2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷

（拔尖卷）【滬科版2024】

參考答案與試題解析

第I卷

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2025年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)/、B、0、C、。分別表示數(shù)

—2、—1、0、1、2,那么表示數(shù)巡一2的點(diǎn)應(yīng)落在（）

ABOCD

------1------1------i------i1*i111----->

-4-3-2-1-0--1------2-----3-----4-----5

A.線段4B上B.線段B。上C.線段。C上D.線段CD上

【答案】B

【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸、無(wú)理數(shù)的估算等知識(shí)點(diǎn)，掌握無(wú)理數(shù)的估算方法成為解題的關(guān)鍵.

先估算出無(wú)理數(shù)值一2的范圍，再進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：<V3<V4,

??-1<V3<2,

.?--1<V3-2<0,即表示數(shù)VI—2的點(diǎn)應(yīng)落在80上.

故選B.

2.（3分）（24-25七年級(jí)?安徽亳州?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,6,c滿足a+b+c<0,a=g二，c=g

則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.a<0B.b<0C.c<0D.a=b

【答案】C

【分析】本題主要考查整式的加減，根據(jù)已知條件求出a=b—Gc=a-b,消去。，得a=b,從而得

c=0,由a+b+c<0可得aV0力<0,故可得結(jié)論.

.,.a=b—c,c=a—b,

消去c,得a=b,

.*.c=a—b=0,

va+b+cV0,

：.2a<0,2b<0,

：.a<0,6<0,

所以，選項(xiàng)A、B、D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

故選：C.

3.(3分)(24-25七年級(jí)?福建龍巖?期末)觀察下列等式:

(%-1)(%+1)=%2-1；

(%-1)(%2+%+1)=%3-1；

(X—l)(x3+X2+X+1)=x4—1；

32

根據(jù)以上規(guī)律計(jì)算32。24_32023+32022——3+3—3的值是()

A33025—332025+133025-3C32025-1

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律.

32

根據(jù)規(guī)律求出32。24—32。23+32022——3+3-3+1的值，再減去1即可解答.

【詳解】??,(%—l)(x+1)=%2—1；

(%—l)(x2+%+1)=%3—1；

(%—1)(%3+%2+%+1)=x4—1；

(%—1)(xn+xn-1+xn~2+…+%+1)=xn+1—1

(九為正整數(shù))

...(%—1)(%2024+久2023_|_第2022+…+%+])=久2024+1_1=%2025_1

%2025_]

...%2024_|_%2023_|_12022+…+％+1=-----------

X—1

當(dāng)x=—3時(shí)，

(—3)2024+(一3)2023+(_3)2022+…+(_3)+1

=32024-32023+32022-------33+32-3+1

(_3)2025_]_32025_132025_|_1

=--3-1-==4=4

A22024_32023+32。22_..._g3_|_^2_3

故選：A.

4.（3分）（24-25七年級(jí)?安徽安慶?周測(cè)）如圖，小軒的乒乓球掉到沙發(fā)下，他借助平面鏡反射的原理找

到了乒乓球的位置.已知法線0C1MN,反射光線4。與水平線的夾角N40D=56。，則平面鏡MN與水平線BD

的夾角NDON的大小為（入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角）（）

A.24°B.28°C.34°D.56°

【答案】B

【分析】本題考查了求一個(gè)角的余角與補(bǔ)角、垂直、對(duì)頂角相等，熟練掌握求一個(gè)角的余角與補(bǔ)角的方法

1

是解題關(guān)鍵.先求出乙40B=124°,再求出入40C=ABOC=#AOB=62。，根據(jù)垂直的定義可得

ACOM=90°,從而可得NBOM=28。，最后根據(jù)對(duì)頂角相等即可得.

【詳解】解:-：^AOD=56°,

:.Z.AOB=180°-^AOD=124°,

,?,入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，

1

：.Z-AOC=乙BOC=^AOB=62°,

-OC1MN,

.?ZCOM=90°,

"BOM=/.COM-Z.BOC=28°,

由對(duì)頂角相等得：乙DON=乙BOM=28°,

故選：B.

5.（3分）（2025?四川瀘州?一模）若關(guān)于x的一元一次不等式組&無(wú)解，且使關(guān)于y的分式方

程署+2=言有整數(shù)解，則所有符合題意的整數(shù)a的值的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法

是解題的關(guān)鍵.不等式組變形后，根據(jù)無(wú)解確定出a的范圍，再表示出分式方程的解，由分式方程有非負(fù)整

數(shù)解，確定出滿足條件a的值，即可解答.

【詳解】解：解不等式無(wú)2—2x+7得：%>|,

解不等式2%—~~<a得x<—3

（X>—2x+7

???一元一次不等式組（2%_<口無(wú)解，

2a-l_7

,F-1

解得a<4,

解分式方程*+2=言，得y=總，

???關(guān)于y的分式方程答+2=痣有整數(shù)解，

.-.2—a=±1或2—a=±2,

.,.a=4或3或0或1,

。=1時(shí)，y=2,原分式方程無(wú)解，故將a=1舍去，

.??符合條件的所有整數(shù)。的個(gè)數(shù)為3,

故選：B.

6.（3分）（24-25七年級(jí)?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，80是△Z8C的角平分線，DE\\AB,EF是△DEC的

角平分線，有下列四個(gè)結(jié)論：①乙BDE=^DBE；②EFIIBD；③"。E=乙48。；④S四邊形人痛）=

其中,正確的是（）

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

【答案】D

【分析】利用DEII4B,8。平分乙4BC,EF平分4DEC,可以判斷出①②正確；再根據(jù)乙2與/48C不一定

相等，再利用N4與NCDE相等，可判斷出③不一定正確；根據(jù)EFIIBD,推出△BDF與aBDE是等底等高

的三角形，最后利用等式性質(zhì)可得到④正確.

【詳解】-DE\\ABf

：.Z-ABD=Z-BDE,Z-ABC=乙DEC,

???8。平分NZBC,EF平分乙DEC,

.\Z-ABD=Z.DBE,Z-DEF=Z-FEC,

;/BDE=Z-DBE,

乙FEC=乙DBC,

.-.FFHBD,

故①②正確；

.■■/.A與乙4BC不一定相等，

由題意可知乙4=Z.CDE,

.?ZCDE與N4BC不一定相等，

故③錯(cuò)誤；

■.■EFWBD,

△BDF與△BDE是等底等高的三角形，

：?S&BDF=S&BDE，

???S四邊形4BED=S&ABF，

故④正確，

???①②④正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義，平行線的判定及性質(zhì)，平行線間的距離處處相等等相關(guān)內(nèi)容，熟練

掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.（3分）（24-25七年級(jí)?浙江杭州?期中）設(shè)〃為某一自然數(shù)，代入代數(shù)式4-n計(jì)算其值時(shí)，四個(gè)學(xué)生

算出了下列四個(gè)結(jié)果。其中正確的結(jié)果是（）

A.121B.210C.335D.505

【答案】B

【分析】本題綜合考查因式分解的應(yīng)用，三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為偶數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握因式分解的

應(yīng)用.代數(shù)式"3-九因式分解可得九（幾―1）（n+1）,則代數(shù)式表示三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積.據(jù)此分析即可.

【詳解】解：由題意可知：原式=九⑺一1）5+1）,

.?.n3—n為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的積，

.??"-幾可寫成三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積，其中有因數(shù)必為偶數(shù)，也有因數(shù)必為3的倍數(shù)，

??加3—n是一個(gè)偶數(shù).而且是3的倍數(shù)，

選項(xiàng)只有B,符合條件，

又???210=5x6x7=63—6,

故選：B.

8.（3分）（24-25七年級(jí)?江蘇南京?期中）若2張（/、B、C均為常數(shù)）的計(jì)算結(jié)果為

石哥缶，貝必+B+2c的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本題考查分式的加減運(yùn)算，解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)分式.

(24=2

先將提+提化簡(jiǎn)計(jì)算得到絲坦嗡笑舒迎,則得到方程組A+B+C=l,即可求解45C,

5+134+2B+C=0

再代入求值.

【詳解】解:“白+系

(%+1)(%+2)4+x(x+2)8+x(x+1)C

x[x+1)(%+2)

(x+1)(x+2)4+x(x+2)8+x(x+1)C

x(x+1)(x+2)

(%2+3%+2)4+(x2+2%)B+(%2+x)C

x(x+1)(%+2)

G4+B+G%2+(3/+2B+C)X+24

-x(x+l)(x+2)'

.弓+系+捻（/、B、C均為常數(shù)）的計(jì)算結(jié)果為—，

XX~vJ.X-rLi"l{''*■JI"'J

2A=2

A+B+C=1,

34+2B+C=0

4=1

B=-3,

{C=3

??A+B+2C—1+(—3)+2x3=4,

故選：D.

9.（3分）（2025?河北保定?二模）如圖是計(jì)算機(jī)程序的一個(gè)流程圖，現(xiàn)定義：“x+27久”表示用久+2的值

作為X的值輸入程序再次計(jì)算，比如：當(dāng)輸入X=2時(shí)，依次計(jì)算作為第一次“傳輸”，可得2x2=4,

4-1=3,32=9,9不大于2025,所以2+2=4,把久=4輸入程序，再次計(jì)算作為第二次“傳輸”，可得

4x2=8,8—1=7,當(dāng)起始輸入比=4時(shí)，要使最終可以結(jié)束程序，則需經(jīng)過(guò)“傳輸”的次數(shù)為（）

/輸出/

［結(jié)束］

A.10次B.11次C.12次D.13次

【答案】B

【分析】本題考查了程序流程圖，一元一次不等式的應(yīng)用，由程序圖可得，當(dāng)起始輸入乂=4時(shí)，依次輸入

2

的數(shù)為6,8,10…，設(shè)經(jīng)過(guò)n次傳輸，可以結(jié)束程序，由442=1936<2025,46=2116>2025,可得

［4+2（n-l）］x2-l>46,解不等式即可求解，理解題意是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由程序圖可得，當(dāng)起始輸入％=4時(shí)，依次輸入的數(shù)為6,8,10

設(shè)經(jīng)過(guò)n次傳輸，可以結(jié)束程序，

■,-442=1936<2025,462=2116>2025,

???［4+2（n-l）］x2-l>46,

解得nN10.75,

??力為正整數(shù)，

.vn的值為11,即經(jīng)過(guò)11次傳輸，可以結(jié)束程序，

故選：B.

10.（3分）（24-25七年級(jí)?浙江溫州?期末）如圖，在科學(xué)《光的反射》活動(dòng)課中，小麥同學(xué)將支架平面

鏡放置在水平桌面上，鏡面48的調(diào)節(jié)角（N4BM）的調(diào)節(jié)范圍為12。?69。，激光筆發(fā)出的光束DG射到平

面鏡上,若激光筆與水平天花板（直線￡F）的夾角NEPG=30°,則反射光束G”與天花板所形成的角QPHG）

不可能取到的度數(shù)為（）

A.129°B.72°C.51°D.18°

【答案】C

【分析】分當(dāng)12。4乙48用工60。時(shí)，如圖1所示，當(dāng)60。V24BM469。時(shí)，如圖2所示，兩種情況，利用

平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：當(dāng)12。工乙4BM460。時(shí)，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)G作GQIIMN,

-MN\\EFfMN\\GQ,

.'.MNWEFWGQ,

-.Z-PGQ=Z-EPG=30°,ABGQ=UBM,

：.Z.PGB=Z.PGQ+Z,BGQ=^Q+Z-ABM,

由反射定理可知，UGH=4GB=300+UBM,

：/PGH=180°-zJGH"GB=1200-2/LABMf

：/HGQ=cPGH+乙PGQ=1500-2UBM,

:/PHG=\80°-z/fG2=30°+2z^5Af,

.?.54。<乙PHG<150°

當(dāng)60?！匆?BM469。時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)G作GQIIMN,

同理可得乙尸G0=Z￡尸G=30。，4BGQ=UBM,￡J）HG=Z-HGQ,

：..LAGP=Z-HGB=Z.HGQ+Z-QGB=/.PHG+Z-ABM,

；/PGH=1800-，4GPYHGB=\800-2^PHG-2UBM,

-.Z-HGP=/-PGQ^PGH=2ZJPHG+2/LABM-150°,

：.^PHG=1500-2/-ABM,

??.12。<乙PHG<30°,

綜上所述，54°<乙PHG<150?；?2。<乙PHG<30°,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線和利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（24-25七年級(jí)?安徽安慶?單元測(cè)試）關(guān)于久的不等式號(hào)—1>片的解集都是不等式1<2-

464

5的解，貝必的取值范圍是.

【答案】a<y

【分析】此題考查了解一元一次不等式.先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)兩個(gè)不等式解集的關(guān)系得到

等W4,即可求出a的取值范圍.

YY

【詳解】解：4-K2-i

去分母得，%-4<8-2%,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，3x<12,

系數(shù)化為1得，x<4.

x+1.4x—a

去分母得，3(%+1)-12>2(4%—a),

去括號(hào)得，3%+3—12〉8%—20，

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，—5%>9—2a,

由題意可知仁4,

解得a<y.

故答案為：a-

12.（3分）（24-25七年級(jí)?江蘇鹽城?期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干張三種型號(hào)的紙片，其中/

種紙片為邊長(zhǎng)為。的正方形，8種紙片為邊長(zhǎng)為6的正方形，C種紙片為長(zhǎng)為.、寬為6的長(zhǎng)方形，現(xiàn)要拼

出一個(gè)長(zhǎng)為2a+3b寬為a+36的長(zhǎng)方形，則需要/、B、C三種卡片共張.

【答案】20

【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法在幾何圖形中的應(yīng)用，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求出

（2a+36）（a+3b）的結(jié)果即可得到答案.

【詳解】解:（2a+3b）（a+3b）

=2a2+3ab+6ab+9b2

—2a2+9ab+9b2,

???N種紙片為邊長(zhǎng)為。的正方形，8種紙片為邊長(zhǎng)為6的正方形，C種紙片為長(zhǎng)為°、寬為6的長(zhǎng)方形，

???要拼出一個(gè)長(zhǎng)為2a+3b寬為a+3b的長(zhǎng)方形需要/卡片2張，2卡片9張，C卡片9張，

???一共需要2+9+9=20張卡片，

故答案為：20.

13.（3分）（24-25七年級(jí)?湖北武漢?期末）如圖所示的是2025年1月份的月歷，“Z字型”、“十字型”兩

個(gè)陰影圖形分別覆蓋其中五個(gè)數(shù)字（兩種陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右平移）.將“Z字型”覆蓋

的最小的數(shù)與最大的數(shù)的乘積記作小，將“十字型”覆蓋的最小的數(shù)與最大的數(shù)的乘積記作心若山一n=30,

則m+n的值為.

日—■二三四五

1234

567891011

12131415161718|

19202122232425

262728293031

【答案】900

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用、求代數(shù)式的值，設(shè)“Z字型”覆蓋的五個(gè)數(shù)中中間的數(shù)為Q,“十字型”

覆蓋的五個(gè)數(shù)中中間的數(shù)為伍則血=十一64,n=b2-49,結(jié)合題意得出(a+b)(a—力)=45,求出

a=23,b=22,代入代數(shù)式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：設(shè)“Z字型”覆蓋的五個(gè)數(shù)中中間的數(shù)為“十字型”覆蓋的五個(gè)數(shù)中中間的數(shù)為b,則m=F

—64,n=b2—49,

vm—n=30,

/.a2—64—(h2—49)=30,

.-.a2—62=45,

???(a+b)(a—b)=45,

va>9,b>8,

.,.a+b=45,a—b=1,

.?.a=23,b=22,

.-.m+n=a2—64+62-49=232—64+222—49=900,

故答案為：900.

14.(3分)(24-25七年級(jí)?重慶九龍坡?期末)若關(guān)于x的不等式組有且只有兩個(gè)奇數(shù)解，

且關(guān)于V的分式方程箕=2-當(dāng)，則所有滿足條件的整數(shù)m的積是.

【答案】42

【分析】本題考查解分式方程和一元一次不等式組，熟練掌握分式方程和一元一次不等式組的解法是解題

的關(guān)鍵.

先求解不等式組，根據(jù)不等式組有且只有兩個(gè)奇數(shù)解，求出加的一個(gè)取值范圍；再根據(jù)分式方程有解的條

件，求出機(jī)的取值范圍，最后確定加值并求積.

【詳解】解：解不等式組(2(久②，

由①得無(wú)2

由②得％<5,

??.不等式組的解集為吟<%<5,

???不等式組有且只有兩個(gè)奇數(shù)解，

??.1<*W3,

解得3<mW7,

解分式方程拳仔=2一券，

去分母，得my—2=2（y—2）+3y,

解得y=-高，

???分式方程有解，

2

2且小力5

即？n豐4且m力5,

.??滿足條件的整數(shù)m值為6,7,

所有滿足條件的整數(shù)m的積是6X7=42,

故答案為：42.

15.（3分）（24-25七年級(jí)?浙江杭州?期中）如圖，BE平分NCBD,交DF于點(diǎn)E,點(diǎn)G在線段BE上（不與點(diǎn)

B,點(diǎn)E重合），連接DG,已知N8EF+乙DBE=180°,若乙BDG=（zn+l）zGD￡,且NBGD+n^GDE=90°

（Wi為常數(shù)，且為正數(shù)）,則看的值為.

【答案】|/0.5

【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義結(jié)合題意推出

/.BEF+ZCBF=180°,即可判定ACIIDF,過(guò)點(diǎn)G作GHIIAC,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差即可求出

乙4BG+乙BGD-乙GDE=180°,進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：?.?BE是NCBD的角平分線，

??/CBE=乙DBE="CBD,

又.：乙BEF+乙DBE=180°,

:./.BEF+乙CBE=180°,

.-.ACWDF；

過(guò)點(diǎn)G作GH||DF,

ABC

H-—/-一:

DFF

-ACWDF,

;.GH||4C,

：./,ABG+(BGH=180°,

???GH||DF,

??.△GDE=Z.HGD,

：./LABG+乙BGD-乙GDE=^ABG+乙BGH+乙HGD-乙GDE=180°；

；/BGD=180°-^ABG+乙GDE=乙CBE+乙GDE,

,:乙BGD+nZ-GDE=90°

：.Z-CBE+Z-GDE+nZ-GDE=90°,

"CBE+(ri+1)ZGDE=90°,

BP2ZCBF+2(n+1”GDE=180°,

-ACWDF,

??.乙BDE+2乙CBE=180°,

又??ZBDG=(m+1”GDE,

;/BDE=(m+2)(GDE,

：2乙CBE+(m+2)乙GDE=180°,

.*.2(n+1)=(m+2),即2九=m,

.二_i

**m-2*

故答案為：發(fā)

16.(3分)(24-25七年級(jí)?重慶江津?期末)如果一個(gè)四位數(shù)M各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,它

的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的平方，剛好等于后兩位數(shù)，則稱M為“和方數(shù)”.如：M=3564,???3+5=8,

82=64,??.3564是“和方數(shù)”，則最大的和方數(shù)是；把“和方數(shù)”M的前兩位數(shù)字和后兩位數(shù)字整體

交換得到新的四位數(shù)規(guī)定F(M)=!”.已知N=1000a+100b+10c+d是“和方數(shù)”，(1<a,b,c

,d<9且a,b,c,d均為整數(shù))，若F(N)+12。+3b恰好能被7整除，則滿足條件的N有個(gè).

【答案】72816

【分析】根據(jù)92=81,且它的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的平方，剛好等于后兩位數(shù)，千位數(shù)字與百位數(shù)字

的和為9,且9=7+2于是得到最大數(shù)為7281；根據(jù)已知N=1000a+100b+10c+d得到一個(gè)四位數(shù)為

abed是“和方數(shù)”,于是得到(a+b')2=10c+d,根據(jù)題意，N'=1000c+lOOd+10a+b,得到F(N)=

=1000c+100d+10a+b3000a+100"10c+d)=1℃+d—10a—6,繼而得到F(N)

+12a+3b=10c+d+2a+2b=(a+b-)2+2(a+b),結(jié)合F(N)+12a+3b恰好能被7整除，分類解答即

可.

本題考查了完全平方公式，數(shù)的表示法，整除的意義，熟練掌握完全平方公式，整除的意義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???92=81,且它的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的平方，剛好等于后兩位數(shù)，

二千位數(shù)字與百位數(shù)字的和為9,且9=7+2

??.最大的和方數(shù)是7281,

故答案為:7281；

■：N=1000a+100b+10c+d

...一個(gè)四位數(shù)為場(chǎng)次是“和方數(shù)”，

.,.(a+b')2=10c+d,

根據(jù)題意，得M=1000c+100d+10a+b,

F(N)=^-=------------------------------------------------=lOc+d-lOa-b,

二F(N)+12a+3b=10c+d+2a+2b=(a+b')2+2(a+b'),

??,F(N)+12a+3b恰好能被7整除，1Wa,b,c,dW9且a,b,c,d均為整數(shù)且不相等，

.,.(a+b+I)2—1=35或(a+b+l)2—1=63,

：.a+b—5或a+b—7,

.,?四位數(shù)為曲西或濟(jì)麗是"和方數(shù)”，

??.四位數(shù)為1425或4125或1649或6149或2549或5249,

有6個(gè)，

故答案為：6.

第n卷

三.解答題(共8小題，滿分72分)

17.(6分)(24-25七年級(jí)?福建福州?期中)閱讀理解：大家知道魚(yú)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，而1＜魚(yú)＜2,

于是可用四-1來(lái)表示血的小數(shù)部分.請(qǐng)解答：

(1)填空：VIT的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；

(2)已知：10+V1T=x+y,其中x是整數(shù)，且5<y<6,求代數(shù)式x+V1T—y的值.

【答案】(1)3,VTT-3

(2)6

【分析】本題主要考查了求無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟知無(wú)理數(shù)的估算方法是解題的

關(guān)鍵.

(1)估算出3<VH<4,由此即可得到答案；

(2)先估算出13<10+VIT<14,13<x+y<14,再由其中x是整數(shù)數(shù)，5<y<6,求出x=8,

y=io+ViT-8=VTT+2,再進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：<11<16,

??.3<V1T<4,

??.VTT的整數(shù)部分是3,

??.V1T的小數(shù)部分是VTT—3；

(2)解：3<V11<4,

13<10+VT1<14,

:其中x是整數(shù)，且5<y<6,

■■x—8,y=10+V1T—8=VT1+2,

?-?X+Vil-y=8+Vil-(Vil+2)=6

18.(6分)(24-25七年級(jí)?江蘇鹽城?期末)已知直線48和CD交于點(diǎn)O,UOC=a,4BOE=90。，OF

平分乙4OD

(1)當(dāng)a=30°時(shí)，貝ik￡OC=°；乙FOD=°,

(2)當(dāng)a=60。時(shí)，射線?！陱腛E開(kāi)始以12。/秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線OF隊(duì)。廠開(kāi)始以8°/

秒的速度繞點(diǎn)。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線。屈轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)射線OP也停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多少秒射線OE與射線

第一次重合？

(3)在(2)的條件下，射線。月在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，當(dāng)NEO尸=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫出射線轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)

間為秒.

【答案】(1)60,75；(2)當(dāng)秒；(3)3或12或21或30

【分析】(1)根據(jù)題意利用互余和互補(bǔ)的定義可得：NEOC與ZFO。的度數(shù).

(2)由題意先根據(jù)a=60。，得出MO尸=150。，則射線?！辍?。產(chǎn)第一次重合時(shí)，其運(yùn)動(dòng)的度數(shù)+O尸運(yùn)

動(dòng)的度數(shù)=150,列式解出即可；

(3)根據(jù)題意分兩種情況在直線OE的左邊和右邊，進(jìn)而根據(jù)其夾角列4個(gè)方程可得時(shí)間.

【詳解】解：(1)-^BOE=90°,

山?！?90°,

■：AAOC=a=30°,

??ZEOC=90°-30°=60°,

乙40。=180°-30°=150°,

???O尸平分乙40。，

:/FOD當(dāng)UODg150°=75°；

故答案為：60,75；

(2)當(dāng)a=60。,/.EOF=90°+60°=150°.

設(shè)當(dāng)射線。斤與射線。尸重合時(shí)至少需要f秒，

可得12t+8t=150,解得：t=y；

答：當(dāng)射線。匕與射線。尸重合時(shí)至少需要當(dāng)秒；

(3)設(shè)射線0?轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為/秒，

由題意得：12t+8t=150-90或12t+8t=150+90或8t+12t=360+150-90或

12t+8t=360+150+90,

解得：t=3或12或21或30.

答：射線0匕轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為3或12或21或30秒.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的定義，角平分線的定義，角的計(jì)算，第三問(wèn)有難度，熟記相

關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論.

19.(8分)(24-25七年級(jí)?湖南株洲?期中)小聰學(xué)習(xí)多項(xiàng)式研究了多項(xiàng)式值為0的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)當(dāng)znx+n=0

或px+q=0時(shí)，多項(xiàng)式4=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值為0,把此時(shí)x的值稱為多

項(xiàng)式/的零點(diǎn).

(1)已知多項(xiàng)式(3x+2)(%-3),則此多項(xiàng)式的零點(diǎn)為.

(2)已知多項(xiàng)式B=(久一2)(x+m)="+(a—i)x—3a有一個(gè)零點(diǎn)為2,求多項(xiàng)式8的另一個(gè)零點(diǎn)；

(3)小聰繼續(xù)研究(x-4)(x-2),x(x-6)及(％-|)(x-3等，發(fā)現(xiàn)在x軸上表示這些多項(xiàng)式零點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)

關(guān)于直線第=3對(duì)稱，他把這些多項(xiàng)式稱為“3—系多項(xiàng)式”.若多項(xiàng)式M=(2%—b)(cx—7c)=ax2—

(8a-4c)x+5b—4是“3—系多項(xiàng)式"，求〃與c的值.

【答案】⑴-1或3

⑵—3

(3)2,1

【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)題意，令(3久+2)(x—3)=0,解方程得出x的值，即可得出答案；

(2)根據(jù)題意，把％=2代入多項(xiàng)式得B=4+2(。-1)—3a=0,然后解關(guān)于。的方程即可得出Q的值,

再把a(bǔ)的值代入8,進(jìn)而得出答案；

(3)根據(jù)題意，由“3—系多項(xiàng)式”定義，進(jìn)而得出答案.

【詳解】⑴解:根據(jù)題意，令(3%+2)(%—3)=0,

?,?3%+2=0或％—3=0,

解得：x=一|或％=3,

故答案為：—|?或3；

(2)根據(jù)題意，把％=2代入8,得B=4+2(a—1)—3a=0,

解得：a=2,

把a(bǔ)=2代入得B=%2+x—6=(x—2)(%+3),

令久+3=0,

解得：%=—3,

???多項(xiàng)式B的另一個(gè)零點(diǎn)是一3；

(3)M=(2x—6)(cx—7c),

???M的兩個(gè)零點(diǎn)分別是?或7,

根據(jù)“3—系多項(xiàng)式”的定義，有：+7=6,

：.b=—2

把力=—2代入M,

得M=(2x—b)(cx—7c)

=(2%+2)(ex—7c)

=2ex2—12cx—14c

M-ax2—(8a—4c)x+5b—4,

???a=2c,5b—4=—14c,

???c=l,a=2

故答案為：2,1.

20.(8分)(24-25七年級(jí)?江蘇南京?期中)某凈水裝置，將雜質(zhì)含量為"的水用加單位量的凈水材料過(guò)濾

一次后，水中的雜質(zhì)含量為丘.利用此凈水裝置，小亮進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：

現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水.

(1)用2單位量的凈水材料將水過(guò)濾一次后，水中雜質(zhì)含量為_(kāi)；

(2)小亮共準(zhǔn)備了6a單位量的凈水材料，設(shè)計(jì)了如下的三種方案：方案4是將6a單位量的凈水材料一次性使

用，對(duì)水進(jìn)行過(guò)濾；方案B和方案C均為將6a單位量的凈水材料分成兩份，對(duì)水先后進(jìn)行兩次過(guò)濾.三種方

案的具體操作及相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

方案編第一次過(guò)濾用凈水材料的水中雜質(zhì)含第二次過(guò)濾用凈水材料的第二次過(guò)濾后水中雜質(zhì)

號(hào)單位量量單位量含量

1

A6a//

1+6。

11

B5aa

1+5。(1+5a)(1+ci)

C4a2a

①請(qǐng)將表格中方案C的數(shù)據(jù)填寫完整；

②通過(guò)計(jì)算回答：在這三種方案中，哪種方案的最終過(guò)濾效果最好?

【答案】(嗚

-11

(2)①17備，(l+4a)(l+2a)；②方案。的最終過(guò)濾效果最好

【分析】本題主要考查了分式的應(yīng)用，涉及分式的混合運(yùn)算,

(1)根據(jù)水中的雜質(zhì)含量為含計(jì)算即可；

(2)①根據(jù)(1)中的方法，列式即可作答；②利用分式的簡(jiǎn)化運(yùn)算比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小即可作答.

【詳解】(1)解：*=，

故答案為：

(2)解：①根據(jù)題意：第一次過(guò)濾后水中雜質(zhì)含量為：含,

11

第二次過(guò)濾后水中雜質(zhì)含量為：惑=(i+4a)(l+2a)，

11

故答案為：布？(l+4a)(l+2a)；

，1+6a(l+5a)(l+a)(l+6a)(l+5a)(l+a)，

,：a>0,

.,?5o7>0,(1+6a)(1+5a)(1+a)>0.

,,(H-6a)(l+5a)(l+a)/

」>1—.

l+6a(l+5a)(l+a)

11

同理，可得(l+5a)(l+a)>(l+4a)(l+2a)-

——11<上

(l+4a)(l+2a)、(l+5a)(l+a)、l+6a'

.??方案C的最終過(guò)濾效果最好.

21.(10分)(24-25七年級(jí)?山東臨沂?期末)材料1：將一個(gè)形如/+p久+q的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如

果能滿足「=機(jī)+幾且9=nm,則可以把/+px+q因式分解成(久+m)(x+冗).例如久2+3%+2,具體做法

是先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右

上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)，這種方法稱為“十字相乘法”.

這樣，我們可以得到：/+3久+2=。+1)(%+2).

材料2：分解因式：(x+y)2+2(久+y)+l

解：將“x+y”看成一個(gè)整體，令久+y=K,則原式=K2+2K+1=(K+I)2,再將“K”還原，得：原式

=(x+y+I)2

上述解題用至卜整體思想”和“換元思想”，整體思想和換元思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的兩種思想方法.

【遷移運(yùn)用】

(1)利用上述的十字相乘法，將下列多項(xiàng)式分解因式：

①x2+5x+6；②2x2+2x—12

(2)結(jié)合材料1和材料2,對(duì)下面小題進(jìn)行因式分解：

①(x-y)2+4(x-y)+3；②(2a+3b)2-4(2a+3b)-12.

【答案】⑴①(x+2)(x4-3);②(x+3)(2x-4)；

(2)(T)(x-y+1)(x—y+3)；(2)(2a+3b+2)(2a+3b—6).

【分析】本題主要考查了用十字相乘法分解因式、換元法分解因式.解決本題的關(guān)鍵是閱讀材料中提供的

解題思路，仿照材料中提供的思路分解因式.

(1)①仿照材料1的供的思路把1分解成1x1,把6分解成2X3,分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然

后交叉相乘，可得1x2+1x3=5,所以分解因式可得N+5%+6=(x+2)(x+3)；

②仿照材料1的供的思路把2分解成lx2,把—12分解成一3x4,分別寫在十字交叉線的右上角和右下角,

然后交叉相乘，可得—3x2+1x4=-2,所以分解因式可得2K2+2X-12=(X—3)(2萬(wàn)+4)；

(2)①設(shè)x—y=p,則原式化為p2+4p+3,仿照(1)中的方法用十字相乘法分解因式，再把p還原即可；

②設(shè)2a+3b=q,則原式化為q2—4q-12,仿照(1)中的方法用十字相乘法分解因式，再把q還原即可.

【詳解】(1)①解：x2+5x+6,

X2+5%+6=(%+2)(%+3)；

②解：2%2+2%-12,

2、，，一4

、、,X

1

2%2+2%-12=(%+3)(2%-4)；

(2)①解:(x-y)2+4(%-y)+3,

設(shè)久一y=p,

則原式化為p2+4p+3,

???p2+4p+3=(p+l)(p+3),

把p還原可得：(%—y)2+4(%—y)+3=(%—y+l)(x—y+3);

②：解(2a+3b)2—4(2a+3b)—12,

設(shè)2a+3b—q,

則原式化為q2-4q-12,

1、/一6

IX(-6)+lX2=-4

q2—4q_12=(q_6)(q+2),

把q還原可得：(2a+3b)2-4(2a+36)-12=(2a+3b-6)(2a+3b+2).

22.(10分)(24-25七年級(jí)?浙江金華?階段練習(xí))根據(jù)素材，完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)雪花模型材料采購(gòu)方案？

學(xué)校組織同學(xué)參與甲、乙兩款雪花模型的制作.每款雪花模型都需要用到長(zhǎng)、短

素

兩種管子材料.某同學(xué)用6根長(zhǎng)管子、48根短管子制作了1個(gè)甲雪花模型與1個(gè)

材

乙雪花模型.已知制作一個(gè)甲、乙款雪花模型需要的長(zhǎng)、短管子數(shù)分別為1:7與

1:9.

1.短管子售價(jià)：。元/根，長(zhǎng)管子

售價(jià)：2a元/根

素某商店的店內(nèi)廣告牌如右所示.5月，學(xué)?；?.6月1日起，購(gòu)買3根長(zhǎng)管子

材費(fèi)320元向該商店購(gòu)得的長(zhǎng)管子數(shù)量比花200贈(zèng)送1根短管子.

元購(gòu)得的短管子數(shù)量少80根.3.本店庫(kù)存數(shù)量有限，長(zhǎng)管子僅

剩267根,短管子僅剩2130根,

先到先得！

素6月，學(xué)校有活動(dòng)經(jīng)費(fèi)1280元，欲向該商店采購(gòu)長(zhǎng)、短管子各若干根全部用來(lái)制

材作甲、乙雪花模型（材料無(wú)剩余），且采購(gòu)經(jīng)費(fèi)恰好用完.

三

問(wèn)題解決

任

求制作一個(gè)甲、乙款雪花模型分

務(wù)分析雪花模型結(jié)構(gòu)

別需要長(zhǎng)、短管子多少根？

任試求a的值并求出假如6月只制

務(wù)確定采購(gòu)費(fèi)用作一個(gè)甲款雪花模型的材料采購(gòu)

費(fèi).

任求出所有滿足條件的采購(gòu)方案，

務(wù)擬定采購(gòu)方案并指出哪種方案得到的雪花總數(shù)

最多.

【答案】任務(wù)一：制作一個(gè)甲款雪花模型需要長(zhǎng)管子3根，則短管子21根，制作一個(gè)乙款雪花模型需要長(zhǎng)

管子3根，則短管子27根；任務(wù)二：a=0.5；制作一個(gè)甲款雪花模型需要13元；任務(wù)三：購(gòu)買258根長(zhǎng)管

子，2130根短管子；購(gòu)買261根長(zhǎng)管子，2125根短管子；購(gòu)買264根長(zhǎng)管子，2120根短管子；購(gòu)買267根

長(zhǎng)管子，2115根短管子；當(dāng)購(gòu)買267根長(zhǎng)管子，2115根短管子時(shí)，制作的雪花模型最多

【分析】本題主要考查了二元一次方程組、分式方程和不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系和不

等關(guān)系列出方程或不等式.

任務(wù)一：設(shè)制作一個(gè)甲款雪花模型需要長(zhǎng)管子x根，則短管子7x根，制作一個(gè)乙款雪花模型需要長(zhǎng)管子y

根，則短管子9y根，根據(jù)用6根長(zhǎng)管子、48根短管子制作了1個(gè)甲雪花模型與1個(gè)乙雪花模型，列出方程

組，解方程組即可；

任務(wù)二：根據(jù)題意列出關(guān)于。的方程，解方程即可，根據(jù)6月份的優(yōu)惠方案求出制作一個(gè)甲款雪花模型需

要的費(fèi)用即可；

任務(wù)三：設(shè)學(xué)校中采購(gòu)了機(jī)根長(zhǎng)管子，〃根短管子，根據(jù)總費(fèi)用1280元列出方程2xO.5m+Xn—￡)

=1280,得出n=2560—氯，根據(jù)商店中長(zhǎng)管子僅剩267根，短管子僅剩2130根，列出不等式組

fm<267

[2560--m<2130)求出258WmW267,根據(jù)機(jī)必須能被3整除，得出m=258,261,264,267,從

而得出購(gòu)買方案，根據(jù)制作一個(gè)甲款雪花模型和制作一個(gè)乙款雪花模型，都需要3根長(zhǎng)管子，得出長(zhǎng)管子

數(shù)越多制作的雪花模型越多，當(dāng)購(gòu)買267根長(zhǎng)管子，2115根短管子時(shí)，制作的雪花模型最多.

【詳解】解：任務(wù)一：設(shè)制作一個(gè)甲款雪花模型需要長(zhǎng)管子x根，則短管子7x根，制作一個(gè)乙款雪花模型

需要長(zhǎng)管子y根，則短管子9y根，根據(jù)題意得：

(x+y=6

ux+9y=48，

解得：t:1,

7x=21,9y=27,

答：制作一個(gè)甲款雪花模型需要長(zhǎng)管子3根，則短管子21根，制作一個(gè)乙款雪花模型需要長(zhǎng)管子3根，則

短管子27根；

任務(wù)二：三月，學(xué)?；ㄙM(fèi)320元向該商店購(gòu)得的長(zhǎng)管子數(shù)量比花200元購(gòu)得的短管子數(shù)量少80根，

筍+80="

2aa

解得：a=0.5,

經(jīng)檢驗(yàn)a=0.5是原方程的根；

...制作一個(gè)甲款雪花模型需要長(zhǎng)管子3根，則短管子21根，且6月1日起購(gòu)買3根長(zhǎng)管子贈(zèng)送一根短管子，

...制作一個(gè)甲款雪花模型需要的費(fèi)用為：

2x0.5x3+(21-1)x0.5=13(元)；

任務(wù)三：設(shè)學(xué)校中采購(gòu)了心根長(zhǎng)管子，〃根短管子，根據(jù)題意得：

2X0.5m+|(n--)=1280,

解得：n=2560—jm,

???商店中長(zhǎng)管子僅剩267根，短管子僅剩2130根，

(m<267

-,■12560-|m<2130'

解得：258WmW267,

-：m必須能被3整除，

=258,261,264,267,

當(dāng)m=258時(shí)，n=2560一|x258=2130,

???258+3=86,

.??能制作甲、乙兩款雪花模型共86個(gè)，需要的短管子最少為86x21=1806(根)，最多為：86x27=2322

(根)，

???1806<2130<2322,

??.此時(shí)短管子可以用完,

???可以購(gòu)買258根長(zhǎng)管子，2130根短管子；

當(dāng)爪=261時(shí)，71=2560—5x261=2125,

?,-261+3=87,

.??能制作甲、乙兩款雪花模型共87個(gè)，需要的短管子最少為87X21=1827（根），最多為：87x27=2349

（根），

???1827<2125<2349,

??.此時(shí)短管子可以用完，

???可以購(gòu)買261根長(zhǎng)管子，2125根短管子；

當(dāng)爪=264時(shí)，n=2560-|x264=2120,

???264+3=88,

???能制作甲、乙兩款雪花模型共88個(gè)，需要的短管子最少為88X21=1848（根）,最多為：88x27=2376

（根），

???1848<2120<2376,

??.此時(shí)短管子可以用完，

二購(gòu)買264根長(zhǎng)管子，2120根短管子；

當(dāng)m=267時(shí)，n=2560-|x258=2115,

???267+3=89,

???能制作甲、乙兩款雪花模型共89個(gè)，需要的短管子最少為89x21=1869（根