數(shù)學(xué)第第頁《平行四邊形》菱形第1課時(shí)A卷（基礎(chǔ)）一、選擇題1．菱形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線互相平分 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相垂直 D．每一條對(duì)角線平分一組內(nèi)角【答案】B【解析】菱形的四邊相等；對(duì)角線互相垂直、平分且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，但不一定相等，故選B．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【難度】★【題型】選擇題2．如圖，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，則菱形的面積為（）A．20 B．24 C．30 D．48【答案】B【解析】在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴菱形的面積為＝AC?BD＝×8×6＝24．故選B．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【難度】★【題型】選擇題3．如圖，AC為菱形ABCD的對(duì)角線，已知∠ADC＝140°，則∠BCA等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴∠D+∠BCD＝180°，∠DCA＝∠BCA．∵∠ADC＝140°，∴∠BCD＝40°．∴∠BCA＝BCD＝20°．故選C．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【難度】★【題型】選擇題4．如圖，若菱形ABCD的周長(zhǎng)16cm，則菱形ABCD的一邊的中點(diǎn)E到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離為（）A．1cm B．2cm C．3cmD．4cm【答案】B【解析】∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為16cm，∴BC＝4cm．∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，∴OE＝BC＝2cm．故選B．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【難度】★【題型】選擇題5．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周長(zhǎng)是15，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（）A．23B．20C．15D．10【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是菱形，AC是對(duì)角線，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∵△ABC的周長(zhǎng)是15，∴AB＝BC＝5，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是20．故選B．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【難度】★【題型】選擇題二、填空題6．如果一個(gè)菱形的一條邊長(zhǎng)為2cm，那么這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為____cm．【答案】8【解析】∵菱形的四條邊都相等，∴菱形的周長(zhǎng)＝4×2＝8（cm）．故答案為：8．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【難度】★【題型】填空題7．如圖，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，則AC＝____．【答案】4【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴AC＝AB＝4．故答案為4．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【難度】★【題型】填空題8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是菱形．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，4），則菱形的周長(zhǎng)為____，點(diǎn)B的坐標(biāo)是____．【答案】20，（5，0）【解析】如圖，過A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，4），∴OE＝3，AE＝4．∴AO＝＝5．∵四邊形AOBC是菱形，∴AO＝AC＝BO＝BC＝5．∴菱形的周長(zhǎng)＝4AB＝20，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，0）．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【難度】★【題型】填空題三、解答題9．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求證：AE＝AF．【答案】證明見解析過程．【解析】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD．在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA）．∴AE＝AF．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【難度】★【題型】解答題10．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6．（1）求∠BAD，∠ABC的度數(shù)；（2）求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）∠BAD＝60°，∠ABC＝120°．（2）AB＝6．【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BCD＝2∠ACD，∠BAD＝∠BCD，∠BAD＋∠ABC＝180°．∵∠ACD＝30°，∴∠BCD＝60°．∴∠BAD＝∠BCD＝60°．∴∠ABC＝180°－∠BAD＝120°．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，∴△BCD為等邊三角形．∴AB＝BC＝BD＝6．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．【難度】★【題型】解答題B卷（鞏固）一、選擇題1．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AC＝12，BD＝16，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．24 B．32 C．30 D．28【答案】B【解析】由菱形的性質(zhì)可得，，∠AOB＝90°，AB＝BC．∴．∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC＝32．故選B．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，勾股定理．【難度】★★【題型】選擇題2．如圖，菱形ABCD中對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，則OE的長(zhǎng)是（）A．2.5 B．5 C．2.4 D．不確定【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AO＝AC，BO＝BD．∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3．∴AB＝＝5．∵?AB?EO＝×AO×BO，∴5EO＝4×3．∴EO＝．故選C．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；勾股定理．【難度】★★【題型】選擇題3．如圖，在菱形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，DA＝DE，連接EC．若∠ADE＝36°，則∠DEC的度數(shù)為（）A．72°B．54°C．50°D．48°【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，CD∥AB．∵DE＝AD，∠ADE＝36°，∴DE＝DC，∠A＝∠DEA＝×（180°－36°）＝72°．∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠DEA＝72°．∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°－72°）＝54°．故選B．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【難度】★★【題型】選擇題4．如圖，已知E是菱形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，且∠DAE＝∠B＝80°，那么∠CDE的度數(shù)為（）A．35° B．30°C．25°D．20°【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝AD，∠ADC＝∠B＝80°．∴∠AEB＝∠DAE＝∠B＝80°．∴AE＝AB＝AD．∴∠ADE＝（180°－∠DAE）＝（180°－80°）＝50°．∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝80°－50°＝30°．故選B．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【難度】★★【題型】選擇題5．一個(gè)菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和是10cm，面積是12cm2，則菱形的周長(zhǎng)為（）A． B．4cm C．2cm D．4cm【答案】B【解析】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，則OA＝OC，OB＝OD．設(shè)OA＝OC＝xcm，OB＝OD＝y(tǒng)cm，則AC＋BD＝2x＋2y＝10（cm），∴x＋y＝5．∴S菱形ABCD＝×2x×2y＝12（cm2），∴xy＝6．∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°．∴AB＝＝＝＝＝（cm），∴AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4（cm），∴菱形的周長(zhǎng)為4cm，故選B．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；整式的乘法公式；勾股定理．【難度】★★【題型】選擇題6．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是DP，BP的中點(diǎn)，則線段EF的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．2 D．2【答案】A【解析】如圖，連接BD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝4．∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形．∴BD＝AD＝4．∵E，F(xiàn)分別是DP，BP的中點(diǎn)，∴EF為△PBD的中位線，∴EF＝BD＝2．故選A．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．【難度】★★【題型】選擇題7．如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上小明用兩根木條釘成一個(gè)角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，將一根橡皮筋兩端固定在點(diǎn)A，B處，拉展成線段AB，在平面內(nèi)，拉動(dòng)橡皮筋上的一點(diǎn)C，當(dāng)四邊形OACB是菱形時(shí)，橡皮筋再次被拉長(zhǎng)了（）A．4cmB．8cmC．D．【答案】C【解析】連接CO，交AB于H，∵四邊形ABCD是菱形，∠AOB＝120°，∴AB⊥OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，AH＝BH，AC＝BC＝AO＝4cm．∴∠BAO＝30°．∴OH＝AO＝2cm，AH＝OH＝2cm．∴AB＝2AH＝4cm．∴橡皮筋再次被拉長(zhǎng)了（8－4）cm．故選C．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【難度】★★【題型】選擇題二、填空題8．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．【答案】（3，0）．【解析】如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)E，BD交y軸于點(diǎn)F，則OC＝EF．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BE＝DE＝BD．∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，2），∴BF＝1，DF＝7，BD∥x軸．∴BD＝BF＋DF＝8．∴BE＝DE＝4．∴OC＝EF＝BE－BF＝4－1＝3．∵點(diǎn)C在x軸上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（3，0）．故答案為：（3，0）．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【難度】★★【題型】填空題9．如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，面積為24，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，分別作P點(diǎn)到直線AB、AD的垂線段PE、PF，則PE＋PF等于______．【答案】4.8．【解析】∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，面積為24，∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12．∵分別作P點(diǎn)到直線AB、AD的垂線段PE、PF，∴×AB×PE＋×PF×AD＝12．∴×5×（PE＋PF）＝12．∴PE＋PF＝4.8．故答案為：4.8．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【難度】★★【題型】填空題10．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，OH＝3，若菱形ABCD的面積為36，則AB的長(zhǎng)為______．【答案】．【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°．∴BD＝2OH．∵OH＝3，∴BD＝6．∵菱形ABCD的面積＝，∴AC＝12．∴AO＝6．在Rt△AOB中，．故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；直角三角形斜邊中線性質(zhì)．【難度】★★【題型】填空題11．如圖，在菱形ABCD中，AB＝13，AC＝24，過點(diǎn)C作CE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則線段CE的長(zhǎng)為______．【答案】．【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC，BD＝2OB．∵AC＝24，∴OA＝12．∴OB＝＝＝5．∴BD＝10．∴菱形的面積＝AC?BD＝AB?CE．∴×24×10＝13CE．∴CE＝．故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【難度】★★【題型】填空題12．如圖，菱形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若∠EAF＝60°，則∠D的度數(shù)為______．【答案】80°．【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝DC．由題意得：AB＝AE，AD＝AF，∴∠AEB＝∠B，∠AFD＝∠D．∴∠AEB＝∠B＝∠AFD＝∠D．∵∠BAE＝180°－∠B－∠AEB，∠DAF＝180°－∠D－∠AFD，∴∠BAE＝∠DAF．設(shè)∠B＝x，則∠AEB＝∠D＝x．∴∠DAF＝∠BAE＝180°－2x．∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∴∠B＋∠BAD＝180°．即x＋180°－2x＋60°＋180°－2x＝180°．解得x＝80°．∴∠D＝80°．故答案為：80°．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【難度】★★【題型】填空題三、解答題13．如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．∠BAD＝110°，求∠EAF的度數(shù)．【答案】70°．【解析】在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AD∥BC，∴∠B＝∠D＝180°－∠BAD＝180°－110°＝70°．∵AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°－70°＝20°．∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝110°－2×20°＝70°．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；直角三角形兩銳角互余．【難度】★★【題型】解答題14．如圖，在菱形ABCD中，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使得AE＝AB，連接DE．（1）求證：△BDE為直角三角形；（2）若DE＝6cm，求OC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明過程見解析；（2）3cm．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD．∴∠ABD＝∠ADB．∵AE＝AB，∴AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE．∵∠ABD＋∠ADB＋∠AED＋∠ADE＝180°．∴2∠ADB＋2∠ADE＝180°．∴∠ADB＋∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°．∴△BDE為直角三角形.（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD．∵AE＝AB，∴OA＝DE＝6＝3（cm）．∴OC＝OA＝3cm．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形的定義；三角形中位線定理．【難度】★★【題型】解答題15．如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：△ADE≌△CBF.（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么四邊形？說明理由．【答案】（1）證明見解析.（2）四邊形AGBD是矩形.理由見解析．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB，∠DAE＝∠BCF，AB＝CD．∵E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝AB，CF＝CD．∴AE＝CF．在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）解：四邊形AGBD是矩形．理由如下：∵AD∥CB，AG∥DB，∴四邊形AGBD是平行四邊形．∵四邊形BEDF是菱形，∴DE＝BE．∴DE＝AE．∴∠EAD＝∠EDA，∠EBD＝∠EDB∴∠EDA＋∠EDB＝∠EAD＋∠EBD＝×180°＝90°，即∠ADB＝90°．∴四邊形AGBD是矩形．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【難度】★★【題型】解答題C卷（拓展）一、選擇題1．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC＝12，BD＝16，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，且P不與點(diǎn)B、C重合．過P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，連接EF，則EF的最小值等于（）A．3.6 B．4.8 C．5 D．6【答案】B【解析】如圖，連接OP．∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6．∴BC＝＝＝10．∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，∴四邊形OEPF是矩形．∴FE＝OP．∵當(dāng)OP⊥BC時(shí)，OP有最小值，此時(shí)S△OBC＝OB×OC＝BC×OP，∴OP＝＝4.8．∴EF的最小值為4.8．故選B．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；矩形的判定和性質(zhì)；勾股定理．【難度】★★★【題型】選擇題二、填空題2．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，且BE＝AF．設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，△AEF的周長(zhǎng)為m，則△AEF的周長(zhǎng)m的取值范圍是.（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（2+）a≤m≤4a．【解析】如圖，連接AC．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠B＝∠D＝60°．∴△ABC和△ADC都是等邊三角形．∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝60°．又∵AF＝BE，∴△BEC≌△AFC（SAS）．∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE．∴∠ECF＝∠ACB＝60°．∴△CEF是等邊三角形．∴EF＝CF＝CE．∵△AEF的周長(zhǎng)為m＝AE+AF+EF，∴m＝AE+BE+CE＝2a+CE．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，CE有最大值為2a，∴m的最大值為4a．當(dāng)CE⊥AB時(shí)，CE有最小值，此時(shí)BE＝AE＝a，CE＝a，∴m的最小值為2a+a．∴（2+）a≤m≤4a．故答案為：（2+）a≤m≤4a．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂線段最短．【難度】★★★【題型】填空題3．如圖，邊長(zhǎng)為a的菱形是由邊長(zhǎng)為a的正方形“形變”得到的，若這個(gè)菱形一組對(duì)邊之間的距離為h，則稱為這個(gè)菱形的“形變度”．（1）一個(gè)“形變度”為3的菱形與其“形變”前的正方形的面積之比為；（2）如圖，A、B、C為菱形網(wǎng)格（每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)為1，“形變度”為）中的格點(diǎn)，則△ABC的面積為．【答案】（1）1∶3；（2）．【解析】（1）∵邊長(zhǎng)為a的正方形面積＝a2，邊長(zhǎng)為a的菱形面積＝ah，∴菱形面積：正方形面積＝ah∶a2＝h∶a．∵菱形的“形變度”為3，即＝3，∴“形變度”為3的菱形與其“形變”前的正方形的面積之比＝1∶3．故答案為：1∶3．（2）∵菱形的邊長(zhǎng)為1，“形變度”為，∴菱形形變前的面積與形變后的面積之比為．∴變形前的S△ABC與變形后的S△ABC之比為．∴變形后的S△ABC＝（36－×3×3－×3×6－×3×6）×＝×＝．故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；新定義問題．【難度】★★★【題型】填空題4．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，DE，BF相交于點(diǎn)G連接BD，CG．有下列結(jié)論：①∠BGD＝120°：②BG+DG＝CG；③BD＝CG；④S△ABD＝AB2．其中正確的有（將正確答案的序號(hào)填在橫線上）．【答案】①②④．【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BCD＝∠A＝60°．∴△ABD、△BCD都是等邊三角形．∴∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝60°，BD＝CD．∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴∠DEB＝90°，∠ABF＝∠DBF＝∠ABD＝×60°＝30°，∠BDE＝∠ADE＝∠ADB＝∠ABD＝×60°＝30°，∴