4.5

函數(shù)的應用(二)知識點1

常見的函數(shù)模型知識清單破4.5.3

函數(shù)模型的應用常見的函數(shù)模型一次函數(shù)模型y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)指數(shù)函數(shù)模型y=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)模型y=mlogax+n(m,a,n為常數(shù),m≠0,a>0且a≠1)常見的函數(shù)模型冪函數(shù)模型y=axn+b(a,n,b為常數(shù),a≠0)利用函數(shù)模型解決實際問題的基本過程知識點2知識辨析1.銀行利率、細胞分裂等增長率問題可以選用何種函數(shù)模型來模擬?2.在不同的范圍內(nèi),變量的對應關(guān)系不同時,可以選擇何種函數(shù)模型?3.用函數(shù)模型預測的結(jié)果和實際結(jié)果是否必須相等?一語破的1.可以選用指數(shù)函數(shù)模型來模擬.2.可以選擇分段函數(shù)模型.3.不是.用函數(shù)模型預測的結(jié)果和實際結(jié)果可以有誤差,好的函數(shù)模型預測的結(jié)果與實際結(jié)果

誤差較小.定點1利用函數(shù)模型解決實際問題關(guān)鍵能力定點破利用函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)審題——弄清題意,理順數(shù)量關(guān)系;(2)建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,利用數(shù)學知識建立相

應的函數(shù)模型;(3)求?！评聿⑶蠼夂瘮?shù)模型;(4)還原——用得到的函數(shù)模型描述實際問題.典例環(huán)保生活,低碳出行,電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.在一段平坦的國道上對某型

號電動汽車進行測試,國道限速80km/h(不含80km/h).經(jīng)多次測試,得到該電動汽車每小時耗

電量M(W·h)與平均速度v(km/h)的數(shù)據(jù)如下:v0104060M0132544007200為了描述國道上該電動汽車每小時耗電量與平均速度的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇

(a,b,c均為常數(shù)):M=

v3+bv2+cv,M=1000

+a,M=300logav+b(a>0,且a≠1).(1)當0≤v<80時,請選出你認為最符合表格中數(shù)據(jù)的函數(shù)模型,并求出相應的函數(shù)解析式;(2)現(xiàn)有一輛同型號的電動汽車從A地駛到B地,前一段是200km的國道,后一段是50km的高

速路,若已知高速路上該汽車每小時耗電量N(W·h)與平均速度v(km/h)的關(guān)系是N=2v2-10v+200(80≤v≤120),則如何行駛才能使得總耗電量最少?最少為多少?解析

(1)對于M=300logav+b,當v=0時,此函數(shù)模型無意義,所以不符合題意;對于M=1000

+a,它顯然是一個減函數(shù),根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可知,當v=40時,M=4400,當v=60時,M=7200,4400<7200,所以不符合題意,故選擇M=

v3+bv2+cv.根據(jù)題表中的數(shù)據(jù),有

解得

故M=

v3-2v2+150v,經(jīng)檢驗,當v=0和v=60時,該函數(shù)解析式同樣適用.(2)設國道上的平均速度為v1,由國道路段長為200km,可知所用時間為

h,設所耗電量(W·h)為f(v1),則f(v1)=

·

-2

+150v1

=5(

-80v1+6000)=5(v1-40)2+22000(0<v1<80),所以f(v1)min=f(40)=22000;高速路段長為50km,所用時間為

h,設所耗電量(W·h)為g(v),則g(v)=

·(2v2-10v+200)=100×

=100×

-500(80≤v≤120),由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,g(v)在[80,120]上單調(diào)遞增,所以g(v)min=g(80)=100×

-500=7625.故當這輛汽車在國道上的平均速度為40km/h,在高速路上的平均速度為80km/h時,總耗電量

最少,最少為22000+7625=29625(W·h).

建立擬合函數(shù)模型解決實際問題?函數(shù)擬合與預測的一般步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格繪制散點圖;(2)通過觀察散點圖,畫出擬合直線或擬合曲線;(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式;(4)利用函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)條件對所給問題進行預測,為決策和管理提供依據(jù).定點2典例某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,自2018年以來,每年在正常情況下,該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長.

已知2018年為第1年,前4年年產(chǎn)量f(x)(萬件)如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44(1)畫出2018—2021年該產(chǎn)品年產(chǎn)量的散點圖;(2)建立一個能基本反映(誤差小于0.1)這一時期該產(chǎn)品年產(chǎn)量變化的函數(shù)模型,并求出函數(shù)

解析式;(3)2022年(即x=5)因受到某種影響,年產(chǎn)量減少30%,試根據(jù)所建立的函數(shù)模型,估計2022年的

年產(chǎn)量.解析

(1)畫出散點圖,如圖所示.(2)由(1)中散點圖知,可選用一次函數(shù)模型.設f(x)=ax+b(a≠0),將(1,4),(3,7)代入,得

解得

所以f(x)=1.5x+2.5.檢驗:f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1,f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.所以一次函