試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2023-2024學(xué)年上海師大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（第1~6題，每小題4分，第7~12題，每小題4分，共54分）（其中第1題包含解題視頻，可掃描頁(yè)眉二維碼，點(diǎn)擊對(duì)應(yīng)試題進(jìn)行查看）1．函數(shù)的定義域?yàn)椋?．若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．3．若，則不同的有序集合組共有種．4．若函數(shù)的定義域與值域都是，則實(shí)數(shù)．5．已知函數(shù)，若滿足，則．6．納皮爾精確的對(duì)數(shù)定義來(lái)源于一個(gè)運(yùn)動(dòng)的幾何模型：假設(shè)有兩個(gè)沿兩平行直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)C和F，其中點(diǎn)C從線段的端點(diǎn)A向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從射線的端點(diǎn)D出發(fā)向E運(yùn)動(dòng)，其中的長(zhǎng)為的長(zhǎng)無(wú)限大．若的長(zhǎng)度滿足在第秒時(shí)的長(zhǎng)度滿足在第t秒時(shí)，記，則x是關(guān)于y的一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)．根據(jù)以上定義，當(dāng)時(shí)，則．7．如圖，我國(guó)古代珠算算具算盤每個(gè)檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開(kāi)，梁上面2顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，記上珠的個(gè)數(shù)為X，則．8．已知且，則的取值范圍是．9．已知滿足方程：滿足方程：，則．10．已知正數(shù)，滿足，則的最大值是.11．用模型擬合一組數(shù)據(jù)，若，，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則ak=.12．對(duì)于定義在非空集上的函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)，有，則稱函數(shù)為“準(zhǔn)單調(diào)遞增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域，則在滿足這樣條件的所有函數(shù)中，為“準(zhǔn)單調(diào)遞增函數(shù)”的概率是．二、選擇題（第13~14題，每小題4分，第15~16題，每小題4分，共18分）13．人生在世，最大的問(wèn)題，莫過(guò)于“學(xué)以成人”的問(wèn)題；“學(xué)好數(shù)學(xué)”是“成人”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列關(guān)系式中可能成立的是（）A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0C．1＜a＜b D．a(chǎn)＝b15．已知兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y滿足條件，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．設(shè)函數(shù)，則的圖像大致為（

）A． B． C． D．16．已知定義在R上的嚴(yán)格遞增函數(shù)滿足：任意，有，則下列兩個(gè)命題的真假情況是（

）命題甲：存在非零實(shí)數(shù)T，使得任意；命題乙：存在非零實(shí)數(shù)c，使得任意．A．甲真乙假 B．甲假乙真 C．甲真乙真 D．甲假乙假三、解答題（共5題，滿分78分）17．設(shè)R，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增.18．（1）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根分別為，，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，，是方程的兩個(gè)實(shí)根，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對(duì)任意，，其中符號(hào)表示對(duì)所有滿足的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對(duì)離散型隨機(jī)變量成立．(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對(duì)治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過(guò)使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式通過(guò)計(jì)算說(shuō)明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信．20．高一的珍珍閱讀課外書籍時(shí)，發(fā)現(xiàn)笛卡爾積是代數(shù)和圖論中一個(gè)很重要的課題.對(duì)于非空數(shù)集A，B，定義且，將稱為“A與B的笛卡爾積”(1)若，，求和；(2)試證明：“”是“”的充要條件；(3)若集合是有限集，將集合的元素個(gè)數(shù)記為.已知，且存在實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意恒成立.求的取值范圍，并指明當(dāng)取到最值時(shí)和滿足的關(guān)系式及應(yīng)滿足的條件.21．給定函數(shù)與，若為減函數(shù)且值域?yàn)椋槌?shù)），則稱對(duì)于具有“確界保持性”.(1)證明：函數(shù)對(duì)于不具有“確界保持性”；(2)判斷函數(shù)對(duì)于是否具有“確界保持性”；(3)若函數(shù)對(duì)于具有“確界保持性”，求實(shí)數(shù)的值.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．【分析】由對(duì)數(shù)有意義的條件即真數(shù)大于0解不等式即可得解.【詳解】要使有意義，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.2．【分析】根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：3．9【分析】對(duì)集合分類討論即可得解.【詳解】根據(jù)題意，若，則，若，則或，若，則或，若，則或或或，故不同的有序集合組共有種．故答案為：9．4．5【分析】由題意得，解方程組可得的值.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，又函數(shù)在上的值域也為，則，即，由①得：，代入②得：，解得：（舍），．把代入得：．故答案為：5．5．12【分析】由題意得，進(jìn)一步代入求值即可.【詳解】因?yàn)椋覞M足，所以，解得，所以．故答案為：12．6．18【分析】第t秒時(shí)，令求出，再由可得答案.【詳解】由題意知，第t秒時(shí)，令得，，解得，又因?yàn)榈趖秒時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，．故答案為：18．7．【分析】由超幾何分布的概率公式、互斥加法以或者對(duì)立減法公式即可求解.【詳解】解：法一：由題意可知，x的所有可能取值為0，1，2，則．法二：由題意可知，的所有可能取值為0，1，2，則．故答案為：．8．【分析】由題意得，進(jìn)一步，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】，則，故，則，令，則，故，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故，即．故答案為：．9．3【分析】由題意得與，都是方程的實(shí)數(shù)根，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】由題意可得，即，所以與，都是方程的實(shí)數(shù)根，令，，所以在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，即，所以根?jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一實(shí)數(shù)，使得，所以方程有唯一的實(shí)數(shù)根，所以，所以．故答案為：3．10．【分析】設(shè)，則，同時(shí)根據(jù)均為正數(shù)確定的取值范圍，利用基本不等式可求得，解不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，均為正數(shù)，，解得：；則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），又，當(dāng)，時(shí)，取得最小值；，即，解得：，滿足，的最大值為.故答案為：9【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用換元法配湊出符合基本不等式的形式，從而構(gòu)造出關(guān)于的不等式.11．【分析】先求出，因?yàn)樵诨貧w直線上，求出，將化簡(jiǎn)為，代入即可得出答案.【詳解】由題意得，因?yàn)樵诨貧w直線上，所以，由得與比較得：，a.故答案為：.12．【分析】首先根據(jù)值域個(gè)數(shù)，將定義域中的元素進(jìn)行分組，求解所有的函數(shù)個(gè)數(shù)，再利用隔板法求函數(shù)為增函數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型概率公式，即可求解.【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t有1個(gè)函數(shù)，所以值域?yàn)閱卧氐暮瘮?shù)有3個(gè)，若值域?yàn)?，將定義域中的元素分組為3,3，則有個(gè)函數(shù)，將定義域中的元素分組為2,4，則有個(gè)函數(shù)，將定義域中的元素分組為1,5，則有個(gè)函數(shù)，則共有個(gè)函數(shù)，所以值域?yàn)殡p元素的函數(shù)共有個(gè)函數(shù)；若值域?yàn)椋瑢⒍x域中的元素分組為1,2,3，則有個(gè)函數(shù)，將定義域中的元素分組為2,2,2，則有個(gè)函數(shù)，將定義域中的元素分組為1,1,4，則有個(gè)函數(shù)，則共有個(gè)函數(shù)，綜上可知，共有個(gè)函數(shù)，其中，若函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)值域?yàn)閱卧丶?，?個(gè)函數(shù)，滿足條件，當(dāng)值域有2個(gè)元素，將元素1,2,3,4,5,6中間隔1塊板，有5種方法，則有個(gè)函數(shù)，若值域有3個(gè)元素，則將元素1,2,3,4,5,6中間隔2塊板，有種方法，即有10個(gè)函數(shù)，綜上可知，為增函數(shù)的函數(shù)有個(gè)函數(shù)，所以為增函數(shù)的概率.故答案為：13．B【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義結(jié)合“學(xué)以成人”即可判斷.【詳解】“學(xué)好數(shù)學(xué)”不一定能推出“成人”，充分性不成立，“成人”能推出“學(xué)好數(shù)學(xué)”，必要性成立，故“學(xué)好數(shù)學(xué)”是“成人”的必要不充分條件．故選：B．14．ABD【分析】根據(jù)題目實(shí)數(shù)，滿足，設(shè)，，畫出函數(shù)圖象，逐段分析判斷即可．【詳解】設(shè)，則都為增函數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象，兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，分別為，對(duì)于A，作直線分別與圖象相交，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且，此時(shí)，即能成立，故A正確；對(duì)于B，作直線分別與圖象相交，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且，此時(shí)，即能成立，故B正確；對(duì)于C，，因?yàn)椋?，所以此時(shí)不可能成立，故C不正確；對(duì)于D，或，成立，所以D正確．故選：ABD．15．D【分析】計(jì)算，可判斷函數(shù)的對(duì)稱性，再計(jì)算，即可排除選項(xiàng).【詳解】或，因?yàn)?，所以或，即或，或或因?yàn)榉臉?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以根據(jù)對(duì)稱性可知，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故排除AC；當(dāng)時(shí)，，，所以或,因?yàn)?，其中，，，根?jù)原則可知，，所以排除B；故選：D16．B【分析】根據(jù)單調(diào)性可知甲；當(dāng)時(shí)，根據(jù)的對(duì)稱中心及其在時(shí)的值域可判斷乙.【詳解】令，則，即，所以，又，所以；因?yàn)闉镽上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以不存在非零實(shí)數(shù)T，使得任意，故甲錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，由，得關(guān)于成中心對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)，為的對(duì)稱中心；當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉镽上的嚴(yán)格增函數(shù)，，所以，所以；由圖象對(duì)稱性，此時(shí)對(duì)任意，故乙正確．故選：B．17．(1)(2)【分析】（1）由題得再解不等式得解.(2)分類討論，和，數(shù)形結(jié)合分析得到使得在區(qū)間上單調(diào)遞增的a的取值范圍.【詳解】（1）由題得.（2）若，即，二次函數(shù)y=，在區(qū)間上單調(diào)遞增.∴；若，即或，當(dāng)，；當(dāng)，，明顯符合，所以此時(shí)綜上，.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的解法，考查函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.18．（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)韋達(dá)定理和已知條件解出兩個(gè)實(shí)數(shù)根的表達(dá)式，再代入韋達(dá)定理求解即可.（2）先根據(jù)韋達(dá)定理得出根之間的關(guān)系，根據(jù)表達(dá)式判斷根正負(fù)性，最后結(jié)合①求解即可．【詳解】（1）根據(jù)韋達(dá)定理可得，又，所以，．所以，解得，．又因?yàn)?，且，是兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，所以，所以．（2）由韋達(dá)定理，得，，，．前后兩式分別相除，得．因?yàn)?，所以、同?hào)．若，則，，矛盾．若，則，，矛盾．所以、、、同號(hào)，且有，即．又因?yàn)?，得，所以，得，即，結(jié)合，可知實(shí)數(shù)的取值范圍為．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)不可信【分析】（1）利用馬爾科夫不等式的證明示例證明即可；（2）由題意可知治愈的人數(shù)為服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布計(jì)算均值與方差，再結(jié)合切比雪夫不等式說(shuō)明即可.【詳解】（1）法一：對(duì)非負(fù)離散型隨機(jī)變量及正數(shù)使用馬爾科夫不等式，有．法二：設(shè)的分布列為其中，記，則對(duì)任意，.（2）設(shè)在100名患者中治愈的人數(shù)為．假設(shè)藥企關(guān)于此新藥有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實(shí)的，那么在此假設(shè)下，．由切比雪夫不等式，有．即在假設(shè)下，100名患者中治愈人數(shù)不超過(guò)60人的概率不超過(guò)0.04，此概率很小，據(jù)此我們有理由推斷藥廠的宣傳內(nèi)容不可信．20．(1)答案見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解(3)答案見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)的定義直接運(yùn)算求解；（2）根據(jù)的定義結(jié)合充分必要條件分析證明；（3）設(shè)，則，，結(jié)合基本不等式求的取值范圍，并結(jié)合根式分析求解.【詳解】（1）由題意可得：，.（2）若，設(shè)，由定義可知：且，所以“”是“”的必要條件；若，對(duì)任意，均有，即對(duì)任意，均有，由任意性可知，則，所以“”是“”的充分條件；綜上所述：“”是“”的充要條件.（3）設(shè)，則，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.若取到最大值，則，即，可得，即，所以.21．(1)證明見(jiàn)解析(2)具有(3)3【分析】（1）令，以特殊值說(shuō)明函數(shù)不滿足值域?yàn)?，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)對(duì)于具有“確界保持性”的定義，說(shuō)明滿足定義中的條件，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，先確定時(shí)，函數(shù)符合題意，再分別說(shuō)明和時(shí)，函數(shù)值域不符合題意，即可確定答案.【詳解】（1）證明：令，因?yàn)?，不滿足函數(shù)值域?yàn)椋屎瘮?shù)對(duì)于不具有“確界保持性”；（2）函數(shù)對(duì)于具有“確界保持性”；理由如下：令，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)對(duì)于具有“確界保持性”；（3）令，根據(jù)“確界保持性”定義可知在上單調(diào)遞減，故，即的值域?yàn)椋挥捎?，可以看到，若?dāng)，即時(shí)，則可化簡(jiǎn)為，且在上均單調(diào)遞減，故先證明符合題意；當(dāng)時(shí)，，先證明在上單調(diào)遞減，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，故，，，則，即，故，即，所以在