2024-2025學(xué)年廣東省深圳市某校高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(l—z)i=2,則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A.-iB.-1C.2iD.2

2.已知向量2與I的夾角為30。,且|砧=4,|山=2,貝/方一片等于()

A.1B.713C.13D.V7-273

3.如圖所示，在△ABC中，。為BC邊上的三等分點，若荏=2,AC=b，E為4。中點，則麗=()

A.-|a+

3o

C.-la+^b

36

D./

3o

4.設(shè)/,TH是兩條直線，a,￡是兩個平面，貝U()

A.若。〃/?,〃/a,m///?,則B.若a〃B，l//m,ml/?,則Z1a

C.若al/7,l//a,mJ",貝！H1mD.若al/7,l//a,m///?,則〃/TH

5.已知向量另=(1,2),向量4在方方向上的投影向量為一則24=()

A--lC--IDI

6.如圖，正四棱臺ABC?！猘/iGA，上下底面的中心分別為。1和0,若48=24/1=4,乙=

60°,則正四棱臺48CD-&B1QD1的體積為()

A2072

A,-T

2872

20/6

C—3-

D寫

7.一個質(zhì)地均勻的正四面體的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，并記錄每

次正四面體朝下的面上的數(shù)字.記事件力為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件B為“兩次記錄的數(shù)字和大

于4”，事件C為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件。為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則()

A.a與?；コ釨.C與。對立c.a與B相互獨立D.a與c相互獨立

8.如圖，某景區(qū)為方便游客，計劃在兩個山頭M,N間架設(shè)一條索道.

為測量M,N間的距離，施工單位測得以下數(shù)據(jù)：兩個山頭的海拔高度

MC=100yf3m,NB=5072m,在BC同一水平面上選一點4測得M

點的仰角為60。，N點的人仰角為30。，以及NM4V=45。，則M,N間

的距離為（）

A.100V-2mB.120mC.100-/3^mD.200m

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”

形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)給圖作出以下判斷，正確的是（）

A.圖（1）的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)B.圖（2）的平均數(shù)（眾數(shù)（中位數(shù)

C.圖（2）的眾數(shù)〈中位數(shù)（平均數(shù)D.圖（3）的平均數(shù)（中位數(shù)〈眾數(shù)

10.函數(shù)f（x）=Asin（MX+卬）（力>0,3>0,|如<］）的部分圖象如圖

所示，則下列說法正確的是（）

A.x=一5是f（x）的一條對稱軸

BJ⑺在（冷哈）上單調(diào)遞增

C./O）在［冶,0］上的最小值為-調(diào)

D.〃久）向右平移居個單位后為一個偶函數(shù)

11.在直四棱柱4BCD中，所有棱長均2,ABAD=60°,P為

的中點，點Q在四邊形。CQDi內(nèi)（包括邊界）運動，下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)點Q在線段CD】上運動時，四面體48PQ的體積為定值

B.若4Q〃平面&BP,貝U4Q的最小值為，

C.若AA/Q的外心為M,則初?硒為定值2b

D.若&Q=則點Q的軌跡長度為爭

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫它的直觀圖，此直觀圖恰好是

邊長為1的正方形(如圖所示)，則原平面圖形的面積為.

13.已知函數(shù)/'(%)=cos(tox+W)為奇函數(shù)，則符合條件的一個0的取值可以為.

14.在AABC中，N4CB=120。,4C=2,4B=的角平分線交4B于D,貝

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/'(x)=asinxcosx+cos(2x+*),且f。)=|-

(1)求a的值和f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間.

16.(本小題15分)

在△ABC中，a、b、c分別是角4、B、C的對邊，且(2a+c)cosB+bcosC=0.

(1)求角B的大小；

(2)若6=N13,ac-3,求△ABC的面積和周長.

17.(本小題15分)

為了解高一年級學(xué)生身體素質(zhì)的基本情況，抽取部分高一年級學(xué)生開展體質(zhì)健康能力測試，滿分100分.參

加測試的學(xué)生共40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中t的值，并估計全校高一年級體測成績的60%分位數(shù)；

(2)為提升同學(xué)們的身體素質(zhì)，校方準(zhǔn)備增設(shè)體育課的活動項目.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從得分在［70,90)

內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從中挑出兩人進(jìn)行試課，求兩人得分分別來自［70,80)和［80,90)的概率；

(3)現(xiàn)已知直方圖中考核得分在［70,80)內(nèi)的平均數(shù)為75,方差為9,在［80,90)內(nèi)的平均數(shù)為85,方差為4,

求得分在［70,90)內(nèi)的平均數(shù)和方差.

18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P—2BCD中，PA=PD=DC=BC="B=1,ABIICD,^APD=/.ABC=90°,平面

PAD1平面ABC。，E為PA中點.

(1)求證：PA1面PBD；

(2)點Q在棱PB上，若二面角P—力。-Q的余弦值為噂，求黑的值.

□rD

19.(本小題17分)

對于兩個平面向量窗b,如果有五萬一五?五>0,則稱向量d是向量方的“迷你向量”.

(1)若布=(1,久)，n=(2,1-%),萬是元的"迷你向量”，求實數(shù)X的取值范圍；

(2)一只螞蟻從坐標(biāo)原點0(0,0)沿最短路徑爬行到點N(n，m處(且?guī)?2).螞蟻每次只能沿平行或垂直于坐標(biāo)

軸的方向爬行一個單位長度，爬完第i次后停留的位置記為丹(1<i<2n),設(shè)M(n-1,0),記事件T="螞蟻

經(jīng)過的路徑中至少有幾個Pi使得麗是麗的迷你向量”.(假設(shè)螞蟻選擇每條路徑都是等可能的)

①當(dāng)n=3時，求P(T)；

②證明：P(T)W/.

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：（1—z）i=2,

則一十一2i,

故z=1+23其虛部為2.

故選：D.

先求出z,再結(jié)合虛部的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查了向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，屬于基礎(chǔ)題.

由向量數(shù)量積的定義可得五不的值，再由向量的模的平方即為向量的平方，計算即可得到所求值.

【解答】

解：向量日與石的夾角為30。，且|小=門，曲=2,

可得反-b=\a\-\b\-cos30°

——V-3x2x苧=3,

則|五一1|=J位一母2

=Ja2+b2-2a-b

=V3+4—2x3=1.

故選：A.

3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)條件：AE=^AD,BD=^BC,

：.~BE=AE-AB=^AD-AB=^（AB+jfiC）-AB=-^AB+^（AC-AB）=-|^45+^AC=~fa+

頡

故選：A.

根據(jù)向量的線性運算即可求解.

本題考查了向量數(shù)乘的幾何意義，向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：因為小是兩條直線，a,0是兩個平面，

對于2：若￡￡〃0,l//a,m//p,貝！I1與m可能平行，也可能相交，還可能異面，故A錯誤；

對于8：若［//zn,mlp,則Z10,因為a〃0,所以11a,故B正確；

對于C：若al￡,l//a,m//P，貝取與ni也可能平行或異面，故C錯誤；

對于D：若a1/?,l//a,m//p,貝〃與ni也可能平行、相交或異面，故。錯誤.

故選：B.

根據(jù)線面平行或垂直的判定及性質(zhì)定理逐個判斷即可.

本題考查空間線面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

5.【答案】C

【解析】解：因為向量江在方方向上的投影向量為^

所嚅端=與

所喘T

又因為向量3=(1,2),所以|3|=V/+22=4,

所以N不=一|.

故選：C.

利用向量旨在3方向上的投影向量為萼X金，代入數(shù)據(jù)計算可得a-b.

\b\\b\

本題主要考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：因為4BCD—&B1GD1是正四棱臺，48=24/1=4,N44B=60。，

側(cè)面以及對角面為等腰梯形，

,,UAB-A^^1<2I—

故"】=h加=2,4。==2

苧AB=2HA13=苧&&=721

所以。。1=「宙-040—4101)2=J22-(2/2-A<2)2=74^2=/2,

所以該四棱臺的體積為IZ=：。?！?SABCD+SA1B1C1D1+4SABCDSA,B,久D)=^(16+4+8)=芋.

故選:B.

利用解等腰梯形可求得棱臺的高，從而利用臺體體積公式即可求解.

本題考查幾何體體積的計算，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

其中事件4包括:(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3).

事件B包括:(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

事件C包括:(1,1),(12),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

事件0包括：(12),(1,4),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,4),

對于力：因為事件4與。有相同的基本事件，(1,2),(1,4),(2,3),(3,2),故A與D互斥不成立，故A錯

誤；

對于B：因為事件C與。有相同的基本事件，(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),故C與。對立不成立，故2錯

誤；

對于C：因為0(4)=2=1P(B)=^=|,P(AB)=^7=1，因為PQ4B)HP⑷P(B),所以4與B不是相

loZlooloO

互獨立，故c錯誤；

對于D：因為2(4)=最=:，P(C)==而p(ac)=2=),因為兩個事件的發(fā)生與否互不影響且

loZloZlo4

p(ac)=p(a)p(c),所以a與c相互獨立，故。正確.

故選：D.

列舉出基本事件，對四個選項一一判斷：對于4由事件A與。有相同的基本事件，否定結(jié)論；對于B：由

事件C與。有相同的基本事件，否定結(jié)論；對于C、D-.利用公式法進(jìn)行判斷.

本題考查的知識點是對立事件和獨立事件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：由題意得NM2C=60°,ANAB=30°,MC=100/3,WB=5072,^MAN=45°,且=

乙NBA=90°,

在RM4CM中，AM=^-.=200,

sinoO

^RtAABN^3,AM=-^=100/2,

sm30

在AAMN中，由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM?ANcos乙MAN=20000,

故MN=10072m.

故選：A.

根據(jù)題意，^RtAACM^ORt△ABN^,分別求得AM=200和AM=100，^,再在ANMN中，利用余弦定

理，即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，A正確；

圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，8錯誤，C正確；

圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，。正確.

故選：ACD.

根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：由圖知4="=，兀一§=[,所以7=兀，則3=2,

即/（久）=V-2sin（2x+cp）.

因為=>/"^比（|兀+0）=0,所以|TT+0=/OT,kEZ,即9=-|TT+/OT,kEZ.

因為⑼<5得0所以/O）=V^sin（2x+，）,

對于選項A,%=—狎，2x+：*,此時函數(shù)不是取得最值，

所以久=—杯是"X）的對稱軸，故A錯誤；

對于選項2,當(dāng)xe（/總）時，2%+建（一或分，

此時/（久）=涯sin（2x+9在（/，工）上單調(diào)遞增，故B正確；

對于選項C,當(dāng)xe[-果0]時，2久+"[-梟芻，最小值為f（—勺=一學(xué)，故C錯誤；

對于選項D,f（x—瑞）=—yTZcos2x,又因為—，^cos2（—x）=—yTZcosZx,

所以/。-瑞）=-2COS2久是偶函數(shù)，故f（x）向右平移居個單位后為一個偶函數(shù)，故。正確.

故選：BD.

由圖可知4=結(jié)合周期求得3=2,進(jìn)而求得/O)=，1sin(2x+0),進(jìn)而逐項計算判斷即可.

本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于4因為&B〃DiC,又因為u面&BP,DR，面&BP,

所以〃面&8P,所以直線CD】到平面48P的距離相等，

又的面積為定值，故A正確；

對于8,取。。1，DC的中點分別為M,N,連接AM,MN,AN,

則易證明：AM//C,4MC面&BP,PCC面41BP,所以AM〃面&BP,

又因為41B//MN,MN，面AiBP,AXB，面4]BP,所以MN〃面&BP,

MNCAM=M,所以平面&BP〃面AMN,AQc^AMN,所以2Q〃平面4tBP,

當(dāng)2Q1MN時，力Q有最小值，則易求出4M=A,MN=

AN=VAD2+DN2-2AD-DNcosl20°=J4+1-2X2X1X(-1)=A<7>

對于C,若△&BQ的外心為M,過M作M”1于點兒|碩|=V22+22=2，W，

貝IJ"?而彳=g乖2=4,故C錯誤;

小

對于0,過41作①。1Cd于點0,易知。。_L平面=A^cos^=1,

在Dj_C1上取點A3，人2，使得D1/I3=D、Az=1>

則HA=4遇2=。4=。42=V7—3=2,所以若AIQ=，7,則Q在以。為圓心，2為半徑的圓弧

①區(qū)上運動，

又因為D1。=1,D14=所以乙43。42=幸則圓弧&&等于半故。正確.

故選：ABD.

由題易證得〃面&BP,所以直線CD1到平面&BP的距離相等，又△?1把「的面積為定值，可判斷4取

DD],DC的中點分別為M,N,連接AM,MN,AN,由面面平行的判定定理可得平面418P〃面AMN,因

為AQu面4MN,所以4Q〃平面&BP,當(dāng)4Q1MN時，4Q有最小值可判斷B；由三角形外心的性質(zhì)和向

量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷C；在。必，AG上取點4,4，使得。送3=1，易知點Q的軌跡為圓

弧可判斷，

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】2/2

【解析】解：根據(jù)題意，把直觀圖O'A'B'C'還

原為原平面圖形04BC,如圖所示：

則原平面圖形04BC是平行四邊形，且底面邊

長。4=O'A'=1,

高為。B=20'B'=2X=2<2,

所以原片名圖形的面積為S=。4?。8=

2匹

故答案為：2—L

把直觀圖還原為原平面圖形，根據(jù)原平面圖形是平行四邊形，求解即可.

本題考查了平面圖形的直觀圖應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】在答案不唯一）

【解析】解：,?,/（%）=COS（3久+W）為奇函數(shù),

（p=kn+7TkEZ,

取k=0,得⑴的一個值為?

故答案為：9答案不唯一）.

根據(jù)余弦型函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，可得0=+3kez,進(jìn)而可得結(jié)果.

本題考查的知識點是余弦型函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】|

【解析】解：在△ABC中，AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosl200,

即7=4+BO?-2x2BCx（-今，整理得BC?+2BC-3=0,解得BC=1（舍負(fù)）.

因為CD平分乙4C8,41cB=120。，所以乙4c0=NBC。=60。，

[11

由SAABC=S^ADC+SABDC,得“C?BCs譏120°=^AC-CDsin60°+fCD-BCsin600,

1￡11

得

可X2X1X-XDXXcDX732

2-22-2C2-

故答案為：|.

首先根據(jù)余弦定理，在△ABC中求出8c=1,然后根據(jù)S^BC=SMDC+SABDC，利用三角形的面積公式列

式求出CD的長，可得答案.

本題主要考查余弦定理、三角形的面積公式等知識，考查了計算能力、圖形的理解能力，屬于中檔題.

15.【答案】解:(1)因為/(1)=)所以&)=asiWcos[+cosG+勺",

4Z444ZOZ

即=解得a=4,

所以/(%)=^sinxcosx+cos(2x+*)=2sin2x+苧cos2%—^sin2x

=。sin2x+fcos2x=V_3sin(2x+7),

LL6

所以/(x)的最小正周期為三=n.

(2)由一彳+2kjt<2x+—<—+2kn,keZ,解得——+kit<x<—+kic,kEZ,

z6230

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［冶++kn］,keZ,

所以f(x)在［0,捫上的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,J仔，捫.

【解析】(1)根據(jù)/?)='求出a,然后利用三角恒等變換公式化簡，由周期公式可得;

(2)利用整體代入法求出/(*)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合x6［0,兀］可得.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.

16.【答案】~

../-3V-3

4+V41n3,――.

4

【解析】(1),?,由已知得：IsinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0,

???2sinAcosB+sin(8+C)=0,

B+C=n—A,

???sin(B+C)=sin(7r—A)=sinA,

cosBn=—21，

n27r

???B=

(2)vb—V13,ac=3,B=與，

.?.由辦2=a2+c2-2accosB,可得13=a2+c2+ac=(a+c)2—ac=(a+c)2—3,

可得：a+c=4.

ABC的周長a+b+c=4+713,S&ABC=\acsinB=13x?=苧.

(1)把已知的等式變形，利用正弦定理化簡，再根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形，根

據(jù)si加4不為0,在等式兩邊同時除以sin4得到cosB的值，由8為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值

即可求出B的度數(shù)；

(2)由已知利用余弦定理可求a+c的值，即可求出三角形4BC的周長，利用三角形的面積公式即可求解三

角形的面積.

此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握定

理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

17.【答案】t=0.03；成績的60%分位數(shù)估計為85；I；平均數(shù)為81；方差為30.

【解析】(1)根據(jù)題意可得(0.01+0.015+0.02+t+0.025)x10=1,解得t=0.03；

因為前幾組的頻率依次為0.1,0,15,0.2,0.3,

所以成績的60%分位數(shù)在［80,90)內(nèi)，且估計為80+0-6-0?晨15-0.2=gs；

(2)因為［70,80)和［80,90)的頻率之比為0.2：0.3=2：3,

所以［70,80)中抽2人，［80,90)中抽3人，

所以再從這5人中挑出2人進(jìn)行試課，則兩人得分分別來自［70,80)和［80,90)的概率為零=|；

C55

⑶因為［70,80)和［80,90)的頻率之比為0.2：0.3=2：3,

且得分在［70,80)內(nèi)的平均數(shù)為75,方差為9,在［80,90)內(nèi)的平均數(shù)為85,方差為4,

所以得分在［70,90)內(nèi)的平均數(shù)為75x|+85x|=81；

所以得分在［70,90)內(nèi)的方差為［9+(75-81)2］X-+［4+(85-81)2］x-=30.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)及百分位數(shù)的求法，即可求解；

(2)根據(jù)分層抽樣的概念及古典概型的概率公式，即可求解；

(3)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)與方差的結(jié)論，即可求解.

本題考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

18.【答案】證明見解析；

【解析】(1)證明：由題意：BC=CD=1,^BCD=90°,AB"CD,

???解這個直角梯形4BCD可得：BD=YI，AD=72，

又AB=2,BD2+AD2=AB2,即BD1AD,

又■平面PAD1平面力BCD,平面PADn平面ABC。=AD,BDu平面ZBCD,

BD1平面PAD,又P4u平面PAD,BDVPA,

又???P41PD,且BDu平面PBD,PDu平面PBD,BDCPD=D,

：.PA_L平面PBD；

(2)以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

個Z

則。(0,0,0),71(72,0,0),8(0,調(diào),0),P(￥，0,苧)，

...反=(2,0,0),麗=(耳,0,苧),麗=(-苧，"一苧)，

設(shè)可=4而，有的=麗+而=麗+4而=(苧(1一2),2/1,苧(1-4)),

令元=(居y,z)是平面ZDQ的一個法向量，

則宿