。的外切四邊

形，得出AE=AH,DH=DG,CG=CF,BE=BF,ffif#AD+BC=AB+CD,再根據(jù)A￡)=10,BC=12,

即可得出四邊形ABCD的周長(zhǎng).

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)分別為E,F,G,H,連接。￡,OF,OG,OH,

BC

?/四邊形ABCD是。0的外切四邊形，

C.AE^AH,DH=DG,CG=CF,BE=BF,

：.AD+BC=AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG=AB+CD,

VAZ）=10,BC=12,

：.四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：AB+BC+CD+DA^44.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理，掌握切線長(zhǎng)定理是解本題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

8.（2025?南崗區(qū)模擬）如圖，AB與。。相切于點(diǎn)A,連接OA,點(diǎn)C在上，連接BC并延長(zhǎng)BC交。。

于點(diǎn)。，連接。。，若NAOC=80°,NOOC=40°,則80度.

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】多邊形與平行四邊形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】80.

【分析】由切線的性質(zhì)得/A=90°,由0c=。。，得NOCD=ND,WZAOC=80°,ZDOC=40°,

則/AOD=120°,2ZD+400=180°,求得N￡>=70°,則/2=360°-ZA-ZAOD-ZZ）=80°,

于是得到問(wèn)題的答案.

【解答】解：與。。相切于點(diǎn)A,

：.AB1OA,

：.ZA=90°,

\'OC=OD,

：.ZOCD=ZD,

VZAOC=80°,ZDOC=40°,且/OCO+/Z）+NQOC=180°,

ZAOD^ZAOC+ZDOC^120°,2ZD+400=180°,

：.ZD=10°,

NB=360°-ZA-ZAOD-ZD=80°,

故答案為：80.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和等于360°

等知識(shí)，推導(dǎo)出并且求得/。=70°是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?沛縣二模）如圖，是。。的直徑，加切于點(diǎn)A,線段PO交。。于點(diǎn)C,連接BC.若NP=

46°，則/8=22

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力.

【答案】22.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得/鞏8=90°,進(jìn)而可得/PO4的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理即得答案.

【解答】解：由切線的性質(zhì)可得：ZPAB=90°,

VZP=46°,

：.ZPOA^90°-46°=44°,

'：AC=AC,

1

：./-B==22°.

故答案為：22.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

10.（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，B4是O。的切線，A為切點(diǎn)，PC交。0與點(diǎn)、D.若

60°,B4=6,PD=4,則PC=6,AC=3+3連.

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】6,3+3限

【分析】連接。4、OC,過(guò)尸點(diǎn)作PHLAC于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)圓周角定理得到NAOC=120°,再利

用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出/OAC=30°,接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。4尸=90。，

2

則4c=60°,然后根據(jù)切割線定理得到尸C=爵=9,接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得

到A8=3,PH=3V3,最后利用勾股定理計(jì)算出CH,從而得到AC的長(zhǎng).

【解答】解：連接OA、OC,過(guò)尸點(diǎn)作尸”LAC于H點(diǎn)，如圖，

VZAOC=2ZABC=120°,

而OA=OC,

1

ZOAC=X(1280°-120°)=30°,

??,B4是。。的切線，A為切點(diǎn)，

：.OALPA,

：.ZOAP=90°,

.'.ZB4C=90°-30°=60°,

???以為。。的切線，PC為割線，

：.P^=PD'PC,

p/2r2

?,?pc人—一尸。一——4一—a%

在RtZVIPH中，*：ZPAH=60°,

1

：.AH=^PA=3,

：.PH=V3AH=3V3,

在RtAPCH中,CH=<PC2-PH2=舊一(3V3)2=3前,

：.AC=AH+CH=3+6V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了切割線定理.

H.(2025?溫嶺市二模)如圖，RtAABC,ZABC=90",點(diǎn)。在8C上，以點(diǎn)。為圓心08為半徑的。。

與AC相切于點(diǎn)。，連結(jié)AO,若乙4。8=70°,則/C的度數(shù)為50°

A

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】圖形的全等；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】500.

【分析】連接OD,根據(jù)切線性質(zhì)得到NADO=90,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/4。。=乙4。2=70°,

求得/COO=180°-70°-70°=40°,得到/C=90°-40°=50°.

【解答】解:連接O。，

是。。的切線，

乙4。0=90,

ZABC^ZADO^9Q°,

\'OB=OD,AO=AO,

：.RtAABO^RtAADO(HL),

：.ZAOD^ZAOB^10°,

AZCOZ)=180°-70°-70°=40°,

：.ZC=90°-40°=50°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.(2025?文成縣二模)如圖，AB是半圓。的直徑，C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CZ)與半圓相切于點(diǎn)。，若

ZC=40°,則/D4c的度數(shù)為25。.

A0B

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【答案】25°.

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得到/OOC=90。，則利用互余計(jì)算出/。0。=50。，然后根據(jù)圓周角定

理求解.

【解答】解：與半圓相切于點(diǎn)。，

J.ODLCD,

：.ZODC=90°,

VZC=40°,

：.ZCOD^90°-40°=50°,

1

AZDAC=COD=25°.

故答案為：25；

AOBC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理.

三.解答題（共3小題）

13.（2025?廬江縣二模）如圖，48為。。的直徑，BC為。。的切線，連接AC交。。于點(diǎn)。，DHLAB

于點(diǎn)、H,E是皿的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)凡交DH,DB于點(diǎn)M,N.

（1）求證：DM=DN；

（2）AO=4,BD=3,求EF的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)求出/A8C=90°,結(jié)合垂直的定義、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理

求出ZAND=ZDMF=ZAFB=ZFNB,再根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；

(2)連接BE,過(guò)點(diǎn)N作NGLAB于點(diǎn)G,根據(jù)圓周角定理、角平分線的性質(zhì)定理求出。N=GN,根

4

-，根據(jù)勾股定理

據(jù)勾股定理求出A3=5,根據(jù)三角形面積公式求出DN=NG3BN=BD-DN=I

求出⑷AF=|V10,則NF=A尸-A7V=半，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】(1)證明：???3。為。。的切線，

AZABC=90°,

：.ZFAB+ZAFB=90°,

9：DHLAB,

：.ZAHD=90°=ZABC,

：.DH//BC,

：.ZDMF=ZAFB,

TAB為OO的直徑，

ZADB=90°,

：.ZFAD+ZAND=90°,

?二E是前的中點(diǎn)，

：.BE=DE9

：.ZFAD=ZFAB,

：.ZAND=NAFB,

/AND=ZDMF=ZAFB=/FNB,

：.DM=DN；

(2)解：連接BE,過(guò)點(diǎn)N作NGLAB于點(diǎn)G,

,:BE=DE,

：.ZFAD=ZFAB,

\"NG.LAB,ZADB=90°,

：.DN=GN,

：AD=4,BD=3,

111

治--AD--

B222

4

理-NG--

-3

5

-

3

由（1）知/AFB=/FNB,

:,BF=BN=N，

：.AF=7AB2+BF2=1V10,

：.NF=AF-AN=孚，

為。。的直徑，

AZA￡B=90°,

.1MCV10

..EF=2/VF=-g-.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)、勾股定理、圓

周角定理是解題的關(guān)鍵.

14.(2024秋?海港區(qū)期末)如圖，48為半圓。的直徑，點(diǎn)廠在半圓上，連接OR點(diǎn)尸在A8的延長(zhǎng)線

上，PC與半圓相切于點(diǎn)C,與。尸的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)連接AC與。尸相交于點(diǎn)E,OD±AB.

(1)求證：DC=DE；

(2)若OA=2OE,DF=2,求PD的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

50

(2)——.

3

【分析】(1)連接OC,由切線的性質(zhì)推出/。8=90°,由余角的性質(zhì)推出NOCE=NAE。，由對(duì)頂

角的性質(zhì)得到因此推出。C=DE；

(2)設(shè)?！?無(wú)，由勾股定理得到(2x+2)2=(2+x)2+(2x)2,求出x=4,得到。C=6,0c=8,判

定XPCQsXOCD,推出CO：CD=PC：OC,求出尸。=學(xué)，即可得到尸。的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：連接OC,

??,尸。與半圓相切于點(diǎn)C,

???半徑OCLPC,

：.ZOCD=90°,

：.ZDCE+ZOCE=90°,

ODLAB,

：.ZAOE=90°,

ZAEO+ZOAE=9Q°,

'：OA=OC,

：./OCE=/OAE,

：.ZDCE=AAEO,

ZDEC=ZAEO,

：.ZDCE=ZDEC,

：?DC=DE；

(2)解：設(shè)。E=x,

?;OF=OA=2OE=2x,

EF—OE=x,OD=OF+DF=2x+2,

DE—DF+FE=2+x,

由(1)知：DC=DE=2+x,

\9ZOCD=90°,

：.OD2=CD2+OC2,

：.⑵+2)2(2+x)2+(2x)2

?x=4,

??Z)C*=2+x=6,OC=2x=8,

VZP+ZPOC=ZCOD+ZPOC=90°,

：.ZP=ZCOD,

9：ZPCO=ZDCO,

:?△PCOSROCD,

??CO：CD=PC：OC9

A8：6=PC：8,

，PC=孝，

3250

:.PD=PC+DC=學(xué)+6=專.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)推出

=90°,由余角的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)推出/OCE=/Z)EC,由勾股定理列出關(guān)于x的方程，判定△PC。

s叢OCD,推出CO：CD=PC：OC.

15.(2025?陽(yáng)新縣模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC,。在A8上，以。為圓心，為半徑的圓與AC

相切于點(diǎn)R交BC于點(diǎn)D交于點(diǎn)G,過(guò)。作。ELAC,垂足為E.

(1)DE與。。有什么位置關(guān)系，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并證明；

(2)若。。的半徑長(zhǎng)為3,AF=4,求CE的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】切線的判定.

【專題】綜合題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】由已知可證得0D為圓的半徑，所以O(shè)E與相切；連接0D,OF,由己知可得

四邊形。DEF為矩形，從而得到EF的長(zhǎng)，再利用勾股定理求得AO的長(zhǎng)，從而可求得AC的長(zhǎng)，此時(shí)

CE就不難求得了.

【解答】解：(1)DE與。。相切；

理由如下：

連接0D,

?/OB=OD,

：.ZABC=ZODB；

,：AB^AC,

：.ZABC^ZACB,

：.ZODB=ZACB,

：.OD//AC；

'：DE±AC,

：.OD±DE,

.??DE與。O相切.

(2)連接。D,OF；

,:DE,AF是O。的切線，

AOF±AC,OD1.DE,

又；Z)E_LAC,

四邊形OOEE為矩形，

:.EF=0D=3；

在RtA。朋中，AO?=QF2+AF2,

.,.AO=V32+42=V25=5,

；.AC=AB=AO+BO=8,CE^AC-AF-EF^S-4-3=1,

；.CE=L

答：CE長(zhǎng)度為1.

G.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即

為半徑），再證垂直即可.

考點(diǎn)卡片

1.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

2.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

3.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么/+必=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+戶=02的變形有：a=Vc2—b2,b=7c2—a?及c=7$+b?.

(4)由于/+/；2=c2>a2,所以。>小同理即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

4.垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

5.圓周角定理

(1)圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

(2)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

推論：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

(3)在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常